geodeet

Relativiteitstheorie van Einstein:
Geodetische vergelijking
Relativiteitstheorie van Einstein:............................................................................................ 1
Geodetische vergelijking......................................................................................................... 1
1. Intro ...................................................................................................................................... 2
1.1 Parallelle verplaatsing................................................................................................... 2
1.2 Kortste afstand............................................................................................................... 3
2. De geodetische vergelijking ............................................................................................... 4
2.1 methode 1: Parallel transport (Quantitatief) ................................................................ 5
2.2 De geodetische vergelijking: methode 2 ..................................................................... 7
2.2.1 Variatieprincipe en voorbeelden........................................................................... 7
2.2.2 Opstellen van de Geodetische vergelijking: methode 2 ...................................... 9
1
1. Intro
De term ‘Geodesie’ komt uit het Grieks en wordt gebruikt voor alles wat te maken heeft
met het meten van aftstanden, grootte en vorm op het aardoppervlak. Daarbij was er veel
aandacht voor de kortste afsta nd tussen twee punten of een segment op een grote cirkel.
In de context van de relativiteitstheorie zijn geodeten inertaal banen, d.w.z. banen die
deeltjes volgen als er geen krachten op inwerken behalve de zwaartekracht. In de speciale
theorie zijn dit rechte lijnen maar in de algemene theorie zijn dit gekromde banen. Als er
twee punten op een gekromd oppervlak gegeven zijn dan kan een geodeet worden
gevisualiseerd via een rek verbinding met voldoende spanning tussen beide punten.
Daarbij zijn er twee mogelijke invalshoeken: parallel transport of kortste afstand.
1.1 Parallelle verplaatsing
Stel dat we een vector ‘parallel met zichzelf’ willen verplaatsen. (Dit is intuitief
geformuleerd maar zal verder meer precies worden omschreven.) Het probleem bij
gekromde oppervlakken is dat het resultaat van een dergelijke verplaatsing afhankelijk is
van het pad dat gevolgd wordt tussen twee gegeven punten. Dit is getoond in figuur 5.
Links is een vlakke figuur, rechts een bol. Als we een gesloten pad beschouwen en een
vlakke driehoek vergelijken met een boldriehoek (een driehoek op een bol met een been
op de evenaar en twee benen op de meridianen naar de polen), dan is de hoek tussen de
beginvector en de eindvector in de vlakke ruimte gelijk aan nul maar in de gekromde
ruimte verschillend van nul. Met andere woorden, als we op een bol twee verschillende
paden beschouwen tussen twee gegeven punten dan is het resultaat (de richting van de
toekomende vector) pad afhankelijk.
Daarom gaan we een keuze maken en een pad vastleggen. Het moet een pad zijn dat
uniek is en éénduidig gedefinieerd. Hieruit volgt dat het verplaatsen van een vector
‘parallel met zichzelf’ vervangen wordt door ‘parallel met een gegeven curve’. We
zeggen dat een vector parallel verplaatst wordt met een gegeven curve als deze steeds
dezelfde hoek maakt met de raaklijn aan de curve. De meetkundige interpretatie is zoals
in onderstaande figuur. De hoek tussen de raaklijn aan de curve en de getransporteerde
vector blijft dezelfde. M.a.w. de raaklijn is een soort referentie niveau voor de richting
van de vector. De netto richtingsverandering wordt gemeten t.o.v. dit niveau. De
constante hoek met de raaklijn kan gelijk aan 0 worden gekozen.
2
B
’
B
C
’
C
A
’
A
Figure 1 Parallelle verplaatsing in een vlakke ruimte (links) en een gekromde ruimte. Bij deze laatste
is het resultaat afhankelijk van het gevolgde pad.
Figure 2 De rode pijl toont de raaklijn aan de curve. De blauwe lijn maakt steeds dezelfde hoek met
deze raaklijn en volgens de definitie lopen beide evenwijdig.
1.2 Kortste afstand
Blijft nog de keuze over van het pad. Welke kromme of welk pad kiezen we?
In de relativiteitstheorie bepaalt de kromming van de ruimte de beweging van test
deeltjes en lichtstralen waarop geen krachten werken, behalve de zwaartekracht. We
noemen ze vrije of vrij-vallende deeltjes. Dit betekent dat we de banen van planeten en
hemellichamen als geodeten behandelen. Zeggen dat de lichtsnelheid de ultieme snelheid
is (dat massa houdende deeltjes niet sneller kunnen bewegen) is hetzelfde als zeggen dat
het licht altijd een weg volgt met de kleinste afstand of de traagste klok of beide omdat
snelheid afstand is gedeeld door tijd. In een vlakke ruimte bewegen deze testdeeltjes in
een rechte lijn zijnde de kortste afstand tussen twee punten. Gegeven twee punten op de
gekromd oppervlak kiezen we het kortste pad of de geodeet. Bijvoorbeeld , op een bol is
dat een grote cirkel. Daarom volgt een vliegtuig dat van Europa naar Los Angeles vliegt
een route over Groenland. Maar er zijn complexere oppervlakken. Bijvoorbeeld, het staat
experimenteel vast dat de grote massas zoals de zon licht doen afbuigen wat
gemodelleerd wordt door een complex oppervlak. In de onderstaande figuur volgt het
licht dus de blauwe curve en niet de rode.
3
Z
X
Y
Figure 3 Bovenaanzicht van een lichtstraal die afgebogen wordt door een massa. De ‘snelste’ weg
tssen X en Y loopt dus niet via Z.
X
Y
Z
Figure 4 Een ander gezichtspunt toont dat de kromming van de ruimte verantwoordelijk is voor de
afbuiging van een lichtstraal. De blauwe lijn is wel degelijk korter dan de rode.
We merken nog op dat het kortste pad het equivalent is van een rechte lijn in een
Euclidische ruimte. Het kan ook gezien worden als een ‘zo recht mogelijke verbinding’.
2. De geodetische vergelijking
Stel dat er twee punten gegeven zijn op een gekromd oppervlak en stel dat we geodeten
willen bepalen. Dan zijn er twee strategieen: we kunnen het kortste pad zoeken of een
pad waar de raakvector en de verschoven vector samenvallen. Het kortste pad kunnen we
zoeken via een Lagrange optimisatie. De tweede optie is afgeleid uit wat er gebeurt in een
vlakke Euclidische ruimte, namelijk het verschuiven van een vector parallel met zichzelf
zodat een rechte ontstaat uit (deel)vectoren die allen dezelfde richting hebben
(“Parallelle verplaatsing”).
4
2.1 methode 1: Parallel transport (Quantitatief)
Het vertrekpunt is de ervaring met een vlakke ruimte. Stel een vlakke Euclidische ruimte
waarin een curve C die gespecificeerd is door de coordinaten als functies van de
parameter te beschouwen waarvoor we de booglengte s kiezen: x=x(s), y=y(s) en z=z(s).
Verder definieren we een vector veld dat constant is ( de lengte en richting van elke
vector is dezelfde). Dan besluiten we dat elk paar vectoren van dit veld verbonden is via
parallel transport, d.w.z. dat alle vectoren parallel zijn.
r
dA
= 0 ⇔ parallel _ transport
dλ
Dit leidt tot de volgende vergelijking die parallel transport beschrijft in een Euclidische
ruimte met Cartesische coordinaten.
r
µr
dA d ( A eµ ) dA µ s
∂A µ dxν s
∂A µ r
r
=
=
eµ = ν
eµ = ν u ν = A µ ,v u ν =0
dλ
dλ
dλ
∂x dλ
∂x
Dit is geen tensor vergelijking maar dit wordt er een door de magische truc waarbij de “,”
vervangen wordt door de “;”. Dit geeft als resultaat
Am ;iu i = 0 ⇒ Am , iuν + Aα Γ µ αν uν = 0
Dit is het geval als de hoek tussen beide vectoren (de raakvector en de verschoven vector)
gelijk is aan 0. raakvectoren aan de curve ook vectoren zijn die via parallel transport tot
stand zijn gekomen. We moeten dus in de vergelijkingen voor parallel transport A
r
vervangen door u. Dit leidt dus tot du / dλ = 0 of u µ ;i u i = 0 wat betekent dat de
covariante afgeleide van de raakvector aan de curve gelijk is aan nul.
du µ
+ Γ µ αν u α uν = 0
dλ
en
d 2xµ
dxα dxν
µ
+
Γ
=0
αν
dλ dλ
dλ2
Equation 1
Veralgemening: Algemene covariantie
Het bovenstaande is een voorbeeld van een strategie die vaker toepasbaar is, namelijk het
veralgemenen van concepten vertrekkende van de vlakke ruimte of de speciale theorie.
Meer in detail leidt dit tot een strategie in de volgende stappen:
1. Los het probleem op in de vlakke ruimte van SRT
2. Schrijf deze oplossing neer gebruik makende van tensoren
3. Vervang de metrische tensor η door gij en vervang de gewone afgeleide door de
covariante afgeleide.
Voorbeeld: Cartesisch
Vermits alle Γ’s gelijk zijn aan nul wordt dit du x/dλ=0 en du y/dλ=0. Na één integratieslag
wordt dit d(x/dλ)=0 en d(y/d λ)=0 en na een laatste integratieslag x=a+bλ en y=c+dλ.
Voorbeeld: vlakke poolcoordinaten
We zoeken nu de geodeet in een assenstelsel met vlakke poolcoordinaten. Dit is met
opzet een wat omslachtige oefening omdat we een rechte lijn verwachten die veel
5
gemakkelijker te vinden is via een Cartesisch stelsel maar het is bedoeld als illustratie van
de geodetische vergelijking. Deze laatste is dan ook het startpunt.
d 2xµ
dxα dxν
µ
+
Γ
=0
αν
dλ dλ
dλ 2
Hieruit leiden we voor elk van beide coordinaten een differentiaalvergelijking af
d 2r
dr dr
dr dϕ
dϕ dr
dϕ dϕ
+ Γ r rr
+ Γ r rϕ
+ Γ r ϕr
+ Γ r ϕϕ
=0
2
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dλ
d 2ϕ
dr dr
dr dϕ
dϕ dr
dϕ dϕ
+ Γ ϕ rr
+ Γ ϕ rϕ
+ Γ ϕ ϕr
+ Γ ϕ ϕϕ
=0
2
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dλ
De enige Christoffel symbolen die van nul verschillen zijn
Γ ϕ rϕ = Γ ϕ ϕr = 1 / r
Γ r ϕϕ = −r
Dit leidt tot de volgende twee differentiaalvergelijkingen
d 2 r dϕ dϕ
d 2ϕ
dϕ dr
−
=
0
+2
/r = 0
r
2
2
dλ dλ
dλ dλ
dλ
dλ
De oplossing van beide differentiaalvergelijking is
aλ + b
r = ( aλ + b) 2 + c 2
ϕ = bgtg (
)+d
c
Door de parameter λ te elimineren vinden we het verband tussen r en φ. Dit stelt de rechte
voor r cos(ϕ − d ) = c zoals ook blijkt uit bijgevoegde figuur.
Alternatief
dϕ
r2
= cte = l
dλ
2
2
dr
l2
 dr 
 dϕ 
dr 2 + r 2 dϕ 2 ⇒   + r 2 
= 1− 2
 =1⇒
dλ
r
 dλ 
 dλ 
aλ+b
r
c
φ
d
Figure 5 De vergelijking van een rechte in poolcoordinaten is gelijk aan r cos(ϕ − d ) = c
6
Voorbeeld: vlakke hyperbolische coordinaten
In plaats van poolcoordinaten kunnen we ook hyperbolische coordinaten gebruiken. Het
lijnelement verandert dan van dr 2 + r 2 dϕ 2 ⇒ dξ 2 − ξ 2 dθ 2
of
ϕ ⇒ iθ
Als we dezelfde transformatie toepassen op de oplossing dan geldt
r cos(ϕ − d ) = c ⇒ ξ cos(i(ϕ − d )) = c ⇒ ξ cosh(ϕ − d ) = c
Check
x = r cosh θ = r cos(iθ )
dx = cos(iθ ) dr − ri sin(iθ )dθ
y = r sinh θ = −ri sin(iθ ) dy = −i sin(iθ )dr + r cos(iθ ) dθ
ds 2 = dr 2 − r 2 dθ 2
dx 2 − dy 2 = (cos 2 (iθ ) + i 2 sin 2 (iθ ))dr 2 + r 2 (cos 2 (iθ ) + i 2 sin 2 (iθ ))dθ 2
dr 2 + r 2 dϕ 2 ⇒ dξ 2 − ξ 2 dθ 2
of
ϕ ⇒ iθ
2.2 Methode 2: kortste afstand
Een tweede manier om tot de geodetische vergelijking te komen is om het pad te zoeken
tussen twee gegeven punten van een manifold met de langste eigentijd. We zullen eerst
het principe toelichten.
2.2.1 Variatieprincipe en voorbeelden
De gebruikte techniek is het variatie principe en is gekend uit de klassieke mechanica.
Gegeven is een oppervlak, een beginpunt en een eindpunt. Gevraagd is een functie te
vinden die een pad beschrijft tussen begin en eindpunt zodat een bepaalde kostfunctie
(actie genoemd) die typisch een integraal over het pad is, extreem (maximaal of
minimaal) is. Het is dus een techniek waar de uitkomst een functie is. In de klassieke
mechanica wordt het toegepast om de bewegingsvergelijkingen te vinden.
Eerst definieren we de Lagrangiaan L(t , q (t ), g& (t )) als functie van tijd t, variable q en de
afgeleide van q naar de tijd, die als een aparte variabele wordt behandeld.
b
De actie wordt voorgesteld door S = ∫ Ldt . De uitkomst wordt bekomen door de
a
volgende differentiaal vergelijking van Euler-Lagrange op te lossen.
∂L d ∂L
−
=0
∂q dt ∂q&
Equation 2
Voorbeeld1: meetkunde
Een eerste voorbeeld is het vinden van een functie y(x) in een interval [a,b] zodat de
lengte minimaal is waarbij y(a) en y(b)gegeven constraints zijn. De lengte wordt gegeven
door
b
y ( f ) = ∫ 1 + y ' 2 dx
en de Lagrangiaan door
a
De beide afgeleiden worden berekend
7
L ( x, y, y ' ) = 1 + y ' 2
∂L
=0
∂y
∂L
y'
=
∂y '
1 + y'2
Invullen in de vergelijking van Euler-Lagrange geeft
d
y'
∂L d ∂L
−
=0⇒
=0
∂x dx ∂x&
dx 1 + y ' 2
en de verwachte oplossing is
y'
1 + y'2
= C ⇒ y' =
C
1− C 2
= A ⇒ y = Ax + B ■
Voorbeeld2: klassieke mechanica
Het doel is bewegingsvergelijkingen te vinden. Daartoe definieren we de Lagrangiaan als
de kinetische energie min de potentiele. L(t , x(t ), v(t )) = E kin − E pot = mv 2 / 2 − V ( x)
b
∂L
∂V
=−
=F
∂x
∂x
De actie is S = ∫ Ldt en de beide afgeleiden
a
Substitutie in Euler-Lagrange geeft F −
∂L
= mv
∂v
d
(mv ) = 0 ⇒ F = ma ■
dt
Voorbeeld 3: SRT
In de vlakke ruimte van SRT is de eigentijd meten langs verschillende tijd-achtige paden
tussen twee gegeven punten afhankelijk van het pad. Dit zien we al in de tweelingenparadox. We willen dus berekenen
B
B
τ AB = ∫ dτ = ∫ dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 .
A
A
Stel dat we elk pad karakteriseren door een parameter σ zodat σ =0 in punt A en σ=1 in
punt B en in de andere punten door xa(σ). De vergelijking wordt dan
B
2
2
2
2
B
 dt   dx   dy   dz 
a
a
 −
 −
 −
 dσ = ∫ L(σ , x , dx dσ ) dσ
σ
σ
σ
σ
d
d
d
d
 
 
 

A 
A
Als we dit nu als de Lagrangiaan beschouwen dan kunnen we dus situaties vinden
waarvoor de eigentijd een extremum heeft. De Lagrangiaan kan herschreven worden in
algemene coordinaten als
τ AB = ∫ 
 dx α  dx β 


L(σ , x a , dx a dσ ) = − η αβ 
 dσ  dσ 
∂L
∂L
1 dx α
We berekenen we beide afgeleiden: α = 0 en
=
∂x
∂ (dx α / dσ ) L dσ
De Euler-Lagrange vergelijking wordt
Vermits
 dxα
− η ββ 
 dσ
 dx β

 dσ
d 1 dxα
(
)=0
dσ L dσ
 dτ
d 2 xα
 =
wordt de Euler-Lagrange vergelijking
=0
2
d
σ
d
τ

8
Het extremum zoeken leidt dus tot een rechte lijn of m.a.w. de beweging van een vrij
deeltje in SRT. ■
2.2.2 Opstellen van de Geodetische vergelijking: methode 2
In de context van de discussie over geodeten draaien we dit nu om. De tijd-achtige
woordlijn van een vrij vallend deeltje dat beweegt tussen twee punten is de lijn met
maximale eigentijd. De eigentijd is gedefinieerd als in SRT waarbij ηαβ vervangen is door
gαβ waarbij dient opgemerkt dat deze laatste nu functie is van de coordinaten. De
Lagrangiaan is nu gedefinieerd als
 dxα
L(σ , x a , dxa dσ ) = − gαβ 
 dσ
 dx β

 dσ



Equation 3
Bovendien geldt ook dat L=dτ/d σ waaruit volgt
df
dτ df
df
=
=L
dσ dσ dτ
dτ
Equation 4
De volgende stap is het berekenen van de twee afgeleiden nodig voor de Euler-Lagrange
vergelijking. Vermits g afhangt van de coordinaten wordt dit
∂L − 1 ∂gαβ dxα dx β − L ∂gαβ dxα dx β
1.
=
=
2 ∂x γ dτ dτ
∂x γ 2 L ∂x γ dσ dσ
2.
 dx β γ dxα γ  − 1 
∂L
−1
 g γβ

=
g
δα +
δ β  =
αβ
∂ (dxγ / dσ ) 2 L
dσ
 dσ
 2L 
Dit wordt ingevuld in de volgende expressie
 d 1
d 
dxα 
d 
∂L

 = L  g αγ


−
=
g
αγ
γ


dσ  ∂ (dx / dσ )  dσ  L
dσ 
dτ 
d
=L
dτ
=L
d
dτ
dx β
dxα  − 1
dxα
 =
.
+ gαγ
g αγ
dσ
dσ  L
dσ
dxα
dτ

 =


d 2 x α dgαγ dxα 
d
 g αγ
 = L
+
2
dτ
dτ dτ 
dτ

2 α

∂g
 ∂g
 g αγ d x2 + 1  αγβ + γβA


dτ
2  ∂x
∂x


d 2 xα ∂gαγ dx β dxα 
 gαγ

+ β
2
d
∂
x
d
d
τ
τ
τ


 dx β dxα 



 dτ dτ 
Deze beide expressies moeten we optellen om tot het verwachte resultaat te komen.
β
δ
d 2 xα 1 ∂g αβ dxα dx β 1  ∂g αγ ∂g γβ  dx β dxα
α dx dx


gαγ
=
−
+
=
−
g
Γ
αγ δβ
dτ 2
2 ∂x γ dτ dτ 2  ∂x β
∂x A  dτ dτ
dτ dτ
9

Download Report