Relativiteitstheorie van Einstein:
Christoffel symbolen, Covariante afgeleide en
Geodetische vergelijking
Relativiteitstheorie van Einstein:............................................................................................ 1
Christoffel symbolen, Covariante afgeleide en Geodetische vergelijking........................... 1
1. Afleiden van vectoren ......................................................................................................... 2
1.1 Probleemstelling............................................................................................................ 2
1.2 Christoffel symbolen in vlakke ruimte met kromlijnige coordinaten........................ 3
1.1.1 Methode 1: geometrische aanpak ......................................................................... 4
Voorbeeld [polaire coordinaten] ................................................................................ 4
1.1.2 Methode 2............................................................................................................... 6
1.3. Covariant afleiden........................................................................................................ 7
1.3.1 Parallel transport: qualitatief................................................................................. 7
1.3.2 De directionele afgeleide van een functie aan een curve .................................... 8
1.3.3 Afgeleide van een vector....................................................................................... 9
1.3.3.1 Covariante afgeleide van contravariante componenten ............................... 9
Toepassing............................................................................................................. 11
1.3.3.2 Coordinaat transformaties van de covariante afgeleide ............................. 12
1.3.3.3 Covariante afgeleide van covariante vector componenten ....................... 12
1.4 De Christoffel symbolen en de metrische tensor ...................................................... 13
1.5 Algemene Covariantie ................................................................................................ 14
2. Geodetische vergelijking .................................................................................................. 14
2.1 De geodetische vergelijking: methode 1 ................................................................... 16
2.1.1 Parallel transport (Quantitatief) .......................................................................... 16
2.1.2 Opstellen van de Geodetische vergelijking: methode 1 .................................... 17
Voorbeeld: Cartesisch .......................................................................................... 17
Voorbeeld: vlakke poolcoordinaten..................................................................... 17
Voorbeeld: vlakke hyperbolische coordinaten.................................................... 18
2.2 De geodetische vergelijking: methode 2 ................................................................... 18
2.2.1 Kortste afstand ..................................................................................................... 18
Voorbeeld1: meetkunde ....................................................................................... 19
Voorbeeld2: klassieke mechanica........................................................................ 19
Voorbeeld 3: SRT ................................................................................................. 19
2.2.2 Opstellen van de Geodetische vergelijking: methode 2 .................................... 20
Appendix: berekenen van Christoffel symbolen uit de metriek......................................... 21
A.1. Sferische coordinaten................................................................................................ 22
A.2. Isotrope statische metriek ......................................................................................... 22
A.3.Vlakke hyperbolische coordinaten............................................................................ 23
1
1. Afleiden van vectoren en tensoren
Vectoren en tensoren zijn belangrijk omdat ze compacte formuleringen toelaten die
onafhankelijk zijn van de coordinaten. In een vier dimensionale ruimte wordt elke vector
vergelijking vertaald naar vier scalaire vergelijkingen. Dit zijn vaak
differentiaalvergelijkingen die afgeleiden bevatten. Net zoals we scalaire functies
kunnen afleiden stelt zich daarom de vraag naar het afleiden van vectoren en tensoren. De
afgeleide heeft per definitie te maken met het verschil tussen twee nabij gelegen tensoren.
Dit is niet zo triviaal als het lijkt omdat we bij manifolds te maken hebben met tensoren
die gebonden zijn aan één punt van de manifold. Twee naburige tensoren behoren tot
twee verschillende vectorruimten zijnde de raakruimte in elk punt. We moeten dus een
manier vinden om een vector of een tensor te transporteren van de ene raakruimte naar
de andere en de discussie over afleiden van vectoren en tensoren is dus in wezen een
discussie over ‘parallel transport’.
1.1 Probleemstelling
De afgeleide heeft per definitie te maken met het verschil tussen twee nabij gelegen
vectoren.
µ
A
ν
Aµ||(xv+dxv)
Aµ(xv+dxv )
Aµ(xv)
xv +dxv
xν
Figure 1 De afgeleide van een vector waarbij de verschildriehoek geconstrueerd wordt door een
parallele verplaatsing.
We beschouwen de vectoren in twee punten xν en xν+dxν. Er zijn twee richtingen die een
rol spelen: die van de vector en die van de afgeleide. Op een manier die we verder
bespreken wordt de vector Aµ(xν) parallel met zichzelf verplaatst naar (xν+dxν) alwaar hij
Aµ||(xν+dxν) wordt genoemd. Vervolgens kan de verschildriehoek gesloten worden door
de vector die we de afgeleide noemen. We verwachten dus dat deze afgeleide een tensor
van rang twee is
1
{ A µ ( xν + dxν ) − ( A//µ ( xν + dxν )}
ν
δxν → 0 δx
∇ν A µ = lim
{
Equation 1
Deze verplaatsing is dus een kernelement. Dit lijkt triviaal en dat is ook zo in een vlakke
ruimte maar niet zo bij gekromde ruimtes waar de vector gedefinieerd is in een
2
vectorruimte die hoort bij één punt van de manifold. Twee verschillende vectoren horen
dus tot twee verschillende vectorruimtes. In de differentiaalmeetkunde is daarom het
concept van connectie gedefinieerd, d.w.z. een object dat zorgt voor de verbinding tussen
raakruimtes. De componenten van deze vector noemen we connectie coefficienten. Als
het gaat om basisvectoren worden ze Christoffel symbolen genoemd.
In wat volgt bespreken we eerst de Christoffel symbolen gevolgd door de covariante
afgeleide
1.2 Christoffel symbolen in vlakke ruimte met kromlijnige
coordinaten
Het is niet zo zinvol Christoffel symbolen te bespreken in de context van een vlakke
Cartesische ruimte omdat deze namelijk per definitie gelijk zijn aan nul. De reden is dat
de vector niet verandert bij parallelle verplaatsing. De richting en de grootte blijven
dezelfde, enkel het aangrijpingspunt verandert. De componenten van de vector blijven
dezelfde omdat de basisvectoren dezelfde zijn over de ganse ruimte. Maar als we nog
steeds in een vlakke ruimte kiezen voor curvilineaire coordinaten (bijvoorbeeld
poolcoordinaten) is dit anders: omdat de basisvectoren van punt tot punt verschillen
veranderen ook de componenten van een vector tijdens de verplaatsing, ook als de ruimte
nog steeds vlak blijft. Dit blijkt uit volgende figuur 2.
ey
P
Q
ex
Figure 2 De componenten van een vector die parallel verplaatst wordt veranderen omdat er gebruik
wordt gemaakt van curvilineaire coordinaten waarvan de basisvectoren verschillend zijn en elk punt
van de ruimte.
De vector als dusdanig blijft ongewijzigd maar de componenten wijzigen. Dit is een
gevolg van een wijziging van de basisvectoren, meer bepaald van een wijziging van de
hoek. (Een radiele wijziging leidt niet tot een verandering van de componenten.) Daarom
zijn de wijzigingen van de componenten evenredig met deze componenten ( Rcos(φ) en
3
Rsin(φ) en R constant) Om de discussie over Christoffel symbolen concreet te maken
kiezen we dus als context curvilineaire coordinaten. Het gaat dus nog niet om de
kromming van de ruimte zelf maar om het coordinaten systeem.
1.1.1 Methode 1: geometrische aanpak
Deze aanpak wordt duidelijk gemaakt aan de hand van een voorbeeld, zijnde
poolcoordinaten.
Voorbeeld [polaire coordinaten]
We kunnen twee soorten wijzigingen (kleine verstoringen/acties) aanbrengen die een
verandering van deze basisvectoren teweegbrengen: we kunnen de hoek φ wijzigen of de
afstand r. Beiden zijn voorgesteld in de volgende figuur; de hoek wijziging links en de
afstand wijziging rechts.
ey
e
y
dφeφ
dφ er
dreφ
Q
Q
eφ
P
dφ
eφ
P
er
er
dφ
φ
Φ
ex
ex
Figure 3 Poolcoordinaten als een voorbeeld van de berekening van Christoffel symbolen. De linker
figuur toont de gevolgen van een hoekwijziging, de rechter van een radiale wijziging.
r
Actie: wijziging hoek φ; impact op eϕ
r
We beginnen met de hoek φ. De impact op de vector eϕ wordt voorgesteld in een
r
r
driehoek met als zijden de vector eϕ in het punt Q, de vector eϕ die parallel verplaatst is
r
van P naar Q en de verschilvector d ϕ eϕ . Deze laatste stelt de volledige verandering voor
ten gevolgen van een hoekwijziging. De grootte is gelijk aan rdφ en de richting is radiaal.
r
r
We noteren dus voor de verschilvector dϕ eϕ = −rdϕer . Hierin betekent het linkerlid de
r
‘differentiaal van eϕ ’ ten gevolge van wijziging in de hoek.
Definitie : differentiaal van een vector A in een cartesisch assenstelsel
r
Als A een vector is die een functie is van meerdere variabelen, dus bijvoorbeeld,
r
r
r
A( x, y ) = A1 ( x, y)e x + A2 ( x, y)e y dan is de differentiaal gelijk aan
4
r
r
r ∂A
∂A
dA =
dx +
dy
∂x
∂y
Equation 2
■
We passen dit nu toe op de basisvectoren van een kromlijnig stelsel die we beschouwen
als gewone vectoren in een Cartesisch stelsel. De differentiaal kan op twee manieren
berekend worden die uiteraard leiden tot hetzelfde resultaat. In eerste manier itereren we
over alle variabelen, leiden de totale vector af naar elke variabele en sommeren hierover
r
r
∂A s ∂A s
∂A
Uit
Equation 3
= ( 1 e x + 2 e y ) en ∂A = ( ∂A1 es x + ∂A2 es y )
∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
∂y
r
volgt dA = ( ∂A1 es x + ∂A2 es y )dx + ( ∂A1 esx + ∂A2 es y )dy
∂x
∂x
∂y
∂y
Op de tweede manier itereren we over elke component, berekenen we totale afgeleide van
elke component en sommeren
r
∂A
∂A
∂A
∂A
s
s
s
s
dA = dA1 e x + dA2 e y = ( 1 dx + 1 dy )e x + ( 2 dx + 2 dy )e y
∂y
∂x
∂y
∂x
We passen Equation 3 toe op poolcoordinaten. Hieruit volgt
r r
r ϕ
r ∂eϕ
r ∂eϕ
r
r
r
ϕ
r
dϕer +
dϕeϕ = Γϕϕ
Equation 4
d ϕ eϕ =
dϕer + Γϕϕ
dϕeϕ = −rdϕer
∂ϕ
∂ϕ
r ν
∂eµ
ν
Hierin zijn de gammas gedefinieerd als Γ µα = a de ν-de component van de
∂x
r
verschilvector die betrekking heeft op de coordinaat basisvector eµ ten gevolge van een
infinitesimale verstoring van coordinaat xa .
r
Actie: wijziging straal r; impact op eϕ
r
Vervolgens gaan we de invloed na van een radiale verstoring op eϕ zoals getoond in de
r
r
figuur. De verbindingsvector d r eϕ heeft de richting van eϕ en de grootte is dr en
r
r
r
genormeerd op eϕ is dit gelijk aan (1/r)dr eϕ vermits de lengte van eϕ gelijk is aan r.
r r
r ϕ
∂eϕ r ∂eϕ
r
r
r
r
r
drer +
dreϕ = Γϕrr drer + Γϕϕr dreϕ = (1 / r )dreϕ
d r eϕ =
Equation 5
∂r
∂r
r
Actie: wijziging straal r; impact op er
r
Vervolgens gaan we de impact na op de vector er . Een radiale verstoring heeft geen
impact. Er zijn geen wijzigingen in het vectorveld.
r
Actie: wijziging hoek φ ; impact op er
r
Tenslotte richten we onze aandacht op de impact op er van een verstoring van de hoek
5
r r
r ϕ
r
r
r
r
r ∂er
r ∂er
d ϕ er =
dϕer +
dϕeϕ = Γrrϕ dϕer + Γrϕϕ dϕeξ = dϕ = (1 / r ) rdϕ = (1 / r )dϕeϕ
∂ϕ
∂ϕ
Equation 6
Dit kan worden samengevat in een compacte vergelijking waarin µ, ν en α de waarden r
en φ kunnen aannemen
r
deµ
r
r
ν
ar
deµ = Γ µα dx eν
Equation 7■
→ a = Γν µα .eν
dx
Γ212
1
Γ21
e2
Γ111
e1
Γ112
Figure 4 De betekenis van de gammas is geillustreerd door beide basisvectoren te verschuiven
volgens de richting 1. Elke verschuiving van elke vector geeft aanleiding tot twee componenten.
Samenvattend geldt dat de Christoffel symbolen te maken hebben met de transformatie
van de basisvectoren. De betekenis van de gammas is nogmaals geillustreerd in Figure 4.
1.1.2 Methode 2
In het vorige werden de verschilvectoren altijd uitgedrukt of gemapt naar de curvilineaire
poolcoordinaten. We zullen nu de vertaalslag maken naar het (x,y) stelsel, waarin we de
differentialen berekenen om vervolgens de terugvertaling te doen. De curvilineaire
basisvectoren zijn gegeven door
r
r
r
r
r
r
en
erP = cos(ϕ )e x + sin(ϕ )e y
eϕP = −r sin(ϕ )e x + r cos(ϕ )e y
r x
r y
r x
r y
r
r
r ∂e
r ∂e
r ∂e
r ∂e
r
der = d r er + d ϕ er = r dre x + r dre y + r dϕe x + r dϕe y =
∂
r
∂
r
∂
∂
ϕ
ϕ
r
r
r
= − sin ϕdϕe x + cos ϕdϕe y = (1 / r )dϕeϕ
r x
r y
r x
r y
∂eϕ
r
r
r
r ∂eϕ
r ∂eϕ
r ∂eϕ
r
dre x +
dre y +
dϕe x +
dϕe y =
deϕ = d r eϕ + d ϕ eϕ + =
∂r
∂r
∂ϕ
∂ϕ
r
r
r
r
r
= (− sin ϕe x + cos ϕe y )dr − r (cos ϕe x + sin ϕ )dϕ = (1 / r )dreϕ − rdϕer
Equation8(a,b)
6
We merken op dat de Christoffelsymbolen verschillend van nul zijn voor poolcoordinaten
in een vlak. Ze beschrijven dus de kromming als gevolg van de coordinaten en niet de
kromming van de ruimte als dusdanig.
1.3. Covariant afleiden
1.3.1 Parallel transport: qualitatief
In het voorgaande zijn de Christoffel symbolen afgeleid voor een ruimte uitgerust met
vlakke kromlijnige coordinaten. We moeten dit nog uitbreiden naar gekromde ruimtes.
We combineren dit met de discussie over covariante afgeleide. Daarbij staat het begrip
‘parallel’ centraal. Een eerste intuitieve definitie van zou kunnen zijn ‘evenwijdig met het
oppervlak van de manifold’. Deze definitie leidt echter tot een probleem omdat het
resultaat van een dergelijke parallelle verplaatsing tussen twee punten afhankelijk van het
pad dat gevolgd wordt, tenminste voor een gekromde ruimte. Dit is intuitief in te zien aan
de hand van figuur 4.
Links is een vlakke figuur, rechts een bol. Als we een gesloten figuur (bijvoorbeeld een
driehoek met een been op de evenaar en twee benen op de meridianen naar de polen),
volgen dan is de hoek tussen de beginvector en de eindvector in de vlakke ruimte gelijk
aan nul maar in de gekromde ruimte verschillend van nul. Met andere woorden, als we
twee paden beschouwen tussen twee punten dan is het resultaat (de richting van de
roekomende vector) pad afhankelijk. Daarom definieren we de covariante afgeleide voor
een gegeven pad/curve.
B
’
B
C
’
C
A
’
A
Figure 5 Parallelle verplaatsing in een vlakke ruimte (links) en een gekromde ruimte. Bij deze laatste
is het resultaat afhankelijk van het gevolgde pad.
Een tweede definitie van het begrip parallel betekent dan evenwijdig met de raaklijn aan
de curve. Deze curve kan worden gegenereerd door het vlak van de raakruimte te laten
rollen zonder te slippen of te glijden over het oppervlak van de manifold (Fig). Tijdens
deze beweging beschrijft het raakpunt een curve op de manifold. Het kan ook omgekeerd:
gegeven een curve kunnen we het raakvlak zodanig bewegen dat het rolt over het
oppervlak. Bovendien kunnen we de raakvlakken nu identificeren door middel van een
unieke raakvector in elk punt van de curve. Het raakpunt nemen we als oorsprong in de
7
raakruimte. Omwille van de rol van de curve onstaat er een link met de directionele
afgeleide van vector calculus, in die zin dat de covariante afgeleide een veralgemening er
van is. Daarom nemen we dit als startpunt van de discussie.
Figure 6 ‘Parallele verplaatsing’ is gedefinieerd als parallel aan een curve op de manifold die ontstaat
door het raakpunt van een rollende raakruimte.
1.3.2 De directionele afgeleide van een functie aan een curve
De curve C kan nu gespecificeerd worden door de coordinaten als functies van de
parameter te beschouwen waarbij we de booglengte s als parameter kiezen: x=x(s),
y=y(s) en z=z(s). Verder definieren we een functie F(x,y,z) (of een scalair veld) die een
oppervlak voorstelt zodat de curve C deel uitmaakt van dit oppervlak.
z
afgeleide
F(x,y)
curve
x
y
8
Figure 7 De directionele afgeleide: dit voorbeeld toont de afgeleide van een functie van twee
variabelen z=F(x,y) in een gegeven punt van de manifold en in een richting aangegeven door de
raaklijn aan een gegeven curve.
De directionele afgeleide van F volgens de curve wordt gegeven door
∆F ∂F dx ∂F dy ∂F dz
lim∆s →0
=
+
+
Equation 9
∆s ∂x ds ∂y ds ∂z ds
Deze afgeleide is gelijk aan
r
r
dF
∂F r ∂F r ∂F r
dx r dy r dz r
dr
=( i +
j+
k) •( i +
j + k ) = ∇F •
= ∇F • T
ds
∂x
∂y
∂z
ds
ds
ds
ds
Equation 10
∇F is een vector en wordt de gradient van F genoemd. Bijvoorbeeld als F=-t2+x2+y2+z2
dan is de gradient gelijk aan (-2t, 2x, 2y, 2z)
1.3.3 Afgeleide van een vector
De volgende stap is het afleiden van vectoren.
1.3.3.1 Covariante afgeleide van contravariante componenten
We onderscheiden drie situaties met toenemende complexiteit: een vlakke ruimte met
Cartesische coordinaten, curvilineaire coordinaten en een gekromde ruimte. De
vergelijkingen voor de vlakke ruimte zullen dus worden veralgemeend. Maar dit zal
zodanig gebeuren dat deze vergelijkingen kunnen worden afgeleid uit de
dAµ dAµ dx n
1) In een Cartesisch assenstelsel geldt dat de afgeleide gelijk is aan
= n
als
dλ
dx dλ
we één component van de vector nemen (bijv. Aµ) of voor de ganse vector
r
dA dAµ dx n r
=
eµ
.Equation 11
dλ dx n dλ
2) vlakke ruimte met curvilineaire coordinaten (Niet-constante basisvectoren)
De afgeleide wordt nu
r
s
µr
d eµ
dA d ( A eµ ) dAµ s
µ
=
=
eµ + A
dλ
dλ
dλ
dλ
Equation 12.
De eerste term neemt de verandering van de componenten in rekening en de tweede de
verandering van de basisvectoren. Deze laatste kan berekend worden op basis van
Equation 6
r
deµ
dλ
ν
=Γ
µα
dx a r
eν
dλ
De verandering van de componenten kan geschreven worden met behulp van de
dA µ ∂A µ dxν ∂A µ ν
raakvector uν als
= ν
= ν u
dλ
∂x dλ
∂x
9
We brengen alles samen en vinden de uitdrukking voor de “Covariant directional
derivative” van een vector A volgens een curve, met als parameter λ
r
s
µr
dA d ( A eµ ) dAµ s
dAµ s
dx a r
µ ν
µ deµ
eµ + A
eµ + A Γ µα
=
=
=
eν
dλ
dλ
dλ
dλ
dλ
dλ
Equation 13
Als we van het tweede deel de indices roteren zoals aangegeven hieronder bekomen we
r
dA dAµ s
dxν r
→
=
eµ
eµ + Aα Γ µ αν
dλ dλ
dλ
µ →α
ν →µ
α →ν
Equation 14
De parameter kan ook worden vervangen door af te leiden naar de coordinaten en
introductie van een vector u ν
r
r
r
dA
∂A µ
= ( ν + Aα Γ µ αν )uν eµ = Aµ ;ν uν eµ
dλ
∂x
Equation 15
Hierin stelt de notatie met de ; ( A µ ;ν ) de Covariant directional derivative voor van de
vector component Aµ in de richting van de raakvector u van de curve, met andere
woorden de µ-de component van de afgeleide van de vector A
∂Aµ
De notatie met een , daarentegen stelt de gewone partiele afgeleide, bijv ν = Aµ ,ν uν
∂x
stelt de afgeleide voor van vector component Aµ .
3) Het algemene geval van gekromde oppervlakken [D’Inverno]
In equation 1 hebben we twee vectoren nodig, de vector zelf afhankelijk van x en de
parallel verplaatste vector. Voor de eerste passen we een Taylor expansie toe
Aµ ( x + dx) = Aµ ( x) + δxν ∂ν Aµ
Wat betreft de parallel verplaatste vector nemen we aan dat het verschil lineair is in
termen van de vector zowel als in termen van de verplaatsing. Dit betekent dat we
aannemen dat er constante factoren zijn waarmee we moeten vermenigvuldigen en die we
aanduiden als Γανµ
A//µ ( x + dx) = A µ ( x) + δ A µ ( x)
δ A µ ( x) = −Γανµ Aα ( x)δxν
Dit resulteert in
10
Equation 16
1
{ A µ ( x + dx) − A//µ ( x + dx)}
ν
δxν → 0 δx
∇ν A µ = lim
{
1
{ A µ ( x) + δxν ∂ν A µ − A µ ( x) − Γανµ ( x) Aα ( x)δxν
ν
δxν → 0 δx
∇ν A µ = lim
{
Equation 17
1
{δxν ∂ν A µ − Γανµ ( x) Aα ( x)δxν }
ν
δ
x
ν
δx → 0
∇ν A µ = lim
{
∇ν A µ = ∂ν A µ − Γανµ ( x) Aα ( x)
Toepassing: versnelling
Als voorbeeld van een toepassing berekenen we de versnelling in vlakke poolcoordinaten. Daartoe vervangen we de vector A door de snelheid v en de veranderlijke λ
r
dA
∂A µ
dxν r
door t in equation 12
=(
+ Aα Γ µ αν
)e µ
dt
∂t
dt
Als we dit uitschrijven rekening houdende met de drie Christoffel symbolen die
verschillend zijn van 0 bekomen we
∂Ar
dϕ r
∂Aϕ
dϕ
dr r
ϕ r
(
+ A Γ ϕϕ
)e r + (
+ A r Γϕ rϕ
+ Aϕ Γϕ ϕr )e ϕ =
∂t
dt
∂t
dt
dt
Als de vector gelijk is aan de positievector rr dan is A=(r,0) dan wordt de snelheid
r
r
r&e r + r (1 / r )ϕ&eϕ
y
r
ϕ
r
r
r
x
r
Figure 8 Een willekeurig punt in het (x,y) vlak wordt in polaire coordinaten geschreven als rr omdat
r
de richting van de vector gegeven wordt door r omdat deze steeds in het verlengde ligt van de
verbinding van het punt met de oorsprong. De basis is orthogonaal maar niet orthonormaal omdat
de lengte van de basisvectoren niet gelijk is aan één.
Deze kan opnieuw worden afgeleid om de versnelling te bekomen
11
r
r dv dv r s dvϕ s
r
r
r
a=
=
er +
eϕ + vϕ (−r )vϕ e r + v r (1 / r )vϕ eϕ + vϕ (1 / r )v r eϕ =
dt
dt
dt
s
r
2
(r&& − rϕ& 2 )er + (ϕ&& + r&ϕ& )eϕ
r
Dit is nog geen orthonormaal stelsel omdat de lengte van de vector eφ gelijk is aan r. Een
verdere transformatie naar een orthonormaal stelsel leidt tot
r
s
r
Equation 18
a = (r&& − rϕ& 2 )er + ( rϕ&& + 2r&ϕ& )e ϕ
Toepassing: del operator, gradient en divergentie
1.3.3.2 Coordinaat transformaties van de covariante afgeleide
Niet alles is een tensor. Bijvoorbeeld, de partiele afgeleide van contravariante vector is
geen tensor. Immers, als we uitrekenen hoe de transformatie naar een andere set van
coordinaten plaatsvindt, dan vinden we het volgende
∂Aµ ' ∂Aµ ' ∂xν ∂xν ∂ ∂x µ ' µ
(
A )
= ν
=
∂xν '
∂x ∂xν ' ∂xν ' ∂xν ∂x µ
∂xν ∂x µ '
∂xν ∂x µ ' ∂Aµ
∂2 xµ '
∂xν ∂ 2 x µ '
= ν ' µ ν + ν µ Aµ = ν ' µ Aµ ',ν ' + ν ' ν µ Aµ
∂x ∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
∂x ∂x
Aµ ',ν ' =
Equation 19
De eerste term is een tensor maar de tweede niet.
Wat met de covariante afgeleide?
De covariant directional derivative van een vector A volgens een curve blijft natuurlijk
dezelfde in beide coordinatenstelsels. Als we dan de afhankelijkheid van de raakvector
aan de curve in rekening brengen vinden we het transformatiegedrag van de covariante
afgeleide.
r
r
r
dA
∂xν
∂x µ ' r
= A µ ' ;ν ' u ν ' e µ ' = A µ ;ν u ν e µ = A µ ;ν ν ' u ν ' µ eµ '
Equation 20
dλ
∂x
∂x
Hieruit volgt dat de covariante afgeleide een gemengde tensor is
Aµ ';ν ' =
∂xν ∂x µ ' µ
A ;ν
∂xν ' ∂x µ
Equation 21
1.3.3.3 Covariante afgeleide van covariante vector componenten
12
Een scalar heeft een waarde die niet verandert met het coordinatensysteem. Deze kan
weliswaar van punt tot punt verschillen en dan wordt het een scalar-veld genoemd maar
de keuze van de coordinaten kan de waarde in een punt niet beinvloeden.
Met andere woorden, als Φ een transformatie van xbx’a voorstelt, dan is
Φ = Φ ( xb ) = Φ ( xb ( x'a )) . Toepassing van de productregel bij partieel afleiden geeft
∂Φ ∂Φ ∂x b
∂Φ
= b
en dus Φ; x1 = Φ , x1 = 1 .
a
a
∂x'
∂x ∂x'
∂x
Vervolgens kiezen we een specifieke situatie, namelijk het scalair product van een vector
r r
met zichzelf, bijvoorbeeld om de lengte te berekenen. A • A = Aµ A µ . Nu geldt voor de
covariante afgeleide dezelfde regel voor het afleiden van een product als voor de gewone
afgeleide. ( Aµ A µ ) ;ν = Aµ ;ν A µ + Aµ A µ ;ν en ook ( Aµ A µ ) ,ν = Aµ ,ν A µ + Aµ A µ ,ν . Aangezien
het om een scalar gaat is de covariante afgeleide gelijk aan de partiele afgeleide en dus is
( Aµ A µ ) ;ν = ( Aµ A µ ) ,ν Verder is uit het voorgaande de covariante afgeleide van
contravariante componenten gekend zodat
Aµ ;ν A µ + Aµ ( A µ ,ν + Aα Γ µ αν ) = Aµ ,ν A µ + Aµ A µ ,ν
Aµ ;ν A µ = Aµ ,ν A µ − Aµ Aα Γ µ αν = ( Aµ ,ν − Aα Γ α µν ) A µ
Equation 22
Aangezien dit moet gelden voor elke Aµ vinden we voor de covariante afgeleide van
covariante grootheden
Aµ ;ν = Aµ ,ν − Aα Γ α µν
Equation 23
1.4 De Christoffel symbolen en de metrische tensor
Zowel Christoffel symbolen als de metriek hebben met de kromming te maken en het is
dan ook niet verwonderlijk dat er een verband bestaat. Het vertrekpunt is de
eenheidstensor van rang 2, dit wil zeggen een tensor met als elementen δ µ ν zodat de
hoofddiagonaal gelijk is aan 1 en de rest gelijk aan 0. Wanneer we hier nu de covariante
afgeleide nemen vinden we
δ µ ν ; β = δ µ ν , β + δ α ν Γ µ αβ − δ µ α Γ α νβ =
= δ µ ν , β + Γ µ νβ − Γ µ νβ = δ µ ν , β = 0
Deze moet gelijk zijn aan 0 omdat we een constante afleiden. De metrische tensor is
r
r
gedefinieerd als g = δ µ ν e µ ⊗ e ν . Dit is opnieuw een constante zodat deze tensor afgeleid
met een willekeurige curve met parameter λ verdwijnt (gelijk aan 0 is): dg/dλ=0. Nu is
dg
r
r
r
r
= δ µ ν ;β u β e µ ⊗ e ν = g µν ; β u β e µ ⊗ e ν . Hieruit volgt g µν ;β = 0 .
dλ
Anderzijds is dit ook gelijk aan g µν ; β = g µν ,β − g αν Γ α µβ − g µα Γ α νβ . Door dit gelijk te
stellen aan 0 vinden we
g µν , β = gαν Γα µβ + g µα Γανβ .
Roteren van de labels leidt tot 2 extra vergelijkingen
13
g µβ ,ν = gαβ Γα µν + g µα Γα βν
gνβ , µ = gαβ Γανµ + gνα Γα βµ
Als we de laatste drie vergelijkingen optellen bekomen we
g µν , β + g µβ ,ν − gνβ , µ = g αν Γ α µβ + g µα Γ α νβ + g αβ Γ α µν + g µα Γ α βν − g αβ Γ α νµ − gνα Γ α βµ
Dit kan vereenvoudigd worden tot
g µν , β + g µβ ,ν − gνβ , µ = 2 g µα Γ α νβ
Vermenigvuldigen met g τµ geeft
g τµ / 2( g µν ,β + g µβ ,ν − gνβ ,µ ) = g τµ g µα Γα νβ = δ τ α Γα νβ = Γτ νβ Equation 24
1.5 Algemene Covariantie
Er zijn twee benaderingen als het gaat over het komen tot generieke, algemeen toepasbare
oplossingen. We kunnen van een specifieke situatie vertrekken en geleidelijk afstand
nemen van de specifieke elementen om tot een meer algemene formulering te komen. Of
we kunnen vertrekken van een algemene oplossingen en er specifieke uit afleiden als
voorbeeld of toepassing. In de relativiteitstheorie doen we meestal het eerste waarbij het
specifieke geval overeenkomt met de speciale relativiteitstheorie. Meer in detail volgen
we de volgende stappen:
1. Los het probleem op in de vlakke ruimte van SRT
2. Schrijf deze oplossing neer gebruik makende van tensoren
3. Vervang de metrische tensor η door gij en vervang de gewone afgeleide door de
covariante afgeleide.
Dit is het principe van algemene covariantie. Een goed voorbeeld hiervan komt hieronder
aan bod. Deze techniek staat of valt met het unieke karakter van de tensor vergelijking in
stap 2. Als er tien verschillende tensor vergelijkingen mogelijk zouden zijn is de
veralgemening waardeloos. Dus de claim is dat er maar één tensorvergelijking kan
gevonden worden in stap twee. Als dit geschreven wordt in de vorm van een
tensorvergelijking die gelijk aan 0 wordt gesteld waardoor de tensor verdwijnt dan zal die
verdwijning plaatsvinden in elk coordinatensysteem. Dit volgt uit het transformatiegedrag
∂x µ '
van een tensor. Vermits u µ ' = µ u µ dan impliceert uµ=0 ook u µ’=0. Of anders gezegd,
∂x
tensors zijn coordinaat onafhankelijke grootheden net zoals vectors. Als uµ bestaat
(verschilt van nul) dan zo ook u µ’.
2. Geodetische vergelijking
In de relativiteitstheorie heeft de kromming van de ruimte een centrale rol. Er is enerzijds
de massa die de kromming bepaalt en anderzijds de kromming die de beweging bepaalt.
In dit hoofdstuk houden we ons bezig met het tweede aspect, d.w.z. de beweging van test
deeltjes en lichtstralen die voldoende klein zijn zodat ze de gegeven kromming niet
verstoren en waarop geen krachten werken. Behalve de zwaartekracht omdat we die niet
zozeer als een kracht zien maar wel als een eigensch ap van de ruimte. We noemen ze
14
vrije of vrij-vallende deeltjes. Dit betekent dat we de banen van planeten en
hemellichamen als geodeten behandelen.
Zeggen dat de lichtsnelheid de ultieme snelheid is (dat massa houdende deeltjes niet
sneller kunnen bewegen) is hetzelfde als zeggen dat het licht altijd een weg volgt met de
kleinste afstand of de traagste klok of beide omdat snelheid afstand is gedeeld door tijd.
In een vlakke ruimte bewegen deze testdeeltjes in een rechte lijn zijnde de kortste afstand
tussen twee punten. Op een gekromd oppervlak is het minder duidelijk. Hoe bepalen we
de kortste afstand op een bol? Waarom volgt vliegtuig dat van Europa naar Los Angeles
vliegt een route over Groenland? Bovendien is het onderscheid tussen vlak en gekromd
niet altijd even duidelijk. Bijvoorbeeld, het staat experimenteel vast dat de grote massas
zoals de zon licht doen afbuigen. In de onderstaande figuur volgt het licht dus de blauwe
curve en niet de rode.
Z
X
Y
Figure 9 Bovenaanzicht van een lichtstraal die afgebogen wordt door een massa. De ‘snelste’ weg
tssen X en Y loopt dus niet via Z.
In werkelijkheid echter kan dit een bovenaanzicht van een gekromd oppervlak zijn.
Hieruit blijkt dat de route via Z sterk afwijkt in de derde dimensie waardoor die langer
wordt in vergelijking met de andere route.
X
Y
Z
15
Figure 10 Een ander gezichtspunt toont dat de kromming van de ruimte verantwoordelijk is voor de
afbuiging van een lichtstraal.
Een ander aspekt van deze voorstelling van de gekromde ruimte is dat ze meer inzicht in
de verschillende soorten banen die mogelijk zijn. Een ‘bypass’ waarna het zonnestelslel
wordt verlaten, een ellipsbaan om de zon, een crash op de zon etc...
We zoeken dus naar geodetische krommen, d.w.z. een zo recht mogelijke verbinding
beschrijft tussen twee punten op een gekromd oppervlak. Er zijn twee definities
mogelijk: een rechte lijn is de kortste verbinding tussen twee punten en een rechte lijn
loopt parallel met de raaklijn. Beide definities leiden tot hetzelfde resultaat als de
connectie gemodelleerd wordt via de Christoffelsymbolen.
2.1 De geodetische vergelijking: methode 1
2.1.1 Parallel transport (Quantitatief)
Het vertrekpunt is de ervaring met een vlakke ruimte. Stel dat we twee vectoren hebben
waarbij de tweede afgeleid is uit de eerste via parallel transport over een curve met als
parameter λ. Dan is het in een vlakke ruimte zo dat beide vectoren slechts verschillen in
r
het aangrijpingspunt, niet in richting of grootte. Hieruit volgt dat dA / dλ = 0 . Dit kan ook
geschreven worden als
r
r
dA ∂A dx i
= i
= A m ,i u i = 0 Equation 25
dλ ∂x dλ
Dit is geen tensor vergelijking maar dit wordt er een door de magische truc waarbij de “,”
vervangen wordt door de “;”. Dit geeft als resultaat
Am;iu i = 0 ⇒ Am, iuν + Aα Γ µαν uν = 0
De meetkundige interpretatie is zoals in onderstaande figuur. De hoek tussen de raaklijn
aan de curve en de getransporteerde vector blijft dezelfde.
Figure 11 De rode pijl toont de raaklijn aan de curve. De blauwe lijn maakt steeds dezelfde hoek met
deze raaklijn en volgens de definitie lopen beide evenwijdig.
16
2.1.2 Opstellen van de Geodetische vergelijking: methode 1
Dit is het geval als de raakvectoren aan de curve ook vectoren zijn die via parallel
transport tot stand zijn gekomen. We moeten dus in de vergelijkingen voor parallel
r
transport A vervangen door u. Dit leidt dus tot du / dλ = 0 of u µ ;i u i = 0 wat betekent dat
de covariante afgeleide van de raakvector aan de curve gelijk is aan nul.
du µ
+ Γ µ αν u α uν = 0
dλ
en
d 2 xµ
dxα dxν
µ
+
Γ
=0
αν
dλ dλ
dλ2
Equation 26
Voorbeeld: Cartesisch
Vermits alle Γ’s gelijk zijn aan nul wordt dit du x/dλ=0 en du y/dλ=0. Na één integratieslag
wordt dit d(x/dλ)=0 en d(y/d λ)=0 en na een laatste integratieslag x=a+bλ en y=c+dλ.
Voorbeeld: vlakke poolcoordinaten
We zoeken nu de geodeet in een assenstelsel met vlakke poolcoordinaten. Dit is met
opzet een wat omslachtige oefening omdat we een rechte lijn verwachten die veel
gemakkelijker te vinden is via een Cartesisch stelsel maar het is bedoeld als illustratie van
de geodetische vergelijking. Deze laatste is dan ook het startpunt.
d 2xµ
dxα dxν
µ
+
Γ
=0
αν
dλ dλ
dλ 2
Hieruit leiden we voor elk van beide coordinaten een differentiaalvergelijking af
d 2r
dr dr
dr dϕ
dϕ dr
dϕ dϕ
+ Γ r rr
+ Γ r rϕ
+ Γ r ϕr
+ Γ r ϕϕ
=0
2
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dλ
d 2ϕ
dr dr
dr dϕ
dϕ dr
dϕ dϕ
+ Γ ϕ rr
+ Γ ϕ rϕ
+ Γ ϕ ϕr
+ Γ ϕ ϕϕ
=0
2
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dλ
De enige Christoffelsymbolen die van nul verschillen zijn
Γ r ϕϕ = −r
Γ ϕ rϕ = Γ ϕ ϕr = 1 / r
Dit leidt tot de volgende twee differentiaalvergelijkingen
d 2 r dϕ dϕ
−
r=0
dλ2 dλ dλ
d 2ϕ
dϕ dr
+2
/r =0
2
dλ dλ
dλ
De oplossing van beide differentiaalvergelijking is
r = (aλ + b) 2 + c 2
aλ + b
)+d
c
Door de parameter λ te elimineren vinden we het verband tussen r en φ. Dit stelt de rechte
voor r cos(ϕ − d ) = c zoals ook blijkt uit bijgevoegde figuur.
Alternatief (hartle p178)
ϕ = bgtg (
17
r2
dϕ
= cte = l
dλ
2
2
dr
l2
dr
2 dϕ
dr + r dϕ ⇒ + r
= 1− 2
=1⇒
dλ
r
dλ
dλ
2
2
2
aλ+b
r
c
φ
d
Figure 12 De vergelijking van een rechte in poolcoordinaten is gelijk aan r cos(ϕ − d ) = c
Voorbeeld: vlakke hyperbolische coordinaten
In plaats van poolcoordinaten kunnen we ook hyperbolische coordinaten gebruiken. Het
lijnelement verandert dan van dr 2 + r 2 dϕ 2 ⇒ dξ 2 − ξ 2 dθ 2
of
ϕ ⇒ iθ
Als we dezelfde transformatie toepassen op de oplossing dan geldt
r cos(ϕ − d ) = c ⇒ ξ cos(i(ϕ − d )) = c ⇒ ξ cosh(ϕ − d ) = c
Check
x = r cosh θ = r cos(iθ )
dx = cos(iθ ) dr − ri sin(iθ )dθ
y = r sinh θ = −ri sin(iθ ) dy = −i sin(iθ )dr + r cos(iθ ) dθ
ds 2 = dr 2 − r 2 dθ 2
dx 2 − dy 2 = (cos 2 (iθ ) + i 2 sin 2 (iθ ))dr 2 + r 2 (cos 2 (iθ ) + i 2 sin 2 (iθ ))dθ 2
dr 2 + r 2 dϕ 2 ⇒ dξ 2 − ξ 2 dθ 2
of
ϕ ⇒ iθ
2.2 De geodetische vergelijking: methode 2
Een tweede manier om tot de geodetische vergelijking te komen is om het pad te zoeken
tussen twee gegeven punten van een manifold met de langste eigentijd. We zullen eerste
het principe toelichten.
2.2.1 Kortste afstand
Variatieprincipe
18
De gebruikte techniek is het variatie principe en is gekend uit de klassieke mechanica.
Gegeven is een oppervlak, een beginpunt en een eindpunt. Gevraagd is een functie te
vinden die een pad beschrijft tussen begin en eindpunt zodat een bepaalde kostfunctie
(actie genoemd) die typisch een integraal over het pad is, extreem (maximaal of
minimaal) is. Het is dus een techniek waar de uitkomst een functie is. In de klassieke
mechanica wordt het toegepast om de bewegingsvergelijkingen te vinden.
Eerst definieren we de Lagrangiaan L(t , q (t ), g& (t )) als functie van tijd t, variable q en de
afgeleide van q naar de tijd, die als een aparte variabele wordt behandeld.
b
De actie wordt voorgesteld door S = ∫ Ldt . De uitkomst wordt bekomen door de
a
volgende differentiaal vergelijking van Euler-Lagrange op te lossen.
∂L d ∂L
−
=0
∂q dt ∂q&
Equation 27
Voorbeeld1: meetkunde
Een eerste voorbeeld is het vinden van een functie y(x) in een interval [a,b] zodat de
lengte minimaal is waarbij y(a) en y(b)gegeven constraints zijn. De lengte wordt gegeven
door
b
y ( f ) = ∫ 1 + y ' 2 dx
en de Lagrangiaan door
L ( x, y, y ' ) = 1 + y ' 2
a
De beide afgeleiden worden berekend
∂L
=0
∂y
∂L
y'
=
∂y '
1 + y'2
Invullen in de vergelijking van Euler-Lagrange geeft
∂L d ∂L
d
y'
−
=0⇒
=0
∂x dx ∂x&
dx 1 + y ' 2
en de verwachte oplossing is
y'
1 + y'2
= C ⇒ y' =
C
1− C 2
= A ⇒ y = Ax + B ■
Voorbeeld2: klassieke mechanica
Het doel is bewegingsvergelijkingen te vinden. Daartoe definieren we de Lagrangiaan als
de kinetische energie min de potentiele. L(t , x(t ), v(t )) = E kin − E pot = mv 2 / 2 − V ( x)
b
De actie is S = ∫ Ldt en de beide afgeleiden
a
Substitutie in Euler-Lagrange geeft F −
∂L
∂V
=−
=F
∂x
∂x
d
(mv) = 0 ⇒ F = ma ■
dt
Voorbeeld 3: SRT
19
∂L
= mv
∂v
In de vlakke ruimte van SRT is de eigentijd meten langs verschillende tijd-achtige paden
tussen twee gegeven punten afhankelijk van het pad. Dit zien we al in de tweelingenparadox. We willen dus berekenen
B
B
τ AB = ∫ dτ = ∫ dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 .
A
A
Stel dat we elk pad karakteriseren door een parameter σ zodat σ =0 in punt A en σ=1 in
punt B en in de andere punten door xa(σ). De vergelijking wordt dan
B
2
2
2
2
B
dt dx dy dz
a
a
τ AB = ∫
−
−
−
dσ = ∫ L(σ , x , dx dσ ) dσ
d
d
d
d
σ
σ
σ
σ
A
A
Als we dit nu als de Lagrangiaan beschouwen dan kunnen we dus situaties vinden
waarvoor de eigentijd een extremum heeft. De Lagrangiaan kan herschreven worden in
algemene coordinaten als
dx α
L(σ , x a , dx a dσ ) = − η αβ
dσ
dx β
dσ
∂L
1 dx α
∂L
We berekenen we beide afgeleiden: α = 0 en
=
∂x
∂ (dx α / dσ ) L dσ
De Euler-Lagrange vergelijking wordt
d 1 dxα
(
)=0
dσ L dσ
dxα dx β dτ
d 2 xα
=
wordt de Euler-Lagrange vergelijking
− η ββ
=0
dτ 2
dσ dσ dσ
Het extremum zoeken leidt dus tot een rechte lijn of m.a.w. de beweging van een vrij
deeltje in SRT. ■
Vermits
2.2.2 Opstellen van de Geodetische vergelijking: methode 2
In de context van de discussie over geodeten draaien we dit nu om. De tijd-achtige
woordlijn van een vrij vallend deeltje dat beweegt tussen twee punten is de lijn met
maximale eigentijd. De eigentijd is gedefinieerd als in SRT waarbij ηαβ vervangen is door
gαβ waarbij dient opgemerkt dat deze laatste nu functie is van de coordinaten. De
Lagrangiaan is nu gedefinieerd als
dxα
L(σ , x a , dxa dσ ) = − gαβ
dσ
dx β
dσ
Equation 28
Bovendien geldt ook dat L=dτ/d σ waaruit volgt
df
dτ df
df
=
=L
dσ dσ dτ
dτ
Equation 29
De volgende stap is het berekenen van de twee afgeleiden nodig voor de Euler-Lagrange
vergelijking. Vermits g afhangt van de coordinaten wordt dit
20
1.
2.
∂L − 1 ∂gαβ dxα dx β − L ∂gαβ dxα dx β
=
=
2 ∂x γ dτ dτ
∂x γ 2 L ∂x γ dσ dσ
dx β γ dxα γ − 1
∂L
−1
g γβ
=
g
δα +
δ β =
αβ
∂ (dxγ / dσ ) 2 L
dσ
dσ
2L
Dit wordt ingevuld in de volgende expressie
d 1
d
∂L
dxα
d
= L g αγ
−
g
=
αγ
γ
dσ ∂ (dx / dσ ) dσ L
dσ
dτ
d
=L
dτ
=L
d
dτ
dx β
dxα − 1
dxα
=
.
+ gαγ
g αγ
dσ
dσ L
dσ
dxα
dτ
=
d 2 x α dgαγ dxα
d
g αγ
= L
+
2
dτ
dτ dτ
dτ
2 α
∂g
∂g
g αγ d x2 + 1 αγβ + γβA
dτ
2 ∂x
∂x
d 2 xα ∂gαγ dx β dxα
gαγ
+ β
2
d
∂
x
d
d
τ
τ
τ
dx β dxα
dτ dτ
Deze beide expressies moeten we optellen om tot het verwachte resultaat te komen.
β
δ
d 2 x α 1 ∂g αβ dx α dx β 1 ∂g αγ ∂g γβ dx β dx α
α dx dx
gαγ
=
−
+
=
−
g
Γ
αγ δβ
dτ 2
2 ∂x γ dτ dτ 2 ∂x β
∂x A dτ dτ
dτ dτ
Appendix: berekenen van Christoffel symbolen uit de
metriek
Equation 23 laat toe de Christoffel symbolen te berekenen uitgaande van de metriek.
Γτ νβ = g τµ / 2( g µν ,β + g µβ ,ν − gνβ ,µ )
Hierbij moet de Einstein sommatie worden toegepast (µ index)
Dit is een algemene formule die aanzienlijk vereenvoudigd kan worden in geval van een
rechthoekig assenstelsel omdat dan in de metrische tensor alleen de hoofddiagonaal
verschillend is van 0. Alle combinaties van indices die verschillend zijn zijn gelijk aan 0.
Daarom moet µ gelijk zijn aan τ en dus valt de sommatie weg. Daarenboven geldt in dit
geval dat gττ=1/gττ waardoor de vergelijking er als volgt komt uit te zien
Γτ νβ = g ττ / 2( gτν ,β + gτ β ,ν − gνβ ,τ ) = (1 / 2 gττ )( gτν ,β + gτ β ,ν − gνβ ,τ )
Verdere constraints moeten in acht genomen worden voor ν en β. Alleen de volgende drie
combinaties zijn mogelijk
Γ τ ττ = (1 / 2 gττ ) g ττ ,τ
Γ τ νν = (−1 / 2 gττ ) gνν ,τ
Γ τ ντ = (1 / 2 gττ ) gτ τ ,ν = Γτ τr
21
We passen dit nu toe op enkele voorbeelden
A.1. Sferische coordinaten
Het lijnelement wordt gegeven door
ds2= dr2+ r2dθ 2+r2 sin 2(θ)dφ2
Er zijn 9 Christoffelsymbolen die van nul verschillen.
Γ r θθ = (−1/ 2) gθθ ,r = −r
Γ r ϕϕ = (−1/ 2) gϕϕ ,r = −r sin 2 θ
Γθ ϕϕ = ( −1 / 2 gθθ ) g ϕϕ ,θ = − sin θ cosθ
Γθ rθ = ( −1 / 2 gθθ ) gθθ ,r = 1 / r = Γθ θr
Γ ϕ rϕ = (−1/ 2 g ϕϕ ) gϕϕ ,r = (1 / 2r 2 sin 2 θ )( 2r sin 2 θ ) = 1 / r = Γ ϕ ϕr
Γ ϕ θϕ = (1/ 2 gϕϕ ) gϕϕ ,θ = (1 / 2r 2 sin 2 θ )( 2r 2 sin θ cosθ ) = cosθ / sin θ = Γ ϕ ϕθ
A.2. Isotrope statische metriek
De ruimte rond een centrale massa is rotatiesymmetrische, isotroop (zelfde
eigenschappen in elke richting) en statisch. Het lijnelement is gegeven door
ds2=gtt(r)dt2 +grr(r)dr2+ r2dθ 2+r2 sin 2(θ)dφ2
Γ t rt = (1 / 2 g tt ) g tt ,r = g tt , r / 2 g tt = Γ t tr
Γ r rr = (1 / 2 g rr ) g rr ,r = g rr ,r / 2 g rr
Γ r tt = (−1 / 2 g rr ) g tt ,r = g tt , r / 2 g rr
Γ r θθ = (−1 / 2 g rr ) g θθ ,r = −r / g rr
Γ r ϕϕ = (−1 / 2 g rr ) g ϕϕ ,r = (−1 / 2 g rr )( 2r sin 2 θ ) = −r sin 2 θ / g rr
Γθ ϕϕ = (−1 / 2 gθθ ) g ϕϕ ,θ = (−1 / 2r 2 )(2r 2 sin θ cosθ ) = − sin θ cosθ
Γθ rθ == (1 / 2 gθθ ) gθθ ,r = (1 / 2r 2 )(2r ) = 1 / r = Γθ τr
Γ ϕ rϕ = (1 / 2 g ϕϕ ) g ϕϕ ,r = 1 /(−2r 2 sin 2 θ )(−2r sin 2 θ ) = 1 / r = Γ ϕ ϕr
Γ ϕ θϕ = (1 / 2 g ϕϕ ) g ϕϕ ,θ = 1 /(−2r 2 sin 2 θ )(−2r 2 sin θ cosθ ) = cosθ / sin θ = Γϕ ϕθ
wormhole
ds2=-dt2 +dr2+( b2 + r2)(dθ 2+sin 2θ)dφ2
22
Γ r θθ = (−1 / 2 g rr ) g θθ ,r = −r / g rr = − r
Γ r ϕϕ = (−1 / 2 g rr ) g ϕϕ ,r = (−1 / 2 g rr )(2r sin 2 θ ) = −r sin 2 θ / g rr = −r sin 2 θ
Γθ ϕϕ = (−1 / 2 gθθ ) gϕϕ ,θ = (−1 / 2(b 2 + r 2 ))(2(b 2 + r 2 ) sin θ cosθ ) = − sin θ cosθ
Γθ rθ == (1 / 2 gθθ ) gθθ ,r = (1 / 2(b 2 + r 2 ))(2r ) = (r /(b 2 + r 2 )) = Γθ τr
Γϕ rϕ = (1 / 2 gϕϕ ) gϕϕ ,r = 1 /(2(b 2 + r 2 ) sin 2 θ )(2r sin 2 θ ) = r /(b 2 + r 2 ) = Γϕ ϕr
Γϕ θϕ = (1 / 2 gϕϕ ) gϕϕ ,θ = 1 /(2(b 2 + r 2 ) sin 2 θ )(2(b 2 + r 2 ) sin θ cosθ ) = cosθ / sin θ = Γϕ ϕθ
A.3.Vlakke hyperbolische coordinaten
ct = ξ sinh( gτ )
Transformaties
x = ξ cosh( gτ )
De christoffelsymbolen zijn
Γτ νβ = g ττ / 2( gτν , β + gτ β ,ν − gνβ ,τ ) = (1 / 2 gττ )( gτν ,β + gτ β ,ν − gνβ ,τ )
Γτ ττ = 0
Γτ ξξ = (1 / 2 gττ )( gτξ ,ξ + gτξ ,ξ − g ξξ ,τ ) = 0
Γτ τξ = (1 / 2 gττ )( gττ ,ξ + gτξ ,τ − gτξ ,τ ) = (1 / 2ξ 2 )(2ξ ) = 1 / ξ
Γξ νβ = (1 / 2 g ξξ )( g ξν ,β + g ξ β ,ν − gνβ ,ξ )
Γξ ξξ = (1 / 2 g ξξ )( g ξξ ,ξ + g ξξ ,ξ − g ξξ ,ξ ) = 0
Γξ ττ = (1 / 2 g ξξ )( g ξτ ,τ + g ξτ ,τ − gττ ,ξ ) = ( −1 / 2)(−2ξ ) = ξ
Γξ τβ = (1 / 2 g ξξ )( g ξτ ,ξ + g ξ ξ ,τ − gτξ ,ξ ) = 0
Hieruit volgen tenslotte de geodetische vergelijkingen
ds 2 = ξ 2 dτ 2 − dξ 2
b
c
d 2 xa
a dx dx
+
Γ
= 0... x = (ξ ,τ )
bc
d 2s
ds ds
Γττξ = ξ ; Γτξτ = Γξττ = 1 / ξ
2
d 2ξ
d 2ξ
dτ
ξ dτ dτ
+
Γ
=
+ξ = 0
ττ
2
2
ds ds d s
d s
ds
2
2
d τ
dξ dτ d τ 2 dξ dτ
+ 2Γξττ
=
+
=0
2
d s
ds ds d 2 s ξ ds ds
23
A4 Vlakke
poolcoord
Γ r rr = 0
Γ r ϕr = Γ r rϕ = 0
Γ r ϕϕ = (1 / 2 g rr )( − gϕϕ ,r ) = (1 / 2)1(−2r ) = −r
Γϕ rr = 0
Γϕ rϕ = Γϕ ϕr = (1 / 2 g ϕϕ ) gϕϕ ,r = (1 / 2) r − 2 ( 2r ) = 1 / r
Γϕ ϕϕ = 0
A5 Cylindrische coordinaten
(r , θ , z ) → Γθθr = −r
x = r cos θ
y = r sin θ
z=z
Γrθθ = Γθθr = 1 / r
r
dA ∂A µ
dxν r
=(
+ Aα Γ µ αν
)e µ
dt
dt
∂t
r
dA ∂A µ
dxν r
α µ
=(
+ A Γ αν
)e µ
dt
∂t
dt
r
dA ∂A r
dxν r
dxν r
dxν r
∂Aθ
∂A z
α z
α θ
α r
)e r + (
)eθ + (
)e z
=(
+ A Γ αν
+ A Γ αν
+ A Γ αν
dt
∂t
dt
∂t
dt
∂t
dt
r
dA ∂A r
dxθ r
∂Aθ
dxθ
dx r r
∂A z r
=(
+ Aθ Γ r θθ
)e r + (
+ A r Γ θ rθ
+ Aθ Γθ θr
)eθ + (
)e z
dt
∂t
dt
∂t
dt
dt
∂t
r
θ
r
dA ∂A r
∂Aθ 1 r dxθ 1 θ dx r r
∂A z r
θ dx
=(
− rA
)e r + (
+ A
+ A
)eθ + (
)e z
dt
∂t
dt
∂t r
dt r
dt
∂t
r
dA r &r
A = (r ,0, z ) →
= r&er + θeθ → v = (r&,θ&, z& )
dt
r
r
r
dA
1
1 r
= (&r& − rθ&θ&)er + (θ&& + r&θ& + θ&r&)eθ + z&ez
dt
r
r
r
r
1 r
(r&& − rϕ& 2 )e r + (ϕ&& + 2r& ϕ& )eϕ + z&ez =
r
24
A6 Christoffel symbolen
We bestuderen kromlijnige coordinaten in een Euclidische ruimte. We zijn vooral
r
geinteresseerd in de afgeleiden van de basisvectoren. met als basis g i
A4.1 Euclidische ruimte
A4.1.1 Rechtlijnige coordinaten en hun basis
Vertrekkende van een globale Euclidische ruimte kunen we vectoren definieren en
r
vervolgens ook tensoren. We beginnen met Cartesische coordinaten met als basis ei en
r
r
definieren een nieuwe basis g k als een lineaire combinatie van ei . Deze nieuwe basis is
dus niet noodzakelijk rechthoekig. Vervolgens leiden we hier opnieuw een basis uit af via
r
r
een lineaire transformatie van g k → hl en omgekeerd.
r
r
We noemen de coefficienten c en d en definieren een linaire expressie hi = c ik g k en
r
r
omgekeerd g k = d kl hl . Dan zijn de coefficienten c en d niet onafhankelijk van elkaar.
r
r
Integendeel, invullen van deze laatste in de vorige expressie geeft hi = cik d kl hl . Als l=i is
dit gelijk aan 1, in alle andere gevallen gelijk aan 0 omdat basisvectoren onafhankelijk
zijn. Hieruit volgt cik d kl = δ il .
We doen hetzelfde voor contravariante grootheden met coefficienten a en b
r
r
r
r
r
r
h i = a ki g k g k = blk h l h i = a ki blk h l a ki blk = δ li
Vervolgens gaan we combinatie smaken van covarante met contravariante
r r
r r
grootheden g i • g k = δ ki b ij d kl h j • hl = δ ki b ij d kl δ l j = δ ki b ij d kj = δ ki
Hieruit volgt b ij = c ij
r r
r
r
Analoog geldt h i • hk = δ ki a ki cil g k • g l = δ ki a ki cil δ lk = δ ki a ki cil = δ ki ⇒ a ij = d ij
Dit wil zeggen dat er dus geen vier verschillende coefficienten sets bestaan maar slechts
twee. Bovendien is er devolgende invariantie
r
r
r
a i g i = ai g i = c i g i =
A4.1.2 Kromlijnige coordinaten en hun basis
Vertrekkende van een globale Euclidische ruimte kunen we vectoren definieren en
r
vervolgens ook tensoren. We beginnen met Cartesische coordinaten met als basis ei en
veranderlijken (x1, x2, x3) gaan we naar kromlijnige coordinaten met veranderlijken (θ1,
θ2, θ3).
Van elke vector R kan de differentiaal genomen worden die in beide stelsels kan worden
geschreven als
r
r
r ∂R i r i
r ∂R
r
dR = i dx = ei dx
dR =
dθ i = g i dθ i
i
∂x
∂θ
r
r
i
i
r
r ∂x
r ∂θ j r
∂R
∂R ∂x
Uit
volgt dat g k = ei
en ook dat ei =
=
gj
∂θ k ∂x i ∂θ k
∂θ k
∂x i
25
Deze informatie is dus voldoende om een kromlijnige basis te definieren.
A4.1.2 Transformatie
We zijn vooral geinteresseerd in de afgeleiden van de basisvectoren. Uit het vorige volgt
r
r ∂ 2 xi
∂θ j ∂ 2 x i
g k ,l = ei
=
g j = Γklj g j
k
l
i
k
l
∂θ ∂θ
∂x ∂θ ∂θ
A4.2 Algemeen : manifolds
Stel dat we een lineaire transformatie definieren op een manifold van de coordinaten (θ1,
θ2, θ3) naar (φ1, φ2, φ3) die gekenmerkt wordt door
θ i = θ i (ϕ j ) = a ij ϕ j
ϕ j = ϕ j (θ i ) = bi jθ i
Dan zijn de factoren a en b niet onafhankelijk van elkaar. Integendeel, er geldt
bi j a kj = δ ik
an affine connection is a geometrical object on asmooth
manifold which connects nearby tangent spaces
An affine connection is a Levi-Civita coneection if it preserves the metric and is torsion
free.
Vlakke poolcoord
Γr rr = 0
Γr ϕr = Γ r rϕ = 0
Γ r ϕϕ = (1 / 2 g rr )( − gϕϕ ,r ) = (1 / 2)1(−2r ) = −r
Γϕ rr = 0
Γϕ rϕ = Γϕ ϕr = (1 / 2 g ϕϕ ) gϕϕ ,r = (1 / 2) r − 2 ( 2r ) = 1 / r
Γϕ ϕϕ = 0
A is een vector in poolcoordinaten en we berekenen de afgeleide
26
r
∂A µ
dA
dxν r
=(
+ Aα Γ µ αν
)e µ
dt
∂t
dt
∂A r
dϕ r
∂Aϕ
dϕ
dr r
ϕ r
(
+ A Γ ϕϕ
)e r + (
+ Ar Γϕ rϕ
+ Aϕ Γϕ ϕr )eϕ =
∂t
dt
∂t
dt
dt
ϕ
r
∂A
dϕ r
∂A
1 dϕ
1 dr r
(
− rAϕ
)e r + (
+ Ar
+ Aϕ
) eϕ =
∂t
dt
∂t
r dt
r dt
r
r
∂Ar r dϕ r
er +
eϕ = r&e r + ϕ&eϕ =
∂t
dt
r
1 r
(r&& − rϕ& 2 )e r + (ϕ&& + 2r& ϕ& )eϕ =
r
Snelheid en versnelling cylindrische coord
(r , θ , z ) → Γθθr = −r
Γrθθ = Γθθr = 1 / r
Een tweede toepassing is de uitdrukking vna de del operator, de gradient en de
divergentie in curvilineaire coordinaten. We geven hier dit voorbeeld in 2D
poolcoordinaten.
De del operator, ook genoemd de nabla operator, is in cartesische coordinaten
r ∂ r
∂ r
∂ r
gedefinieerd als ∇ = e x + e y + e z . Dit kan uitgedrukt worden in kromlijnige
∂x
∂y
∂z
i
coordinaten door de coordinaten x (bijv x, y) te schrijven als functie van θi (bijv r, φ) als
r r ∂
∂x i r ∂θ j ∂
r ∂
r ∂
= δ kj g k
volgt ∇ = e i i = k g k i
= gk
j
j
∂x
∂θ
∂θ k
∂θ
∂x ∂θ
In beide gevallen is de operator dus gelijk aan de som van basisvectoren vermenigvuldigd
met de afgeleide naar dezelfde coordinaat.
De covariante afgeleide van een scalar (of de gradient) is gedefinieerd als ∇Φ of de del
operator toegepast op een scalair veld. We hebben dus een functie Φ die een oppervlak
beschrijft in 2D. De toename of afname van de functiewaarde gemeten volgens een
bepaalde richting, hangt af van de afstand volgens de coordinaat-assen (bijv dx, dy) en
dus van het lijnelement
s
s
s
r
r
(r , ϕ ) → (r + dr, ϕ + dϕ ) ⇒ dl = dl r + dlϕ = dr.er + r.dϕ.eϕ
De verandering van de functiewaarde is hiermee evenredig. Vermits een verandering in
d ϕ aanleiding geeft tot een r maal grotere verplaatsing moeten we in de del operator
delen door deze schaalfactor r.
∂ r 1 ∂ r
r = scale ⇒ ∇ = er +
eϕ
∂r
r ∂ϕ
De gradient wordt nu
27
∂U
∂U
∂U
1 ∂U
dx +
dy =
dr +
dϕ
∂x
∂y
∂r
r ∂ϕ
Deze uitdrukkingen zijn dezelfde omdat het om een scalar gaat, m.a.w. omdat de
functiewaarde van een scalair veld in een punt niet afhangt van de basisvectoren.
grad (U ) = dU =
nl.wikipedia.org/wiki/Nabla_in_verschillende_assenstelsels
r ∂a µ
De divergentie van een vector is in cartesische coordinaten gelijk aan ∇ • a = µ . Als
∂x
we vertrekken van Eq. 14 (de algemene uitdrukking voor de covariante afgeleide) zijnde
∂a µ
+ a α Γ µ αν = a µ ;ν dan stellen we ν = µ zodat
ν
∂x
∂a µ
∂a r
∂a ϕ
∂a r ∂a ϕ
r r
r ϕ
ϕ r
ϕ ϕ
µ α
+
Γ
a
=
+
Γ
a
+
Γ
a
+
+
Γ
a
+
Γ
a
=
+
+ (1 / r )a r
rr
rϕ
ϕϕ
αµ
ϕr
∂x µ
∂x r
∂xϕ
∂r
∂ϕ
http://en.wikipedia.org/wiki/Tensors_in_curvilinear_coordinates#Divergence
http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative#Coordinate_description
The covariant derivative of a basis vector along a basis vector is again a vector and so can
be expressed as a linear combination
. To specify the covariant derivative it is
enough to specify the covariant derivative of each basis vector field along .
the coefficients
are called Christoffel symbols. Then using the rules in the
definition, we find that for general vector fields
and
we get
so
Dit kan worden samengevat in een compacte vergelijking waarin µ, ν en α de waarden r
en φ kunnen aannemen
28
r
d eµ
r
r
ν
ar
deµ = Γ µα dx eν
→ a = Γν µα .eν
dx
Equation 30■
Samenvattend geldt dat de Christoffel symbolen te maken hebben met de transformatie
van de basisvectoren. Vermits de covariante afgeleide van een willekeurige basisvector
opnieuw een vector oplevert kan deze geschreven worden als een lineaire combinatie
(Figuur 6) waarbij i,j=1...n .
What is the covariant derivative of a scalar? The covariant derivative differs from the
partial derivative with respect to the coordinates only because the basis vectors change.
But a scalar does not depend on the basis vectors, so its covariant derivative is the same as
its partial derivative, which is its gradient:
∇αf = ∂f /∂xα; ∇f = ˜ df .
29
© Copyright 2024 ExpyDoc
