9 Integralen en toepassingen
In dit hoofdstuk bespreken we de bepaalde integraal of de Riemannintegraal van een continue
functie op een gesloten interval. Deze bepaalde integraal heeft zeer veel toepassingen. We zullen de bepaalde integraal gebruiken voor de berekening van oppervlaktes van vlakke gebieden en
lengtes van grafieken, alsook voor oppervlaktes en volumes van omwentelingslichamen. Verder
zullen we de bepaalde integraal uitbreiden tot meer algemene situaties, voor functies die zekere
discontinuïteitspunten kunnen hebben en voor zekere functies die onbegrensd zijn. Deze veralgemeningen zullen ons toelaten om ook oppervlaktes van sommige ’oneindig doorlopende’ gebieden
in het vlak en volumes van sommige ’oneindig doorlopende’ lichamen in de ruimte te berekenen.
Zo zullen we bijvoorbeeld op het einde van dit hoofdstuk het volume kunnen berekenen van de
zgn. ’hoorn van Gabriël’. Dit omwentelingslichaam, afgebeeld in Figuur 9.1, ontstaat door de
grafiek van
1
f : [1, +∞[→ R : x 7→
x
in de ruimte te laten wentelen om de x-as.
Figuur 9.1: De hoorn van Gabriël
Hoewel deze hoorn van Gabriël onbegrensd is, hij loopt namelijk ’oneindig ver’ door naar rechts,
zal hij een eindig volume hebben. We zullen ook de oppervlakte van de hoorn van Gabriël kunnen
bepalen, merkwaardig genoeg zal deze oneindig groot zijn.
9.1
De Riemannintegraal
Van eenvoudige meetkundige figuren zoals rechthoeken en driehoeken kunnen we zonder problemen de oppervlakte berekenen. Ook voor figuren zoals cirkels bestaan er klassieke formules die
de oppervlakte geven. We willen dit begrip ‘oppervlakte’ veralgemenen naar meer willekeurige
gebieden, beschreven door een functie f . De functies in deze sectie waarvoor we de bepaalde
integraal zullen definiëren, zullen steeds functies zijn die continu zijn op een gesloten interval
[a, b] (a < b). We weten dat dergelijke functies steeds begrensd zijn.
Bepaalde integraal van een positieve functie
Voor de redenering bij het invoeren van de bepaalde integraal, beschouwen we in eerste instantie
het geval waar de functie f slechts positieve functiewaarden aanneemt: f (x) ≥ 0 voor alle x in
[a, b]. We beschouwen het gebied G begrensd door:
175
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
• de x-as onderaan,
• de verticale x = a links
• de grafiek van f bovenaan,
• de verticale x = b rechts.
Dergelijk gebied is voor een willekeurige positieve en continue functie weergegeven in figuur 9.2.
!"
" !
!
#
$
Figuur 9.2: Het gebied G
Om een wiskundig model op te stellen voor de ’oppervlakte’ van dit gebied G, zullen we het
gebied benaderen door rechthoeken, aangezien de oppervlakte daarvan reeds bij conventie vast
ligt. Voor elk niet-nul natuurlijk getal n kunnen we het interval [a, b] opdelen in n deelintervallen
[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], . . . , [xn−2 , xn−1 ], [xn−1 , xn ].
Hierin is x0 = a en xn = b. Hoewel dit niet noodzakelijk is, kiezen we de intervallen in deze
cursus met gelijke lengte. De lengte van elk van de deelintervallen wordt dan gegeven door
hn =
b−a
n
en de n + 1 verdelingspunten xk zijn
xi = a + i b−a
n = a + i hn
(i = 0, 1, 2, ..., n)
Omdat f een continue functie is, neemt f op elk van de gesloten deelintervallen [xi−1 , xi ] een
kleinste en een grootste functiewaarde aan: stel
minni f = de kleinste functiewaarde van f op [xi−1 , xi ]
maxni f = de grootste functiewaarde van f op [xi−1 , xi ]
De bovenindex n bij minni f en maxni f duidt het aantal beschouwde deelintervallen n aan en
de onderindex i duidt aan op welk van deze deelintervallen we de kleinste en grootste functiewaarde nemen. Op Figuur 9.3 worden deze kleinste en grootste functiewaarden op een bepaald
deelinterval voorgesteld.
Op het deelinterval [xi−1 , xi ] is het gebied G 0begrensd door de x-as onderaan en de grafiek van
f bovenaan, gelegen tussen de twee rechthoeken: een kleinere rechthoek met hoogte minni f
en een grotere rechthoek met hoogte maxni f . Beide rechthoeken hebben als breedte hn , de
176
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
(a)
(b)
Figuur 9.3: Kleinste en grootste functiewaarde op een deelinterval
Figuur 9.4: Rechthoeken in het deelgebied [xk , xk+1 ]
lengte van het deelinterval. Het gebied ligt dus tussen twee rechthoeken met als oppervlakten
minni f · hn en maxni f · hn . Dit is voor een deelinterval [xi−1 , xi ] weergegeven in Figuur 9.4.
Door te sommeren over de n deelintervallen van [a, b] is het duidelijk dat wat we intuïtief onder
de ’oppervlakte van het gebied G’ verstaan, moet liggen tussen de som van oppervlakten van de
kleine rechthoeken
sn = minn1 f · hn + minn2 f · hn + . . . + minnn f · hn =
n
X
i=1
minni f · hn
(de zgn. ‘ondersom’ bij n deelintervallen) en de som van oppervlakten van de grote rechthoeken
Sn = maxn1 f · hn + maxn2 f · hn + . . . + maxnn f · hn =
n
X
i=1
maxni f · hn
(de zgn. ‘bovensom’ bij n deelintervallen). In Figuur 9.5 zijn de rechthoeken horend bij de onderen bovensom weergegeven voor een verdeling van [a, b] met n = 4.
177
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
y
y
a
y = f (x )
y = f (x )
x
x
b
a
(a)
b
(b)
Figuur 9.5: Onder- en bovensommen: G benaderen door 4 rechthoeken
Nu kan men bewijzen dat, door [a, b] te verdelen in steeds meer deelintervallen, het verschil
tussen de ondersom en de bovensom steeds kleiner wordt en limiet 0 heeft als n → ∞. De rijen
(sn )n en (Sn )n convergeren beide naar eenzelfde getal. Fijnere verdelingen zijn weergegeven in
Figuur 9.6, voor n = 10 en n = 15.
y
y
y = f (x )
y = f (x )
x
a
b
(a)
x
a
b
(b)
Figuur 9.6: Onder- en bovensommen bij verdelingen met n = 10 (links) en n = 15 (rechts)
Het getal dat de limiet is van de rijen (sn )n en (Sn )n noemen we de bepaalde integraal of de
Riemannintegraal van f op [a, b].
Voorbeeld. Beschouw de functie f (x) = x op het gesloten interval [0, 1]. Voor een nietnul natuurlijk getal n levert de opdeling van [0, 1] in n deelintervallen met gelijke lengte n1 de
178
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
intervallen
1
1 2
2 3
n−2 n−1
n−1
0,
,
,
,
,1
,
,
, ...,
,
n
n n
n n
n
n
n
i
De kleinste waarde van f op een deelinterval [ i−1
n , n ] is
deelinterval is ni . Dit levert voor de ondersom bij n
n
X
i −1 1
·
sn =
n
n
i=1
i−1
n
en de grootste waarde van f op dat
n
1 X
= 2
(i − 1)
n
i=1
n−1
1 X
= 2
i
n
i=1
=
1 (n − 1)n
n2
2
=
n−1
2n
Voor de bovensom bij n vinden we
n
X
i 1
·
Sn =
n n
i=1
n
1 X
= 2
i
n
i=1
=
1 n(n + 1)
n2
2
=
n+1
2n
Als we de limieten van de rijen (sn )n en (Sn )n berekenen, dan vinden we dat
lim sn = lim Sn =
n→+∞
n→+∞
1
2
Dit resultaat komt inderdaad overeen met de oppervlakte van het gebied tussen x = 0, x = 1,
de x-as en de grafiek van f , nl. een rechthoekige driehoek met lengte van basis en hoogte
1. Hoewel voor zo’n driehoek geen integraal nodig is, toont dit voorbeeld wel aan dat we de
verwachte oppervlakte terugvinden als limiet van de rij van ondersommen en als limiet van de rij
van bovensommen. Het model van de bepaalde integraal om oppervlakten te berekenen, blijkt
voor deze driehoek dus in overeenstemming met de reeds gekende formules voor oppervlakten.
De functie en het gebied zijn weergegeven in Figuur 9.7. Men kan ook voor andere figuren zoals
veelhoeken, cirkels enz. nagaan dat de klassiek gekende oppervlakte overeenkomt met de limiet
van de rijen van bijhorende onder- en bovensommen.
Definitie en eigenschappen van de Riemannintegraal
We werken nog steeds met een continue functie f , gedefinieerd op een gesloten interval [a, b].
Nu laten we echter toe dat f ook negatieve functiewaarden aanneemt. In voorgaande paragraaf
definieerden we de bepaalde integraal van een positieve functie als limiet van (sn )n en (Sn )n .
179
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
y
1
f (x ) = x
k
n
k−1
n
hn
x
k−1
n
k
n
1
Figuur 9.7: f (x) = x op het interval [0, 1]
Deze limieten bestaan nog steeds indien f ook negatieve functiewaarden aanneemt, maar we
kunnen het resultaat niet zomaar interpreteren als een oppervlakte. Als we teruggrijpen naar de
som sn (of Sn ), dan krijgen we negatieve termen wanneer minni f < 0 (of maxni f < 0), aangezien
hn steeds positief is. De oppervlakte van rechthoeken die onder de x-as gelegen zijn, wordt
bijgevolg negatief aangerekend.
We zeggen dat de bepaalde integraal een georiënteerde oppervlakte voorstelt: gebieden boven
de x-as worden positief aangerekend, gebieden onder de x-as negatief.
Voorbeeld
We keren terug naar de functie f (x) = x. Indien we de bepaalde integraal op het interval
[−1, 0] uitrekenen, dan vinden we niet 1/2 maar −1/2. De berekening is volledig analoog aan
de voorgaande, enkel het teken verschilt. Indien we de bepaalde integraal over [−1, 1] zouden
berekenen, vinden we 0. De oppervlakte boven en onder de x-as is immers even groot, maar
tegengesteld. Dit gebied is weergegeven in Figuur 9.8. Op deze figuur werden voor n = 5 in het
groen de rechthoeken getekend die meegeteld worden in de onder- en bovensom.
Definitie 9.1. Als f een continue functie is op het interval [a, b], dan is de bepaalde integraal
of de Riemannintegraal van f op [a, b] gelijk aan de gemeenschappelijke waarde van de limieten
van rijen
lim sn = lim Sn
n→+∞
n→+∞
Hierin zijn sn en Sn respectievelijk de ondersom en bovensom horend bij f en een verdeling van
[a, b] in n gelijke intervallen:
n
X
sn =
minni f · hn
i=1
en
Sn =
n
X
i=1
maxni f · hn
180
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
y
1
y
1
f (x ) = x
h5
f (x ) = x
h5
x
x
1
−1
1
−1
−1
−1
(a)
(b)
Figuur 9.8: Onder- en bovensommen voor de functie f (x) = x met n = 5
Deze bepaalde integraal wordt genoteerd als
Z b
f (x) dx
a
Dus
Z
b
f (x) dx = lim sn = lim Sn
n→+∞
a
n→+∞
We merken op dat de variabele x in de integraal slechts een ‘dummy variabele’ is, de integraal
is immers een getal dat afhangt van de functie f en het interval [a, b], maar niet van x. We
kunnen in plaats van x dus eender welke letter gebruiken:
Z b
Z b
Z b
f (x)dx =
f (t) dt =
f (p) dp = . . .
a
a
a
De bepaalde integraal van een continue functie f op een interval [a, b] ligt voor elke verdeling in
n deelintervallen tussen de onder- en bovensom:
Z b
sn ≤
f (x)dx ≤ Sn
a
Men kan bewijzen dat de Riemannintegraal het enige getal is dat voor elke n tussen de ondersom
sn en de bovensom Sn ligt. Met andere woorden als I een reëel getal is dat voor elke n tussen
sn en Sn ligt, dan is dat getal I gelijk aan de bepaalde integraal van f op [a, b]:
I=
Z
b
f (x)dx
a
181
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
De bepaalde integraal wordt ook uitgebreid naar situaties waar b < a: per definitie stelt men
dan:
Z a
Z b
f (x)dx = −
f (x)dx
b
a
Men stelt ook
Z
a
f (x)dx = 0
a
We geven hier enkele eigenschappen van de bepaalde integraal. Sommige zijn gelijkaardig met
eigenschappen van de onbepaalde integraal. Wel moet men bij de bepaalde integraal opletten
met de grenzen.
Eigenschap 9.1. Eigenschappen van de bepaalde integraal
• Lineariteit van de integraal (α, β ∈ R)
Z
b
αf (x) + βg(x)dx = α
a
Z
b
f (x)dx + β
a
Z
b
g(x)dx
a
• Opsplitsen van de bepaalde integraal: voor elke c ∈ [a, b] geldt
Z
b
f (x)dx =
a
Z
c
f (x)dx +
a
Z
b
f (x)dx
c
• De integraal bewaart ongelijkheden: als f en g continue functies zijn op [a, b] en als
f (x) ≤ g(x) voor alle x ∈ [a, b], dan is de Riemannintegraal van f op [a, b] kleiner dan of
gelijk aan de Riemannintegraal van g op [a, b]:
Z
b
a
f (x)dx ≤
Z
b
g(x)dx
a
Figuur 9.9 illustreert het opsplitsen van de bepaalde integraal uit de vorige eigenschap.
Riemannsommen
Rb
In deze sectie bespreken we een karakterisatie van de bepaalde integraal a f (x)dx van een
continue functie op een gesloten interval [a, b] aan de hand van zgn. Riemannsommen. Riemannsommen zijn analoog aan boven- en ondersommen, maar deze sommen zijn meer algemeen.
Ook bij een Riemannsom wordt het interval [a, b] verdeeld in n deelintervallen
[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], . . . , [xn−2 , xn−1 ], [xn−1 , xn ]
van gelijke lengte hn = b−a
n . Nu wordt bij deze verdeling in elk van de deelintervallen [xi−1 , xi ]
(1 ≤ i ≤ n) willekeurig een punt ci gekozen en men noemt de som
Rnci =
n
X
f (ci )hn
i=1
de Riemannsom bij deze verdeling in n deelintervallen en bij deze keuze van punten c1 , c2 , ..., cn .
Merk op dat een andere keuze voor de punten c1 , c2 , ..., cn mogelijk een andere waarde voor de
182
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Z
!
Z
" ! !& !
"
"
" ! !& !
#
$
!
(a)
Z
!
"
" ! !& !
#
$
!
(b)
Figuur 9.9: Het opsplitsen van de bepaalde integraal
Riemannsom Rnci geeft. Kiest men in elk deelinterval het punt ci zodanig dat f in dit punt haar
kleinste waarde op [xi−1 , xi ] aanneemt (1 ≤ i ≤ n), dan valt de Riemannsom bij deze keuze
samen met de ondersom sn . Kiest men in elk deelinterval het punt ci zodanig dat f in dit punt
haar grootste waarde op [xi−1 , xi ] aanneemt (1 ≤ i ≤ n), dan valt de Riemannsom bij deze
keuze samen met de bovensom Sn . Bij een Riemannsom mag men echter voor de punten ci om
het even welke keuze maken, zolang ci maar tot het deelinterval [xi−1 , xi ] behoort. In Figuur
9.10 wordt een Riemannsom voorgesteld met n = 7 en met in elk van de 7 deelintervallen een
gekozen punt ci .
We kunnen weer, net zoals bij ondersommen en bovensommen, een Riemannsom opvatten als
een som van ’georiënteerde’ oppervlaktes van rechthoeken. Inderdaad stelt elke term f (ci )hn in
Rnci de oppervlakte voor van een rechthoek met basis op het interval [xi−1 , xi ]. De breedte van
deze rechthoek is hn en de hoogte f (ci ). Weer spreken we van ’georiënteerde’ oppervlakte omdat
de oppervlakte van een rechthoek die onder de x-as ligt negatief gerekend wordt. Inderdaad is
in dat geval de ’hoogte’ f (ci ) een negatief getal.
Voor elke keuze van punten c1 , c2 , .., cn in elk van de deelintervallen [xi−1 , xi ] ligt f (ci ) tussen
de kleinste waarde van f op [xi−1 , xi ] en de grootste waarde van f op [xi−1 , xi ]. Met andere
woorden geldt
minni f ≤ f (ci ) ≤ maxni f
Bijgevolg geldt ook
n
X
i=1
minni f · hn ≤
n
X
i=1
f (ci )hn ≤
n
X
i=1
maxni f · hn
183
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
y
y = f (x )
x
a c1 c2 c3
c4 c5 c6 c7 b
Figuur 9.10: Voorstelling van een Riemannsom met n = 7
en dus ligt voor elke n de Riemannsom Rnci tussen de ondersom en de bovensom:
sn ≤ Rnci ≤ Sn
Dit wordt geïllustreerd in Figuur 9.11.
y
y = f (x )
x
a c1 c2 c3
c4 c5 c6 c7 b
Figuur 9.11: Een Riemannsom ligt tussen ondersom en bovensom
De rijen (sn ) en (Sn ) van onder- en bovensommen convergeren beide naar de Riemannintegraal
van f op [a, b]. Kiest men dus voor elke n punten c1 , c2 , .., cn in elk van de deelintervallen
[xi−1 , xi ], dan ontstaat een rij van Riemannsommen die wegens de insluitstelling ook convergeert
naar de Riemannintegraal van f op [a, b]:
Z b
f (x)dx = lim Rnci
a
n→∞
184
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
9.2
Oppervlakte van vlakke gebieden
Oppervlakte tussen de grafiek van een functie en de x-as
Definitie 9.2. Als f een continue functie is op een interval [a, b] die alleen maar positieve
functiewaarden aanneemt (f (x) ≥ 0 voor alle x ∈ [a, b]), dan definiëren we
Z
b
f (x)dx
a
als oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van f , de x-as en de verticalen x = a
en x = b.
Als we de oppervlakte willen berekenen tussen de x-as en een functie die de x-as snijdt, dan
moeten we de integraal opsplitsen. Zo’n geval is weergegeven in Figuur 9.12, er bestaat een
c in [a, b] waar f (c) = 0. Als we f integreren van a tot b, dan zal het stuk onder de x-as
in de Riemannintegraal negatief aangerekend worden en zal deze Riemannintegraal dus niet de
oppervlakte geven.
y
y
y = f (x )
y
a
+
b
a
y = |f (x )|
+
G
c −
G
x
c
x
+
b
+
−
x
G
y = f (x )
a
c
b
Figuur 9.12: De integraal als georiënteerde oppervlakte
Voor het berekenen van de totale oppervlakte, boven en onder de x-as, moeten we op [c, b] niet
f , maar −f integreren: we maken f er positief. In feite integreren we zo de absolute waarde
van f . Op deze manier wordt steeds de totale oppervlakte bekomen.
Eigenschap 9.2. De oppervlakte tussen de grafiek van een continue functie f en de x-as op het
interval [a, b], wordt gegeven door:
Z b
|f (x)| dx
a
Om deze integraal te berekenen, splitsen we het interval zodanig dat f op alle deelintervallen
een constant teken heeft. We rekenen de integraal positief aan op de intervallen waar f ≥ 0 en
negatief waar f < 0.
185
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Oppervlakte tussen twee grafieken
Met de bepaalde integraal kan nu ook de oppervlakte tussen de grafieken van twee continue
functies berekend worden. Veronderstel dat f (x) ≥ g(x) over een interval [a, b]. We vinden de
oppervlakte tussen de grafieken van f en g als verschil van de oppervlakte tussen de x-as en de
grafiek van f en de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van g:
Z b
Z b
Z b
f (x) dx −
g(x) dx =
(f (x) − g(x)) dx
a
a
a
Indien f (x) ≥ g(x) niet geldt over het volledige interval [a, b], dan kan deze formule veralgemeend
worden door opnieuw met de absolute waarde te werken.
Eigenschap 9.3. Als f (x) en g(x) twee continue functies zijn op een gesloten interval [a, b],
dan wordt de oppervlakte van het gebied tussen de verticalen x = a en x = b en tussen de
grafieken van f en g gegeven door
Z b
|f (x) − g (x)| dx
a
y
y = f (x )
G
a
b
x
y = g(x )
Figuur 9.13: De oppervlakte tussen twee grafieken
Om de integraal te berekenen, moet het interval weer opgesplitst worden in deelintervallen
waarover f (x) ≥ g(x) of f (x) ≤ g(x) geldt.
Eigenschap 9.4. Voor de Riemannintegraal van een continue functie f op een gesloten interval
[a, b] geldt
Z b
Z b
f (x)dx ≤
|f (x)| dx
a
a
186
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
We bewijzen deze eigenschap niet, maar illustreren ze wel met een voorbeeld in Figuur 9.14. Op
dit voorbeeld is de functie f positief tussen a en c en tussen d en b en negatief tussen c en d.
De Riemannintegraal van f op [a, b] is de som van twee positieve oppervlaktes (tussen a en c en
tussen d en b) waar de oppervlakte tussen c en d van afgetrokken wordt. De Riemannintegraal
van de functie |f | op [a, b] daarentegen is de som van de drie oppervlaktes, die alle drie positief
gerekend worden.
"
#
!
$
&
"
Figuur 9.14: De absolute waarde van een Riemannintegraal
We krijgen dan:
terwijl
Z
b
a
Z
b
a
Z
f (x)dx = |f (x)|dx =
Z
Uit de driehoeksongelijkheid volgt
Z c
Z d
Z
|f (x)|dx −
|f (x)|dx +
a
en dus
9.3
c
c
a
|f (x)|dx +
Z
c
a
b
d
Z
|f (x)|dx −
Z
b
a
d
|f (x)|dx +
Z
c
d
c
Z
|f (x)|dx ≤
Z
f (x)dx ≤
|f (x)|dx +
Z
c
a
a
|f (x)|dx +
b
d
b
d
Z
|f (x)|dx |f (x)|dx
d
c
|f (x)|dx +
Z
b
d
|f (x)|dx
b
|f (x)| dx
De Hoofdstelling van de calculus
Van een eindig aantal getallen is goed gekend hoe het gemiddelde berekend wordt: het gemiddelde van n getallen x1 , x2 , ..., xn is
x1 + x2 + ... + xn
n
We zullen het begrip ’gemiddelde’ in deze sectie kunnen veralgemenen zodat we ook de gemiddelde waarde van een continue functie op een gesloten interval zullen kunnen berekenen. Deze
veralgemening maakt gebruik van de Middelwaardestelling voor Riemannintegralen. Vooraleer
deze stelling te bewijzen, geven we eerst de volgende eigenschap die een begrenzing geeft van
een Riemannintegraal.
187
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Eigenschap 9.5. Voor de Riemannintegraal van een continue functie f op een gesloten interval
[a, b] geldt
Z b
min f · (b − a) ≤
f (x)dx ≤ max f · (b − a)
a
Hierbij stellen min f en max f de kleinste en grootste waarde van f op [a, b] voor.
Bewijs. Voor elke ondersom sn van f geldt
sn =
n
X
i=1
minni f
· hn ≥
n
X
i=1
min f · hn = min f
n
X
i=1
hn = min f · (b − a)
omdat minni f ≥ min f voor alle i tussen 1 en n: de kleinste waarde van f op het interval [xi−1 , xi ]
kan niet kleiner zijn dan de kleinste waarde van f op het hele interval [a, b]. Op dezelfde manier
geldt voor elke bovensom Sn van f dat
Sn =
n
X
i=1
maxni f · hn ≤
n
X
i=1
max f · hn = max f
n
X
i=1
hn = max f · (b − a)
omdat maxni f ≤ max f voor alle i tussen 1 en n: de grootste waarde van f op het interval
[xi−1 , xi ] kan niet groter zijn dan de grootste waarde van f op het hele interval [a, b]. Dus geldt
min f · (b − a) ≤ sn ≤ Sn ≤ max f · (b − a)
De Riemannintegraal van f op [a, b] ligt tussen elke ondersom sn en bovensom Sn en bijgevolg
geldt ook
Z b
f (x)dx ≤ max f · (b − a)
min f · (b − a) ≤
a
Voor positieve functies kunnen we de vorige eigenschap als volgt interpreteren: de oppervlakte
tussen de grafiek van f en de x-as en tussen x = a en x = b ligt tussen de oppervlakte van de
rechthoek met als hoogte de kleinste waarde van f op [a, b] en de oppervlakte van de rechthoek
met als hoogte de grootste waarde van f op [a, b].
Stelling 9.1. Middelwaardestelling voor integralen Zij a < b en f : [a, b] → R een continue
functie. Dan bestaat er minstens één punt c ∈ [a, b] zodat
f (c) =
1
b−a
Z
b
f (x)dx
a
Bewijs. Wegens Eigenschap 9.5 ligt het getal
Z b
1
f (x)dx
b−a a
tussen het minimum en het maximum van f . Wegens de continuïteit van f wordt deze waarde
door f aangenomen in minstens één punt c van [a, b].
188
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
y
max f
max f .(b − a)
f
min f
min f .(b − a)
a
b
x
Figuur 9.15: Een begrenzing van de Riemannintegraal
De Middelwaardestelling voor integralen heeft, voor positieve functies, de volgende meetkundige
interpretatie. Als c een punt is van [a, b] zoals gegeven door de Middelwaardestelling, dan geldt
f (c) · (b − a) =
Z
b
f (x)dx
(9.1)
a
Hierin stelt f (c) · (b − a) de oppervlakte voor van de rechthoek met breedte b − a en hoogte
Rb
f (c) en a f (x)dx stelt de oppervlakte voor tussen a en b van het gebied tussen de grafiek van
f en de x-as. Uit (9.1) volgt dan dat deze rechthoek een oppervlakte heeft die gelijk is aan de
oppervlakte tussen de grafiek van f en de x-as. Om deze reden noemen we het getal
Z b
1
f (x)dx
b−a a
de gemiddelde waarde van de functie f op het interval [a, b]. Men stelt deze definitie ook als de
continue functie f niet alleen positieve waarden aanneemt.
Definitie 9.3. Indien f : [a, b] → R een continue functie is, dan noemt men het getal
1
b−a
Z
b
f (x)dx
a
de gemiddelde waarde van f op het interval [a, b].
189
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
y
f
Rb
a
f (x)dx
f (c)
f (c).(b − a)
x
a
c
b
Voorbeeld. De gemiddelde waarde van sin x op het interval [0, π] wordt als volgt berekend:
Z π
1
1
sin xdx = [− cos x]π0
π−0 0
π
=
1
2
[−(−1) − (−1)] =
π
π
Figuur 9.3 illustreert deze gemiddelde waarde.
Figuur 9.16: De gemiddelde waarde van sin x op het interval [0, π]
De Hoofdstelling van de calculus
De Hoofdstelling van de calculus toont dat de afgeleide van een integraal van een continue
functie gelijk is aan de functie zelf. Hieruit volgt de welbekende eigenschap die toelaat om een
bepaalde integraal van een continue functie op een gesloten interval uit te rekenen aan de hand
van een primitieve functie. We herhalen eerst de definitie van een ’primitieve functie’.
190
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Definitie 9.4. Als f een continue functie is op een gesloten interval [a, b], dan zeggen we dat
een functie F : [a, b] → R een primitieve is van f (op [a, b]) indien de volgende drie voorwaarden
vervuld zijn:
• F is continu op [a, b],
• F is differentieerbaar op ]a, b[,
• voor alle punten van ]a, b[ geldt F ′ (x) = f (x).
We weten dat verschillende primitieven op een gesloten interval van eenzelfde continue functie
slechts op een constante verschillen.
Stelling 9.2. Hoofdstelling van de calculus Zij a, b ∈ R met a < b en f : [a, b] → R continu
op [a, b]. Dan is de functie
Z x
F : [a, b] → R : x 7→
f (t)dt
a
een primitieve van f , i.e. F is continu op [a, b], differentieerbaar op ]a, b[ en
Z x
d
f (t)dt = f (x)
dx a
Bewijs. De functiewaarde van F in een punt x van [a, b] is de georiënteerde oppervlakte van het
gebied begrensd door de grafiek van f en de x-as, tussen de verticalen bij a en bij x.
y
F (x ) =
Z
x
f (t)dt
f
a
x
a
x
b
Figuur 9.17: De Hoofdstelling van de calculus
We tonen eerst dat de functie F rechtscontinu is in a. Op dezelfde manier kan men tonen dat
191
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
F linkscontinu is in b. Voor een strikt positief getal h geldt
Z
|F (a + h) − F (a)| = |F (a + h) − 0| = |F (a + h)| = ≤
Z
≤
Z
a+h
a
a+h
f (t)dt |f (t)| dt
a
a+h
Mdt = Mh
a
Hierbij is M de grootste waarde die door |f (x)| aangenomen wordt op [a, b]. Voor een willekeurige
ε > 0 is dus |F (a + h) − F (a)| < ε als 0 < h < ε/(M + 1):
|F (a + h) − F (a)| ≤ Mh < Mε/(M + 1) < ε
Dit bewijst dat
lim F (a + h) − F (a) = 0
h→0
>
en dus dat F rechtscontinu is in a.
We bewijzen nu dat F differentieerbaar is in elk punt x van ]a, b[ en dat F ′ (x) = f (x). We
beschouwen een reëel getal h en veronderstellen eerst h > 0. Het verschil tussen F (x + h) en
F (x) is de georiënteerde oppervlakte tussen de verticalen bij x en bij x + h, zoals voorgesteld in
Figuur 9.18.
y
F (x + h) − F (x )
f
x
a
ch x + h
x
b
Figuur 9.18: De Hoofdstelling van de calculus
Er geldt:
F (x + h) − F (x) =
Z
x+h
a
f (t)dt −
Z
x
f (t)dt =
a
Z
x+h
f (t)dt = f (ch )h
x
met ch een punt gelegen in het interval [x, x + h] zoals gegeven door de Middelwaardestelling
voor integralen. Als h → 0, dan nadert x + h naar x en dus ook ch → x. Omdat f continu is in
>
>
x, geldt
lim f (ch ) = f (x)
h→0
>
en bijgevolg
F (x + h) − F (x)
= lim f (ch ) = f (x)
h
h→0
h→0
>
>
lim
192
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Dit toont dat de rechterafgeleide van F in x bestaat en dat deze rechterafgeleide gelijk is aan
f (x). Een analoge redenering geldt voor de linkerafgeleide. Neem namelijk een reëel getal h < 0.
In dit geval ligt x + h links van x. Er geldt:
F (x + h) − F (x) =
Z
x+h
a
f (t)dt −
Z
x
a
f (t)dt = −
=−
Z
Z
x
a
f (t)dt −
Z
x+h
f (t)dt
a
x
f (t)dt
x+h
= −f (ch )(−h) = f (ch )h
met ch een punt gelegen in het interval [x + h, x] zoals gegeven door de Middelwaardestelling
voor integralen. Als h → 0, dan nadert x + h naar x en dus ook ch → x. Omdat f continu is in
<
<
x, geldt
lim f (ch ) = f (x)
h→0
<
en bijgevolg
F (x + h) − F (x)
= lim f (ch ) = f (x)
h
h→0
h→0
<
<
lim
Dit toont dat de linkerafgeleide van F in x bestaat en dat deze linkerafgeleide gelijk is aan
f (x).
De volgende eigenschap, die een gevolg is van de Hoofdstelling, laat toe om bepaalde integralen
te berekenen aan de hand van een primitieve functie.
Eigenschap 9.6. Als f : [a, b] → R continu is op [a, b] en als G : [a, b] → R een willekeurige
primitieve is van f op [a, b], dan geldt:
Z
b
a
f (x)dx = G(b) − G(a)
Bewijs. We weten uit de Hoofdstelling dat
F : [a, b] → R : x 7→
Z
x
f (t)dt
a
een primitieve is van f op [a, b]. Omdat ook G een primitieve is van f op [a, b], verschillen de
functies F en G slechts op een constante C na:
∀x ∈ [a, b] : G(x) = F (x) + C
Dan geldt
G(b) − G(a) = (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a)
=
=
Z
Z
b
f (t)dt −
a
Z
a
f (t)dt
a
b
a
f (t)dt − 0 =
Z
b
f (t)dt
a
193
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Soms noteert men G(b) − G(a) als
G(x)|ba
of als
G(x)|x=b
x=a .
Voorbeelden.
1. We beschouwen de functie f (x) = sin x op het interval [0, π], weergegeven in Figuur 9.19.
Op deze halve periode is de sinus positief, we hoeven de integraal dus niet op te splitsen.
We weten dat F (x) = − cos x een primitieve is van f en passen de hoofdstelling toe:
Z π
sin x dx = [− cos x]π0 = − cos π − (− cos 0) = 1 − (−1) = 2
0
De oppervlakte onder de eerste boog van de sinus is dus 2.
y
5
y
1
x
x
f
π/2
π
1
2
3π/2
f
−1
Figuur 9.19: De integraal van f (x) = sin x op het interval [0, π] (links) en de integraal van
f (x) = 3(x 2 − 1) op het interval [0, 2] (rechts)
2. Beschouw de functie f (x) = 3(x 2 − 1) op het interval [0, 2], weergegeven in Figuur 9.19.
De functie is negatief op [0, 1] en positief op [1, 2]. We zoeken de oppervlakte tussen f en
de x-as en moeten de integraal dus opsplitsen. Een primitieve functie is F (x) = x 3 − 3x,
we splitsen de integraal en passen de hoofdstelling toe:
Z 2
Z 1
Z 2
2
3 x 2 − 1 dx = −
3 x − 1 dx +
3 x 2 − 1 dx
0
0
1
3
= − x − 3x
1
0
3
+ x − 3x
= − (−2) + (2 + 2) = 6
2
1
De totale oppervlakte is 6, het gebied onder de x-as heeft oppervlakte 2 en het gebied
boven de x-as heeft oppervlakte 4.
194
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
3. Beschouw de functie f (x) = x + 2 en g(x) = x 2 . We zoeken de oppervlakte die ingesloten
wordt door de grafieken van deze functies. Uit f (x) = g(x) ⇔ x 2 = 2 + x halen we de
snijpunten x = −1 en x = 2. Het ingesloten gebied ligt in het interval [−1, 2] waarop
f ≥ g, we moeten de integraal dus niet opsplitsen. De te integreren functie is dan
f (x) − g(x) = x + 2 − x 2 waarvan F (x) = x 2 /2 + 2x − x 3 /3 een primitieve functie is. We
berekenen:
2
2
Z 2
x
x3
1
1
9
8
2
x + 2 − x dx =
+ 2x −
−2+
−
=
= 2+4−
2
3 −1
3
2
3
2
−1
Het gebied tussen de twee grafieken heeft oppervlakte 9/2 en wordt weergegeven in Figuur
9.20.
y
4
3
g
2
1
f
x
−1
1
2
Figuur 9.20: De oppervlakte van het gebied begrensd door de functies f en g
Zoals aangekondigd in Hoofdstuk 8, kunnen we met behulp van de Riemannintegraal de tweede
foutafschatting in Eigenschap 8.3 nog verscherpen.
Eigenschap 9.7. Veronderstel dat I een open interval is dat een punt a bevat. Indien f tweemaal
differentieerbaar is op I, indien x ∈ I en indien |f ′′ (t)| ≤ N voor alle t gelegen tussen a en x,
dan geldt
1
Ea (x) ≤ N (x − a)2
2
Bewijs. Voor de fout
F (t) = f (t) − f (a) − f ′ (a)(t − a)
geldt dat F tweemaal differentieerbaar is op I omdat f tweemaal differentieerbaar is op I. De
afgeleiden van F worden gegeven door
F ′ (t) = f ′ (t) − f ′ (a) en F ′′ (t) = f ′′ (t)
195
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Merk op dat
F (a) = F ′ (a) = 0
Er is niets te bewijzen als x = a. We geven het bewijs in het geval x > a, als x < a is het bewijs
analoog. Omdat F een primitieve is van F ′ op I en omdat F (a) = 0 geldt
Z x
F (x) =
F ′ (t)dt
a
Met partiële integratie geldt
Z
Z
F ′ (t)dt = (t − x)F ′ (t) − (t − x)F ′′ (t)dt
en dus
F (x) =
Z
x
′
F (t)dt =
a
t=x
t − x)F (t)t=a −
′
= (x − a)F ′ (a) +
=
=
Omdat |f
′′ (t)|
Z
Z
Z
Z
x
a
(t − x)F ′′ (t)dt
x
a
(x − t)F ′′ (t)dt
x
(x − t)F ′′ (t)dt
a
x
a
(x − t)f ′′ (t)dt
≤ N voor alle t gelegen tussen a en x, geldt
Z x
′′
Ea (x) = |F (x)| = (x − t)f (t)dt a
≤
Z
x
a
≤ N
(x − t) f ′′ (t) dt
Z
x
a
(x − t)dt
t=x
(x − t)2 = −N
2
t=a
= N
(x − a)2
2
√
Als we terugekeren naar de benadering van 4, 001 door 2, 00025 in het vorig hoofdstuk, dan
garandeert de vorige eigenschap dat de gemaakt fout niet groter is dan
1
0, 000001
64
Dit houdt meer informatie in over de gemaakte fout dan het resultaat op bladzijde 152.
196
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Substitutie in bepaalde integralen
Net als bij onbepaalde integralen, is het ook bij bepaalde integralen dikwijls nuttig om over
te gaan op een andere integratieveranderlijke. Zonder in te gaan op de precieze wiskundige
voorwaarden, formuleren we hier de substitutieregel voor bepaalde integralen bij overgang van
een variabele x naar een variabele u = g(x).
Eigenschap 9.8.
Z
b
′
f (g(x)).g (x)dx =
a
Z
g(b)
f (u)du
g(a)
Als F een primitieve is van f en g is differentieerbaar, dan geldt inderdaad wegens de kettingregel
(F ◦ g)′ (x) = F ′ (g(x))g ′ (x) = f (g(x))g ′ (x) = (f ◦ g)(x)g ′ (x)
en dus is F ◦ g een primitieve van (f ◦ g).g ′ . Bijgevolg geldt
Z
b
a
f (g(x)).g ′ (x)dx = (F ◦ g)(b) − (F ◦ g)(a) = F (g(b)) − F (g(a))
maar ook
Z
g(b)
g(a)
f (u)du = F (g(b)) − F (g(a))
In de praktijk wordt de formule uit de substitutiestelling dikwijls geschreven met de formele
substitutie
du = g ′ (x)dx.
Soms is het nuttig om bij het integraalteken te vermelden met welke variabele de grenzen
overeenstemmen. Daarom wordt de voorgaande substitutiestelling soms geschreven als
Z
x=b
′
f (g(x)).g (x)dx =
x=a
Voorbeeld.
Z
π/2
2
cot x csc xdx
=
π/4
=
Z
u=g(b)
f (u)du
u=g(a)
Z
Z
0
u(−du)
1
1
udu = 1/2
0
Hierbij gebruikten we de substitutie u = cot x waarbij geldt
du = − csc2 xd x
De grenzen werden als volgt aangepast:
als x = π/4 dan is u = cot x = 1,
als x = π/2 dan is u = cot x = 0.
197
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
9.4
Volume, lengte en oppervlakte
In deze sectie komen we tot belangrijke toepassingen van de Riemannintegraal waarbij we wiskundige modellen opstellen voor de lengte van een grafiek alsook voor het volume en de oppervlakte
van een omwentelingslichaam. Deze grootheden zijn gekend voor verschillende veel voorkomende
krommen en lichamen. Zo is bijvoorbeeld 2πR de omtrek van een cirkel met straal R en is πR2 de
oppervlakte van de omsloten schijf. Verder geeft 4/3πR3 het volume van een driedimensionale
bol met straal R en geeft 4πR2 de oppervlakte van een driedimensionale sfeer met straal R. Ook
voor de omtrek en oppervlakte van driehoeken en rechthoeken en de oppervlakte en inhoud van
prisma’s en balken bestaan er welgekende formules. Het opstellen van een wiskundig model voor
deze grootheden heeft tot doel de lengte, de oppervlakte en het volume te kunnen definiëren en
uitrekenen voor meer algemene functies, figuren en lichamen. Bij elk model zullen we motiveren
hoe het opgebouwd is, meestal gebeurt dit door de te definiëren grootheid te benaderen met
reeds gekende grootheden. Stellen we een wiskundig model op voor een grootheid, dan moet
dit compatibel zijn met deze klassieke formules voor welgekende functies, figuren en lichamen.
De bruikbaarheid van een wiskundig model wordt dan ook getoetst aan gekende voorbeelden.
Verder moet een wiskundig model voor een grootheid voldoen aan intuïtieve eigenschappen. Als
bijvoorbeeld twee lichamen in elkaar omvat zijn, mag het volume van het omvattende lichaam
niet kleiner zijn dan het volume van het kleinste lichaam.
Lengte van een grafiek van een continue functie
De lengte van een lijnstuk in een vlak wordt gegeven door de formule
p
(v1 − u1 )2 + (v2 − u2 )2
Hierbij zijn (u1 , u2 ) en (v1 , v2 ) de coördinaten van de eindpunten van het lijnstuk t.o.v. een
orthonormale basis. Ons doel is een wiskundig model op te stellen voor de lengte van een
algemene kromme die de grafiek is van een functie f : [a, b] → R, zoals voorgesteld in Figuur
9.21. We beschouwen hier dus een grafiek die gelegen is tussen twee verticalen x = a en x = b.
y
f
x
a
b
Figuur 9.21: Lengte van een kromme
Er blijkt dat niet aan elke grafiek van een continue functie op een gesloten interval een eindig
getal als lengte kan toegekend worden. Zo wordt in Figuur 9.22 de grafiek getekend van de
198
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
functie
[0, 1] → R : x 7→
x sin x1
0
als x 6= 0
als x = 0
Deze functie is wel continu op [0, 1], maar indien men de grafiek benadert met steeds kortere
lijnstukjes die steeds beter aan de grafiek aansluiten, stelt men vast dat de som van de lengtes van
deze lijnstukjes onbegrensd toenemen. Het bewijs hiervan maakt deel uit van meer gevorderde
cursussen analyse en differentiaalmeetkunde. In dergelijk geval kan er geen getal als ’eindige
lengte’ van deze grafiek berekend worden. Men zegt dat dergelijke grafiek ’oneindige lengte’
heeft.
y
1
y = f (x )
x
1
Figuur 9.22: Een kromme met oneindige lengte
Wij zullen een model opstellen voor de lengte van een grafiek van een functie f : [a, b] → R in
het geval dat deze functie continu differentieerbaar is. Dit betekent dat
• f differentieerbaar is in elk punt van ]a, b[,
• f rechtsdifferentieerbaar in a en linksdifferentieerbaar in b
• en dat de afgeleide functie f ′ : [a, b] → R zelf continu is.
We zullen zien dat onder deze voorwaarden wel een eindig getal kan gevonden worden als ’lengte
van de grafiek’.
Veronderstel dus dat f : [a, b] → R continu differentieerbaar is. Om de lengte van de grafiek van
f te definiëren, zullen we de grafiek benaderen met een eindig aantal lijnstukjes en als benadering
van de lengte zullen we de som van de lengtes van deze lijnstukjes nemen. Nadien zullen we
het aantal benaderende lijnstukjes laten toenemen en onderzoeken wat er in de limiet n → ∞
gebeurt. We verdelen het interval [a, b] in n deelintervallen
[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], . . . , [xn−2 , xn−1 ], [xn−1 , xn ]
van gelijke lengte hn = b−a
n met n ∈ N0 . Hierbij is x0 = a en xn = b. In 9.4 wordt ingezoomd
op het stukje van de grafiek van de functie f dat hoort bij een willekeurig deelinterval [xk−1 , xk ]
met 1 ≤ k ≤ n. We kiezen in [xk−1 , xk ] een punt ck . De keuze van het punt ck is willekeurig
maar wij spreken af dat we voor ck het midden nemen van het deelinterval [xk−1 , xk ]:
ck =
xk−1 + xk
2
199
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Op het interval [xk−1 , xk ] benaderen we de grafiek van f door de raaklijn in het punt (ck , f (ck )),
met andere woorden benaderen we f op het interval [xk−1 , xk ] door de standaard lineaire benadering
Lck : R → R : x 7→ f (ck ) + f ′ (ck )(x − ck )
raaklijn
y
f
f
xk−1
a
xk
xk−1
x
xk
b
ck
ck
(a)
(b)
Figuur 9.23: Benadering van de lengte van een grafiek
Zo wordt op het interval [xk−1 , xk ] de grafiek van f benaderd door een lijnstuk met eindpunten
(xk−1 , f (ck ) + f ′ (ck )(xk−1 − ck )) = (xk−1 , f (ck ) − f ′ (ck )hn /2)
en
(xk , f (ck ) + f ′ (ck )(xk − ck )) = (xk , f (ck ) + f ′ (ck )hn /2)
De lengte van dit lijnstuk is
p
(xk − xk−1
)2
+ (f
′ (c )h /2
k n
− (−f
′ (c )h /2))2
k n
De som van de lengtes van deze lijnstukjes is dan
=
q
2
(hn ) + (f
n q
X
1 + (f ′ (ck ))2 hn
′ (c )h )2
k n
q
= 1 + (f ′ (ck ))2 hn
(9.2)
k=1
We kunnen verwachten dat, door n te laten toenemen en dus steeds meer benaderende lijnstukjes
te beschouwen, de som van de lengtes (9.2) een steeds betere benadering geeft van de ’lengte’
van de grafiek van f die we willen definiëren. Dit wordt geïllustreerd in Figuur 9.24.
p
We stellen vast dat de som van de lengtes (9.2) een Riemannsom is van de functie 1 + (f ′ (x))2
bij de verdeling van [a, b] in n deelintervallen. Omdat deze functie continu is op [a, b], want f is
200
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
y
y
f
x
a
x
b
a
(a)
b
(b)
Figuur 9.24: Benadering van de lengte van een grafiek
continu differentieerbaar
op [a, b], convergeert de rij van deze Riemannsommen naar de bepaalde
p
integraal van 1 + (f ′ (x))2 :
Z bp
n q
X
2
′
lim
1 + (f (ck )) hn =
1 + (f ′ (x))2 dx
n→∞
a
k=1
Enerzijds verwachten we dus dat de rij van Riemannsommen, voor n → ∞, een steeds betere
benadering geeft van de lengte van de grafiek die we willen definiëren, anderzijds
convergeert
p
deze rij van Riemannsommen naar de bepaalde integraal van de functie 1 + (f ′ (x))2 . Deze
observatie leidt naar het voorstel om de lengte van de grafiek van f te definiëren als
Z bp
L=
1 + (f ′ (x))2 dx
(9.3)
a
Om deze wiskundige definitie te testen op haar bruikbaarheid, dient men na te gaan dat ze het
gewenste resultaat geeft op verschillende grafieken waarvan de lengte gekend is. Wij voeren
deze controle uit op een cirkel. Beschouw een strikt positieve straal R en een functie
√ √
p
2
2
R,
R → R : x 7→ R2 − x 2
f : −
2
2
De grafiek van f is het vierde deel van een cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal R,
zoals voorgesteld in Figuur 9.25. We nemen hier geen volledige cirkel, omdat die niet de grafiek
is van een functie. Verder vermijden we ook de punten (−R, 0) en (R, 0), omdat er daar een
verticale raaklijn is en de cirkel dus niet de grafiek kan zijn van een differentieerbare functie. We
weten dat de lengte van de grafiek van f het vierde deel is van de omtrek van de volledige cirkel,
dus
πR
1
(2πR) =
4
2
We controleren
dat
we
inderdaad
dit
resultaat
vinden
met (9.3).
√
Met f (x) = R2 − x 2 geldt
−x
−2x
=√
f ′ (x) = √
2
2
2 R −x
R2 − x 2
201
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
y
x
√
2
2 R
√
−
2
2 R
R
Figuur 9.25: Vierde deel van de omtrek van een cirkel
en
1 + (f ′ (x))2 = 1 +
en bijgevolg
Z
√
2
R
2
−
√
2
R
2
p
1 + (f ′ (x))2 dx
=R
R2
x2
=
R2 − x 2
R2 − x 2
Z
√
2
R
2
−
√
2
R
2
√
1
dx
− x2
R2
√
x 22 R
= R Bgsin √2
R −2R
√
√ 2
2
= R Bgsin
− −Bgsin
2
2
π
π −π
=R
=R
−
4
4
2
De integraal (9.3) geeft dus inderdaad voor de lengte van de kwartcirkel het juiste resultaat. We
definiëren nu de lengte van de grafiek:
Definitie 9.5. Als f : [a, b] → R continu differentieerbaar is, dan definieert
L=
Z
b
a
p
1 + (f ′ (x))2 dx
de lengte van de grafiek van f op het interval [a, b].
202
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Voorbeeld. We berekenen de lengte van de grafiek van de functie x 3/2 op het interval [0, 5].
Deze grafiek wordt voorgesteld in Figuur 9.26. Omdat f ′ (x) = (3/2)x 1/2 geldt
q
p
p
1 + (f ′ (x))2 = 1 + ((3/2)x 1/2 )2 = 1 + (9/4)x
en dus wordt de lengte gegeven door
Z
Z 5p
′
2
1 + (f (x)) dx =
L =
0
5p
1 + (9/4)xdx
0
5
24
8 343
8 335
335
8
3
3/2 =
(7/2) − 1 =
(1 + 9/4x) =
−1 =
=
39
27
27
8
27 8
27
0
y
f (x ) = x 3/2
x
a=0
b=5
Figuur 9.26: Lengte van een grafiek: voorbeeld
Volume van een omwentelingslichaam
Beschouw een driedimensionaal orthonormaal assenstelsel x, y , z. Als we de grafiek in het xy vlak van een continue functie f : [a, b] → R laten wentelen om de x-as, dan ontstaat een
driedimensionaal lichaam dat we een omwentelingslichaam noemen. In Figuur 9.27 wordt dergelijk lichaam voorgesteld. De vlakke doorsneden van het omwentelingslichaam loodrecht op de
x-as zijn cirkels en de straal van de cirkel bij een x-waarde x0 ∈ [a, b] is de absolute waarde van
de functiewaarde f (x0 ) van f in x0 . Het omwentelingslichaam is dus de verzameling van punten
in R3
(x, y , z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b, y 2 + z 2 ≤ (f (x))2
Voorbeeld. Laten we de grafiek van een functie y = mx tussen a = 0 en b wentelen om de
x-as, dan ontstaat een kegel. Deze kegel is dus de volgende verzameling van punten in R3 :
(x, y , z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b, y 2 + z 2 ≤ m2 x 2
Dergelijk omwentelingslichaam wordt voorgesteld in Figuur 9.28.
203
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Figuur 9.27: Omwentelingslichaam
Figuur 9.28: Een kegel
We zullen een wiskundig model opstellen voor het volume van een omwentelingslichaam en, in
de volgende paragraaf, zullen we ook een wiskundig model opstellen voor de manteloppervlakte
van een omwentelingslichaam.
Beschouw een omwentelingslichaam zoals voorgesteld in Figuur 9.27 en veronderstel eerst dat
de functie f geen negatieve waarden aanneemt op [a, b]. We verdelen het interval [a, b] in n
deelintervallen
[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], . . . , [xn−2 , xn−1 ], [xn−1 , xn ]
van gelijke lengte hn =
b−a
n
met n ∈ N0 . We focussen tijdelijk op een van de deelintervallen
204
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
[xk−1 , xk ] met 1 ≤ k ≤ n. Net als vroeger noemen we minnk f de kleinste functiewaarde van
f op [xk−1 , xk ] en maxnk f de grootste functiewaarde van f op [xk−1 , xk ]. Beschouwen we een
cirkelvormige cilinder waarvan minnk f de straal van het grondvlak is en hn , de lengte van [xk−1 , xk ],
de hoogte, dan is het volume van deze cilinder
(oppervlakte grondvlak) × (hoogte) = π(minnk f )2 hn
Omdat f geen negatieve waarden aanneemt, is het kwadraat van de kleinste waarde van f gelijk
aan het kleinste getal tussen de functiewaarden (f (x))2 met x ∈ [xk−1 , xk ]:
(minnk f )2 = minnk (f 2 )
Al deze cilinders zijn omvat in het omwentelingslichaam en bijgevolg moet het gezochte volume
V van het omwentelingslichaam groter zijn dan of gelijk zijn aan de som van de volumes van de
benaderende cilinders:
n
X
V ≥
π minnk (f 2 ) hn
k=1
Benaderen we op analoge manier het omwentelingslichaam op [xk−1 , xk ] door een cirkelvormige
cilinder waarvan maxnk f de straal van het grondvlak is, dan is het omwentelingslichaam omvat in
de unie van deze cilinders en vinden we
V ≤
n
X
π maxnk (f 2 ) hn
k=1
De benaderende cilinders op [xk−1 , xk ] worden voorgesteld in Figuur 9.29.
(a)
(b)
Figuur 9.29: Benadering van het volume van een omwentelingslichaam
We vinden dus voor het gezochte volume V van het omwentelingslichaam:
n
X
k=1
π minnk (f 2 ) hn ≤ V ≤
n
X
π maxnk (f 2 ) hn
k=1
De optredende sommen zijn ondersommen sn en bovensommen Sn op het interval [a, b] van de
functie π(f (x))2 voor een verdeling in n deelintervallen:
sn =
n
X
π minnk (f 2 ) hn
k=1
205
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Sn =
n
X
π maxnk (f 2 ) hn
k=1
Het gezochte volume V ligt voor elke n tussen de ondersom sn en de bovensom Sn . Maar omdat
πf 2 een continue functie is, is de Riemannintegraal
Z b
π(f (x))2 dx
a
het enige getal dat voor elke n tussen sn en Sn ligt. Bijgevolg definiëren we het volume V van
het omwentelingslichaam als deze Riemannintegraal. We zullen deze definitie ook aannemen in
het geval dat f niet alleen positieve, maar mogelijk ook negatieve waarden aanneemt op [a, b].
De functiewaarde f (x) komt immers toch met een kwadraat voor in de Riemannintegraal, zodat
het teken geen rol speelt.
Definitie 9.6. Indien f : [a, b] → R een continue functie is, dan definiëren we het volume van
het omwentelingslichaam, dat ontstaat door de grafiek van f te laten wentelen om de x-as, als
Z b
V =π
(f (x))2 dx
(9.4)
a
Voorbeeld. We controleren in het geval van een kegel dat de definitie inderdaad overeenkomt
met de welgekende formule voor het volume een kegel. We verwijzen weer naar Figuur 9.28 en
berekenen het volume met formule (9.4) waarin f (x) = mx:
V =π
Z
b
2
(mx) dx = πm
0
2
Z
b
x 2 dx = πm2
0
Dit komt inderdaad overeen met de welgekende formule
1
b3
π(mb)2 b
=
3
3
1
(oppervlakte grondvlak) × (hoogte)
3
want b is de hoogte en π(mb)2 is de oppervlakte van de grondcirkel omdat mb de straal is van
deze grondcirkel.
Met de definitie 9.6 kunnen we nu volumes uitrekenen van meer algemene omwentelingslichamen,
zoals volgend voorbeeld toont.
Voorbeeld. Figuur 9.30 toont het omwentelingslichaam dat ontstaat door de grafiek van de
sinusfunctie op het interval [−1, π + 1] te laten wentelen om de x-as. We berekenen het volume
206
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
van dit lichaam.
Z π+1
Z
V =π
sin2 xdx = π
−1
π+1
−1
1 − cos 2x
dx
2
π
=
2
Z
π
=
2
!
π
=
2
π+1
−1
1dx −
Z
π+1
cos 2xdx
−1
"
sin 2x π+1
(π + 2) −
2 −1
sin(2π + 2) − sin(−2)
(π + 2) −
2
π
sin(2) + sin(2)
=
(π + 2) −
2
2
=
π
(π + 2 − sin(2))
2
Figuur 9.30: Voorbeeld van een volume van een omwentelingslichaam
Oppervlakte van een omwentelingslichaam
In deze paragraaf zullen we een wiskundig model ontwikkelen voor de oppervlakte van een omwentelingslichaam. We bedoelen hier de zgn. ’manteloppervlakte’ met de oppervlakte van de
zij-vlakken niet meegerekend. Bij de rechte en cirkelvormige kegel voorgesteld in Figuur 9.31
bijvoorbeeld rekenen we alleen het donkerste gedeelte bij de manteloppervlakte en niet de oppervlakte van de grondcirkel.
Zoals bij de vorige modellen zullen we de gezochte oppervlakte proberen te benaderen met
gekende oppervlaktes, en dan de benadering steeds beter laten worden. We zouden kunnen te
werk gaan zoals we deden bij het model voor het volume van een omwentelingslichaam en in een
deelinterval [xk−1 , xk ] het lichaam vervangen door een cirkelvormige cilinder met als straal van de
grondcirkel de kleinste of de grootste functiewaarde van f op [xk−1 , xk ]. We zullen echter tonen
dat dit een niet bruikbaar model levert omdat dit model zelfs voor een kegel niet de gewenste
oppervlakte geeft.
De manteloppervlakte van een benaderende, rechte en cirkelvormige cilinder zoals in Figuur
9.29(a) is eenvoudig te berekenen als de oppervlakte van een rechthoek met hn en 2πminnk f , de
omtrek van de grondcirkel, als lengte en breedte:
hn × 2πminnk f
207
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Figuur 9.31: Manteloppervlakte van een kegel
Bij de kegel wordt de functie van welke we de grafiek laten wentelen gegeven door f (x) = (R/b)x.
De kleinste functiewaarde op elk interval [xk−1 , xk ] is voor deze functie steeds de waarde in het
beginpunt:
minnk f = (R/b)xk−1
Zo wordt de oppervlakte van een benaderende cilinder gegeven door
2π(R/b)xk−1 hn
Door nu al deze zijdelingse oppervlaktes van benaderende cilinders op te tellen, krijgen we
n
X
2π(R/b)xk−1 hn
(9.5)
k=1
als benadering van de manteloppervlakte van de kegel. Voor elke waarde van n ∈ N0 is de
som (9.5) een ondersom van de functie 2π(R/b)x op het interval [0, b] voor een verdeling in n
deelintervallen. Deze rij van ondersommen convergeert voor n → ∞ naar de Riemannintegraal
Z b
2π(R/b)xdx
0
Verwachten we nu dat in het zo gebouwde model de som van oppervlaktes van de cilinders de
gezochte oppervlakte steeds beter benadert als n → ∞, dan zouden we de vorige Riemannintegraal als definitie nemen van de oppervlakte van de kegel in Figuur 9.31. De oppervlakte zou
dan gegeven worden door
Z b
Z b
b2
(9.6)
xdx = 2π(R/b) = πRb
2π(R/b)xdx = 2π(R/b)
2
0
0
We zullen hierna de manteloppervlakte van de kegel in Figuur 9.31 uitrekenen aan de hand van
meetkundige eigenschappen en aan de hand van oppervlaktes en omtrekken van cirkels en vaststellen dat (9.6) niet het juiste resultaat geeft. We zullen daaruit besluiten dat de benaderende
cilinders geen goed model leveren voor de manteloppervlakte van een omwentelingslichaam.
208
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
De manteloppervlakte van een kegel
Ontvouwen we de kegel voorgesteld in Figuur 9.31, dan ontstaat een vlakke cirkelsector. De
hoek α stelt de openingshoek van deze cirkelsector voor en r noemt men de hellingshoogte. De
manteloppervlakte van de kegel dient dan uiteraard gelijk te zijn aan de vlakke oppervlakte van
α
van de oppervlakte
deze cirkelsector. De vlakke oppervlakte van de cirkelsector is de fractie 2π
2
πr van de cirkel met straal r . De manteloppervlakte van de kegel is dus
α 2 1 2
πr = αr
2π
2
We willen deze manteloppervlakte uitdrukken in functie van de gegevens R en r van de kegel.
Daarom zoeken we eerst een verband tussen de hoek α en deze gegevens.
r
α
Figuur 9.32: Manteloppervlakte van een kegel
De lengte van het cirkelvormige gedeelte van de cirkelsector is de fractie
omtrek van de cirkel met straal r , en bijgevolg
lengte van het cirkelvormige gedeelte van de cirkelsector =
α
2π
van de volledige
α
2πr = αr
2π
De omtrek van de grondcirkel van de kegel wordt gegeven door
omtrek grondcirkel = 2πR
Het is duidelijk dat de omtrek van de grondcirkel van de kegel gelijk is aan de lengte van het
cirkelvormige gedeelte van de cirkelsector en dus volgt
αr = 2πR
De manteloppervlakte van de kegel kunnen we nu uitdrukken in functie van de gegevens van de
kegel:
1
(9.7)
manteloppervlakte van de kegel = (2πR/r )r 2 = πRr
2
Dit verschilt van de formule (9.6) en het wiskundig model dat tot aanleiding gaf tot (9.6) is dus
niet bruikbaar. De manteloppervlakte van de cilinders die we in het model gebruikten, benaderen
onvoldoende goed de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam. We zullen een ander
model opstellen voor de manteloppervlakte, waarbij we het omwentelingslichaam niet langer
benaderen met cilinders, maar wel met afgeknotte kegels die beter aansluiten bij de vorm van
het omwentelingsoppervlak. We zullen eerst een formule opstellen voor de manteloppervlakte
van een afgeknotte kegel.
209
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Figuur 9.33: Manteloppervlakte van een afgeknotte kegel
De manteloppervlakte van een afgeknotte kegel
Beschouw een afgeknotte kegel zoals in Figuur 9.33. De kleine kegel heeft als hoogte b1 en als
straal van de grondcirkel R1 . De grote kegel heeft als hoogte b2 en als straal van de grondcirkel
R2 . De hellingshoogtes van de twee kegels zijn r1 en r2 . Voor de manteloppervlakte van de afgeknotte kegel trekken we de manteloppervlakte van de kleine kegel af van de manteloppervlakte
van de grote kegel en wegens (9.7) vinden we dus
π(R2 r2 − R1 r1 )
voor de manteloppervlakte van de afgeknotte kegel met hoogtes b1 en b2 en met grondcirkels met
stralen R1 en R2 . De getallen R1 /r1 en R2 /r2 zijn beide gelijk aan de sinus van de openingshoek
φ van de kegel en deze twee getallen zijn dus gelijk aan elkaar:
R1 /r1 = R2 /r2 en dus R1 r2 = R2 r1
Hieruit volgt
(R1 + R2 )(r2 − r1 ) = R2 r2 − R1 r1
en dus wordt de manteloppervlakte van de afgeknotte kegel gegeven door de formule
π(R1 + R2 )(r2 − r1 )
(9.8)
Het is deze laatste formule die we zullen gebruiken in ons wiskundig model voor de manteloppervlakte van een omwentelingslichaam. De uitdrukking r2 − r1 noemt men de hellingshoogte
van de kegel.
De manteloppervlakte van een omwentelingslichaam
Beschouw weer een omwentelingslichaam zoals in Figuur 9.27. Net zoals in het model voor de
lengte van een grafiek, zullen we ook in het model voor de manteloppervlakte gebruik maken van
210
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
raaklijnen. We veronderstellen dat de functie f continu differentieerbaar is op [a, b].
Om eerst een benadering op te stellen voor de manteloppervlakte van dit omwentelingslichaam,
verdelen we weer het interval [a, b] in n deelintervallen (n ∈ N0 ) van gelijke lengte hn = (b−a)/n.
De verdelingspunten in het interval [a, b] zijn dan weer
x0 = a, x1 = a + hn , x2 = a + 2hn , ..., xk = a + khn , ..., xn−1 = a + (n − 1)hn , xn = b
In elk van de deelintervallen [xk−1 , xk ] beschouwen we het midden ck = (xk−1 + xk )/2 en we
beschouwen de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (ck , f (ck )) en we beperken deze raaklijn
tot het lijnstuk tussen de verticalen x = xk−1 en x = xk . Door omwenteling van dit lijnstuk
ontstaat een afgeknotte kegel zoals voorgesteld in Figuur 9.34. We zullen de manteloppervlakte
van deze afgeknotte kegel gebruiken als benadering van de manteloppervlakte van het gedeelte
van het omwentelingslichaam dat gelegen is tussen de verticalen x = xk−1 en x = xk .
Figuur 9.34: Benadering van de manteloppervlakte van een omwentelingslichaam
De raaklijn aan de grafiek van f in het punt (ck , f (ck )) heeft als vergelijking
y = f (ck ) + f ′ (ck )(x − ck )
Bijgevolg wordt de straal van de grondcirkel bij x = xk van de afgeknotte kegel gegeven door
R2 = f (ck ) + f ′ (ck )(xk − ck ) = f (ck ) + f ′ (ck )hn /2
Op dezelfde manier wordt de straal van de grondcirkel bij x = xk−1 van de afgeknotte kegel
gegeven door
R1 = f (ck ) + f ′ (ck )(xk−1 − ck ) = f (ck ) − f ′ (ck )hn /2
Het hoogteverschil tussen deze twee stralen is dus
R2 − R1 = (f (ck ) + f ′ (ck )hn /2) − (f (ck ) − f ′ (ck )hn /2) = f ′ (ck )hn
211
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
en dus levert de stelling van Pythagoras voor de hellingshoogte van de afgeknotte kegel
q
p
(hn2 ) + (f ′ (ck )hn )2 = 1 + (f ′ (ck ))2 hn
Formule (9.8) geeft dan als manteloppervlakte voor de afgeknotte kegel
p
π(R1 + R2 ) × hellingshoogte = π(2f (ck )) 1 + (f ′ (ck ))2 hn
Door deze manteloppervlaktes van de benaderende afgeknotte kegels over de n deelintervallen
bij elkaar op te tellen, vinden we
n
X
k=1
2πf (ck )
p
1 + (f ′ (ck ))2 hn
als benadering van de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam. Als we de beschreven
benadering maken met steeds meer afgeknotte kegels, dan verkleint de hoogte van deze kegels en
nadert deze hoogte naar 0. Enerzijds willen we dat deze sommen de oppervlakte van het omwentelingslichaam dan willekeurig goed benaderen. Anderzijds zijn deze sommen Riemannsommen
van de functie
p
2πf (x) 1 + (f ′ (x))2
en convergeert de rij van deze Riemannsommen dus naar de bepaalde integraal
Z b
p
2πf (x) 1 + (f ′ (x))2 dx
(9.9)
a
Het wiskundig model dat we opgesteld hebben geeft dus de vorige integraal voor de berekening
van de manteloppervlakte van een omwentelingslichaam. Vooraleer met dit model verder te
gaan, controleren we het op enkele voorbeelden.
Voorbeelden.
1. Beschouwen we weer de rechte cirkelvormige kegel die ontstaat door wenteling om de x-as
van y = (R/b)x tussen a = 0 en b, dan levert de integraal (9.9):
Z b
p
p
p
b2
2π(R/b) 1 + (R/b)2
= πR R2 + b2 = πRr
xdx = 2π(R/b) 1 + (R/b)2
2
0
Dit resultaat geeft inderdaad de manteloppervlakte die we vonden in (9.7).
2. We testen ons model op de oppervlakte van een sfeer met straal R. Deze ontstaat door
wenteling om de x-as van de grafiek van de functie
p
[−R, R] → R : x 7→ R2 − x 2
Omdat deze functie niet differentieerbaar is in de randpunten van [−R, R], is ons model
niet van toepassing. Daarom beschouwen we een klein, maar strikt positief, getal δ > 0
en beschouwen de functie
p
f : [−R + δ, R − δ] → R : x 7→ R2 − x 2
Door wenteling om de x-as van de grafiek van deze functie, verkrijgen we niet de volledige
sfeer, we missen twee stukjes helemaal links en helemaal rechts (Figuur 9.35).
212
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Wel is de functie f nu continu differentieerbaar op [−R + δ, R − δ] en de afgeleide wordt
in elk punt van [−R + δ, R − δ] gegeven door
−2x
−x
f ′ (x) = √
=√
2
2
2 R −x
R2 − x 2
We kunnen nu de integraal (9.9) uitrekenen en we vinden:
s
r
2
Z R−δ
Z R−δ p
p
−x
x2
2π R2 − x 2 1 + √
R2 − x 2 1 + 2
dx = 2π
dx
R − x2
R2 − x 2
−R+δ
−R+δ
= 2π
= 2π
= 2π
Z
Z
Z
R−δ
−R+δ
R−δ
−R+δ
r
p
R2
p
R2 − x 2 √
−
x2
R2
dx
R2 − x 2
R
dx
R2 − x 2
R−δ
Rdx
−R+δ
= 2πR(2R − 2δ) = 4πR2 − 4πRδ
Figuur 9.35: Oppervlakte van een sfeer
213
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Om de manteloppervlakte te bekomen van de volledige sfeer, nemen we van vorig resultaat
de limiet δ → 0:
lim (4πR2 − 4πRδ) = 4πR2
δ→0
Dit is inderdaad het klassieke resultaat voor de oppervlakte van een sfeer.
De integraal (9.9) geeft in de vorige twee voorbeelden inderdaad de oppervlaktes die klassiek
gekend zijn, en we beslissen dus om bij het gemaakte model te blijven. We stellen dan ook de
volgende definitie.
Definitie 9.7. Als we de grafiek van een continu differentieerbare functie f : [a, b] → R laten
wentelen om de x-as, dan definiëren we de (mantel)oppervlakte van het omwentelingslichaam
als de bepaalde integraal
Z b
p
2πf (x) 1 + (f ′ (x))2 dx
a
Voorbeeld. Beschouw het omwentelingslichaam, voorgesteld in Figuur 9.36 dat ontstaat door
de grafiek van de sinusfunctie op het interval [0, π] te laten wentelen om de x-as. We berekenen
de manteloppervlakte van het lichaam. We maken hierbij gebruik van de primitieve functie
Z p
p
1 p
1 u 2 + 1dx = u u 2 + 1 + ln u + u 2 + 1 + C
2
2
Z π
Z
1
p
p
2π(sin x) 1 + (− cos x)2 dx = 2π
1 + u 2 du
0
−1
(u = − cos x en du = sin xdx)
= 2π
=π
√
1
p
1 1 p 2
2
u u + 1 + ln u + u + 1 2
2
−1
2 + ln(1 +
√
2) +
√
√ √
1+ 2
√
= π 2 2 + ln
−1 + 2
2 − ln(−1 +
√ 2)
9.5
Veralgemeningen van de Riemannintegraal
De Riemannintegraal werd ingevoerd voor functies die continu zijn met een gesloten interval
[a, b] als domein. In praktijk is het dikwijls nodig dit begrip van integraal te veralgemenen
naar functies die niet noodzakelijk continu zijn in alle punten van [a, b] en naar functies die als
domein een halfrechte hebben in plaats van een gesloten interval. We bespreken hier enkele veel
voorkomende uitbreidingen van de Riemannintegraal.
214
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Figuur 9.36: Voorbeeld van een manteloppervlakte van een omwentelingslichaam
De Riemannintegraal voor stuksgewijs continue functies op een gesloten interval
Soms komt men functies op een gesloten interval [a, b] tegen die niet continu zijn maar die
wel in zekere zin een ’unie’ zijn van een eindig aantal continue functies. Het zijn functies die
een eindig aantal discontinuïteitspunten hebben en die in elk discontinuïteitspunt een linkeren rechterlimiet in R hebben. We noemen dergelijke functies stuksgewijs continu. Beschouw
bijvoorbeeld de functie f : [−4, 5] → R op het interval [−4, 5] gedefinieerd door

5 als x = −4



2

x + 4x + 3 als − 4 < x ≤ −3



x + 7/2 als − 3 < x < 1
f (x) =
1 als x = 1



x als 1 < x ≤ ln 5

e



e −x/5 als ln 5 < x ≤ 5
De grafiek van deze functie wordt voorgesteld in Figuur 9.37.
y
f
x
−4 −3
1ln 5
5
Figuur 9.37: Voorbeeld van een stuksgewijs continue functie
Deze functie is niet continu op [−4, 5] want heeft discontinuïteitspunten in −4, −3, 1 en ln 5.
In de discontinuïteitspunten −3, 1 en ln 5 bestaat telkens wel de linker- en rechterlimiet in R
215
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
en in het randpunt −4 bestaat de rechterlimiet in R. De linker- en rechterlimieten kunnen in
een discontinuïteitspunt uiteraard verschillend zijn. Ook kan de functiewaarde in een discontinuïteitspunt verschillend zijn van de linker- en rechterlimiet. De aanwezigheid van een eindig
aantal discontinuïteiten in [a, b] waarin de rechter- en linkerlimiet bestaan, drukken we uit met
de volgende wiskundige definitie.
Definitie 9.8. Een functie f : [a, b] → R noemen we stuksgewijs continu indien er een eindig
aantal punten c0 , c1 , ..., cn bestaat zodat a = c0 < c1 < c2 < ... < cn = b en zodat op elk open
interval ]ck−1 , ck [ (1 ≤ k ≤ n) de functie f samenvalt met een functie fk die continu is op het
gesloten interval [ck−1 , ck ].
Hernemen we vorig voorbeeld, dan stellen we inderdaad vast dat er continue functies f1 op
[−4, −3], f2 op [−3, 1], f3 op [1, ln 5] en f4 op [ln 5, 5] bestaan zodat
• f samenvalt met f1 op het open interval ] − 4, −3[,
• f samenvalt met f2 op het open interval ] − 3, 1[,
• f samenvalt met f3 op het open interval ]1, ln 5[,
• f samenvalt met f4 op het open interval ] ln 5, 5[.
In dit voorbeeld geldt c0 = −4, c1 = −3, c2 = 1, c3 = ln 5, c4 = 5 en
f1 : [−4, −3] → R : x 7→ x 2 + 4x + 3,
f2 : [−3, 1] → R : x 7→ x + 7/2,
f3 : [1, ln 5] → R : x 7→ e x
en
f4 : [ln 5, 5] → R : x 7→ e −x/5
De functies f1 , f2 , f3 en f4 worden voorgesteld in Figuur 9.38.
y
f3
f1
f2
f4
x
−4 −3
1ln 5
5
Figuur 9.38: Voorbeeld van een stuksgewijs continue functie
We breiden nu de Riemannintegraal op voor de hand liggende manier uit naar functies die
stuksgewijs continu zijn op een gesloten interval.
216
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Definitie 9.9. Voor een stuksgewijs continue functie f : [a, b] → R die op elk open interval
]ck−1 , ck [ (1 ≤ k ≤ n) samenvalt met een functie fk die continu is op het gesloten interval
[ck−1 , ck ], definiëren we de Riemannintegraal van f op [a, b] als
Z
b
f (x)dx =
a
n Z
X
ck
fk (x)dx
k=1 ck−1
R ck
Merk op dat de Riemannintegralen ck−1
fk (x)dx in de vorige definitie goed gedefinieerd zijn
en gewone Riemannintegralen zijn van een continue functie op een gesloten interval. Men kan
bewijzen dat de som van integralen in de vorige definitie niet afhangt van de keuze van de punten
ck en van de continue functies fk , zolang f maar samenvalt met fk op ]ck−1 , ck [ en fk continu
is op het gesloten interval [ck−1 , ck ], voor elke k van 1 tot n.
Voorbeeld. We kunnen nu de Riemannintegraal berekenen van de stuksgewijs continue functie
f op [−4, 5] uit vorig voorbeeld:
Z
5
f (x)dx
=
−4
=
=
Z
Z
−3
f1 (x)dx +
−4
−3
Z
1
f2 (x)dx +
−3
(x 2 + 4x + 3)dx +
−4
4
+ 10 + (5 − e) − 5
3
Z
Z
ln 5
f3 (x)dx +
1
1
(x + 7/2)dx +
−3
1
1
−√
5
e
5
Z
Z
5
f4 (x)dx
ln 5
ln 5
e x dx +
1
Z
5
e −x/5 dx
ln 5
Oneigenlijke integralen van Type I: functies op een halfrechte
Beschouw de continue functie
f : [0, +∞[→ R : x 7→ e −x/3
en het gebied G, ingekleurd in Figuur 9.39, begrensd door de x-as, de grafiek van f en de
verticale x = 0.
y
e−x/3
x
Figuur 9.39: Oppervlakte van een onbegrensd gebied
Dit gebied is onbegrensd in de zin dat het niet volledig omvat kan worden in een schijf of een
vierkant. Toch kunnen we in zekere zin een eindig getal als oppervlakte toekennen aan dit
onbegrensd gebied. Beschouw namelijk het deelgebied (Figuur 9.40) begrensd door de x-as, de
grafiek van f , de verticale x = 0 en een verticale x = b met b een positief reëel getal.
217
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
y
e−x/3
x
b
Figuur 9.40: Oneigenlijke integraal van Type I
Omdat e −x/3 een continue functie definieert op het gesloten interval [0, b], wordt de oppervlakte
van dit deelgebied gegeven door de bepaalde integraal
Z b
ib
h
e −x/3 dx = −3e −x/3 = −3 e −b/3 − 1 = 3 − 3e −b/3
0
0
We kunnen het gedrag onderzoeken van deze oppervlakte als we het getal b onbeperkt laten
toenemen en dus de rechtse verticale onbeperkt laten opschuiven:
Z b
lim
e −x/3 dx = lim 3 − 3e −b/3 = 3
b→+∞ 0
b→+∞
Gegeven een willekeurig kleine afwijking ε > 0, hebben de deelgebieden blijkbaar een oppervlakte
die minder dan ε afwijkt van 3, van het ogenblik dat b groter dan een zeker getal genomen
wordt. Om die reden zullen we het getal 3 als oppervlakte toekennen aan het onbegrensd gebied
G. Dergelijke limiet zal niet voor alle functies en alle halfrechten bestaan in R, maar omdat in
dit geval de limiet bestaat in R zeggen we dat de oneigenlijke integraal
Z +∞
e −x/3 dx
0
convergeert. We noemen dergelijke integralen oneigenlijke integralen van Type I. Hetzelfde idee
wordt gebruikt om de integraal van een functie te definiëren op een halfrechte ] − ∞, b].
Definitie 9.10. Oneigenlijke integralen van Type I
1. Indien de functie f continu is op de halfrechte [a, +∞[, en indien de limiet
Rb
limb→+∞ a f (x)dx bestaat in R, dan stellen we
Z +∞
Z b
f (x)dx = lim
f (x)dx
a
b→+∞ a
R +∞
en we noemen de oneigenlijke integraal a f (x)dx convergent. Indien de limiet niet
R +∞
bestaat in R, noemen we de oneigenlijke integraal a f (x)dx divergent.
2. Indien de functie f continu is op de halfrechte ] − ∞, b], en indien de limiet
Rb
lima→−∞ a f (x)dx bestaat in R, dan stellen we
Z b
Z b
f (x)dx = lim
f (x)dx
−∞
en we noemen de oneigenlijke integraal
a→−∞ a
Rb
−∞ f
(x)dx convergent. Indien de limiet niet
Rb
bestaat in R, noemen we de oneigenlijke integraal −∞ f (x)dx divergent.
218
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
3. Indien de functie
f continuRis op R, en indien voor een zeker getal c de beide oneigenlijke
Rc
+∞
integralen −∞ f (x)dx en c f (x)dx convergeren, dan stellen we
Z
∞
f (x)dx =
−∞
Z
c
f (x)dx +
−∞
Z
+∞
f (x)dx
c
R +∞
en we noemen de oneigenlijke integraal −∞ f (x)dx convergent. Indien minstens één van
Rc
R +∞
beide oneigenlijke integralen −∞ f (x)dx en c f (x)dx divergeert, dan noemen we de
R +∞
oneigenlijke integraal −∞ f (x)dx divergent.
Men kan bewijzen dat het niet uitmaakt welk getal c menR neemt in geval 3 van vorige definitie:
+∞
noch de convergentie of divergentie, noch de waarde van −∞ f (x)dx verandert door een ander
getal c te nemen.
In het geval van een functie met uitsluitend positieve waarden (f ≥ 0) op het beschouwde
onbegrensde interval, kan elk van bovenstaande oneigenlijke integralen in geval van convergentie
geïnterpreteerd worden als oppervlakte van het onbegrensd gebied tussen de x-as en de grafiek
van de functie. Indien f ≥ 0 en de oneigenlijke integraal divergeert, dan zeggen we dat het
gebied tussen de grafiek van f en de x-as oneindige oppervlakte heeft.
Voorbeeld. We onderzoeken de convergentie van de oneigenlijke integraal
Z +∞
ln x
dx
x2
1
De oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van de functie y = (ln x)/x 2 tussen x = 1 en x = b
wordt gegeven door
Z
b
1
ln x
dx
x2
1
= (ln x) −
x
b
1
−
Z
b
1
1
−
x
1
dx
x
b
ln b
1
=−
−
b
x 1
=−
ln b 1
− +1
b
b
We onderzoeken nu de limiet voor deze oppervlakte als b → +∞:
Z b
ln x
ln b 1
lim
dx = lim −
− +1
b
b
b→+∞ 1 x 2
b→+∞
ln b
−0+1
= − lim
b→+∞ b
1/b
= − lim
+1
(l’Hôpital)
b→+∞ 1
=1
219
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Omdat de limiet bestaat in R en waarde 1 heeft, is de oneigenlijke integraal convergent en is
Z +∞
ln x
dx = 1
x2
1
Deze waarde wordt geïnterpreteerd als de oppervlakte van het onbegrensd gebied tussen de x-as
en de grafiek van ln x/x 2 gelegen aan de rechterkant van x = 1. Dit gebied wordt voorgesteld
in Figuur 9.41(a).
y
y
1
1
1 + x2
0.2
ln x
x2
0.1
0.5
x
1
2
3
4
5
x
6
−4 −3 −2 −1
(a) Een convergente oneigenlijke integraal op een
halfrechte
1
2
3
4
(b) Een convergente oneigenlijke integraal op R
Figuur 9.41: Oneigenlijke integralen van Type I
Voorbeeld. We onderzoeken of de oneigenlijke integraal
Z +∞
1
dx
2
−∞ 1 + x
convergeert.
We onderzoeken eerst of de beide oneigenlijke integralen
Z 0
1
dx
2
−∞ 1 + x
en
Z
convergeren.
lim
Z
a→−∞ a
0
+∞
0
1
dx
1 + x2
1
dx
1 + x2
= lim [Bgtg x]0a
a→−∞
= lim (Bgtg 0 − Bgtg a)
a→−∞
π π
=
=0− −
2
2
220
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Bijgevolg is de oneigenlijke integraal
R0
1
−∞ 1+x 2 dx
Z
0
−∞
convergent en
π
1
dx =
2
1+x
2
R +∞ 1
Een analoge berekening leert dat ook de oneigenlijke integraal 0 1+x
2 dx convergeert en dat
Z +∞
1
π
dx =
2
1+x
2
0
R +∞ 1
We besluiten dat de oneigenlijke integraal −∞ 1+x 2 dx convergeert en dat
Z +∞
Z 0
Z +∞
π π
dx
1
1
=
dx
+
dx = + = π
2
2
2
1
+
x
1
+
x
1
+
x
2
2
−∞
−∞
0
Omdat 1/(1+x 2 ) een positieve functie is, stelt π de oppervlakte voor van het onbegrensd gebied
tussen de x-as en de grafiek van 1/(1 + x 2 ).
Voorbeeld. We onderzoeken of de oneigenlijke integraal
Z +∞
1
dx
x
1
convergeert.
lim
Z
b
b→+∞ 1
1
dx
x
= limb→+∞ [ln x]b1
= lim (ln b − ln 1) = +∞
b→+∞
De oneigenlijke integraal is dus divergent. In dit geval zeggen we dus dat het onbegrensd gebied
tussen de x-as, de grafiek van 1/x en de verticale x = 1 een oneindige oppervlakte heeft.
Voorbeeld. We onderzoeken of de oneigenlijke integraal
Z +∞
1
dx
2
x
1
convergeert.
lim
Z
b→+∞ 1
b
1
dx
x2
= lim
= lim
b→+∞
b→+∞
De oneigenlijke integraal is dus convergent.
1
−
x
b
1
1
− +1
b
=1
De vorige twee voorbeelden zijn slechts twee oneigenlijke integralen uit de familie oneigenlijke
integralen
Z +∞
1
dx
xp
1
met parameter p ∈ R. We zullen in de volgende eigenschap bewijzen dat de functie y = 1/x
een grensgeval is tussen convergentie en divergentie van oneigenlijke integralen van deze vorm.
221
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
y
y
1
1
0.5
0.5
1
x
1
x2
x
1
5
x
1
10
(a) Een divergente oneigenlijke integraal
5
10
(b) Een convergente oneigenlijke integraal
Figuur 9.42: Oneigenlijke integralen van Type I
Eigenschap 9.9. Als p ∈ R dan geldt: de oneigenlijke integraal
p > 1 en divergeert indien p ≤ 1. In het geval p > 1 geldt
Z +∞
1
1
dx =
p
x
p−1
1
R +∞
1
1
x p dx
convergeert indien
Bewijs. We weten reeds dat in het geval p = 1 de oneigenlijke integraal divergent is. Als p 6= 1
dan geldt voor b > 1
−p+1 b
Z b
1
x
1
dx
=
−
1
.
=
p
−p + 1 1
1 − p bp−1
1 x
Bijgevolg geldt
lim
Z
b
b→+∞ 1
dx
xp
1
1
=
lim
−1
bp−1
b→+∞ 1 − p
1
1
lim
−1
=
1 − p b→+∞ bp−1
=
De laatste gelijkheid geldt omdat
lim
b→+∞
De oneigenlijke integraal
p < 1.
R +∞
1
1
x p dx
1
bp−1
=
1
p−1
+∞
0
+∞
als p > 1
als p < 1
als p > 1
als p < 1
convergeert dus met waarde
1
1−p
als p > 1 en divergeert als
222
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Enkele oneigenlijke integralen uit de vorige eigenschap worden voorgesteld in Figuur 9.43.
y
1.5
1
1
√
x
0.5
1
x
1
x2
x
1
5
10
Figuur 9.43: De familie functies 1/x p
Voorbeeld. De hoorn van Gabriël is het omwentelingslichaam, afgebeeld in Figuur 9.44, dat
ontstaat door de grafiek van
1
f : [1, +∞[→ R : x 7→
x
in de ruimte te laten wentelen om de x-as.
Figuur 9.44: De hoorn van Gabriël
De naam van dit lichaam verwijst naar de bazuin waarmee de aartsengel Gabriël het ’einde der
tijden inluidt’. Het lichaam wordt ook wel de ’trompet van Torricelli’ genoemd, Evangelista
Torricelli was namelijk een Italiaans wis- en natuurkundige die in het begin van de zeventiende
eeuw als eerste de wiskundige eigenschappen van dit lichaam onderzocht.
Het volume van de hoorn van Gabriël kan berekend worden met de oneigenlijke integraal
Z +∞ 2
Z +∞
1
1
π
dx
dx = π
x
x2
1
1
Dit volgt uit de formule (9.4), maar nu wordt als domein [1, +∞[ in plaats van [a, b] genomen.
223
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Wegens Eigenschap 9.9 met p = 2 is het volume van de hoorn van Gabriël dan
Z +∞
1
1
π
dx = π
=π
2
x
2−1
1
De hoorn van Gabriël heeft dus π als eindig volume. Merkwaardig genoeg is de manteloppervlakte
van de hoorn van Gabriël oneindig groot. De manteloppervlakte van het gedeelte tussen x = 1
en x = b wordt immers gegeven door
s
Z b
1 2
1
1+ − 2
dx
2π
x
1 x
en deze is groter dan
2π
Omdat
Z
b
1
1
dx = 2π ln b
x
lim 2π ln b = +∞
b→+∞
geldt ook
lim 2π
b→+∞
Z
b
1
1
x
s
1
1+ − 2
x
2
dx = +∞
en bijgevolg is de mateloppervlakte van de hoorn van Gabriël oneindig groot.
Wanneer de eigenschappen van de hoorn van Gabriël ontdekt werden, vond het men paradoxaal
dat de omwenteling van een oneindig lange grafiek toch een lichaam met eindig volume opleverde.
Omdat het volume eindig is en de omwentelingsoppervlakte eindig, vond het men bovendien
paradoxaal dat de hoorn van Gabriël zou kunnen gevuld worden met een eindige hoeveelheid verf
maar dat deze hoeveelheid niet zou volstaan om de mantel te verven.
De volgende eigenschap geeft een nodige en voldoende voorwaarde voor de convergentie van
een oneigenlijke integraal van Type I van een positieve functie.
Eigenschap 9.10.
1. AlsR f : [a, +∞[→ R een continue en positieve functie is, dan is de
+∞
oneigenlijke integraal a f (x)dx convergent enkel en alleen indien de verzameling van
bepaalde integralen
Z
b
f (x)dx
a
met b ≥ a een van boven begrensde verzameling getallen is.
2. Als f : ] − ∞, b] → R een continue en positieve functie is, dan is de oneigenlijke integraal
Rb
−∞ f (x)dx convergent enkel en alleen indien de verzameling van bepaalde integralen
Z
b
f (x)dx
a
met a ≤ b een van boven begrensde verzameling getallen is.
224
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Bewijs. De functie van de variabele b met voorschrift
Z b
F (b) =
f (x)dx
a
is stijgend omdat f positief is. Bijgevolg bestaat wegens Eigenschap 7.9 de limiet
lim F (b)
b→+∞
in R enkel en alleen indien de limiet
lim F (n)
n→+∞
bestaat in R. Deze laatste limiet bestaat omdat de rij (F (n))n stijgend is en van boven begrensd:
een bovengrens van de verzameling van bepaalde integralen
Z b
f (x)dx
a
is namelijk ook een bovengrens van de rij (F (n))n .
Convergentietests voor oneigenlijke integralen van Type I
Convergetietests laten toe om tot convergentie of divergentie van een oneigenlijke integraal te
besluiten zonder de limiet uit de definitie te onderzoeken. Men vergelijkt de integrand met de
integrand waarvan de oneigenlijke integraal een gekende convergentie of divergentie heeft.
Eigenschap 9.11. De vergelijkingstest voor oneigenlijke integralen van Type I
Indien f en g continue functies zijn op een halfrechte [a, +∞[ met 0 ≤ f (x) ≤ g(x) voor alle
x ≥ a, dan gelden:
R +∞
R +∞
1. a f (x)dx convergeert indien a g(x)dx convergeert
R +∞
R +∞
2. a g(x)dx divergeert indien a f (x)dx divergeert
Bewijs. Omdat voor b ≥ a geldt
Z
b
a
f (x)dx ≤
Z
b
g(x)dx
a
is de verzameling van bepaalde integralen
Z
b
f (x)dx
a
van boven begrensd indien de verzameling van bepaalde integralen
Z b
g(x)dx
a
van boven begrensd is.
225
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Voorbeelden.
(a) De oneigenlijke integraal
Z
+∞
1
sin2 x
dx
x2
convergeert omdat de oneigenlijke integraal
Z +∞
1
1
dx
x2
convergeert en omdat voor alle x ∈ [1, +∞[ geldt
0≤
(b) De oneigenlijke integraal
Z
1
sin2 x
≤ 2
2
x
x
+∞
1
√
1
dx
x 2 − 0.1
divergeert omdat de oneigenlijke integraal
Z +∞
1
1
dx
x
divergeert en omdat voor alle x ∈ [1, +∞[ geldt
√
x2
1
1
1
≥ √ = ≥0
2
x
− 0.1
x
y
y
1
sin2 x
x2
0
1
5
1
√
x 2 − 0.1
x
10
x
1
5
10
Figuur 9.45: Vergelijkingstest
226
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
(c) Soms kan men het convergentiegedrag van een oneigenlijke integraal onderzoeken zonder
de waarde van de oneigenlijke integraal te bepalen, maar wel met behulp van de Vergelijkingstest. Beschouw bijvoorbeeld de oneigenlijke integraal
Z +∞
2
e −x dx
0
Per definitie geldt
Z
+∞
e
−x 2
dx = lim
b
b→+∞ 0
0
Rb
Z
−x 2
2
e −x dx
maar de bepaalde integralen 0 e dx kunnen we echter niet uitrekenen met behulp
2
van de hoofdstelling van de integraalrekening omdat we geen primitieve functie van e −x
expliciet kunnen opschrijven. Vergelijken we de integrand bijvoorbeeld met de functie e −x ,
dan vinden we (zie Figuur 9.46)
2
∀x ∈ [1, +∞[: e −x ≤ e −x
y
e−x
2
e−1
e−x
1
2
3
4
5
6
x
7
Figuur 9.46: Vergelijkingstest voor oneigenlijke integralen van Type I
De oneigenlijke integraal
Z
+∞
e −x dx = e −1
1
convergeert omdat voor elke b ≥ 1 geldt dat
Z b
e −x dx = −e −b + e −1
1
en dus
lim
Z
b→+∞ 1
b
e −x dx = lim
b→+∞
−e −b + e −1 = e −1
227
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
De Vergelijkingstest 9.11 levert dan dat de oneigenlijke integraal
Z +∞
2
e −x dx
0
convergeert.
Eigenschap 9.12. De limiet vergelijkingstest voor oneigenlijke integralen van Type I
Indien f en g continue en positieve functies zijn op een halfrechte [a, +∞[ en als
f (x)
= L met 0 < L < +∞
x→+∞ g(x)
lim
dan geldt voor de oneigenlijke integralen
Z +∞
Z
f (x)dx en
a
+∞
g(x)dx
a
dat ze beide convergent of beide divergent zijn.
Bewijs. Neem een reëel getal c > a zodat voor alle x ≥ c geldt
f (x)
L
<
−
L
g(x)
2
Dan gelden voor alle x ≥ c
en
L
f (x)
>
g(x)
2
(9.10)
f (x)
3L
<
g(x)
2
(9.11)
Wegens (9.10) geldt voor alle x ≥ c
2
f (x) > g(x)
L
en bijgevolg is wegens de Vergelijkingstest de oneigenlijke integraal
Z +∞
g(x)dx
a
convergent indien de oneigenlijke integraal
Z
+∞
f (x)dx
a
convergeert. Wegens (9.11) geldt voor alle x ≥ c
f (x) <
3L
g(x)
2
228
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
en bijgevolg is wegens de Vergelijkingstest de oneigenlijke integraal
Z +∞
f (x)dx
a
convergent indien de oneigenlijke integraal
Z
+∞
g(x)dx
a
convergeert.
Merk op dat de limiet vergelijkingstest voor oneigenlijke integralen van Type I, in het geval dat
de beide oneigenlijke integralen convergeren, niet zegt dat de waarden van beide gelijk zijn. Dat
de beide waarden inderdaad niet gelijk hoeven te zijn, wordt getoond in volgend voorbeeld.
R +∞ 1
R +∞ 1
Voorbeeld. De oneigenlijke integralen 1 1+x
2 dx en 1
x 2 dx zijn beide convergent of beide
divergent wegens de limiet vergelijkingstest want
1
x2
x→+∞ 1 2
1+x
lim
1 + x2
=1
x→+∞
x2
= lim
y
1
0.5
1
x
1
x 2 +1
x
1
5
10
Figuur 9.47: Limiet vergelijkingstest voor oneigenlijke integralen van Type I
We kunnen in dit geval bewijzen dat beide oneigenlijke integralen convergeren en ze uitrekenen.
Ze hebben echter een verschillende waarde:
Z +∞
1
dx = 1
x2
1
229
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
en
Z
Inderdaad:
Z
en
lim
Z
+∞
1
b
b→+∞ 1
+∞
1
1
π
dx =
2
1+x
4
1
1
dx =
=1
2
x
2−1
(Eigenschap 9.9 )
dx
π π
π
= lim [Bgtg b − Bgtg 1] = − =
2
1+x
2
4
4
b→+∞
Oneigenlijke integralen van Type II: functies met een verticale asymptoot
Bij oneigenlijke integralen van Type II beschouwen we weer functies die continu zijn op een
halfopen interval, en waar er in een van de randpunten een verticale asymptoot optreedt. Het
gebied tussen de x-as en de grafiek van dergelijke functie is dan onbegrensd. Weer zullen we
met de convergentie van een oneigenlijke integraal uitdrukken dat in bepaalde gevallen toch een
eindig getal als oppervlakte aan dit onbegrensd gebied kan toegekend worden.
Voorbeeld. Beschouw de functie
1
f : ]0, 1] → R : x 7→ √
x
Deze functie is continu op het halfopen interval ]0, 1] en heeft een verticale asymptoot in 0.
Het gebied tussen x = 0 en x = 1 en begrensd door de x-as en de grafiek van f , voorgesteld in
Figuur 9.48(a) is onbegrensd.
y
y
2
5
√1
x
4
3
1
√1
x
2
1
x
a
1
x
1
(a)
2
(b)
Figuur 9.48: Oneigenlijke integralen van Type II
Beschouwen we een strikt positief getal a kleiner dan 1, dan is de functie f continu op het
gesloten interval [a, 1] en, omdat f positief is, wordt de oppervlakte van het gebied tussen x = a
en x = 1 en begrensd door de x-as en de grafiek van f gegeven door de bepaalde integraal
Z 1
√ x=1
√
1
√ dx = 2 x x=a = 2 − 2 a
x
a
230
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Door a te laten naderen naar 0, stellen we vast dat deze oppervlakte een limiet in R heeft:
Z 1
√
1
√ dx = lim (2 − 2 a) = 2
lim
a→0 a
a→0
x
>
>
Om deze reden zullen we zeggen dat de oppervlakte van het gebied tussen x = 0 en x = 1 en
begrensd door de x-as en de grafiek van f gelijk is aan 2. We zeggen ook dat de oneigenlijke
integraal
Z 1
1
√ dx
x
0
convergeert.
De werkwijze in vorig voorbeeld geeft aanleiding tot de volgende definities.
Definitie 9.11. Oneigenlijke integralen van Type II
1. Indien de functie f continu is op het halfopen interval ]a, b], een verticale asymptoot heeft
Rb
in x = a en indien de limiet limc→a c f (x)dx bestaat in R, dan stellen we
>
Z
b
f (x)dx = lim
c→a
a
>
Z
b
f (x)dx
c
Rb
en we zeggen dat de oneigenlijke integraal a f (x)dx convergeert. Indien de limiet
Rb
Rb
limc→a c f (x)dx niet bestaat in R, dan zeggen we dat de oneigenlijke integraal a f (x)dx
>
divergeert.
2. Indien de functie f continu is op hetRhalfopen interval [a, b[, een verticale asymptoot heeft
c
in x = b en indien de limiet limc→b a f (x)dx bestaat in R, dan stellen we
<
Z
b
f (x)dx = lim
a
c→b
<
Z
c
f (x)dx
a
Rb
en we zeggen dat de oneigenlijke integraal a f (x)dx convergeert. Indien de limiet
Rc
Rb
limc→b a f (x)dx niet bestaat in R, dan zeggen we dat de oneigenlijke integraal a f (x)dx
<
divergeert.
Weer zullen we bij convergentie, voor positieve functies, de waarde van de oneigenlijke integraal
interpreteren als een eindige oppervlakte van het onbegrensd gebied tussen de x-as en de grafiek.
Voorbeeld. We onderzoeken de convergentie van de oneigenlijke integraal
Z 1
1
dx
0 1−x
231
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
De integrand f (x) = 1/(1 − x) is continu op [0, 1[ en heeft een verticale asymptoot bij x = 1.
Bijgevolg onderzoeken we volgende limiet:
Z b
1
lim
dx = lim [− ln |1 − x|]b0
b→1 0 1 − x
b→1
<
<
= lim [− ln(1 − b) + 0] = +∞
b→1
<
De oneigenlijke integraal is dus divergent. We kennen dus aan het onbegrensd gebied, voorgesteld
in Figuur 9.49(a), geen eindig getal als oppervlakte toe.
y
y
10
20
15
1
1−x
5
1
(1−x)2/3
10
5
x
x
1
1
(a)
(b)
Figuur 9.49: Voorbeelden van oneigenlijke integralen van Type II
Voorbeeld. We onderzoeken de convergentie van de oneigenlijke integraal
Z 1
1
dx
2/3
0 (1 − x)
De integrand f (x) = 1/(1 − x)2/3 is continu op [0, 1[ en heeft een verticale asymptoot bij x = 1.
Bijgevolg onderzoeken we volgende limiet:
Z b
h
ib
1
1/3
dx = lim −3(1 − x)
lim
b→1
b→1 0 (1 − x)2/3
0
< h
<
i
= lim −3(1 − b)1/3 + 3 = 3
b→1
<
De oneigenlijke integraal is dus convergent. We kennen dus aan het onbegrensd gebied, voorgesteld in Figuur 9.49(b), het getal 3 als oppervlakte toe.
Oneigenlijke integralen van Type II: uitbreidingen
Ook indien een functie f op een gesloten interval in meerdere punten, maar een eindig aantal,
verticale asymptoten heeft en continu is in alle andere punten van [a, b], kan men een uitbreiding
van de integraal van f op [a, b] beschouwen. Men verdeelt het gesloten interval [a, b] dan in een
eindig aantal deelintervallen
[a, c1 ], [c1 , c2 ], [c2 , c3 ], ..., [cn−1 , cn ], [cn , b]
232
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
met a ≤ c1 < c2 < c3 < ... < cn−1 < cn ≤ b zodat in elk van deze deelintervallen de functie f
een verticale asymptoot heeft in precies een van de twee eindpunten. De oneigenlijke integralen
Z c1
Z c2
Z c3
Z cn
Z b
f (x)dx,
f (x)dx,
f (x)dx, ...,
f (x)dx,
f (x)dx
a
c1
c2
cn−1
cn
zijn dan alle van Type II zoals hiervoor gedefinieerd. Men zegt dan dat de oneigenlijke integraal
van f op het gesloten interval [a, b] convergeert indien al deze oneigenlijke integralen van Type
II convergeren en men definieert dan de oneigenlijke integraal van f op [a, b] als
Z
b
f (x)dx =
a
Z
c1
f (x)dx +
a
Z
c2
f (x)dx +
c1
Z
c3
f (x)dx + ... +
c2
Z
cn
f (x)dx +
cn−1
Z
b
f (x)dx
cn
In het geval dat minstens een van de oneigenlijke integralen op de deelintervallen divergeert,
zeggen we dat de oneigenlijke integraal van f op [a, b] divergeert.
y
20
15
1
(x−1)2
√
3
10
5
x
1
2
3
Figuur 9.50: Oneigenlijke integralen van Type II: uitbreiding
Voorbeeld. We onderzoeken de convergentie van de oneigenlijke integraal
Z 3
1
p
dx
3
(x − 1)2
0
De integrand heeft een verticale asymptoot in x = 1 en is continu in alle andere punten van
[0, 3]. Bijgevolg onderzoeken we eerst de convergentie van de twee oneigenlijke integralen
Z
1
0
en
Z
3
1
1
p
dx
3
(x − 1)2
1
p
dx
3
(x − 1)2
233
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
Voor de eerste van deze oneigenlijke integralen onderzoeken we volgende limiet:
Z b
ib
h
1
1/3
p
dx
=
lim
3(x
−
1)
lim
b→1
b→1 0 3 (x − 1)2
0
< h
<
i
= lim 3(b − 1)1/3 + 3 = 3
b→1
<
Bijgevolg is de eerste oneigenlijke integraal convergent en de waarde is 3. Voor de tweede
oneigenlijke integraal onderzoeken we volgende limiet:
Z 3
h
i3
1
1/3
p
lim
dx = lim 3(x − 1)
c→1 c 3 (x − 1)2
c→1
c
>
> h
i
√
3
= lim 3(3 − 1)1/3 − 3(c − 1)1/3 = 3 2
c→1
>
√
Bijgevolg is ook de tweede oneigenlijke integraal convergent en de waarde is 3 3 2. We kunnen
1
op het interval [0, 3] convergeert en
besluiten dat de oneigenlijke integraal van f (x) = √
3
2
(x−1)
dat
Z
9.6
3
0
1
p
3
(x − 1)2
dx =
Z
1
0
1
p
dx +
3
(x − 1)2
De errorfunctie van Gauss
Z
3
1
√
1
3
p
dx = 3 + 3 2
3
(x − 1)2
We bespreken hier kort de zgn. ’functie van Gauss’. Deze functie wordt gedefineerd als een
bepaalde integraal met variabele bovengrens en ze speelt een zeer belangrijke rol in vele toepassingen en in de statistiek.
Definitie 9.12. De errorfunctie van Gauss is de functie erf gedefinieerd voor x ∈ R door
Z x
2
2
e−t dt
erf(x) = √
π 0
Voor elk strikt positief reëel getal x geeft erf(x) de oppervlakte weer van het gebied tussen
2
de x-as en de grafiek van de ’klokfunctie’ √2π e−t , tussen de y -as en de verticale door (x, 0).
Dergelijke oppervlakte wordt voorgesteld in Figuur 9.51. Voor een strikt negatief reëel getal x
geeft erf(x) het tegengestelde van deze oppervlakte. De functie erf is dus oneven.
2
Merk op dat we de waarde erf(x) niet verder kunnen uitrekenen omdat we van de functie e−t
geen primitieve functie kennen die kan uitgedrukt worden met de ons bekende standaardfuncties.
Er worden in de praktijk soms tabellen gebruikt die benaderde waarden geven van erf(x).
Wegens de Hoofdstelling van de Calculus is de errorfunctie van Gauss erf een primitieve functie
van
2
2
√ e−x
π
en dus:
∀x ∈ R :
derf(x)
2
2
= √ e−x
dx
π
(9.12)
234
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
2
√2 e −t
π
erf(x )
t
0
x
Figuur 9.51: De waarde van erf(x) als oppervlakte onder
2
√2 e−t
π
Wegens (9.12) heeft de functie erf een strikt positieve afgeleide in elk getal van haar domein.
Bijgevolg is erf een strikt stijgende functie. In de vervolgcursus ’Wiskunde: gevorderde analyse
en meetkunde’ zullen we aan de hand van dubbelintegralen kunnen aantonen dat
lim erf(x) = 1
x→+∞
Dan geldt ook
lim erf(x) = −1
x→−∞
In Figuur 9.52 wordt de grafiek van de errorfunctie van Gauss getekend. Een grafiek met
dergelijke vorm wordt een ’sigmoïde’ genoemd.
1
x
0
erf(x )
−1
Figuur 9.52: De errorfunctie van Gauss
De errorfunctie van Gauss is nauw verwant met de verdelingsfunctie Φ van een normaal verdeelde
toevalsvariabele, met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. De waarde
Z x
t2
1
e− 2 dt
Φ(x) = √
2π −∞
van deze verdelingsfunctie in een reëel getal x geeft de kans dat de toevalsvariabele een waarde
aanneemt die niet groter is dan x. In Figuur 9.53 wordt deze kans voorgesteld als oppervlakte
t2
tussen de x-as en de grafiek kvan de functie √12π e− 2 .
Het verband tussen de errorfunctie van Gauss en de verdelingsfunctie Φ wordt gegeven door
√
erf(x) = 2Φ( 2x) − 1
235
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
2
t
√1 e − 2
2π
Φ(x )
t
0
x
Figuur 9.53: De verdelingsfunctie Φ van een standaard normaal verdeelde toevalsvariabele
Inderdaad:
2Φ( 2x) − erf(x) =
r
2
π
Z
=
r
2
π
Z
r
2
π
Z
r
2
π
√
=
=
1
2
√
2x
2
− t2
e
−∞
√
2x
2
− t2
e
−∞
0
2
dt − √
π
Z
x
2
e−t dt
0
2 1
dt − √ √
π 2
Z
√
2x
u2
e− 2 du (u =
√
2t, du =
√
2dt)
0
t2
e− 2 dt
−∞
Z
+∞
t2
e− 2 dt
−∞
Dit laatste resultaat is gelijk aan 1 omdat
lim erf(x) = 1
x→+∞
We vermelden nog dat in toepassingen ook nog de volgende verwante functie voorkomt van de
errorfunctie van Gauss, de zgn. complementary error function:
Z +∞
2
2
e−t dt
erfc(x) = 1 − erf(x) = √
π x
236
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
9.7
Oefeningen bij Hoofdstuk 9
1. Bepaal met de definitie de volgende bepaalde integralen:
Z 1
(a)
(1 − x 2 ) dx
0
(b)
(c)
Z
Z
3
(2x) dx
0
1
ex dx
0
2. Bepaal de volgende integralen:
Z 2
(a)
(2 + x) dx
0
Z 2
(b)
(2 − x)2 dx
0
Z 4
√
(c)
(1 − u) udu
Z1 8
√
1 + 3x dx
(d)
Z1 2
(e)
x 2 (x 3 + 1) dx
Z0 3
1
√
dx
(f)
1+x
Z0 1
√
x(1 − x)2 dx
(g)
Z0 8
x
√
dx
(h)
2
Z4 a px − 15
(i)
a2 − x 2 dx
(j)
(b)
(c)
(d)
−π/4
Z 3π
2
3 cos x sin x dx
Z2π1
−1
Z 0
3
4 3
t (1 + t ) dt
√ t(t
− 7
2
1
x2
−1
0
p
4 − x 2 dx
x3
dx
2
− 21 x + x + 1
Z 4√
16 − x 2
dx
(l)
x
2
Z 27
1
(m)
dx
x − x 1/3
8
Z 1
(n)
ln(x 2 + 1) dx
(k)
Z
(o)
Z
0
(p)
Z
(q)
Z
0
3. Bepaal de volgende integralen:
Z 0
(a)
tan x sec2 x dx
Z
(e)
(f)
(g)
Z
Z
Z
2π
sin
0
π/3
1
t
2
dt
x 2 sin 3x dx
0
π/2
1
dx
3 + cos 2x
0
0
1p
t 5 + 2t(5t 4 + 2) dt
π/6
cos−3 2θ sin 2θdθ
0
π
0
5(5 − 4 cos t)1/4 sin t dt
+ 1)1/3 dx
237
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
4. Bepaal de oppervlakte van de gebieden begrensd door de volgende krommen:
(a) y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 5
(g) y = 25 − x 2 , 256x = 3y 2 , 16y = 9x 2
(h) y = x 2 − 4, y = 8 − 2x 2
(b) y = x 3 , y = 0, x = 1, x = 3
(i) y = x 4 − 4x 2 , y = 4x 2
(c) y = 4x − x 2 , y = 0, x = 1, x = 3
(d) x = 1 + y 2 , x = 10
(j) y = ex , y = e−x , x = 2, x = 0
(e) x = 3y 2 − 9, y = 0, x = 0, y = 1
π
(f) y = tan x, x = 0, x =
4
(k) xy = 12, y = 0, x = 1, x = e2
1
, y = 0, x = −1, x = 1
(l) y =
1 + x2
5. Bepaal de oppervlakte van de gebieden begrensd door de volgende krommen:
(a) y = 2 sin x, y = sin 2x, x = 0, x = π
π
π
(b) y = 8 cos x, y = sec2 x, x = − , x =
3
3
πx
2
(c) y = cos 2 , y = 1 − x
(d) y = sin πx
2 , y =x
(e) y = sec2 x, y = tan2 x, x = − π4 , x =
√
(f) x = 3 sin y cos y , x = 0, y = 0, y =
π
4
π
2
Figuur 9.54: De grafieken uit oefening 5
238
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
6. (a) Bepaal de verticale
√ rechte die het gebied, begrensd door de rechten x = 0, x = 1,
y = 0 en y = x 1 − x 2 , verdeelt in twee delen van gelijke oppervlakte.
(b) Bepaal de horizontale rechte die het gebied, begrensd door de rechte y = 4 en y = x 2 ,
verdeelt in twee delen van gelijke oppervlakte.
7. Bepaal de gemiddelde waarde van de volgende functies op het gegeven gesloten interval:
√
(e) y = mx + b, [−k, k]
(a) y = x 2 − 1, [0, 3]
√
(f) y = ax, [0, a]
(b) y = −3x 2 − 1, [0, 1]
2π
2
(c) y = (x − 1) , [0, 3]
(x − 101) + 25,
(g) y = 37 sin
365
[0, 365]
(d) y = 4 − x 2 , [−2, 2]
8. Toon aan:
Z
(a) 9 ≤
π
≤
(b)
3
2
Z
3p
x 3 + 73 dx ≤ 10
2π
0
1
(c)
≤
x +1
Z
dθ
π
≤
5 + cos θ
2
x+1
x
1
dt
≤
t
x
(x > 0)
9. Bereken de lengte van de grafieken van de volgende functies op het gegeven interval:
√
4 2 3/2
(c) y = x 3/2 , [0, 4]
x
− 1, [0, 1]
(a) y =
3
1 2
3
3
(b) y = (x + 2)3/2 , [0, 3]
(d) y = x 4/3 − x 2/3 + 5, [1, 8]
3
4
8
Figuur 9.55: De grafieken uit oefening 9
10. Bereken het volume van het lichaam dat ontstaat door het gebied begrensd door de gegeven
krommen te wentelen rond de x-as:
(a) y = x 2 , y = 0, x = 2
p
(b) y = 9 − x 2 , y = 0
√
(c) y = cos x, x = 0, x = π2 , y = 0
(d) y = sec x, x = − π4 , x = π4 , y = 0
(e) y =
√
x, x = 0, y = 2
(f) y = x 2 + 1, y = x + 3
(g) y = sec x, y = tan x, x = 0, x = 1
239
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
11. Bereken de manteloppervlakte van het lichaam dat ontstaat door de gegeven krommen te
wentelen rond de x-as:
(a) y =
x3
,0≤x ≤2
9
(b) y =
√
x,
3
15
≤x ≤
4
4
p
1
3
2x − x 2 , ≤ x ≤
2
2
√
(d) y = x + 1, 1 ≤ x ≤ 5
√
(e) y = 2 x, 1 ≤ x ≤ 2
(c) y =
12. Als een bolvormig brood gesneden wordt in boterhammen van dezelfde dikte, toon dan dat
elke boterham evenveel broodkorst bevat.
13. Bepaal volgende oneigenlijke integralen.
Z +∞
1
dx
(a)
2+1
x
0
Z 1
1
√ dx
(b)
x
0
Z 1
1
(c)
dx
2/3
−1 x
Z 1
1
√
dx
(d)
1 − x2
0
Z −2
2
(e)
dx
2
−∞ x − 1
Z ∞
2
dx
(f)
2
x −x
2
Z ∞
2x
(g)
dx
2 + 1)2
(x
−∞
Z 1
x +1
√
dx
(h)
x 2 + 2x
0
(i)
(j)
(k)
(l)
Z
Z
Z
Z
+∞
0
1
√ dx
(1 + x) x
+∞
(1 +
0
0
1
dx
+ Bgtanx)
x 2 )(1
xe x dx
−∞
1
x ln x dx
0
2
1
dx
4 − x2
0
Z 2
1
√
dx
(n)
2
1 x x −1
Z +∞
1
dx
(o)
2
x + 5x + 6
−1
Z π
2
(p)
tan x dx
(m)
Z
√
0
14. Gebruik integratie of een vergelijkingstest om na te gaan of volgende integralen convergent
of divergent zijn.
Z 2
Z π
2
1
dx
(f)
(a)
tan x dx
2
0 1−x
0
Z π
Z 1
sin x
√
dx
(b)
(g)
ln |x| dx
π−x
0
−1
Z +∞
Z ln 2
1
−2 − x1
dx
(h)
x e dx
(c)
3
x +1
1
0
Z π
Z +∞
1
1
√
(d)
dx
√
(i)
dx
x + sin x
x −1
0
2
Z +∞
Z 1
1
1
√
(j)
(e)
dx
dx
6
x +1
0
0 x − sin x
240
Hoofdstuk 9 Integralen en toepassingen
(k)
(l)
Z
Z
+∞
1
+∞
π
√
x +1
dx
x2
(m)
2 + cos x
dx
x
(n)
Z
Z
+∞
1
ex
dx
x
+∞
−∞
√
1
x4
+1
dx
15. Vind de waarden voor p zodat de onderstaande integralen convergeren.
Z +∞
Z 2
1
1
(b)
dx
(a)
dx
p
x(ln x)p
2
1 x(ln x)
16. Toon dat
Z
divergeert en bijgevolg
Z
+∞
2x
dx
+1
x2
0
+∞
−∞
2x
dx
+1
x2
ook divergeert. Toon vervolgens dat
lim
Z
b
b→∞ −b
2x
dx = 0.
+1
x2
241

6 Gemeenschappelijk met de x-as

3.2 - mathonline

Integreren

Calculus - TI1106M Deeltoets 2 - vrijdag 10 oktober, 11.45

Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent.

Zorgprogramma Longtransplantatie UZ Leuven Prof. dr G. Verleden

overzicht_opleidingen_2014 - Associatie voor examinering

Hoofdstuk 9 D

Opgave 2 (G-)Krachtmetingen in een attractiepark

Fiche