Relativiteitstheorie van Einstein: Tensor calculus
Connectie en Covariante afgeleide
Relativiteitstheorie van Einstein: Tensor calculus ................................................................ 1
Connectie en Covariante afgeleide......................................................................................... 1
1. Intro: Covariantie ................................................................................................................ 2
1.1. Probleemstelling: de gewone afgeleide ...................................................................... 2
1.2 Connectie en covariante afgeleide .............................................................................. 3
2. Euclidische meetkunde in een vlakke ruimte .................................................................... 4
2.1. Didaktisch voorbeeld: 2D poolcoordinaten................................................................ 5
2.1.1 Methode 1: geometrische aanpak ......................................................................... 6
2.1.2 Methode 2: via de afgeleide van de basisvectoren .............................................. 8
2.2. Transformatie van de coordinaten............................................................................... 9
2.3 Covariante afgeleide: uitbreiding van de afgeleide .................................................. 11
2.3.1 Afgeleide van een vector..................................................................................... 11
2.3.2 Verificatie van de transformatie ....................................................................... 12
2.3.3 Covariante afgeleide van tensoren...................................................................... 13
2.4 De Christoffel symbolen en de metrische tensor ...................................................... 14
2.5 Toepassing: versnelling in poolcoordinaten.............................................................. 15
2.6 Conclusie Euclidische ruimte..................................................................................... 16
3. GSekromde ruimte embedded in een Euclidische ruimte............................................... 16
3.1 Intro.............................................................................................................................. 16
3.2 Coordinaten en basisvectoren..................................................................................... 16
3.3 metrische tensor .......................................................................................................... 18
3.4 2de basisvorm ............................................................................................................... 18
3.5 Christoffelsymbolen.................................................................................................... 19
3.6 Covariante afgeleide ................................................................................................... 19
4. Conclusies.......................................................................................................................... 20
Appendix A: berekenen van Christoffel symbolen uit de metriek..................................... 21
A.1. Sferische coordinaten................................................................................................ 21
A.2. Isotrope statische metriek ......................................................................................... 22
A.3.Vlakke hyperbolische coordinaten............................................................................ 22
A4 Vlakke poolcoordinaten.............................................................................................. 23
A5 Cylindrische coordinaten............................................................................................ 24
Appendix B ............................................................................................................................ 25
1
1. Intro: Covariantie
In dit hoofdstuk gaan we verder met tensorrekenen, met name met deel 2 over tensor
calculus (afgeleiden en dergelijke). Tensoren zijn belangrijk omdat ze compacte
formuleringen toelaten die bovendien de eigenschap hebben dat vergelijkingen
onafhankelijk zijn van de coordinaten. Dit wil zeggen dat – eenmaal de geldigheid
bewezen in één coordinatenstelsel – deze kan worden uitgebreid naar elk ander stelsel.
Dit noemen we covariantie. Daarom zijn alle vergelijkingen in de relativiteitstheorie
tensor vergelijkingen. Deze maken (samen met het gelijkheidsbeginsel) voor een groot
deel de elegantie uit van de relativiteitstheorie.
Een belangrijk concept in de Algemene Relativiteitstheorie is het begrip connectie die
concreet gestalte krijgt in de Christoffel symbolen. Dit is een object dat zorgt voor het
“transport van data tussen raakruimtes op een parallelle en consistente manier, via een
curve zonder de richting te veranderen.” (wikipedia). De benaming ‘connectie’ is een
gevolg van het tot stand brengen van een verbinding tussen raakruimtes. De componenten
van deze vector (die zal blijken geen tensor te zijn) noemen we connectie coefficienten.
Als het gaat om basisvectoren worden ze Christoffel symbolen genoemd.
We behandelen het begrip connectie in dit hoofdstuk omdat het nauw aansluit bij de
covariante afgeleide. Maar het moge duidelijk zijn dat een connectie breder en
fundamenteler is zodat ze ook op een aantal andere plaatsen voorkomt in de ART,
bijvoorbeeld bij geodetische vergelijking en bij de kromming. Deze beide laatste
onderwerpen zijn verschoven is naar andere hoofdstukken.
1.1. Probleemstelling: de gewone afgeleide
In de ART gaat het om differentiaal-vergelijkingen die afgeleiden bevatten. Omdat de
covariantie alleen geldt voor tensorvergelijkingen (waar elke term van het type tensor is)
is het een centrale vraag of de afgeleide van een tensor ook een tensor is. Het antwoord
hierop is in eerste instantie negatief.
Stel gegeven een contravariante tensor met componenten die functies zijn van x
T m = T m (x) . Een van de manieren om een tensor te definieren is het transformatie
gedrag. Bij een transformatie van x x’ ontstaat een nieuwe tensor T ’ zodat
∂x'i
T 'i = m T m . Om te weten of de afgeleide van een tensor eveneens een tensor is
∂x
schrijven we het transformatie gedrag neer. Als we T ’ afleiden naar x’ j dan geldt
i
i
∂T 'i
∂
∂
∂
∂x q
i
m ∂x '
m ∂x '
=
(
T
'
)
=
(
T
)
=
(
T
)
∂x' j ∂x' j
∂x' j
∂x m
∂x q
∂x m ∂x' j
2 i
∂x'i ∂T m ∂x q
∂x q
m ∂ x'
= m
+
T
∂x ∂x q ∂x' j
∂x q ∂x m ∂x' j
Equation 1
waarbij T’ vervangen is zoals aangegeven hierboven en waarbij vervolgens
vervangen is door
∂ ∂x q
.
∂x q ∂x' j
2
∂
∂x' j
Als we alleen de eerste term bekijken dan zou dit een gemengde tensor opleveren van het
type (1,1). Maar de tweede term zorgt ervoor dat dit geen tensor is. Er is dus een
probleem met de gewone afgeleide.
1.2 Connectie en covariante afgeleide
We gaan op zoek naar een nieuwe manier van afleiden, de zogenaamde covariante
afgeleide. Daartoe gaan we terug naar de essentie van afleiden van vectoren en tensoren.
ν
Aµ
Aµ||(xv+dxv)
Aµ(xv+dxv )
Aµ(xv)
xv +dxv
xν
Figure 1 De afgeleide van een vector waarbij de verschildriehoek geconstrueerd wordt door een
parallele verplaatsing.
De afgeleide heeft per definitie te maken met het verschil tussen twee nabij gelegen
tensoren. We beschouwen de tensoren in twee punten xν en xν+dxν. Op een manier die
we verder bespreken wordt de tensor Aµ(xν) parallel met zichzelf verplaatst naar (xν+dxν)
alwaar hij A//µ ( xν + dxν ) wordt genoemd. Vervolgens kan de verschildriehoek gesloten
worden door de tensor die we de afgeleide noemen. We verwachten dus dat deze
afgeleide een tensor van rang twee is omdat er twee richtingen zijn die een rol spelen: die
van de tensor en die van de afgeleide.
1
{ Aµ ( xν + dxν ) − ( A//µ ( xν + dxν )}
ν
δxν → 0 δx
∇ν Aµ = lim
{
Equation 2
Essentieel is de verplaatsing of het transport van de tensor. Dit lijkt triviaal en dat is ook
zo in een vlakke ruimte maar niet zo bij gekromde ruimtes waar de tensor gedefinieerd is
in een raakruimte die hoort bij één punt van de manifold.
In equation 2 hebben we twee tensoren nodig, de vector zelf afhankelijk van x en de
parallel verplaatste vector. Voor de eerste passen we een Taylor expansie toe
Aµ ( x + dx) = Aµ ( x) + δxν ∂ν Aµ
Wat betreft de parallel verplaatste vector nemen we aan dat het verschil lineair is in
termen van de vector zowel als in termen van de verplaatsing. Dit betekent dat we
aannemen dat er constante factoren zijn waarmee we moeten vermenigvuldigen en die we
aanduiden als Γανµ
3
A//µ ( x + dx) = A µ ( x) + δ A µ ( x)
δ A µ ( x) = −Γανµ Aα ( x)δxν
Equation 3
Dit resulteert in
1
{ A µ ( x + dx) − A//µ ( x + dx)}
ν
δxν → 0 δx
∇ν A µ = lim
{
1
{ A µ ( x) + δxν ∂ν A µ − A µ ( x) − Γανµ ( x) Aα ( x)δxν
ν
x
δ
ν
δx → 0
∇ν A µ = lim
{
Equation 4
1
{δxν ∂ν A µ − Γανµ ( x) Aα ( x)δxν }
ν
δxν → 0 δx
∇ν A µ = lim
{
∇ν A µ = ∂ν A µ − Γανµ ( x) Aα ( x)
Dit kan ook worden gezien als een gevolg van de Leibniz regel d ( fg ) = ( df ) g + f (dg )
die zegt dat de afgeleide van een product gelijk is aan een som van termen waar in elke
term slechts één input als veranderlijke wordt afgeleid en de rest constant wordt
gehouden. De eerste term in het tweede lid stelt de gewone partiele afgeleide voor. De
tweede term is een correctie term, zijnde een lineaire transformatie of een set van n x n
ρ
constante matrices, één voor elke richting ν (Γν )σ . We zullen in dit hoofdstuk deze
gamma’s berekenen.
Eenmaal het transport gebeurd is moeten we nog definieren wat het betekent om tensoren
te vergelijken. Voor getallen is dit duidelijk maar tensoren zijn geen getallen. Zoals uit de
figuur blijkt zijn we geinteresseerd in het verschil tussen de tensor op een gegeven locatie
en de parallel verschoven tensor.
aanpak
Dit hoofdstuk is opgebouwd vanuit het standpunt van het soort meetkunde en ruimte die
daarbij horen. Het is opgebouwd in drie stappen.
1. Eerst in een Euclidische ruimte onder de aanname van vlakke meetkunde maar
wel met een uitbreiding naar kromlijnige coordinaten.
2. Meetkunde op een gekromd oppervlak maar ingebed in een Euclidische ruimte
3. Meetkunde op een gekromd oppervlak zonder embedding (Riemann meetkunde)
Deze keuze is gemaakt omdat parallel transport van tensoren in een Euclidische ruimte
eenvoudig is en omdat bovendien een Riemann ruimte locaal door een Euclidische ruimte
kan worden gemodelleerd.
Binnen elke sectie hanteren we eveneens dezelfde structuur: coordinaat transformatie,
basisvectoren, metrische tensor, Christoffel symbolen, afgeleide.
2. Euclidische meetkunde in een vlakke ruimte
Christoffel symbolen worden gebruikt om de effecten van parallelle verplaatsingen van
tensoren en vectoren te beschrijven zowel in een vlakke als in een gekromde ruimte. Dit
4
transport gebeurt op een specifieke manier, namelijk door een tensor parallel met zichzelf
te verplaatsen.
Dit lijkt triviaal en dat is ook zo in een vlakke ruimte met Cartesische coordinaten maar
niet zo met kromlijnige coordinaten. Het verschil tussen Cartesische coordinaten en
kromlijnige is dat in het eerste geval de basisvectoren dezelfde zijn in elk punt van de
ruimte terwijl ze in het andere geval van punt tot punt verschillen. Dit betekent dat bij
een parallelle verplaatsing van een vector er duidelijke verschillen bestaan. In geval van
Cartesische coordinaten blijven de richting en de grootte dezelfde, enkel het
aangrijpingspunt verandert. In geval van kromlijnige coordinaten veranderen zowel de
componenten als de basisvectoren. We willen de verandering van de basisvectoren
berekenen bij een verplaatsing tussen twee punten.
Deze verandering van een vector is ook een vector en kan dus geschreven worden in
dezelfde basis waarbij de Christoffel symbolen als coefficient gebruikt worden
r
r
Equation 5
g i , j = Γijk g k
De Christoffel symbolen worden voorgesteld door het symbool Γ klj dat geen tensor is. In
de volgende sectie bespreken we een voorbeeld.
2.1. Didaktisch voorbeeld: 2D poolcoordinaten
ey
gr
gφ
P
gφ
Q gr
ex
Figure 2 De componenten van een vector die parallel verplaatst wordt (rood) veranderen omdat er
gebruik wordt gemaakt van curvilineaire coordinaten waarvan de basisvectoren (zowel grootte als
richting) verschillend zijn in elk punt van de ruimte.
5
2.1.1 Methode 1: geometrische aanpak
Deze aanpak wordt duidelijk gemaakt aan de hand van een didaktisch voorbeeld
waarvoor we 2D poolcoordinaten kiezen. Figuur 2 toont een parallelle verplaatsing van
de rode vector waarbij het aangrijpingspunt verschuift van P naar Q.
We kunnen twee soorten wijzigingen (kleine verstoringen/acties) aanbrengen die een
verandering van deze basisvectoren teweegbrengen: we kunnen de hoek φ wijzigen of de
afstand r. Meer algemeen is dit bepaald door de coordinaten. Beiden zijn voorgesteld in
de volgende figuur; de hoek wijziging links en de afstand wijziging rechts.
ey
ey
dφgφ
dφgr
drgφ
Q
gφ
P
gφ
Q
gr
P
dφ
dφ
φ
gr
Φ
ex
ex
Figure 3 Poolcoordinaten als een voorbeeld van de berekening van Christoffel symbolen. De linker
figuur toont de gevolgen van een hoekwijziging, de rechter van een radiale wijziging.
r
Actie: wijziging hoek φ; impact op gϕ
r
We beginnen met de hoek φ. De impact op de vector gϕ wordt voorgesteld in een
r
r
driehoek met als zijden de vector gϕ in het punt Q, de vector gϕ die parallel verplaatst is
r
van P naar Q en de verschilvector dϕ gϕ . Deze laatste stelt de volledige verandering voor
ten gevolge van een hoekwijziging en wordt ook connectie vector genoemd. De grootte is
gelijk aan rdφ en de richting is radiaal. We noteren dus voor de verschilvector
r
r
r
dϕ gϕ = − rdϕg r . Hierin betekent het linkerlid de ‘differentiaal van gϕ ’ ten gevolge van
wijziging in de hoek.
Definitie
r : differentiaal van een vector A in een cartesisch assenstelsel
Als A een vector is die een functie is van meerdere variabelen, dus bijvoorbeeld,
r
r
r
A( x, y ) = A1 ( x, y)e x + A2 ( x, y)e y dan is de differentiaal gelijk aan
r
r
r ∂A
∂A
dA =
dx +
dy
Equation 6 ■
∂x
∂y
6
We passen dit nu toe op de basisvectoren van een kromlijnig stelsel die we beschouwen
als gewone vectoren in een Cartesisch stelsel. De differentiaal kan op twee manieren
berekend worden die uiteraard leiden tot hetzelfde resultaat. In eerste manier itereren we
over alle variabelen, leiden de totale vector af naar elke variabele en sommeren hierover
r
r
∂A s ∂A s
∂A
= ( 1 e x + 2 e y ) en ∂A = ( ∂A1 es x + ∂A2 es y ) volgt
Uit
∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
∂y
r
∂A s ∂A s
∂A s ∂A s
dA = ( 1 e x + 2 e y ) dx + ( 1 e x + 2 e y ) dy
∂x
∂x
∂y
∂y
Equation 7
Op de tweede manier itereren we over elke component, berekenen we totale afgeleide van
elke component en sommeren
r
∂A
∂A
∂A
∂A
s
s
s
s
dA = dA1 e x + dA2 e y = ( 1 dx + 1 dy )e x + ( 2 dx + 2 dy )e y
∂x
∂y
∂x
∂y
We passen Equation 4 toe op poolcoordinaten. Hieruit volgt
∂grϕ r r ∂grϕ ϕ r
r
r
r r
ϕ r
g ϕ = Γϕϕ
g r +
dg ϕ =
g r + Γϕϕ
g ϕ dϕ = (−rg r ) dϕ Equation 8
∂ϕ
∂ϕ
r ν
∂g
Hierin zijn de gammas gedefinieerd als Γ k ij = ki de ν-de component van de
∂x
r
verschilvector die betrekking heeft op de coordinaat basisvector g i ten gevolge van een
r
r
dg i
r
a
k
j r
infinitesimale verstoring van coordinaat x : dg i = Γ ij dx g k
→ j = Γ k ij .g k
dx
[
]
r
Actie: wijziging straal r; impact op g ϕ
r
Vervolgens gaan we de invloed na van een radiale verstoring op g ϕ zoals getoond in de
r
r
figuur. De verbindingsvector d r g ϕ heeft de richting van g ϕ en de grootte is dr en
r
r
r
genormeerd op g ϕ is dit gelijk aan (1/r)dr g ϕ vermits de lengte van g ϕ gelijk is aan r.
∂grϕ r r ∂grϕ ϕ r
r
r
r
r
g r +
g ϕ dr = Γϕrr g r + Γϕϕr g ϕ dr = (1 / rg ϕ ) dr
Equation 9
d r g ϕ =
∂r
∂r
s
Actie: wijziging straal r; impact op g r
s
Vervolgens gaan we de impact na op de vector g r . Een radiale verstoring heeft geen
impact. Er zijn geen wijzigingen in het vectorveld.
s
Actie: wijziging hoek φ ; impact op g r
s
Tenslotte richten we onze aandacht op de impact op g r van een verstoring van de hoek
[
]
7
r r
r ϕ
r ∂g r r ∂g r r
r
r
r
dϕ g r =
g r +
gϕ dϕ = Γrrϕ g r + Γrϕϕ gϕ dϕ = (1 / rgϕ ) dϕ Equation 10
∂ϕ
∂ϕ
[
]
Dit kan worden samengevat in een compacte vergelijking waarin i,j en k de waarden r en
φ kunnen aannemen
r
r
dg i
r
k
j r
dg i = Γ ij dx g k
→ j = Γ k ij .g k
Equation 11■
dx
2.1.2 Methode 2: via de afgeleide van de basisvectoren
In de vorige methode werden de verschilvectoren rechtstreeks uitgerekend in
curvilineaire coordinaten wat omslachtig is. Daarom dit alternatief. We drukken de
curvilineaire basisvectoren uit als functie van de Cartesische coordinaten om vervolgens
de afgeleiden te berekenen.
r
We noteren de Cartesische coordinaten met als basis ei als (ξ1, ξ2, ξ3) en de kromlijnige
r
coordinaten met als basis g i als (x1, x2, x3). We kiezen nu een vast punt als oorsprong
van waaruit een positievector R vertrekt naar een willekeurig punt van de ruimte. Van
elke positie vector R kan de differentiaal genomen worden die in beide stelsels kan
worden geschreven als
r
r
r ∂R i r i
r ∂R k r k
dR = i dξ = ei dξ
dR = k dx = g k dx
∂ξ
∂x
r
r
i
∂R ∂R ∂ξ
Uit k = i k volgt het verband tussen beide basissen
∂x
∂ξ ∂x
r r ∂ξ k
g i = ek i
∂x
en _ omgekeerd
r ∂x k r
ei = i g k
∂ξ
(Equation 12a,b)
Vervolgens berekenen we de partiele afgeleiden van de basisvectoren. Voorlopig nemen
r
r
we aan dat deze covariant zijn. We leiden de uitdrukking voor g k af waarbij ei constant
is
r
r ∂ ∂ξ k
∂ r
g i , j = j (g i ) = ek j i
∂x
∂x ∂x
r ∂ 2ξ k
= ek i j
∂x ∂x
Equation 13
Vermits de Christoffel symbolen de afgeleide van de basisvectoren uitdrukken in functie
r
r
van dezelfde basis moeten we ei nog vervangen door een functie van g k (zie hierboven)
Invullen van Eq 12b in Eq 13 waarbij de dummy index k vervangen wordt door n omdat
k reeds in de expressie voorkomt
∂x k r ∂ 2ξ n
r
∂x k ∂ 2ξ n r
g i , j = n g k i j = n i j g k
∂ξ ∂x ∂x
∂ξ
∂x ∂x
Equation 14
∂x k ∂ 2ξ n
waarin de komma
∂ξ n ∂x i ∂x j
notatie de afgeleide voorstelt. Dit is dezelfde vergelijking als Eq. 11.
r
r
Dit kan geschreven als g i , j = Γijk g k
waarin
8
Γijk =
We merken op dat de Christoffel symbolen verschillend van nul zijn voor
poolcoordinaten in een vlak. Ze beschrijven dus de kromming als gevolg van de
coordinaten en niet de kromming van de ruimte als dusdanig. Verder geldt dat Christoffel
symbolen symmetrisch zijn in de onderste indices Γijk = Γ jik .
Voorbeeld [2D poolcoordinaten]
De kromlijnige basisvectoren volgen uit de transformatieformules (zie ook de tekst over
tensors) en uit Eq 7
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
r r ∂x r ∂y r
r
g r = ex
+ ey
= ex cos ϕ + e y sin ϕ
∂r
∂r
r
r ∂x r ∂y
r
r
gϕ = ex
+ ey
= −ex r sin ϕ + e y r cos ϕ
∂ϕ
∂ϕ
We nemen nu de partiele afgeleiden uitgedrukt in Cartesische coordinaten Eq 8
∂ r r ∂ ∂x r ∂ ∂y r
r
g r = ex
+ ey
= ex .0 + ey .0 = 0
∂r
∂r ∂r
∂r ∂r
r
r
r
∂ r r ∂ ∂x r ∂ ∂y
+ ey
= −ex sin ϕ + ey cosϕ = gϕ / r
g r = ex
∂ϕ
∂ϕ ∂r
∂ϕ ∂r
r ∂ ∂x r ∂ ∂y
r
r
r
∂ r
gϕ = ex
+ ey
= −ex sin ϕ + e y cosϕ = gϕ / r
∂r
∂r ∂ϕ
∂r ∂ϕ
∂ r
r ∂ ∂x r ∂ ∂y
r
r
r
= −ex r cosϕ − ey r sin ϕ = −rg r
gϕ = ex
+ ey
∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ
De partiele afgeleiden kunnen met behulp van Eq. 2 herschreven worden zodat de
volgende Christoffel symbolen expliciet worden gemaakt.
r
r
∂g r
∂g r
r
r
r
r r
ϕ r
= Γrr g r + Γrr g ϕ = 0
= Γrrϕ g r + Γrϕϕ g ϕ = (1 / r ) g ϕ
∂ϕr
∂r
r
∂g ϕ
∂g r
r
r
r
r
ϕ r
r r
= Γrrϕ g r + Γrϕϕ g ϕ = (1 / r ) g ϕ
= Γϕϕ
g r + Γϕϕ
g ϕ = − rg r
∂ϕ
∂ϕ
Bij wijze van verificatie kunnen deze vergeleken worden met de Christoffel symbolen in
Appendix A4. ■
2.2. Transformatie van de coordinaten
We gaan nu over tot een systematische aanpak. Maar we hebben eerst een
voorbereidende stap nodig. We staan even stil bij coordinaat transformaties voor enkele
grootheden. Stel gegeven een algemene transformatie tussen kromlijnige coordinaten x
en x’ zodat x' = x' ( x) en x = x( x' ) . Stel gegeven een contravariante tensor T i = T i ( x) .
Uit de definitie van een tensor volgt dat bij een transformatie van x x’ een nieuwe
tensor T’ ontstaat waarvoor geldt
∂x'i
T 'i = n T n .
∂x
9
Op dezelfde manier wordt een covariante tensor Ti = Ti (x) getransformeerd naar een
nieuwe tensor T 'i = Ti ( x' ) waarvoor geldt dat
∂x n
Tn .
∂x' i
Wat betreft transformatie eigenschappen gedragen basisvectoren zich op dezelfde manier
r ∂x'i r
r ∂x n r
als gewone vectoren zodat g 'i = n g n en g 'i = i g n .
∂x
∂x'
De volgende stap is de afgeleide van de basisvectoren. De Christoffel symbolen laten toe
deze afgeleiden uit te drukken in de basis. Met een komma notatie voor de afgeleide leidt
dit tot
r
r
r
r
∂g i
g i , j = g i , j ( x) = j = Γ k ij g k
∂x
r
ri
ri
r
∂g i
g , j = g , j ( x) = j = −Γ i jk g k
∂x
Hieruit kunnen de Christoffel symbolen worden geisoleerd via het scalair product met de
basisvectoren
T 'i =
r
r
g i , j • g k = Γ k ij
r
r
g i , j • g k = −Γ i jk
De volgende stap is de transformatie van de Christoffel symbolen. We vertrekken van de
symbolen in het x’ stelsel. Daartoe schrijven we alle tensoren en grootheden die in een
expressie voorkomen met een accent (‘)
Γ'
i
jk
r
ri r
∂g 'i r
= − g ' , j • g 'k = − j • g 'k
∂x'
Vervolgens transformeren we elke tensor zoals voorgeschreven door de definitie.
∂ r ∂x'i r ∂x n
Γ'ijk = − j g l l • g n k
∂x'
∂x' ∂x
Vermits nu alle grootheden afhangen van x vervangen we alle afgeleiden naar x’ door
∂
∂ ∂x q
afgeleiden naar x. Dus vervangen we
door
∂x' j
∂x q ∂x' j
Γ'ijk = −
∂
∂x q
r l ∂x'i ∂x q r ∂x n
g
j • gn k
l
∂
x
∂x'
∂x'
Uitwerken van de partiele differentiatie geeft
r
∂g l ∂x'i r l ∂ 2 x'i ∂x q r ∂x n
Γ' = − q l + g
• gn k
∂x q ∂x l ∂x' j
∂x'
∂x ∂x
i
jk
Uitwerken en hergroeperen
10
∂x'i ∂x q
Γ'ijk = − l
j
∂x ∂x'
∂x'i ∂x q
Γ'ijk = − l
j
∂x ∂x'
l=n in tweede lid
∂x n
∂x'k
r
∂g l r ∂ 2 x'i ∂x q ∂x n r l r
q • g n − q l
( g • g n )
j
k
∂
∂
∂
∂
∂
x
x
x
x
'
x
'
∂x n l
∂ 2 x'i ∂x q ∂x n l
Γ
−
δn
qn
∂x'k
∂x q ∂x l ∂x' j ∂x'k
∂x 'i ∂x q ∂x n l
∂ 2 x 'i ∂x q ∂x n
Γ'ijk = − l
Γ
−
qn
j
k
∂x q ∂x n ∂x ' j ∂x 'k
∂x ∂x ' ∂x '
Equation 15
∂xα ∂x'λ
In Cartesische coordinaten geldt dat
= δ µλ Of anders geformuleerd, het produkt
µ
α
∂x' ∂x
van de afgeleide van een functie met de afgeleide van de inverse functie is gelijk aan 1.
dx dy dx
Dit is een gevolg van de Leibniz regel
=
=1
dy dx dx
2.3 Covariante afgeleide: uitbreiding van de afgeleide
We tellen bij de partiele afgeleide een term op om een nieuwe operator te creeren die een
nieuwe soort afgeleide oplevert, namelijk de covariante afgeleide. Maar we willen dit
doen op een manier die compatibel is met de oude, d.w.z. dat deze operator automatisch
terug valt op de oude operator (zijnde de gewone partiele afgeleide ∂µ) als we te maken
krijgen met Cartesische coordinaten. In het omgekeerd geval echter is het mogelijk het
tensor karakter te herstellen cia de optelling van een connectie term
Welke term kiezen we om op te tellen? We zouden dit in een definitie kunnen stoppen
(de covariante afgeleide is ...) We hoeven niet willekeurig te kiezen maar we kunnen een
verantwoorde gok wagen door de afgeleide van een vector te berekenen.
2.3.1 Afgeleide van een vector
r
r
Onder de aanname van kromlijnige coordinaten wordt de afgeleide van A = A i g i
r
r
∂A ∂Ai r
i ∂g i
=
gi + A
Equation 16.
∂x j ∂x j
∂x j
De eerste term brengt de verandering van de componenten in rekening en de tweede de
verandering van de basisvectoren. In geval van Cartesische coordinaten valt de tweede
term weg en is het resultaat terug gebracht tot de gewone afgeleide. In het geval van
kromlijnige coordinaten is bij de gewone afgeleide een correctieterm opgeteld. Deze term
kan berekend worden via de Christoffel symbolen. Merk op dat in de voorlaatste stap de
index i in de tweede term vervangen hebben door een n omdat er anders verwarring
ontstaat met de index i in de tweede term.
r
r
∂Ai
r
∂A ∂Ai r ∂Ai r
∂Ai r
∂Ai r
i ∂g i
i m r
a i r
j + A n Γ i nj g i De
=
g
=
g
+
A
=
g
+
A
Γ
g
=
g
+
A
Γ
g
=
ij
aj
i
i
i
m
i
i
j
j
j
j
j
j
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
covariante afleiding is genoteerd met een hoofdletter D of met een puntkomma‘; ‘
11
r
r
DA DAi r ∂Ai
=
g i = j + A n Γ i nj g i
j
j
∂x
∂x
∂x
||
||
||
of
(0,1)
(2,1)
(3,2)
In termen van componenten wordt dit
DAi
∂Ai
i
=
A
=
+ An Γ i jn
;j
j
j
∂x
∂x
We gaan er dus van uit dat de tweede term in voorgaande expressie is wat we zoeken.
Om dit te bewijzen moeten we aantonen dat deze expressie voor de covariante afleiding
er voor zorgt dat deze laatste zich gedraagt als een tensor. Daartoe doen we een test van
het transformatie gedrag in volgende sectie.
2.3.2 Verificatie van de transformatie
We kunnen dit nu verifieren door de transformatie expliciet uit te rekenen.
∂x'i ∂x q ∂x n l
∂ 2 x'i ∂x q ∂x n ∂x'k m
Het startpunt is (Eq. 12) Γ'ijk T 'k = − l
Γ
−
T
qn
j
k
∂x q ∂x n ∂x' j ∂x'k ∂x m
∂x ∂x' ∂x'
∂x'i ∂x q l
∂ 2 x'i ∂x q ∂x n ∂x'k m
Hergroeperen Γ'ijk T 'k = − l
Γ
−
T
j qn
∂x q ∂x n ∂x' j ∂x'k ∂x m
∂x ∂x'
∂x ' i ∂x q l
∂ 2 x 'i ∂x q n m
δ mT
Introductie van delta Γ'ijk T 'k = − l
Γ
−
j qn
∂x q ∂x n ∂x ' j
∂x ∂x '
waarbij n=m
∂x 'i ∂x q l
∂ 2 x 'i ∂x q m
T
Γ'ijk T 'k = l
Γ
−
j qm
∂x q ∂x m ∂x ' j
∂x ∂x '
Dit resultaat wordt gecombineerd met Eq. 1 en geeft het transformatie gedrag van de
covariante afgeleide
2 i
∂x'i ∂T l ∂x q
∂T 'i
∂x q ∂x'i ∂x q l
∂ 2 x'i ∂x q m
i
k
m ∂ x'
+
Γ
'
T
'
=
+
T
+
Γ
−
jk
q
m
j
∂xl ∂x q ∂x' j
∂x l ∂x' j qm ∂x q ∂x m ∂x' j T
∂x' j
∂
x
∂
x
∂
x
'
i
l
q
i
q
i
l
l
∂x' ∂T ∂x
∂x' ∂x l m ∂x' ∂x ∂T
l
m
Γ
T
=
+
Γ
T
= l
+
qm
qm
∂x ∂x q ∂x' j ∂xl ∂x' j
∂x k ∂x' j ∂x j
De hypothese was dus correct. De covariante afgeleide van een contravariante vector
DT i
wordt gegeven door
= T i ;q = ∂ qT i + Γ i qaT a
q
∂x
waar eveneens twee gangbare notaties worden getoond voor deze afgeleide: met
hoofdletter D of met een punt-komma (;).
Meetkundige betekenis van de covariante afgeleide
1e term=verandering van de richting van v
2de term=gevolg van het niet parallel zijn van de basisvectoren
r
v ( x → x + δx) = parallelle verplaatsing
12
vi ( x → x + δx) =de waarde die vi ( x + δx) zou hebben als de vector v parallel verplaatst
wordt van x naar x+δx
2.3.3 Covariante afgeleide van tensoren
We kunnen nu de afgeleide nemen van andere tensoren dan de (1,0) tensor. We beginnen
met de meest eenvoudige, namelijk de scalar of (0,0) tensor. Een scalar heeft een waarde
die niet verandert met het coordinatensysteem. Deze kan weliswaar van punt tot punt
verschillen en dan wordt het een scalar-veld genoemd maar de keuze van de coordinaten
kan de waarde in een punt niet beinvloeden.
Met andere woorden, als Φ een transformatie van xbx’a voorstelt, dan is
Φ = Φ ( xb ) = Φ ( xb ( x'a )) . Toepassing van de productregel bij partieel afleiden geeft
∂Φ ∂Φ ∂x b
∂Φ
= b
en dus Φ; x1 = Φ , x1 = 1 .
a
a
∂x'
∂x ∂x'
∂x
Op dezelfde manier kan de de covariante afgeleide van een covariante vector (0,1)
worden berekend. Daarbij verandert het teken van de correctie term.
DTi
= Ti ;q = ∂ qTi − Γ a iqTa
q
∂x
Dit kan ook op een alternatieve manier via het scalair product van een vector met
r r
zichzelf, bijvoorbeeld om de lengte te berekenen. A • A = Ai Ai . Nu geldt voor de
covariante afgeleide dezelfde regel voor het afleiden van een product als voor de gewone
afgeleide. ( Ai Ai ); j = Ai; j Ai + Ai Ai ; j en ook ( Ai Ai ), j = Ai , j Ai + Ai Ai , j . Aangezien het om
een scalar gaat is de covariante afgeleide gelijk aan de partiele afgeleide en dus is
( Ai Ai ); j = ( Ai Ai ), j Verder is uit het voorgaande de covariante afgeleide van
contravariante componenten gekend zodat
Ai ; j Ai + Ai ( Ai , j + Aa Γ i aj ) = Ai , j Ai + Ai Ai , j
Ai ; j Ai = Ai , j Ai − Ai Aa Γ i aj = ( Ai , j − Aa Γ a ij ) Ai
Equation 17
Aangezien dit moet gelden voor elke Ai vinden we voor de covariante afgeleide van
covariante grootheden
Ai; j = Ai , j − Aa Γ a ij
Equation 18
Vervolgens maken we de stap naar een tensor van orde 2 waarvan de vier mogelijke
verschijningsvormen aanleiding geven tot de volgende afgeleiden.
13
DTij
= Tij ;q = ∂ qTij − Γ a iqTaj − Γ a qjTai
∂x q
DT i j
= T i j ;q = ∂ qT i j + Γ i qaT a j − Γ a qj Tai
∂x q
j
DTi
j
j
j
a
= Ti;q = ∂ qTi − Γ a qiTa + Γ j qaTi
q
∂x
DT ij
= T ij ;q = ∂ qT ij + Γ i qaT aj + Γ j qaT ai
q
∂x
Tenslotte de algemene situatie T ij k ; q = ∂ qT ij k + Γ i aqT aj k + Γ j aqT ia k − Γ a kqT ij a
2.4 De Christoffel symbolen en de metrische tensor
Zowel Christoffel symbolen als de metriek hebben met de kromming te maken en het is
dan ook niet verwonderlijk dat er een verband bestaat. Het vertrekpunt is de
eenheidstensor van rang 2, dit wil zeggen een tensor met als elementen δ µ ν zodat de
hoofddiagonaal gelijk is aan 1 en de rest gelijk aan 0. Wanneer we hier nu de covariante
afgeleide nemen vinden we
δ µ ν ; β = δ µ ν , β + δ α ν Γ µ αβ − δ µ α Γ α νβ =
= δ µ ν , β + Γ µ νβ − Γ µ νβ = δ µ ν , β = 0
Deze moet gelijk zijn aan 0 omdat we een constante afleiden. De metrische tensor is
r
r
gedefinieerd als g = δ µ ν eµ ⊗ e ν . Dit is opnieuw een constante zodat deze tensor afgeleid
met een willekeurige curve met parameter λ verdwijnt (gelijk aan 0 is): dg/dλ=0. Nu is
r
r
r
r
dg
= δ µ ν ;β u β e µ ⊗ e ν = g µν ; β u β e µ ⊗ e ν . Hieruit volgt g µν ;β = 0 .
dλ
Anderzijds is dit ook gelijk aan g µν ; β = g µν ,β − g αν Γ α µβ − g µα Γ α νβ . Door dit gelijk te
stellen aan 0 vinden we
g µν , β = gαν Γα µβ + g µα Γανβ .
Roteren van de labels leidt tot 2 extra vergelijkingen
g µβ ,ν = gαβ Γα µν + g µα Γα βν
gνβ , µ = gαβ Γανµ + gνα Γα βµ
Als we de laatste drie vergelijkingen optellen bekomen we
g µν , β + g µβ ,ν − gνβ , µ = g αν Γ α µβ + g µα Γ α νβ + g αβ Γ α µν + g µα Γ α βν − g αβ Γ α νµ − gνα Γ α βµ
Dit kan vereenvoudigd worden tot
g µν , β + g µβ ,ν − gνβ , µ = 2 g µα Γ α νβ
Vermenigvuldigen met g τµ geeft
g τµ / 2( g µν ,β + g µβ ,ν − gνβ ,µ ) = g τµ g µα Γα νβ = δ τ α Γα νβ = Γτ νβ
14
Equation 19
2.5 Toepassing: versnelling in poolcoordinaten
Als voorbeeld van een toepassing berekenen we de versnelling in vlakke poolcoordinaten. Daartoe vervangen we de vector A door de snelheid v en de veranderlijke λ
r
∂A µ
dA
dxν r
door t in equation 12
=(
+ Aα Γ µ αν
)e µ
dt
∂t
dt
Als we dit uitschrijven rekening houdende met de drie Christoffel symbolen die
verschillend zijn van 0 bekomen we
∂Ar
dϕ r
∂Aϕ
dϕ
dr r
ϕ r
(
+ A Γ ϕϕ
)e r + (
+ A r Γϕ rϕ
+ Aϕ Γϕ ϕr )eϕ =
∂t
dt
∂t
dt
dt
Als de vector gelijk is aan de positievector rr dan is A=(r,0) dan wordt de snelheid
r
r
r&e r + r (1 / r )ϕ&eϕ
y
r
ϕ
r
r
r
x
r
Figure 4 Een willekeurig punt in het (x,y) vlak wordt in polaire coordinaten geschreven als rr omdat
r
de richting van de vector gegeven wordt door r omdat deze steeds in het verlengde ligt van de
verbinding van het punt met de oorsprong. De basis is orthogonaal maar niet orthonormaal omdat
de lengte van de basisvectoren niet gelijk is aan één.
Deze kan opnieuw worden afgeleid om de versnelling te bekomen
r
r dv dv r s dvϕ s
r
r
r
a=
=
er +
eϕ + vϕ (−r )vϕ e r + v r (1 / r )vϕ eϕ + vϕ (1 / r )v r eϕ =
dt
dt
dt
s
r
2
(r&& − rϕ& 2 )er + (ϕ&& + r&ϕ& )eϕ
r
Dit is nog geen orthonormaal stelsel omdat de lengte van de vector eφ gelijk is aan r. Een
verdere transformatie naar een orthonormaal stelsel leidt tot
r
s
r
Equation 20
a = (r&& − rϕ& 2 )er + ( rϕ&& + 2r&ϕ& )e ϕ
Toepassing: del operator, gradient en divergentie
15
2.6 Conclusie Euclidische ruimte
Om de definitie van een nieuwe covariante afgeleide mogelijk te maken moeten we aan
de varieteit een concept van connectie toevoegen die bestaat uit een set van 64
coefficienten genoteerd met Γ. We noemen ze symbolen om aan te geven dat het geen
tensoren zijn. In een Euclidische ruimte zijn ze allemaal gelijk aan 0 tenminste voor
Cartesische coordinaten maar niet voor andere coordinaatsystemen.
3. GSekromde ruimte embedded in een Euclidische
ruimte
3.1 Intro
Omdat vectoren altijd rechtlijnig zijn bestaan ze slechts in één punt van het oppervlak
waar ze deel uitmaken van de raakruimte. Dit zijn aparte vectorruimtes die elk hun eigen
basis hebben zodat er in eerste instantie geen direct verband is tussen deze ruimtes. Een
mogelijke aanpak is het gekromde oppervlak te embedden in een grotere Euclidische
ruimte En (zoals een bol in E3) en vervolgens een infinitesimale parallelle verplaatsing
eerst in En toe te passen en het resultaat vervolgens loodrecht op M te projecteren.
Deze aanpak maakt gebruik van twee aparte ruimtes, die van het oppervlak (gekromde
ruimte) en die van de omgeving (embedding ruimte, ook wel ambient ruimte of
omgevende ruimte genoemd) die één dimensie meer heeft en Euclidisch is. Om het
verhaal visueel aanschouwelijker te maken kan, bij wijze van voorbeeld, aangenomen
worden dat we een 2D oppervlak embedden in een 3D ruimte. Voor deze laatste kunnen
Cartesische coordinaten worden gekozen maar dit is niet noodzakelijk zodat,
bijvoorbeeld, ook sferische coordinaten mogelijk zijn. We kunnen de coordinaten zo
kiezen dat de projectie gemakkelijker wordt.
3.2 Coordinaten en basisvectoren
We nemen aan dat we over een referentiestelsel beschikken, zijnde een 3D Cartesisch
stelsel (x,y,z) met een vast punt in de ruimte als oorsprong. We definieren nu een
positievector r (zie appendix B) van de oorsprong naar een willekeurig punt (x,y,z).
Vervolgens introduceren we parameters. We definieren een curve door x, y en z een
functie te maken van één parameter en een gekromd oppervlak door x, y en z een functie
te maken van twee parameters. Bijvoorbeeld, we kiezen (θ1, θ2) als parameters en
specificeren het oppervlak als volgt
r
r
r
r
r (θ 1 , θ 2 ) = x (θ 1 , θ 2 )ex + y (θ 1 ,θ 2 )e y + z (θ 1 , θ 2 )ez
16
θ2 curve
F(x,y)
z
R
a3
a2
a1
r
θ 1 curve
ez
ey
x
ex
y
Figure 5 Definitie van de coordinaten en de basisvectoren in beide ruimtes
Er zijn twee soorten curves die het oppervlak opspannen die gevonden worden door r te
berekenen met θ1, resp θ2, constant. (θ1, θ2) worden nu gezien als kromlijnige
coordinaten.
We doen hetzelfde met de omgevingsruimte waarvoor we de positievector R specificeren
door een derde dimensie, de normaal op het oppervlak, toe te voegen aan de vector r.
r
r
r
R(θ 1 , θ 2 , θ 3 ) = r (θ 1 , θ 2 ) + θ 3 a3 (θ 1 , θ 2 )
Hierin heeft de vector a3 een lengte 1 loodrecht op het oppervlak in het punt (θ1, θ2).
Hieruit volgt dat de projectie van 3D naar 2D gevonden wordt door θ3=0 te stellen.
We kunnen nu de covariante basis voor beide ruimtes vinden uit deze functies. Voor de
3D omgevingsruimte resp. de 2D oppervlakte geldt
r
∂R
r
∂r
gi =
en
aα = α
i
∂θ
∂θ
Beide a vectoren staan niet noodzakelijk loodrecht op elkaar. We spreken af om Latijnse
indices te gebruiken die de waarde 1,2 of 3 kunnen aannemen (omgevingsruimte) en
Griekse met de waarden 1 of 2 (embedded oppervlak). De 3D basisvectoren gi kunnen nu
herschreven worden als
r
r
r
r
r
∂R r
∂R r
3 ∂a3
gα = α = aα + θ
g 3 = 3 = a3
∂θ
∂θ α
∂θ
Voorbeelden zijn
- Een oppervlak dat ontstaat door het wentelen van een curve r(s) om een as (s is de
r
r
r
r
booglengte en r de afstand tot de as) r ( s,θ ) = r ( s) cos(θ )ex + r ( s) sin(θ )e y + z ( s )ez
17
r
r
r
r
- 3D poolcoordinaten R(ϕ , θ ) = R cos(ϕ ) sin(θ )ex + R sin(ϕ ) sin(θ )e y + R cos(ϕ )ez
3.3 metrische tensor
De metrische tensor kan nu in beide situaties berekend worden via paarsgewijze scalaire
producten van de basisvectoren.
r r
aαβ = aα • aβ
r
r
r
r
r
r
r r
∂a3 r ∂a3
∂a3
r
3 ∂a3 r
3 ∂a3
3 r
3 2 ∂a3
gαβ = gα • g β = aα + θ
•
• aβ + θ
= aαβ + θ aα • β + aβ • α + (θ )
∂θ β
∂θ
∂θ
∂θ α ∂θ β
∂θ α
gα 3 = 0
g 33 = 1
Is aαβ een tensor?
We moeten nog bewijzen dat aαβ zich gedraagt als een tensor. Daartoe onderzoeken we
het transformatiegedrag. Dit kan via een ‘brute force’ aanpak. Maar een alternatief
bestaat er in te vertrekken van de tensor in 3D waarvan we het gedrag kennen. Bij een
∂θ k ∂θ m
g km . We zijn nu
ransformatie van θ α → θ ' β weten we dat er geldt dat g 'ij =
∂θ 'i ∂θ ' j
alleen geinteresseerd in het gedeelte met Griekse indices. We vervangen
i, j → α , β
en k , m → κ , µ
∂θ κ ∂θ µ
∂θ 3 ∂θ µ
∂θ κ ∂θ 3
∂θ 3 ∂θ 3
g 'αβ =
g κµ +
g3µ +
gκ 3 +
g 33
∂θ 'α ∂θ 'β
∂θ 'α ∂θ 'β
∂θ 'α ∂θ 'β
∂θ 'α ∂θ 'β
∂θ κ ∂θ µ
3
Vermits g3µ=0 en θ =0 geldt g 'αβ =
gκµ . Dus aαβ is een covariante tensor van
∂θ 'α ∂θ 'β
rang 2 en noemt men de 1 e fundamentele vorm of grondvorm. Met behulp van deze
tensor kunnen de gebruikelijke bewerkingen gebeuren zoals omhoog en naar beneden
halen van indices. Conclusie: de basisvectoren en de metrische tensor zoals afgeleid voor
het oppervlak spelen daar dezelfde rol als deze in de 3D omgevingsruimte.
Alleen zijn de Romeinse indices vervangen door Griekse.
3.4 2de basisvorm
We berekenen de booglengte op het oppervlak. We hebben een curve θα(t) gegeven
r
r
r r ∂r
r r dθ α dθ β
∂r
dθ α dθ β
α
β
2
ds = dr • dr = α dθ • β dθ = aα • aβ
dt
dt = aαβ
(dt ) 2
∂θ
∂θ
dt
dt
dt dt
De 1e fundamentele vorm is gebaseerd op het scalair product van de positievector met
zichzelf. De 2e fundamentele vorm hangt af van het scalair produkt van de positievector
met de a3 vector die loodrecht op het oppervlak staat.
r
r
r r r
∂a3
r ∂a3 α β
α
β
dr • da3 = aα dθ • β dθ = aα • β dθ dθ = (− bαβ )dθ α dθ β
Equation 21
∂θ
∂θ
We noemen de coefficienten b de 2de grondvorm. Het is een covariante vector van orde 2
die een maat is voor de kromming en daarom ook krommingstensor wordt genoemd. We
r r
berekenen nu b. Vermits beide vectoren loodrecht op elkaar staan geldt aα • a3 = 0 .
r
r
∂aα r r ∂a3
Afleiden naar θβ geeft
• a3 + aα • β = 0 en invullen van bαβ uit Eq. 21 geeft
∂θ β
∂θ
18
r
∂aα r
r r r
bαβ =
• a3 .
Er
geldt
dat λa3 = a1 × a2 .
Invullen
in
het
vorige
β
∂θ
r
r
r
r r
∂a
∂a
r
(a × a ) ∂a r r 1
bαβ = αβ • a3 = αβ • 1 2 = αβ , a1 , a 2
∂θ
∂θ
a
∂θ
a
Gegeven een oppervlak zoeken we nu de kromming in een gegeven punt. Als het
oppervlak gesneden wordt door een vlak door dit punt en loodrecht op het raakvlak
bekomen we een vlakke curve waarvan we de kromming kunnen bepalen. Over alle
vlakken waarmee dit gebeurt zoeken we de twee hoofd-krommingen, te weten de
maximale en de minimale kromming. Hieruit berekenen we de Gauss kromming via het
produkt en de gemiddelde kromming via het gemiddelde.
3.5 Christoffelsymbolen
De vertaling van 3D coordinaten naar 2D coordinaten of de projectie van de 3D op de 2D
ruimte vindt plaats door door θ3=0 te stellen en alleen aandacht te besteden aan Griekse
indices en de andere te negeren. Zo kunnen we de ruimte beperken tot het oppervlak.
Herschrijving is gebaseerd op volledige expansie.
We doen dit eerst voor de Christoffel symbolen die worden afgeleid uit de metrische
tensor via
Γα βγ = g αλ / 2( g λβ ,γ + g γλ ,β − g βγ ,λ )
r
r
r
r
Γ α β 3 = a β ,3 • a α = a3,β • a αγ aγ = −a αγ bγβ = −bβα
r
r
r
r
Γ 3αβ = aα ,β • a 3 = − a3,β • a 3γ aγ = bαβ
r
r
r
r
Γ 3α 3 = aα ,3 • a 3 = aα ,3 • a 3γ aγ = 0
r
r
Γ α 33 = a3,3 • a α = 0
r
r
Γ 3 33 = a3,3 • a 3 = 0
r
r
In 3D geldt g i , j = Γijk g k . In de notatie vervangen we g door a.
r
r
3 r
γ r
gα ,β = aα ,β = Γαβ
aγ + Γαβ
a3
r
r
r
r
g 3,α = a3,α = Γ3γα aγ + Γ33α a3
Equation 22
3.6 Covariante afgeleide
Het begrip covariante afgeleide is weliswaar gedefinieerd in de 3D ambient ruimte omdat
deze Euclidisch is maar dit betekent nog niet dat het begrip ‘afgeleide op het oppervlak’
ook gedefinieerd is. Daarom doen we hier een voorstel tot definitie die slechts
geaccepteerd zal worden als aan de tensor voorwaarde is voldaan.
r
r
Als V = V α aα een vector voorstelt op het gekromde oppervlak dan leiden we eerst af naar
θβ.
r
r
∂V
∂V α r
α ∂aα
=
aα + V
∂θ β ∂θ β
∂θ β
Met behulp van Eq. 26 kan de laatste term herschreven worden als volgt
19
r
∂V γ
r
r
∂V
∂V α r
α
γ r
γ r
β + V γ Γαβ
aγ + V α bαβ a3
=
a
+
V
Γ
a
+
b
a
=
Equation 23
α
αβ γ
αβ 3
β
β
∂θ
∂θ
∂θ
r
r
∂V
DV γ r
Met de D operator voor de covariante afgeleide wordt dit
=
aγ + V α bαβ a3
β
β
∂θ
∂θ
Dit is dus anders dan in sectie 2.5.1 omdat er een component a3 is bijgekomen die maakt
dat de vector terug op het oppervlak terecht komt. Daarom gaat het bewijs dat dit een
tensor is ook iets anders. We gaan uit van een transformatie van
θ γ → θ 'µ
& θ β → θ 'λ .
r
r
∂V
Hieruit volgt dat V een (1,0) tensor is en de afgeleide
een (2,1) tensor voor
β
∂
θ
r
r
∂V
∂V ' ∂θ 'λ
contractie en een (1,0) tensor na contractie zodat geldt
=
.
∂θ β ∂θ λ ∂θ β
r DV 'γ r
r ∂θ 'λ
DV γ r
α
α
Invullen van Eq 23 geeft
aγ + V bαβ a3 =
a 'γ +V ' b'αλ a3 β
λ
∂θ β
∂
θ
∂θ
(
)
α
r
r ∂θ µ
α
µ ∂θ '
Vervolgens doen we volgende substituties: a 'γ → a µ
en V ' → V
∂θ 'γ
∂θ µ
γ
γ
µ
λ
α
λ
r
r ∂θ ' ∂θ '
DV r
DV ' r ∂θ ∂θ '
aγ + V α bαβ a3 =
aµ
+ V µ bαλ a3
β
λ
γ
β
∂θ
∂θ
∂θ ' ∂θ
∂θ µ ∂θ β
DV γ DV 'µ ∂θ γ ∂θ 'λ
∂θ 'µ ∂θ 'λ
en
b
=
b
Hieruit volgt
=
αβ
µλ
∂θ β
∂θ λ ∂θ 'µ ∂θ β
∂θ α ∂θ β
4. Conclusies
In dit hoofdstuk hebben we ‘tensor calculus’ besproken, eerst in een vlakke Euclidische
ruimte en daarna op een willekeurig gekromd oppervlak embedded in een ambient
Euclidische ruimte. Alhoewel de kromming een essentieel verschil betekent was het toch
mogelijk dezelfde concepten als bekend in de Euclidische ruimte te hergebruiken,
weliswaar via een veralgemening. Het gaat dan om het definieren van coordinaten,
basisvectoren , de metrische tensor en de Christoffelsymbolen. Deze laatste zijn speciaal
belangrijk omdat ze de essentie van een connectie bepalen waardoor het begrip afgeleide
veralgemeend kan worden tot het begrip ‘covariante afgeleide’zodat de afgeleide van een
tensor ook een tensor is.
De ‘covariante afgeleide’ wordt genoteerd met een D en wordt gegeven door
r
DV γ ∂V γ
γ r
aγ
= β + V γ Γαβ
β
∂θ
∂θ
20
Appendix A: berekenen van Christoffel symbolen uit de
metriek
Equation 23 laat toe de Christoffel symbolen te berekenen uitgaande van de metriek.
Γτ νβ = g τµ / 2( g µν ,β + g µβ ,ν − gνβ ,µ )
Hierbij moet de Einstein sommatie worden toegepast (µ index)
Dit is een algemene formule die aanzienlijk vereenvoudigd kan worden in geval van een
rechthoekig assenstelsel omdat dan in de metrische tensor alleen de hoofddiagonaal
verschillend is van 0. Alle combinaties van indices die verschillend zijn zijn gelijk aan 0.
Daarom moet µ gelijk zijn aan τ en dus valt de sommatie weg. Daarenboven geldt in dit
geval dat gττ=1/gττ waardoor de vergelijking er als volgt komt uit te zien
Γτ νβ = g ττ / 2( gτν ,β + gτ β ,ν − gνβ ,τ ) = (1 / 2 gττ )( gτν ,β + gτ β ,ν − gνβ ,τ )
Verdere constraints moeten in acht genomen worden voor ν en β. Alleen de volgende drie
combinaties zijn mogelijk
Γ τ ττ = (1 / 2 gττ ) g ττ ,τ
Γ τ νν = (−1 / 2 gττ ) gνν ,τ
Γ τ ντ = (1 / 2 gττ ) gτ τ ,ν = Γτ τr
We passen dit nu toe op enkele voorbeelden
A.1. Sferische coordinaten
Het lijnelement wordt gegeven door
ds2= dr2+ r2dθ 2+r2 sin 2(θ)dφ2
Er zijn 9 Christoffel symbolen die van nul verschillen.
Γ r θθ = (−1/ 2) gθθ ,r = −r
Γ r ϕϕ = (−1/ 2) gϕϕ ,r = −r sin 2 θ
Γθ ϕϕ = ( −1 / 2 gθθ ) g ϕϕ ,θ = − sin θ cosθ
Γθ rθ = ( −1 / 2 gθθ ) gθθ ,r = 1 / r = Γθ θr
Γ ϕ rϕ = (−1/ 2 g ϕϕ ) gϕϕ ,r = (1 / 2r 2 sin 2 θ )( 2r sin 2 θ ) = 1 / r = Γ ϕ ϕr
Γ ϕ θϕ = (1/ 2 gϕϕ ) gϕϕ ,θ = (1 / 2r 2 sin 2 θ )( 2r 2 sin θ cosθ ) = cosθ / sin θ = Γ ϕ ϕθ
21
A.2. Isotrope statische metriek
De ruimte rond een centrale massa is rotatiesymmetrische, isotroop (zelfde
eigenschappen in elke richting) en statisch. Het lijnelement is gegeven door
ds2=gtt(r)dt2 +grr(r)dr2+ r2dθ 2+r2 sin 2(θ)dφ2
Γ t rt = (1 / 2 g tt ) g tt ,r = g tt , r / 2 g tt = Γ t tr
Γ r rr = (1 / 2 g rr ) g rr ,r = g rr ,r / 2 g rr
Γ r tt = (−1 / 2 g rr ) g tt ,r = g tt , r / 2 g rr
Γ r θθ = (−1 / 2 g rr ) g θθ ,r = −r / g rr
Γ r ϕϕ = (−1 / 2 g rr ) g ϕϕ ,r = (−1 / 2 g rr )( 2r sin 2 θ ) = −r sin 2 θ / g rr
Γ θ ϕϕ = ( −1 / 2 gθθ ) g ϕϕ ,θ = ( −1 / 2r 2 )( 2r 2 sin θ cosθ ) = − sin θ cosθ
Γ θ rθ == (1 / 2 gθθ ) gθθ ,r = (1 / 2r 2 )( 2r ) = 1 / r = Γ θ τr
Γ ϕ rϕ = (1 / 2 g ϕϕ ) g ϕϕ ,r = 1 /(−2r 2 sin 2 θ )(−2r sin 2 θ ) = 1 / r = Γ ϕ ϕr
Γ ϕ θϕ = (1 / 2 g ϕϕ ) g ϕϕ ,θ = 1 /(−2r 2 sin 2 θ )(−2r 2 sin θ cosθ ) = cosθ / sin θ = Γϕ ϕθ
wormhole
ds2=-dt2 +dr2+( b2 + r2)(dθ 2+sin 2θ)dφ2
Γ r θθ = (−1 / 2 g rr ) g θθ ,r = −r / g rr = − r
Γ r ϕϕ = (−1 / 2 g rr ) g ϕϕ ,r = (−1 / 2 g rr )(2r sin 2 θ ) = −r sin 2 θ / g rr = −r sin 2 θ
Γθ ϕϕ = (−1 / 2 gθθ ) gϕϕ ,θ = (−1 / 2(b 2 + r 2 ))(2(b 2 + r 2 ) sin θ cosθ ) = − sin θ cosθ
Γθ rθ == (1 / 2 gθθ ) gθθ ,r = (1 / 2(b 2 + r 2 ))(2r ) = (r /(b 2 + r 2 )) = Γθ τr
Γϕ rϕ = (1 / 2 gϕϕ ) gϕϕ ,r = 1 /(2(b 2 + r 2 ) sin 2 θ )(2r sin 2 θ ) = r /(b 2 + r 2 ) = Γϕ ϕr
Γϕ θϕ = (1 / 2 gϕϕ ) gϕϕ ,θ = 1 /(2(b 2 + r 2 ) sin 2 θ )(2(b 2 + r 2 ) sin θ cosθ ) = cosθ / sin θ = Γϕ ϕθ
A.3.Vlakke hyperbolische coordinaten
ct = ξ sinh( gτ )
Transformaties
x = ξ cosh( gτ )
De Christoffel symbolen zijn
22
Γτ νβ = g ττ / 2( gτν , β + gτ β ,ν − gνβ ,τ ) = (1 / 2 gττ )( gτν ,β + gτ β ,ν − gνβ ,τ )
Γτ ττ = 0
Γτ ξξ = (1 / 2 gττ )( gτξ ,ξ + gτξ ,ξ − g ξξ ,τ ) = 0
Γτ τξ = (1 / 2 gττ )( gττ ,ξ + gτξ ,τ − gτξ ,τ ) = (1 / 2ξ 2 )(2ξ ) = 1 / ξ
Γξ νβ = (1 / 2 g ξξ )( g ξν ,β + g ξ β ,ν − gνβ ,ξ )
Γξ ξξ = (1 / 2 g ξξ )( g ξξ ,ξ + g ξξ ,ξ − g ξξ ,ξ ) = 0
Γξ ττ = (1 / 2 g ξξ )( g ξτ ,τ + g ξτ ,τ − gττ ,ξ ) = ( −1 / 2)(−2ξ ) = ξ
Γξ τβ = (1 / 2 g ξξ )( g ξτ ,ξ + g ξ ξ ,τ − gτξ ,ξ ) = 0
Hieruit volgen tenslotte de geodetische vergelijkingen
ds 2 = ξ 2 dτ 2 − dξ 2
b
c
d 2 xa
a dx dx
+
Γ
= 0... x = (ξ ,τ )
bc
ds ds
d 2s
Γττξ = ξ ; Γτξτ = Γξττ = 1 / ξ
2
d 2ξ
d 2ξ
dτ
ξ dτ dτ
+
Γ
=
+ξ = 0
ττ
2
2
d s
ds ds d s
ds
2
2
d τ
dξ dτ d τ 2 dξ dτ
+ 2Γξττ
=
+
=0
2
ds ds d 2 s ξ ds ds
d s
A4 Vlakke poolcoordinaten
Γ r rr = 0
Γ r ϕr = Γ r rϕ = 0
Γ r ϕϕ = (1 / 2 g rr )( − gϕϕ ,r ) = (1 / 2)1(−2r ) = −r
Γϕ rr = 0
Γϕ rϕ = Γϕ ϕr = (1 / 2 g ϕϕ ) gϕϕ ,r = (1 / 2) r − 2 ( 2r ) = 1 / r
Γϕ ϕϕ = 0
23
A5 Cylindrische coordinaten
(r , θ , z ) → Γθθr = −r
x = r cos θ
y = r sin θ
z=z
Γrθθ = Γθθr = 1 / r
r
dA ∂A µ
dxν r
=(
+ Aα Γ µ αν
)e µ
dt
∂t
dt
r
dA ∂A µ
dxν r
α µ
=(
+ A Γ αν
)eµ
dt
∂t
dt
r
∂Aθ
∂A z
dA ∂A r
dxν r
dxν r
dxν r
α z
α θ
α r
=(
+ A Γ αν
+ A Γ αν
+ A Γ αν
)er + (
)eθ + (
)e z
∂t
∂t
∂t
dt
dt
dt
dt
r
dA ∂A r
dxθ r
∂Aθ
dxθ
dx r r
∂A z r
=(
+ Aθ Γ r θθ
+ A r Γ θ rθ
+ Aθ Γθ θr
)er + (
)eθ + (
)ez
dt
∂t
dt
∂t
dt
dt
∂t
r
θ
r
dA ∂A r
∂Aθ 1 r dxθ 1 θ dx r r
∂A z r
θ dx
=(
− rA
)er + (
+ A
+ A
)eθ + (
)e z
dt
∂t
dt
∂t r
dt r
dt
∂t
r
dA r &r
A = ( r ,0, z ) →
= r&er + θeθ → v = ( r&,θ&, z& )
dt
r
r
r
dA
1
1 r
= (&r& − rθ&θ&)er + (θ&& + r&θ& + θ&r&)eθ + z&e z
dt
r
r
r
r
1 r
(&r& − rϕ& 2 )e r + (ϕ&& + 2r& ϕ& )eϕ + z&ez =
r
24
Appendix B
De positievector is een belangrijk concept omdat het toelaat te redeneren over vectoren
zonder het gebruik van componenten en dus ook zonder een keuze van de coordinaten.
M.a.w. we gebruiken alleen kenmerken van een vector zoals richting, zin, grootte.
Zodra we een parameter introduceren maken we een belagrijke stap naar een vector
functie. We specificeren zo een curve in een 2D of 3D ruimte waarvoor we alles kunnen
aanspreken wat in de analyse hoort bij het begrip functie. Zo kunnen we afleiden naar de
parameter om bijv. De booglengte te berekenen.
Stel dat we een kromme hebben waarvan de parameter gegeven is. De betekenis van de
parameter doet niet zoveel ter zake zolang hij maar uniek is voor elk punt op de curve.
r r
λ =a
dr dr
dλ gemeten in eenheden van λ.
Dan is de booglengte gelijk aan s (a ) = ∫
λ =0
dλ dλ
In de analyse is het bekend dat de keuze van de betekenis van λ nog open staat. We geven
nu twee voorbeelden.
1. Om het plausibel en intuitief te maken kunnen we bijv als parameter de tijd
r
dr r
kiezen. Dan wordt
= v zodat we de integraal nemen van vdt wat gelijk is aan
dt
de afgelegde weg zodat het duidelijk is dat we de booglengte berekenen.
2. Een andere minder duidelijke keuze is om als parameter de afgelegde weg zelf te
nemen zodat λ=s. Dat noteren we als parameter bij elk punt van de curve de
afstand gemeten vanaf het nulpunt op de curve.
r r
r
s =a
s =a
dr dr
dr
s (a ) = ∫
ds = ∫
1.1ds ⇒
= 1 zodat de lengte van de raakvector
s =0
s =0
ds ds
ds
gelijk is aan 1.
25
© Copyright 2024 ExpyDoc
