Integreren

Inhoud leereenheid 13
Integreren
Introductie
Leerkern
1
2
3
4
5
6
125
126
Integraal als oppervlakte 126
De functie als afgeleide van zijn oppervlaktefunctie 131
Primitieven 133
Bepaalde en onbepaalde integraal 135
Oneigenlijke integralen 139
Informaticatoepassingen 143
6.1
Schatten van sommen met behulp van integraalrekening en de
complexiteit van Quicksort 143
6.2
Defuzzificatie 144
6.3
Weergave van kleuren 147
Samenvatting
Zelftoets
149
150
124
Leereenheid 13
Integreren
Leereenheid 13
Integreren
INTRODUCTIE
In leereenheid 9 hebben we de complexiteit van het gemiddelde gedrag
van het sorteeralgoritme Quicksort geanalyseerd. Daarbij hielden we een
term over waarvan we op dat moment de grootte niet verder af konden
schatten, namelijk de som
n
1
k =1 k
∑
In figuur 13.1 is de grafiek van de functie f(x) = 1/x getekend, en daarin
deze som als som van de oppervlakte van n rechthoeken met hoogte
1/k en breedte 1. U ziet dat we de som kunnen benaderen door de
oppervlakte onder de grafiek van f tussen x = 1 en x = n + 1. In deze
leereenheid leert u hoe u deze oppervlakte uit kunt rekenen. Om te
beginnen zullen we eerst oppervlaktes onder een grafiek juist gaan
benaderen door rechthoeken. Alleen in zeer eenvoudige gevallen is de
oppervlakte op die manier ook daadwerkelijk te bepalen, maar we zullen
vervolgens via het verband tussen oppervlaktefuncties en differentiëren
een manier vinden om ook voor ingewikkelder functies de oppervlakte
onder een grafiek te bepalen.
FIGUUR 13.1
LEERDOELEN
De som
n
1
en de grafiek van de functie f(x) = 1/x
k =1 k
∑
Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u
– in eenvoudige gevallen de oppervlakte onder een grafiek kunt
benaderen met een som van rechthoeken
– de hoofdstelling van de integraalrekening kent en kunt toepassen
– weet wat een primitieve of onbepaalde integraal van een functie op
een interval is
125
Open Universiteit
Continue wiskunde
– standaardprimitieven kunt herkennen
– de volgende regels voor integralen kent en kunt toepassen: de
som- en verschilregel, de scalair-productregel en de intervalregel
– voor eenvoudige functies met behulp van de trial-and-errormethode
de verzameling van alle primitieven kunt bepalen
– weet dat niet voor iedere functie de primitieve in termen van
elementaire functies is uit te drukken
– bepaalde integralen van eenvoudige functies kunt uitrekenen
– in eenvoudige gevallen kunt bepalen of een oneigenlijke integraal
convergent is, en in geval van convergentie de waarde kunt
berekenen
– oppervlaktes kunt bepalen met behulp van integraalrekening
– sommen kunt benaderen door integralen.
LEERKERN
1
Integraal als oppervlakte
In deze paragraaf bekijken we hoe we bij een aantal functies de
oppervlakte onder die functie kunnen uitrekenen. Voor constante en
lineaire functies kunnen we daarbij gebruik maken van de meetkunde
uit leereenheid 3.
VOORBEELD 13.1
Als de functie f constant is of lineair dan is de oppervlakte onder de
grafiek van f met behulp van de formules voor de oppervlakte van een
rechthoek en een driehoek te bepalen.
Als eerste bekijken we de oppervlakte ingesloten door de grafiek van de
functie f(x) = 4, de lijnen x = a en x = b en de x-as. De grafiek is getekend in
figuur 13.2. U ziet dat de breedte van de rechthoek gelijk is aan b – a en
de hoogte gelijk aan 4, dus de oppervlakte onder de grafiek van f tussen
x = a en x = b is gelijk aan 4(b – a).
«
FIGUUR 13.2
De oppervlakte onder een constante functie
OPGAVE 13.1
Bepaal de oppervlakte ingesloten door de grafiek van de functie
f(x) = 2 + x, de x-as en de lijnen x = a en x = b waarbij b > a > 0.
Als de grafiek van de functie f geen rechte lijn is, kunnen we de
oppervlakte niet meer direct berekenen met behulp van de oppervlakte
van eenvoudige meetkundige figuren. Wat we wel kunnen doen is de
oppervlakte benaderen met behulp van rechthoeken.
126
Leereenheid 13
VOORBEELD 13.2
Integreren
We willen de oppervlakte bepalen onder de grafiek van f(x) = x2 tussen
x = 0 en x = 1. In figuur 13.3 ziet u hoe we oppervlakte kunnen benaderen
met behulp van rechthoeken.
FIGUUR 13.3
Een benadering van de oppervlakte onder de grafiek van
f(x) = x2 tussen x = 0 en x = 1 met 3 (links) en 5 (rechts)
rechthoeken
In de linkerfiguur hebben we het interval [0, 1] verdeeld in 4 gelijke
delen, en op elk van deze delen een rechthoek getekend die precies onder
de grafiek blijft. De breedte van de rechthoeken is dus gelijk aan 1/4 en
de hoogte gelijk aan respectievelijk f(0), f(1/4), f(1/2) en f(3/4). Omdat f(0)
= 0 krijgen we op deze manier slechts drie rechthoeken, maar om de
methode algemeen te houden nemen we de linker ‘rechthoek’ met
hoogte 0 wel in de berekening op. De totale oppervlakte van deze
rechthoeken is
O4 = 14 ( f (0) + f ( 14 ) + f ( 12 ) + f ( 34 )) = 14 ·78 =
7
32
We hebben hiermee een ondergrens voor de oppervlakte onder de
grafiek van f gevonden. Op dezelfde manier berekenen we de benadering
bij een verdeling van [0, 1] in 6 intervallen:
=
O6 = 16 ( f (0) + f ( 16 ) + f ( 13 ) + f ( 12 ) + f ( 32 ) + f ( 56 )) = 16 · 55
36
55
216
Door [0, 1] in steeds meer intervallen te verdelen, krijgen we steeds
betere schattingen. Voor de n-de schatting geldt:
On=
1
n
( f (0) + f ( 1n ) + f ( n2 ) + ... + f ( n −n 2 ) + f ( nn−1 ))=
1
(02 + ( 1n ) 2 + ( n2 ) 2 + ... + ( n −n 2 ) 2 + ( nn−1 ) 2 )
n
1 1
· ·(0 + 12 + 22 + ... + ( n − 2) 2 + ( n − 1) 2 )
n n2
n −1
∑
1
· k2
n3
k =0
127
=
=
Open Universiteit
Continue wiskunde
Het ligt voor de hand dat de limietwaarde van deze som nadert naar de
oppervlakte onder de grafiek van f tussen 0 en 1. Maar we kunnen deze
limiet pas uitrekenen als we een formule voor de som van kwadraten
hebben. We geven hier deze formule; met volledige inductie valt te
bewijzen dat de formule klopt. Er geldt
n −1
∑ k 2 = 16 n( n − 1)(2n − 1)
k =0
Invullen van deze formule in de berekening van On geeft:
On =
n(n − 1)(2n − 1)
6n3
Dus
n(n − 1)(2n − 1)
=
n→∞
6n3
lim On = lim
n→∞
1
3
De oppervlakte onder de grafiek van f is dus groter dan of gelijk aan
en het is te verwachten dat de oppervlakte inderdaad gelijk is aan 13 .
Om hier zekerheid over te verkrijgen kunnen we de oppervlakte
ook benaderen met rechthoeken die steeds boven de grafiek liggen.
In opgave 13.2 vragen we u dit te doen.
1
3
«
OPGAVE 13.2
Benader de oppervlakte onder de grafiek van f(x) = x2 tussen x = 0 en
x = 1 met behulp van rechthoeken met basis [k/n, (k + 1)/n] en hoogte
f((k + 1)/n). Bepaal de limietwaarde voor n → ∞.
OPGAVE 13.3
Bepaal de oppervlakte onder de grafiek van f(x) = x2 tussen x = 0 en x = 2.
Bij het berekenen van oppervlaktes onder de grafiek van de functie
f(x) = x2 hebt u gezien dat het bepalen van de limietwaarde van de som
voor deze relatief eenvoudige functie al behoorlijk ingewikkeld is. In de
praktijk is de oppervlakte onder de grafiek van een functie op deze
manier meestal niet uit te rekenen. Maar de methode wordt wel gebruikt
voor een nette wiskundige definitie. Voor de meeste nette functies kan op
deze manier gedefinieerd worden wat de oppervlakte onder de grafiek
is. We zullen deze definitie in deze cursus achterwege laten.
Voor functies f die positief zijn op [a, b] noteren we de oppervlakte onder
f tussen a en b met behulp van het integraalsymbool:
b
∫ f ( x )dx
a
In deze notatie vindt u nog de benadering van de oppervlakte via
rechthoekjes terug. Het teken ∫ (het integraalsymbool) is een gestileerde
letter S en staat oorspronkelijk voor een som. De term dx geeft (net zo
als ∆x) de lengte van een klein interval op de x-as weer. Ooit gaf de
notatie dus de som van rechthoekjes met breedte dx en hoogte f(x) weer.
128
Leereenheid 13
Integreren
Dit is precies het soort benadering dat we in het begin van deze
paragraaf gebruikten. We spreken
b
∫ f ( x )dx
a
Integraal
uit als de integraal van f tussen [a, b].
Net zo als bij de somnotatie is ook hier de variabele x een dummyvariabele. In het antwoord (hier de oppervlakte) vinden we x niet terug, en we
kunnen dus de x door een andere variabele vervangen zonder dat de
waarde wijzigt:
b
∫ f ( x )dx
a
=
b
∫ f ( y )dy
a
Als de functie f positief is op [a, b], dan is de integraal van f over [a, b]
gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van f. Ook als f niet (overal)
positief is, heeft de integraal van f over [a, b] een betekenis.
Als f negatief is op [a, b] dan definiëren we dat
b
∫ f ( x )dx
a
gelijk is aan het tegengestelde van de oppervlakte tussen de x-as en de
grafiek van f tussen x = a en x = b.
VOORBEELD 13.3
Uit de symmetrie volgt dat de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek
van de functie g(x) = –x2 tussen 0 en 2 is gelijk aan de oppervlakte onder
de grafiek van de functie f(x) = x2 tussen 0 en 2. Dus geldt
2
2
0
0
− ∫ x 2 dx =
−3
∫ − x 2 dx =
8
OPGAVE 13.4
a
Bepaal
a
∫ 2 x dx
0
door de bijbehorende oppervlakte te berekenen.
b Bepaal
a
∫ −2 x dx
0
Omdat als a < b < c de oppervlakte onder f tussen a en c gelijk is aan die
tussen a en b plus die tussen b en c geldt de volgende intervalregel:
129
«
Open Universiteit
Continue wiskunde
Intervalregel
c
b
a
a
f ( x ) dx
∫=
∫
c
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
b
In figuur 13.4 ziet u een illustratie van deze regel: de oppervlakte onder
de grafiek tussen a en c is gelijk aan de som van de oppervlakte tussen a
en b (het lichtgrijze deel), en de oppervlakte tussen b en c (het
donkergrijze deel).
FIGUUR 13.4
VOORBEELD 13.4
De intervalregel
Eerder in deze paragraaf berekenden we de integraal van de functie
f(x) = x2 over [0, 1] en [0, 2]. Met behulp van de intervalregel kunnen
we nu ook de integraal van f over [1, 2] bepalen:
2
1
2
0
0
1
2
1
x 2 dx ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx
∫=
dus
2
8
∫ x 2 dx = ∫ x 2 dx − ∫ x 2 dx = 3 − 13 =
1
0
7
3
«
0
OPGAVE 13.5
Bereken
d
∫ 2 x dx
voor d > c > 0.
c
Aanwijzing: gebruik opgave 13.4a
VOORBEELD 13.5
beweging van
lees/schrijfkop
Bij het lezen of wegschrijven van gegevens op een harde schijf moet de
arm van de lees/schrijfkop van het ene naar het andere spoor bewegen.
Bij harde schijven van voor 1990 ging dat met een snelheid die bijna
overal constant was. Bij recentere schijven gaat dat anders. Eerst beweegt
de kop met een constante versnelling, halverwege wijzigt dit in een
constante vertraging. Zie figuur 13.5.
130
Leereenheid 13
FIGUUR 13.5
Integreren
Armbeweging met constante snelheid (a) en met een
constante versnelling (b)
Duidelijk zal zijn dat de tijd die nodig is om de arm te verplaatsen bij de
nieuwere schijven veel korter is. Om precies te weten hoeveel dit scheelt,
moeten we het verband kennen tussen de tijd en de afgelegde weg L.
Maar die afgelegde weg kunnen we berekenen: deze is namelijk gelijk
aan de oppervlakte onder de grafieken uit figuur 13.5. Omdat we vooral
geïnteresseerd zijn in het verschil voor grotere waarden van t kunnen we
het geval van een bijna constante snelheid benaderen door een constante
snelheid. Zeg dat deze snelheid gelijk is aan v0, dan is de afgelegde weg L
in t ms gelijk aan L = t · v0, dus de tijd die nodig is om L af te leggen is
gelijk aan t = L / v0. Deze tijd is dus evenredig met L.
OPGAVE 13.6
Laat de constante versnelling behorend bij het tweede geval gelijk zijn
aan a. Dit is dus de richtingscoëfficiënt van het linkerbeen van de
driehoek in figuur 13.5.
Bepaal de benodigde tijd om de arm te verplaatsen in dit tweede geval.
Aanwijzing: in de eerste helft van de tijd die nodig is voor de sprong
wordt evenveel afstand afgelegd als in de tweede helft.
Uit opgave 13.6 volgt dat in het tweede geval de tijd die nodig is om een
afstand L af te leggen evenredig is met de wortel uit deze afstand, en dit
zal in het algemeen sneller zijn dan het lineaire verband uit het eerste
geval.
«
2
De functie als afgeleide van zijn oppervlaktefunctie
In deze paragraaf zullen we een belangrijk verband tussen een functie en
de bijbehorende oppervlaktefunctie laten zien.
In figuur 13.6 is de grafiek van een functie f getekend. We definiëren de
functie F door:
x
F ( x ) = ∫ f (t )dt
a
131
Open Universiteit
Continue wiskunde
FIGUUR 13.6
Het differentiequotiënt van F in x
We bepalen nu het differentiequotiënt van F in x:
Uit de intervalregel volgt dat
F(x + h) – F(x) =
x+h
∫
x
x+h
a
x
f ( x )dx − ∫ f ( x )dx =
∫ f ( x )dx
a
Het differentiequotiënt is dus gelijk aan
x+h
F ( x + h) − F ( x)
=
h
∫
f ( x )dx
x
h
Voor kleine waarden van h is de integraal tussen x en x + h ongeveer
gelijk aan h · f(x) en dus is het differentiequotiënt ongeveer gelijk aan f(x).
Inderdaad kan bewezen worden dat de afgeleide F’(x) gelijk is aan f(x).
Dat bewijs laten we in deze cursus achterwege. Het resultaat staat
bekend als de hoofdstelling van de integraalrekening, en geldt voor elke
voldoende nette functie. Net als in vorige leereenheden zullen we niet
specificeren wat we onder voldoende netjes verstaan.
STELLING 13.1
Laat f voldoende netjes zijn op [a, b] en definieer de functie F op [a, b]
door
x
F(x) = ∫ f (t)dt
a
Dan is F differentieerbaar op [a, b] en F' = f.
Om bij een functie f een oppervlaktefunctie te vinden zullen we dus op
zoek moeten gaan naar een functie F waarvan de afgeleide gelijk is aan f.
Zo’n functie noemen we een primitieve.
132
Leereenheid 13
3
Primitieve
Onbepaalde
integraal
Integreren
Primitieven
Als F’ = f dan noemen we F een primitieve van f. In plaats van de term
‘primitieve’ gebruiken we ook ‘onbepaalde integraal’.
De functie F(x) = 13 x3 is een primitieve van f(x) = x2, want F’(x)
= 13 · 3x2 = x2. Dit is niet de enige primitieve, een andere primitieve is
bijvoorbeeld de functie G(x) = 13 x3 + 5, want G’(x) = 13 · 3x2 + 0 = x2.
DEFINITIE 13.1
VOORBEELD 13.6
«
In het algemeen geldt dat als F een primitieve is van f, dat dan voor elke
constante C ook F + C een primitieve is; immers de afgeleide van een
constante is gelijk aan 0. Omgekeerd geldt dat alle primitieven van een
functie f op een interval I op een constante na aan elkaar gelijk zijn. Als
dus F een primitieve is van f op I, dan zijn alle primitieven van f van de
vorm F + C met C een constante. De verzameling van alle primitieven van
f noteren we als volgt:
∫ f ( x )dx
VOORBEELD 13.7
dx
∫ x2 =
1
3
x3 + C
«
Primitiveren komt dus neer op het omgekeerde van differentiëren: zoek
een functie waarvan de afgeleide gelijk is aan de functie waarvan de
primitieve gezocht wordt.
OPGAVE 13.7
Bepaal alle primitieven van de volgende functies:
x3, x6, x–3 (voor x > 0), xn (n ≠ –1, x > 0), 1/x (voor x > 0) , cos x, sin x, ex
OPGAVE 13.8
Laat F een primitieve zijn van de functie f en G een primitieve van g.
a Toon aan dat F + G een primitieve is van f + g.
b Toon aan dat F – G een primitieve is van f – g.
c Toon aan dat cF een primitieve is van cf voor elke constante c.
OPGAVE 13.9
Laat F een primitieve zijn van de functie f en G een primitieve van g.
Is nu FG een primitieve van fg? Zo ja, toon dit aan; geef anders een
tegenvoorbeeld.
In opgave 13.8 hebt u een aantal rekenregels afgeleid voor het
primitiveren. Omdat we deze rekenregels in het vervolg regelmatig
zullen gebruiken, zetten we ze hier nog eens bij elkaar.
Somregel
Verschilregel
Constante-regel
VOORBEELD 13.8
Laat F een primitieve zijn van de functie f en G een primitieve van g.
Dan geldt:
F + G is een primitieve van f + g.
F – G is een primitieve van f – g.
cF is een primitieve van cf.
Een primitieve van de functie f(x) = 2x3 – sin x is F( x) = 2· 14 x4 – (–cos x) =
1 4
x + cos x. Dus ∫ 2 x3 – sin x dx = 12 x 4 + cos x + C
«
2
133
Open Universiteit
Continue wiskunde
Bij het bepalen van een primitieve zullen we in het algemeen eerst kijken
of de functie de afgeleide is van een standaardfunctie. In de volgende
tabel vindt u een overzicht van standaardprimitieven.
TABEL 13.1
Standaardprimitieven
f(x)
primitieve F(x)
voorwaarde
xa
1 a +1
x
a +1
voor a ∈R, a ≠ –1
1
x
sin x
cos x
1
cos 2 x
lnx
ex
ex
1 x
a
ln a
ax
–cos x
sin x
tan x
voor a > 0, a ≠ 1
Opmerking: als u deze tabel vergelijkt met de tabel van de standaardafgeleiden (tabel 11.1 in paragraaf 1 van leereenheid 11) dan vallen u
misschien de absoluutstrepen in de primitieve van 1/x op. Bedenk dat
voor negatieve waarde van x geldt dat ln|x| = ln(–x). De afgeleide van
ln(–x) is gelijk aan 1/x (denk aan de kettingregel). Dus is inderdaad
ln(–x) een primitieve van 1/x op 〈–∞, 0〉.
OPGAVE 13.10
Bepaal van de volgende functies alle primitieven.
a 5x 3 x
d
x +1
x
1
6x 2
1
e
4cos2 x
b
c 2x
OPGAVE 13.11
Bepaal van de volgende functies alle primitieven.
a x4 – 3x2 + 2
d
( 12 )
x +1
b sin x – cos x
e
4
3
−
x 3 5x 4
c
1
5x
f (x4 – 3x)2
Het vinden van een primitieve is lastiger dan het bepalen van de afgeleide.
Differentiëren bestaat uit het uitvoeren van een reeks rekenregels. Zo’n
procedure is er niet voor het primitiveren. Er is wel een reeks methodes
waarmee in bepaalde gevallen een primitieve gevonden kan worden.
De meeste van de methodes zullen we in deze cursus niet behandelen.
We besteden alleen aandacht aan de trial-and-errormethode, die we aan
de hand van het volgende voorbeeld toelichten.
134
Leereenheid 13
VOORBEELD 13.9
Integreren
Welke functie is een primitieve van sin 2x? Dergelijke primitieven zijn
te bepalen door eerst een functie te proberen, te controleren of deze
inderdaad voldoet, en zo nodig het antwoord aan te passen. In dit geval
proberen we als primitieve –cos 2x. Als we deze functie differentiëren
krijgen we 2 sin 2x, een factor 2 te veel. Een primitieve van sin 2x is dus
«
F(x) = – 12 cos 2x.
Trial and error
methode
In het algemeen proberen we F(ax + b) als primitieve van f(ax + b) als F
een bekende primitieve is van f. Vervolgens zullen we dan nog voor een
factor a moeten corrigeren.
OPGAVE 13.12
Bepaal primitieven van de volgende functies
a (1– x)4
b 1/(3 + 2x)
c
ex/3
d cos(5x + 8)
e
4 cos(3x) – 3 cos(4x)
f
√(1 – 3x) + 2√(4x + 2)
g 33x –
1
3
h
6
i
sin(3x)
cos2 (1 +
x)
+
4
(x + 1)3
(1 + 2x2)3
We merkten al op dat voor het primitiveren van functies niet zo’n
eenvoudig recept te geven is als voor het differentiëren van functies.
Sterker nog, er zijn functies waarvan wel een primitieve bestaat, maar
die niet uitgedrukt kan worden in bekende elementaire functies. Bij het
zoeken van primitieven kan in sommige gevallen een computeralgebrapakket helpen. We zullen u in deze cursus alleen vragen om van
eenvoudige functies de primitieve te bepalen.
4
Onbepaalde
integraal
Bepaalde integraal
Bepaalde en onbepaalde integraal
Een primitieve noemen we ook wel een onbepaalde integraal, en de
integralen met boven- en ondergrenzen bepaalde integralen. In paragraaf 1
leerde u voor positieve functies f dat de bepaalde integraal van f over [a,
b] gelijk is aan de oppervlakte ingesloten door de grafiek van f, de x-as en
de lijnen x = a en x = b. Als f negatief is, is de bepaalde integraal gelijk aan
het tegengestelde van deze oppervlakte, en als f gedeeltelijk positief en
gedeeltelijk negatief is, dan telt het deel van de oppervlakte boven de
x-as positief mee, en het deel onder de x-as negatief.
135
Open Universiteit
Continue wiskunde
Het berekenen van een bepaalde integraal door de oppervlaktes uit te
rekenen is in het algemeen niet te doen. In deze paragraaf leert u hoe u
met behulp van een onbepaalde integraal een bepaalde integraal uit kunt
rekenen. We beginnen met een voorbeeld.
VOORBEELD 13.10
De functie F is als volgt gedefinieerd: F(t) is gelijk aan de oppervlakte
onder de functie f(x) = x2 tussen x = –3 en x = t. Met behulp van deze
functie kunnen we nu de oppervlakte onder de grafiek van f tussen
x = 0 en x = 1 uitrekenen. Deze oppervlakte is gelijk aan F(1) – F(0)
(zie figuur 13.7). De functie F is één van de mogelijke primitieven van f.
Ook voor andere primitieven G van f geldt dat de oppervlakte onder f
tussen x = 0 en x = 1 gelijk is aan G(1) – G(0). In figuur 13.7 ziet u hier
een voorbeeld van: de oppervlakte is ook gelijk aan G(1) – G(0).
«
FIGUUR 13.7
Links de functie F, de oppervlakte onder f vanaf x = –3 ,
F(0) en F(1) zijn gearceerd, rechts idem de functie G.
Om een bepaalde integraal te bepalen is het dus voldoende om over één
primitieve te beschikken: als F een primitieve is van f dan geldt dat
b
∫ f ( x ) dx = F ( b ) – F ( a )
a
Bij het berekenen van een bepaalde integraal maken we vaak gebruik van
de volgende notatie:
b
x =b
∫ f ( x ) dx = F ( x ) x = a
a
waarbij
x= b
F(x) x = a betekent dat we in F(x) voor x de waarden b en a invullen en het
tweede resultaat van het eerste aftrekken.
136
Leereenheid 13
VOORBEELD 13.11
Integreren
We berekenen
1
∫ x 2 dx
0
Een primitieve van f(x) = x2 is de functie F(x) = 13 x 3 . De integraal is dus
gelijk aan F(1) – F(0):
1
x =1
∫ x 2 dx = 13 x3 x =0
0
Vullen we achtereenvolgens de waarde x = 1 en x = 0 in, dan vinden we
zo:
1
x =1
∫ x 2 dx = 13 x3 x =0 = 13 ·13 − 13 ·03 = 13
«
0
VOORBEELD 13.12
We berekenen
π /4
1
∫ sin x − cos 2 x dx
0
Een primitieve van sin x – 1/cos2 x is –cos x – tan x. De integraal is dus
gelijk aan:
π /4
π /4
1
( − cos x − tan x ) x =0
∫ sin x − cos 2 x dx =
0
Vullen we achtereenvolgens de waarde x = π/4 en x = 0 in, waarbij we
goed op het plaatsen van de haakjes en het correct verwerken van de
negaties moeten letten, dan vinden we zo:
π /4
∫
sin x −
0
π /4
1
dx =
( − cos x − tan x ) x =0 =
2
cos x
− cos( π / 4) − tan( π / 4) − ( − cos 0 − tan 0) =
− 12 2 − 1 − ( −1 − 0) =− 12 2
OPGAVE 13.13
Bereken de volgende bepaalde integralen:
a
b
π /4
1
dx
∫
2
0 cos x
2
∫ (1 − 2 x )5 dx
1
137
«
Open Universiteit
Continue wiskunde
c
1
∫ e2 x −1 dx
−1
d
π /4
∫
cos x + 2sin 2 x dx
0
e
7
∫ 3 x + 4 dx
0
Bij het bepalen van oppervlaktes met behulp van integraalrekening
moeten we erop bedacht zijn dat bij negatieve waarden van f het
tegengestelde van de oppervlakte berekend wordt.
VOORBEELD 13.13
In figuur 13.8 is de grafiek van de functie sin x getekend. Stel dat we de
gearceerde oppervlakte willen berekenen, dan moeten we het interval
eerst splitsen in een deel waar de functie positief is en een deel waar de
functie negatief is. Van het negatieve deel hebben we het tegengestelde
van de integraal nodig. De oppervlakte is dus gelijk aan
O
=
π
2π
π
2π
0
π
0
π
x dx )
∫ sin x dx + ( − ∫ sin=
(
∫ sin x dx −
x dx
=
∫ sin
) = − cos π + cos 0 + cos 2π − cos π = 4
2π
x=
x=
π
− cos x x = 0 − − cos x x = π
Het oppervlak van het gearceerde deel is dus gelijk aan 4.
FIGUUR 13.8
De functie sin x met een te bepalen oppervlak
OPGAVE 13.14
In figuur 13.9 is de grafiek getekend van de functie f (x) = x(x2 – 1)(x – 2).
Bereken de grootte van het gearceerde oppervlak.
FIGUUR 13.9
Grafiek van f met het te bepalen oppervlak
138
«
Leereenheid 13
Integreren
OPGAVE 13.15
a Teken in een figuur de grafiek van de functie f(x) = 2 – sin x en
g(x) = sin x tussen x = 0 en x = π.
b Beredeneer dat de oppervlakte tussen deze functies gelijk is aan
π
∫ f ( x ) − g ( x ) dx
0
en bepaal deze oppervlakte.
c Bepaal de oppervlakte ingesloten door de functies f(x) = 2k – k sin kx
en g(x) = k sin kx tussen x = 0 en x = π/k
Oneigenlijke integralen
5
In leereenheid 16 over kansrekening zult u integralen tegenkomen die
gaan over een domein dat oneindig doorloopt, bijvoorbeeld de integraal
van de functie f(x) = e–x over het interval [0, ∞〉. We noemen een integraal
waarvan de ondergrens gelijk is aan –∞ of de bovengrens gelijk aan ∞
een oneigenlijke integraal. Het is ook mogelijk dat een oneigenlijke
integraal over de hele reële as loopt, dus van –∞ tot ∞. We noteren in
zo’n geval de symbolen –∞ of ∞ als ondergrens of bovengrens, dus
bijvoorbeeld:
Oneigenlijke
integraal
∞
∫ e− x dx
0
of
∞
∫ xe− x dx
2
−∞
Hoe bepalen we nu zo’n integraal? We kunnen niet zonder meer de
symbolen –∞ of ∞ in een primitieve invullen. Maar we kunnen wel
gebruikmaken van het limietbegrip. Op die manier kunnen we een
oneigenlijke integraal zien als de limiet van gewone, bepaalde integralen.
We definiëren daarom:
DEFINITIE 13.2
∞
p
a
a
∫ f ( x ) dx = plim
∫ f ( x ) dx
→∞
VOORBEELD 13.14
en
b
∫
f ( x ) dx = lim
q →−∞
−∞
b
∫ f ( x ) dx
q
Voor iedere p > 1 geldt dat
p
1
1
−
∫ x 2 dx =
x
1
p
=
−
1
1
+1
p
In de limiet p → ∞ gaat het rechterlid naar 1. De oneigenlijke integraal
van 1/x2 over [0, ∞〉. is dus gelijk aan:
∞
∫
1
p
p
1
1
1
1
d=
x lim ∫ 2 d=
x lim ( −
=
) lim ( − + 1)= 1
p →∞ x
p →∞
p
→∞
x2
x
p
1
1
139
Open Universiteit
Continue wiskunde
In termen van oppervlakte betekent dit antwoord dat het gearceerde
gebied in figuur 13.10a oppervlakte 1 heeft.
De oppervlakte onder de grafieken van 1/x2 en 1/x op
[1, ∞〉 is 1 (a) respectievelijk ∞ (b)
FIGUUR 13.10
Figuur 13.10b, waarin de oppervlakte onder de grafiek van 1/x op [1, ∞〉
is gerasterd, lijkt sterk op figuur 13.10a, wat suggereert dat ook deze
oppervlakte eindig is. Echter
∞
∫
1
(
p
1
1
dx = lim ∫ dx = lim ln x
p →∞ x
p →∞
x
1
p
1
) = lim ln p = ∞
p →∞
In dit geval is de oppervlakte oneindig. We noemen in zo’n geval de
oneigenlijke integraal divergent. Een oneigenlijke integraal die bij
berekening een eindige waarde oplevert noemen we convergent.
Divergent
Convergent
OPGAVE 13.16
Ga van de volgende oneigenlijke integralen na of ze convergent dan wel
divergent zijn en bereken ze in geval van convergentie.
−2 1
a ∫−∞
dx
x +1
b
c
∞
∫0 e −x dx
∞
∫
1
1
dx
x x
We moeten voorzichtig zijn met oneigenlijke integralen waarin de
ondergrens gelijk is aan –∞ en de bovengrens aan ∞. Als voorbeeld
bekijken we
∞
∫ x dx
−∞
Allereerst merken we op dat
∞
∫ x dx = plim
→∞
0
(
1
2
x2
p
0
)=
lim 1
p →∞ 2
p2 = ∞
dus ∫∞
0 xdx is divergent, en net zo dat
0
∫ x dx = plim
→−∞
−∞
140
(
1
2
x2
0
p
)=
lim ( − 12 p 2 ) = −∞
p →−∞
«
Leereenheid 13
Integreren
Het gevaar dreigt nu dat we ∞ en –∞ als volgt tot 0 optellen:
Dit is dus onjuist!
∞
1 2
x
∫ x dx = plim
→∞ 2
−∞
p
−p
(
= lim
1
p →∞ 2
p2 −
1
2
)
p 2 = lim 0 = 0
p →∞
Hoewel er enige ‘waarheid’ schuilt in dit antwoord, zullen we dit niet
toestaan. We berekenen hier namelijk ∫∞
– ∞ xdx op een heel speciale manier
en als we het anders doen, dan is er elk antwoord uit te krijgen dat we
maar willen.
Om dit probleem op te lossen, spreken we af dat dit soort oneigenlijke
integralen waarin twee of meer limieten voorkomen, berekend moeten
worden via een opsplitsing in oneigenlijke integralen waarin nog maar
één limiet voorkomt. We noemen de oorspronkelijke oneigenlijke
integraal pas convergent als elk van de oneigenlijke integralen in de
opsplitsing convergent is. Dit betekent dat
∞
∞
c
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫c
c
q →−∞ q
f ( x )dx = lim
∫
p
p →∞ c
f ( x )dx + lim
∫
f ( x )dx
c
∞
en dat ∫∞
– ∞ f(x)dx pas convergent is als zowel ∫ – ∞ f(x)dx als ∫ c f(x)dx
convergent zijn. Hierbij kan c willekeurig gekozen worden, hoewel we
meestal c = 0 kiezen. Voor het rekenen met limieten gelden natuurlijk alle
regels en verboden die we gewend zijn, dus bijvoorbeeld nooit ∞ – ∞ = 0.
∞
Volgens deze afspraak is ∫∞
– ∞ xdx dus divergent, immers, ∫ 0 xdx is
divergent.
VOORBEELD 13.15
De functie F(x) = – e− x is een primitieve van de functie f(x) = 2x e− x .
U kunt dit controleren door de functie F te differentiëren.
Om de oneigenlijke integraal van f over 〈–∞, ∞〉 te berekenen, splitsen
we in 0:
2
∞
−∞
p
0
=
∫ 2 xe− x dx
2
2
lim
q→– ∞
∫ 2 xe− x dx + lim ∫ 2 xe− x dx
2
q
= lim − e
q →−∞
2
p →∞
− x2
0
q
0
+ lim − e − x
p →∞
2
p
0
= lim (1 + e − q ) + lim ( − e − p –1) = 0
2
q →−∞
Deze oneigenlijke integraal is dus convergent.
OPGAVE 13.17
Bereken de integraal
∞
∫ 2 xe− x dx
2
−∞
door te splitsen in c = 1, en controleer dat dit hetzelfde antwoord
oplevert.
141
2
p →∞
«
Open Universiteit
Continue wiskunde
OPGAVE 13.18
a
Controleer dat
F ( x) =
1
1 + ex
een primitieve is van de functie f ( x ) =
−e x
(1 + e x ) 2
b Bereken
∞
−e x
dx
∫
x 2
−∞ (1 + e )
OPGAVE 13.19
a
Controleer dat
F=
( x)
1
2
ln(1 + x 2 )
een primitieve is van de functie f ( x ) =
x
1 + x2
b Onderzoek de convergentie van
∞
x
dx
∫
2
−∞ 1 + x
OPGAVE 13.20
Ga van de volgende oneigenlijke integralen na of ze convergent dan wel
divergent zijn en bereken ze in geval van convergentie.
a
0
∫−∞ e3 x dx
b
∞
∫1
1
dx
x
c
∞
∫−∞ sin x dx
In leereenheid 16 bekijken we functies f met f(x) ≥ 0 op R en ∫∞
– ∞ f(x)dx = 1,
de zogenaamde kansdichtheidsfuncties. Zoals de naam aangeeft, worden
deze in de kansrekening gebruikt. Zonder bewijs vermelden we alvast
dat
∞
2
∫−∞ e −x d x = π
(13.1)
wat betekent dat ook f(x) = π–1/2e–x een kansdichtheidsfunctie is. Deze
hoort bij de zogeheten normale verdeling en speelt in de kansrekening een
zeer centrale rol. Aan het eind van paragraaf 3 leerde u dat van sommige
functies de primitieve niet in bekende elementaire functies valt uit te
2
drukken. De functie f(x) = π–1/2e–x is hier een voorbeeld van. Dat maakt
formule 13.1 heel opmerkelijk omdat er kennelijk andere methoden zijn
om deze integraal toch te bepalen. Deze methoden vallen buiten het
bestek van deze cursus.
2
142
Leereenheid 13
Integreren
6
Informaticatoepassingen
6.1
SCHATTEN VAN SOMMEN MET BEHULP VAN INTEGRAALREKENING EN
DE COMPLEXITEIT VAN QUICKSORT
In paragraaf 1 hebben we sommen gebruikt om de oppervlakte onder
een grafiek te benaderen. Daarna zagen we dat we deze oppervlaktes
makkelijker met behulp van integraalrekening konden bepalen. We gaan
nu de omgekeerde weg bewandelen. We gebruiken integraalrekening om
een som te benaderen. In de introductie van deze leereenheid hebt u in
figuur 13.1 gezien dat we de som
n
1
k =1 k
∑
kunnen benaderen met behulp van de oppervlakte onder de grafiek van
de functie f(x) = 1/x.
OPGAVE 13.21
a Bepaal met behulp van integraalrekening een ondergrens voor
b Bepaal ook een bovengrens voor deze som.
n
1
k =1 k
∑
In de casus bij dit blok begonnen we met het onderzoek naar de
gemiddelde complexiteit van Quicksort. In verschillende leereenheden
hebben we vervolgens deze complexiteit verder geanalyseerd, tot een
stap waarin behalve bekende functies, alleen de harmonische reeks
nog voorkwam. In paragraaf 4.1 van leereenheid 9 hebt u gezien dat het
aantal vergelijkingen dat gemiddeld nodig is om n elementen te sorteren
gelijk is aan
qn = ( n + 1)( −
n −1
1
1
1
)
+
+∑
2 n + 1 k =1 ( k + 2)
OPGAVE 13.22
Laat zien dat de gemiddelde complexiteit van Quicksort gelijk is aan
O(n ln n)
Men kan bewijzen dat de complexiteit van een sorteeralgoritme
minimaal O(n ln n) is. Het algoritme Quicksort hoort dus tot de snelst
mogelijke sorteeralgoritmen.
Een ander bekend probleem uit de informatica is het handelsreizigersprobleem (traveling salesman). In het volgende voorbeeld
met bijbehorende opgaven gebruiken we nogmaals integraalrekening
om sommen te schatten.
VOORBEELD 13.16
Traveling salesman
Een handelsreiziger wil n steden bezoeken, en uitzoeken wat de
kortste route is om deze steden allemaal precies éénmaal te bezoeken.
Hiervoor bepaalt hij alle mogelijke routes. Hoeveel tijd kost het om al
deze mogelijkheden na te gaan? Voor de eerste stad zijn er n keuzemogelijkheden, de tweede n – 1, ... , dus in het totaal n! mogelijkheden.
143
Open Universiteit
Continue wiskunde
Dit getal is alleen uit te rekenen door n getallen met elkaar te vermenigvuldigen. Kunnen we hier een benadering voor geven? Dat kan, maar
daarvoor moeten we eerst het product omschrijven naar een som. In
opgave 13.23 benaderen we daarom eerst ln(n!).
«
OPGAVE 13.23
Met welke bepaalde integraal kunt u ln(n!) benaderen?
OPGAVE 13.24
a Toon aan dat x ln x – x een primitieve is van de functie ln x.
b Geef een benadering voor ln(n!).
c Wat is de complexiteit van het handelsreizigersprobleem, waarbij alle
mogelijkheden onderzocht worden?
6.2
DEFUZZIFICATIE
Expertsystemen zijn regelgebaseerde systemen die de gebruiker
ondersteunen bij het nemen van beslissingen of het doen van voorspellingen. Als voorbeeld bekijken we een systeem dat schaatstijden
voorspelt. Het systeem bevat de volgende regel:
Beslissingsregel
Fuzzy logic
ALS eerdere prestaties = matig
EN omstandigheden = goed
EN conditie = goed
DAN tijd op 5000m = goed.
U ziet dat de voorwaarden in deze regel kwalitatief zijn, er wordt
gesproken over matige prestaties, goede omstandigheden, goede
conditie. In het algemeen kunnen computers niet overweg met zulke
kwalitatieve gegevens. Met behulp van fuzzy logic (vage logica), is het
toch mogelijk om systemen te bouwen die dit soort regels kunnen
toepassen.
Een van de hulpmiddelen daarbij is de lidmaatschapsfunctie, waarmee
een kwalitatief begrip enigszins exact wordt gemaakt. Als voorbeeld
kijken we naar schaatstijden. Een prestatie van een topschaatser op de
5000 m kunnen we kwalitatief omschrijven in termen van goed, matig
of slecht. De lidmaatschapsfunctie koppelt deze begrippen aan tijden
waarbij de waarde van de functie aangeeft in hoeverre de tijd aan de
kwalificatie voldoet. Om een lidmaatschapsfunctie voor het begrip goed
op te stellen bepalen we daarom voor elke tijd in hoeverre deze aan de
kwalificatie ‘goed’ voldoet. Een goede tijd krijgt de maximale waarde 1,
een ‘niet goede’ tijd de minimale waarde 0, en tijden die een beetje goed
zijn krijgen een tussenliggende waarde. Zo is bijvoorbeeld 6 minuten en
10 seconden een goede tijd: de lidmaatschapwaarde van het begrip goed
bij deze tijd is gelijk aan de maximale waarde 1, en is 6,30 geen goede tijd
en daarom heeft ‘goed’ voor deze tijd lidmaatschapswaarde 0. Maar
bijvoorbeeld 6,15 is nog wel een beetje een goede tijd en krijgt daarom
lidmaatschapswaarde 0,5. De lidmaatschapsfunctie van ‘goed’ kan met
de volgende grafiek worden weergegeven (zie figuur 13.11).
144
Leereenheid 13
FIGUUR 13.11
Integreren
De lidmaatschapsfunctie goed
Op dezelfde manier kunnen ook ‘matig’ en ‘slecht’ omschreven worden
met een lidmaatschapsfunctie. Uit de grafiek in figuur 13.12 ziet u dat de
verschillende begrippen overlappen. Zo is de tijd 6,15 tegelijkertijd ‘goed’
met lidmaatschapswaarde 0,5 én ‘matig’, ook met lidmaatschapswaarde
0,5. Dit is kenmerkend voor fuzzy logica.
FIGUUR 13.12
De lidmaatschapsfuncties goed, matig en slecht
Vergelijkbare lidmaatschapsfuncties kunnen we opstellen voor eerdere
prestaties in dit seizoen, de omstandigheden en de conditie van de rijder.
Vervolgens kunnen we deze lidmaatschapsfuncties gebruiken bij de
evaluatie van een beslissingsregel.
Veronderstel nu dat de eerdere prestatie van een schaatser een tijd van
6,17 is, en dat ook voor de omstandigheden en conditie getalwaarden
bekend zijn. Het fuzzy expertsysteem doet nu met behulp van de
beslissingsregel uit het begin van deze paragraaf een voorspelling over
de tijd die de schaatser zal gaan rijden. Het voert te ver om precies uit te
leggen hoe deze voorspelling tot stand komt. We kijken alleen naar de
laatste stap omdat daar integraalrekening wordt toegepast.
145
Open Universiteit
Continue wiskunde
Het resultaat van de beslissingsregel is in eerste instantie weer een
functie. In dit voorbeeld zou dit de grafiek uit figuur 13.13 kunnen zijn.
0.5
De functie die de voorspelde tijd op de 5000m weergeeft
FIGUUR 13.13
Wat betekent deze laatste grafiek? Bij elke tijd geeft de grafiek een waarde
die aangeeft in hoeverre deze tijd meetelt voor het verwachte resultaat.
Om te bepalen of het resultaat een goede, matige of slechte tijd is, gaan
we het gewogen gemiddelde bepalen van de schaatstijden uit de grafiek.
Daarbij gebruiken we de functiewaarden als de gewichten van dit gewogen
gemiddelde. Als de resultaatfunctie uit discrete waarden had bestaan was
wel duidelijk geweest hoe we zouden moeten middelen om tot een
eindwaarde te komen: door eerst alle tijden vermenigvuldigd met de
lidmaatschapswaarde bij elkaar op te tellen krijgen we een gewogen som,
die we nog door de som van de gewichten (=functiewaarden) moeten delen
om een gewogen gemiddelde te bepalen. Uit de continue waarden van figuur
13.13 kunnen we bijvoorbeeld discrete waarden afleiden door bij elke hele
seconde de waarde af te lezen. Uit figuur 13.13 zien we dat in dit geval de
gewogen som gelijk is aan
0.8 · 6,05 + 0,8 · 6,06 + ... 0,8 · 6,12 + 0,7· 6,13 + ... + 0 · 6.30 en de som van de
gewichten aan 0,8 + 0,8 + ... + 0,8 + 0,7 + ... + 0,2 + 0,1 + 0. Het quotiënt van
deze twee geeft een benadering voor het verwachte resultaat dat de
schaatser zal behalen.
Wanneer we de verdeling gaan verfijnen, gaan deze sommen steeds beter
lijken op
6,30
∫6,05
f(t)·t dt en
6,30
∫6,05
f(t)dt
met f de resultaatfunctie. Na wat rekenwerk, waarvan we u het eerste
deel laten doen in opgave 13.25 en het tweede deel uitstellen tot de
computeralgebra leereenheid 14, vinden we
6,30
∫
f (t )·tdt
≈ 6,15
6,05
6,30
∫
f (t )dt
6,05
Defuzzificatie
Het bepalen van een enkele waarde uit de resultaatfunctie heet
defuzzificatie.
146
Leereenheid 13
Integreren
Het systeem voorspelt dus dat de tijd die de schaatser zal rijden
ongeveer 6,15 s zal zijn. Ten slotte willen we uit deze getalwaarde weer
een kwalificatie afleiden. Als we nu terugkijken naar de grafieke 13.12
zien we dat we de prestatie kunnen beschrijven als goed of matig (beide
met lidmaatschapswaarde 0,5).
OPGAVE 13.25
Stel de integralen op die u moet uitrekenen om de defuzzificatie uit te
voeren.
5.3
WEERGAVE VAN KLEUREN
We sluiten deze leereenheid af met een toepassing waarbij we bekijken
hoe kleur kan worden weergegeven. De kleur van licht wordt bepaald
door de golflengte. Sommige lichtbronnen geven monochromatisch licht
dat maar uit één golflengte bestaat. Vaak is licht echter opgebouwd uit
verschillende golflengten. In dit geval kan het licht beschreven worden
door een functie die voor elke golflengte weergeeft hoeveel van deze
golflengte tot het uitgezonden licht behoort. We noemen zo'n functie een
spectraalverdeling. Onze ogen bevatten drie soorten receptoren voor
gekleurd licht: deze receptoren ontleden het licht in drie componenten
en tellen de resultaten op. Omdat verschillende spectraalfuncties na
ontbinden in de drie factoren dezelfde eindsom op kunnen leveren, is
het mogelijk dat we twee lichtbronnen met verschillende spectraalverdelingen zien als dezelfde kleur. Deze eigenschap wordt gebruikt bij
weergave van kleur op bijvoorbeeld computerschermen. Door een mix
van rood, groen en blauw zijn (bijna) alle kleuren na te bootsen. Hoe
kunnen we nu bij een kleur met gegeven spectraalverdeling de juiste
verhouding tussen rood, groen en blauw bepalen om deze kleur na te
bootsen? Om deze vraag te beantwoorden kijken we eerst wat
nauwkeuriger naar de werking van het oog. De gevoeligheid van elke
type receptor kunnen we ook met een functie beschrijven. In de grafiek
hieronder ziet u de functie voor de receptor voor groen licht g.
FIGUUR 13.14
De receptor voor groen licht
Stel nu dat licht met een bepaalde spectraalverdeling τ op deze receptor
valt. De stimulans van deze receptor kunnen we dan van bovenaf
benaderen door voor elk klein deelinterval [λi–1, λi] met lengte ∆λ
de maximale waarde van de spectraalverdeling op dit interval te
vermenigvuldigen met de maximale waarde van de gevoeligheid g
op dit interval, en vervolgens deze waarden, vermenigvuldigd met
de intervalafstand ∆λ op te tellen. Maar dit betekent dat we in feite de
147
Open Universiteit
Continue wiskunde
integraal van τ g over het domein van g bepalen! Om een kleur na te
bootsen moeten we dus drie integralen bepalen. Een lichtbron die bestaat
uit de basiskleuren in een verhouding die overeenkomt met de waarden
van deze integralen geeft dan precies de juiste kleur. In de praktijk wordt
voor het bepalen van de kleurcomponenten voor kleurweergave niet
gewerkt met de gevoeligheidsfunctie van de receptoren maar met drie
andere basisfuncties. Deze standaardfuncties zijn in 1931 door de
Commission Internationale de l' Eclairage vastgesteld en heten daarom
ook wel de CIE standaarden. De grafieken van deze functies x(λ),y(λ) en
z(λ) ziet u in figuur 13.15. Op studienet vindt u een kleurenplaatje, waar
u kunt zien welke kleuren met deze standaarden corresponderen.
FIGUUR 13.15
OPGAVE 13.26
De CIE standaarden
De drie componenten om een kleur met spectraalfunctie τ weer te geven,
kunnen berekend worden met behulp van drie integralen. Geef deze
integralen.
Het berekenen van de integralen uit opgave 13.26 gebeurt in de praktijk
door numerieke methoden, waarbij de computer met een bepaald
algoritme de uitkomsten benadert. In deze cursus gaan we hier niet
verder op in.
148
Leereenheid 13
Integreren
SAMENVATTING
Als f de afgeleide is van de functie F, dan heet F een primitieve van f.
Als F een primitieve is van f, dan is ook F + c een primitieve voor elke
constante c.
Als F een primitieve is van f, dan is de bepaalde integraal van f over [a. b]
gelijk aan
b
dx F (b ) − F ( a )
∫ f ( x )=
a
Als f positief is op [a, b], dan is de bepaalde integraal van f over [a. b]
gelijk aan de oppervlakte ingesloten door de grafiek van f, de x-as, en
de lijnen x = a en x = b.
Voor het integreren gelden de volgende rekenregels:
Somregel
Verschilregel
Constante-regel
Intervalregel
F + G is een primitieve van f + g.
F – G is een primitieve van f – g.
cF is een primitieve van cf.
c
b
c
a
a
b
f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
∫=
Een som kunnen we benaderen door een integraal:
n −1
∑
k =1
f ( k ) is ongeveer gelijk aan
n
∫ f ( x ) dx
1
Oneigenlijke integralen berekenen we als limiet van bepaalde integralen:
∞
p
a
a
∫ f ( x ) dx = plim
∫ f ( x ) dx
→∞
en
b
∫
−∞
f ( x ) dx = lim
b
q →−∞
∫ f ( x ) dx
q
Oneigenlijke integralen over de hele reële rechte moeten we eerst
splitsen:
∞
c
∞
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫c
149
c
q →−∞ q
f ( x )dx = lim
∫
p
p →∞ c
f ( x )dx + lim
∫
f ( x )dx
Open Universiteit
Continue wiskunde
ZELFTOETS
1
Bepaal de primitieven van
a 10x4 + x 5 x – 4e2x–3
2
b
3
2x − 5
c
2 sin 2x +
d
2x
5x
1
3cos2 x
Bepaal de volgende bepaalde integralen:
a
4
1
∫ ( x + 2)2 dx
1
b
π
∫ sin x − 3 x 2 − 2 dx
0
3
Bereken ∫20 f(t)dt als f gegeven wordt door
1 + t 2
f (t ) = 
π
cos( πt + 2 )
voor 0 ≤ t < 1
voor 1 ≤ t ≤ 2
Geef een interpretatie van het antwoord in termen van oppervlakte.
4
Beschouw de functies f(x) = 4/cos2 x en g(x) = 3 sin 2x.
a Noem h(x) = f(x) – g(x). Bepaal alle primitieven van h.
b Laat zien dat f(x) ≥ g(x) op [0, π/4] en bereken de oppervlakte tussen
de grafieken van f en g op [0, π/4].
c Kies een primitieve H van h en bereken H(5π/4) – H(π/6). Is dit getal
te interpreteren als een oppervlakte tussen de grafieken van f en g?
Motiveer uw antwoord.
5
Bepaal met behulp van integraalrekening een bovengrens voor
6
a Bepaal a zodat de functie F(x) = a/√(1 + x2) een primitieve is van de
functie
f(x) =
x
(1 + x 2 )3/ 2
b Bepaal
150
∞
x
dx
∫
2 3/2
−∞ (1 + x )
n
1
.
2
n
k =1
∑
Leereenheid 13
151
Integreren

Download Report