Differentiaalrekening

Differentiaalrekening
Differentiaalrekening
3-0
Differentiaalrekening
Inhoud
Motivatie
• Verloop van functies
1. Afgeleide en afgeleide functie
• Definities en meetkundige betekenis
• Hogere orde afgeleiden
(min/max, stijgen/dalen)
• Optimalisatieproblemen
2. Rekenregels voor afgeleiden
• Veranderingsprocessen
• Som, verschil, product en quotient
¨
• Kettingregel
⇒ ’fysica’: snelheid, versnelling, enz.
3. Middelwaardestellingen
4. Verloop van functies
⇒ ’populatiedynamica’: aangroeisnelheid, enz.
⇒ ’signaal- en beeld-verwerking’:
veranderingen in
signalen, modulaties, enz.
⇒ ’economie’:
Differentiaalrekening
vermogen, inflatie, enz.
Differentiaalrekening
3-2
Differentiequotient
¨
Meetkundige interpretatie
• Differentiequotient
¨ (of Newton-quotient)
¨
f (x1) − f (x0)
x1 − x 0
• Gemiddelde verandering van f als x verandert van
x0 naar x1
• Bv. als s de afgelegde weg is en t de tijd
s(t1) − s(t0)
t1 − t 0
is de gemiddelde snelheid over het tijdsinterval [t0, t1 ].
• De rechte door twee punten (x0, f (x0)) en (x1, f (x1))
van de grafiek heeft vergelijking
y = f (x0) +
f (x1) − f (x0)
(x − x0)
x1 − x 0
• De richtingscoeffici
¨
ent
¨ is
f (x1) − f (x0)
x1 − x 0
Differentiaalrekening
Differentiaalrekening
3-4
Afleidbaarheid
• Continu¨ıteit wil zeggen:
Als x niet veel verandert, dan verandert f (x) ook niet veel.
• Neem limiet x → x0 van het differentiequotient.
¨
Als de limiet
f (x0 + h) − f (x0)
f (x) − f (x0)
= lim
lim
x→x0
x − x0
h
h→0
bestaat, dan is f afleidbaar of differentieerbaar in het
punt x0. De waarde van de limiet is de afgeleide van
f in x0 en wordt genoteerd als
df
df
0
(x ) of (Df )(x0)
f (x0) of
of
dx x0
dx 0
• De afgeleide geeft de ogenblikkelijke verandering
van f in x0.
Differentiaalrekening
Voorbeeld
de gemiddelde snelheid over het interval [t0, t0 +h].
s0(t0) is de (ogenblikkelijke) snelheid op tijdstip t0.
de gemiddelde snelheidsverandering (= gemiddelde
versnelling) over het tijdsinterval [t0, t0 + h].
v 0(t0) is de (ogenblikkelijke) versnelling a(t0) op
tijdstip t0.
• Dus
∆f =
≈
=
• De afgeleide geeft aan hoe f verandert ten opzichte
van een verandering in x.
df
∆f
=
f 0(x0) = lim
dx
∆x→0 ∆x
•
f (x0 + h) − f (x0)
is de richtingscoeffici
¨
ent
¨ van de
h
rechte door de twee punten van de grafiek (x0, f (x0 ))
en (x0 + h, f (x0 + h)).
• Voor h → 0 gaat de rechte over in de raaklijn aan
de grafiek.
• Dus
f (x0 + h) − f (x0)
h
h→0
f 0(x0) = lim
¨
¨
is de richtingscoeffici
ent
van de raaklijn aan de
grafiek in het punt (x0, f (x0 )).
• De vergelijking van de raaklijn is
s0(t) = v(t),
f (x) − f (x0)
f 0(x0)(x − x0)
f 0(x0)∆x.
Meetkundige betekenis
• Als v de snelheid is
v(t0 + h) − v(t0)
h
•
• Als f afleidbaar is in x0, en de verandering in x,
∆x = x − x0 is klein, dan zal
Differentiaalrekening
3-6
• Als s de afgelegde weg is, dan is
s(t0 + h) − s(t0)
h
•
• De afgeleide geeft een kwantitatieve versie hiervan.
v 0(t) = a(t)
y = f (x0) + f 0(x0)(x − x0)
Differentiaalrekening
Differentiaalrekening
3-8
Linker- en rechterafgeleide
De linkerafgeleide van f in x0 is
f (x0 + h) − f (x0)
h
h→0−
lim
Afgeleide als functie
Als f afleidbaar is in elk punt van een verzameling A ⊂
R, dan bestaat f 0(x) voor elke x ∈ A, en we kunnen
een functie definieren:
¨
f 0 : A → R : x 7→ f 0(x).
en de rechterafgeleide is
f (x0 + h) − f (x0)
h
h→0+
• f is afleidbaar in x0 als en slechts als de linker- en
rechterafgeleiden in x0 bestaan en aan elkaar gelijk
lim
Dit is de afgeleide functie.
• Andere notatie:
df
, fx of Df.
dx
zijn.
Opmerkingen:
•
f heet afleidbaar of differentieerbaar indien f
afleidbaar is in elk punt van het domein.
Differentiaalrekening
Differentialen
De notatie
Differentiaalrekening
3-10
Voorbeeld:
df
vormt e´ en
´ geheel
dx
• Soms wordt het behandeld als quotient
¨ van differentialen df en dx.
• Dit zijn infinitesimale grootheden, m.a.w. oneindig
kleine veranderingen in x of f .
• Voor een afleidbare functie f geldt dat
df = f 0(x)dx
de afgeleide van
f (x) = xn met n ∈ N
• Vanwege het binomium van Newton
geldt
n n−2 2
(x + h)n = xn + nxn−1h +
x
h +···
2
n n−2 2
n
n
n−1
(x + h) − x = nx
h+
x
h +···
2
• Als we delen door h valt een factor h weg in elke
term:
(x + h)n − xn
n n−2
n−1
= nx
+
x
h + ···
h
2
• Als h → 0 blijft alleen de eerste term over. Dus
(x + h)n − xn
lim
= nxn−1.
h
h→0
Conclusie: f (x) = xn is afleidbaar met afgeleide
f 0(x) = nxn−1.
Differentiaalrekening
Differentiaalrekening
3-12
f (x) = |x| in x = 0
|h| − |0| h
• Voor h > 0 is
= =1
h
h
⇒ de rechterafgeleide is 1.
|h| − |0| −h
=
= −1.
• Voor h < 0 is
h
h
⇒ de linkerafgeleide is −1.
Voorbeeld:
Afleidbaarheid en continu¨ıteit
Als f afleidbaar is in x0 dan is f continu in x0.
• Het omgekeerde geldt niet. (zie de absolute waarde)
• De absolute waarde functie is niet afleidbaar in 0.
f (x) = |x| is continu maar niet afleidbaar in x = 0
Differentiaalrekening
Differentiaalrekening
3-14
Hogere orde afgeleiden
• Indien de afgeleide functie f 0 ook weer afleidbaar
is, dan spreken we van de tweede (orde) afgeleide
van f
• Notatie: f 00(x) of
d2f (x)
of D 2f (x)
dx2
dnf (x)
• Analoog: f (n)(x) of
of D nf (x) is
dxn
de n-de afgeleide van f .
3.2 Rekenregels voor afgeleiden
Neem aan dat
f en g afleidbaaar zijn in x. Dan geldt
+ g , f − g en f g afleidbaar zijn
dat de functies λf , f
in x met afgeleiden
1. (λf )0 (x) = λf 0(x),
2. (f
+ g)0(x) = f 0(x) + g 0(x),
3. (f
− g)0(x) = f 0(x) − g 0(x),
4. productregel:
0
(f g) (x) = f 0(x)g(x) + f (x)g 0(x)
Als tevens g(x)
6= 0, dan is ook f /g afleidbaar in x en
¨
5. quotientregel:
0
f
g
(x) =
f 0(x)g(x) − f (x)g 0(x)
[g(x)]2
Differentiaalrekening
Differentiaalrekening
3-16
Productregel
Gevolgen
We zullen de productregel aantonen.
• Vorm het differentiequotient
¨ voor f g
(f g)(x + h) − (f g)(x) f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x)
=
.
h
h
• Voeg termen toe aan de teller en splits:
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h) − f (x)g(x)
h
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
=
g(x + h) + f (x)
h
h
• Voor h → 0 convergeert dit naar
f 0(x)g(x) + f (x)g 0(x)
omdat f en g afleidbaar zijn in x en omdat g continu
• Veeltermen en rationale functies zijn afleidbaar
0
f0
1
=− 2
•
f
f
Voorbeeld: Als n
is
d
dx
1
xn
d xn
nxn−1
dx
= − n 2 = − 2n = −nx−n−1.
(x )
x
Conclusie: Voor elke n
∈ Z is f (x) = xn afleidbaar
met afgeleide
is in x.
f 0(x) = nxn−1.
Differentiaalrekening
Opgave:
∈ N, dan x−n = x1n en de afgeleide
stel
f (x) =
⇒
Differentiaalrekening
3-18
x2 + 1
3x4 − 2x
df (x)
= ?
dx
Opgave:
⇒
stel
f (x) =
x2 + 1
3x4 − 2x
df (x)
2x(3x4 − 2x) − (12x3 − 2)(x2 + 1)
=
dx
(3x4 − 2x)2
=
=
6x5 − 4x2 − 12x5 − 12x3 + 2x2 + 2
(3x4 − 2x)2
−6x5 − 12x3 − 2x2 + 2
(3x4 − 2x)2
Differentiaalrekening
Kettingregel
Differentiaalrekening
3-19
A
f
y
x
f afleidbaar is in x en g afleidbaar in f (x)
dan is de samengestelde functie g ◦ f afleidbaar in
x en er geldt dat
Als
(g ◦ f )0(x) = g 0(f (x))f 0(x) = (g 0 ◦ f )(x)f 0(x).
Bewijs:
• We moeten bewijzen
(g ◦ f )(x + h) − (g ◦ f )(x)
lim
= g 0(f (x))f 0(x)
h
h→0
B
C
g
g(y)
y+k
x+h
g(y+k)
g f
• Stel y = f (x) en k = f (x + h) − f (x).
• Herschrijf het differentiequotient
¨
(g ◦ f )(x + h) − (g ◦ f )(x) g(y + k) − g(y)
=
h
h
g(y + k) − g(y) k
=
×
k
h
g(y + k) − g(y) f (x + h) − f (x)
=
×
k
h
¨
• Als h → 0 dan ook k → 0 en het differentiequotient
heeft de limiet
g 0(y)f 0(x) = g 0(f (x))f 0(x).
Differentiaalrekening
Differentiaalrekening
3-21
Opgave:
Opmerkingen:
stel
h(x) = (2x2 + 3)20
h is de samenstelling g ◦ f met
• met notatie y = f (x) en z = g(y) kan de ketting-
f (x) = 2x2 + 3
regel geschreven worden als:
dz dz dy
=
dx dy dx
g(x) = x20.
Omdat
f 0(x) = 4x
g 0(x) = 20x19
is vanwege de kettingregel
Opgave:
2
20
stel h(x) = (2x + 3)
⇒
dh(x)
=?
dx
h0(x) = g 0(f (x))f 0(x)
= 20(2x2 + 3)19 × (4x)
= 80x(2x2 + 3)19.
Differentiaalrekening
Differentiaalrekening
3-23
Afgeleide van inverse
en er geldt
f −1
0
Notatie
Als f injectief is op op A en afleidbaar in het inwendige
punt x met f 0(x) 6= 0, dan is f −1 afleidbaar in f (x)
1
(f (x)) = 0
f (x)
• We geven het bewijs onder de aanname dat f −1
afleidbaar is.
• Met de notatie y = f (x) en x = f −1(y) :
dx
1
= dy
dy
dx
dy
kan hier als breuk behandeld
dx
dy
worden, maar let op dat dx uitgerekend wordt in x
en dx
dy in y = f (x)!
• Het symbool
• Omdat x = (f −1 ◦ f )(x) geldt vanwege de kettingregel
0
1 = f −1 (f (x))f 0(x)
en dus inderdaad
0
−1
f
(f (x)) =
1
.
f 0(x)
Differentiaalrekening
Voorbeeld
3-25
• Neen y = xn met x > 0. De inverse is x = y 1/n.
• Dan
d
dx
1
1
1
y 1/n =
= dy = n−1 = x1−n
dy
dy
n
nx
dx
• We willen dit liever uitdrukken in y . Dus
d
1 1/n1−n 1 1/n−1
1/n
y
=
y
= y
.
dy
n
n
In feite geldt voor elke p
∈R
d p
x = pxp−1.
dx

Download Report