9 Formalisme van de QM: observabelen en eigenfuncties

werkcollege qm1: opgaven 9
9
1
Formalisme van de QM: observabelen en eigenfuncties
De quantummechanica is te omschrijven als een wiskundige theorie die over
meetuitkomsten van natuurkundige experimenten gaat. Hoofdstuk 3 van Griffiths richt zich op de formele, wiskundige kant van deze theorie.
N.B. De verschillen tussen de twee edities zijn in dit hoofdstuk vrij groot.
De stof wordt gedefini¨eerd door de inhoud van de tweede editie.
9.1
Algebra en quantummechanica
Schrijf van de volgende begrippen uit de quantummechanica op welke algebra¨ısche termen ermee corresponderen.
• toestand / golffunctie
• observabele
• mogelijke meetuitkomsten
• verwachtingswaarde van een meetuitkomst
9.2
Hermitische operatoren
In de wiskunde van de quantummechanica spelen Hermitische operatoren een
belangrijke rol.
1. Welke rol is dat? Door welke eigenschap(pen) van Hermitische operatoren
zijn ze daar zo geschikt voor? Leg uit.
2. Laat zien dat de som van twee Hermitische operatoren zelf ook Hermitisch
is.
ˆ een Hermitische operator zijn en α een complex getal. Onder welke
3. Laat Q
ˆ dan Hermitisch?
voorwaarde is αQ
4. Wanneer is het produkt van twee Hermitische operatoren zelf ook Hermitisch?
5. Laat zien dat de plaatsoperator en de Hamiltoniaan beide Hermitische
operatoren zijn.
6. Leg uit waarom de uitkomsten van de onderdelen 2-5 natuurkundig goed
te begrijpen zijn.
9.3
Orthogonale eigenfuncties
Een van de eigenschappen van Hermitische operatoren is, dat de eigenfuncties
van zo’n operator de Hilbertruimte opspannen: je kunt de verzameling van
eigenfuncties dus gebruiken als basis voor de Hilbertruimte. Het is vaak handig
als zo’n basis orthonormaal is.
1. Wat betekent het als een basis orthonormaal is? Waarom is dat handig?
ˆ met
2. Laat zien dat als f (x) en g(x) eigenfuncties zijn van de operator Q
eigenwaarde q, dat dan elke lineaire combinatie van f (x) en g(x) ook een
ˆ met dezelfde eigenwaarde.
eigenfunctie is van Q
3. Laat zien dat f (x) = exp(x) en g(x) = exp(−x) eigenfuncties zijn van de
operator d2 /dx2 , met dezelfde eigenwaarde.
4. Als je een basis wilt construeren van eigenfuncties van d2 /dx2 , waarom
heb je dan zowel f (x) als g(x) nodig?
5. Construeer twee lineaire combinaties van f (x) en g(x) die orthonormaal
zijn op het interval [−1, 1].
2
werkcollege qm1: opgaven 9
9.4
Bra’s en kets
In de quantummechanica wordt vaak de Dirac-notatie gebruikt, ook wel ‘braket’-notatie genoemd. De ‘ket’ |φi stelt de toestand (Engels: ‘state’) van een
systeem voor. Afhankelijk van het systeem kun je de toestand expliciet schrijven
als
• een complexe kolomvector, voor een systeem met een eindig (of aftelbaar
oneindig) aantal onafhankelijke toestanden
• een complexe functie, voor een systeem met een (overaftelbaar) oneindig
aantal onafhankelijke toestanden
De volgende vragen gaan over deze notatie.
(a) Geef ´e´en of meer voorbeelden van systemen met een aftelbaar aantal onafhankelijke toestanden, en van systemen met een oneindig aantal onafhankelijke toestanden.
(b) Behalve kets zijn er ook bra’s. Met behulp van de ‘bra’ hχ| maak je het
inprodukt hχ|φi. Hoe kun je, in de twee bovenstaande gevallen, zo’n bra
expliciet schrijven?
(c) We defini¨eren A = |φihχ|. Wat krijg je als je A met een toestand |αi
‘vermenigvuldigt’ ? Wat voor een soort object is A dus?
(d) Gebruik twee-dimensionale vectoren om zo een object expliciet te construeren. Klopt dit met je verwachting?
(e) We bekijken een vector |ψi met hψ|ψi = 1 en het object P = |ψihψ|. Is P
een operator? Heeft het eigenvectoren? Zo ja, wat zijn die, en wat zijn de
bijbehorende eigenwaarden? Hoe zou je de werking van P beschrijven?
(f) Controleer je antwoorden bij (e) expliciet voor het geval van twee-dimensionale
vectoren.
9.5
Knutselen met de volledigheidsrelatie
We beschouwen een drie-dimensionale vectorruimte met een orthonormale basis
|1i, |2i, |3i. De vectoren (kets) |αi en |βi worden gegeven door
|αi = i|1i − 2|2i − 1|3i,
|βi = i|1i + 2|3i
(1)
In het algemeen geldt voor een N -dimensionale vectorruimte met orthonormale basisvectoren |ii (waar dus i = 1, 2, . . . , N ) dat de eenheidsoperator
geschreven kan worden als
N
X
|iihi|.
(2)
1=
i=1
Dit wordt welP
de volledigheidsrelatie genoemd.
1. Bepaal N
i=1 |iihi||ji om te controleren of dit inderdaad de eenheidsoperator (of identiteit) is.
2. Construeer met behulp van (2) de bra’s hα| en hβ| in termen van de duale
basis h1|, h2| en h3|.
3. Bepaal hα|βi en hβ|αi, en controleer of hβ|αi = hα|βi∗ .
4. Construeer de matrix |αihβ| in deze basis. Is die Hermitisch?
werkcollege qm1: opgaven 9
9.6
3
Dirac-notatie en verwachtingswaarde – inleveropgave
Stel we hebben een toestand |ψi = α|ψ1 i + β|ψ2 i + γ|ψ3 i, waarbij de |ψi i
orthonormale eigentoestanden van een observabele A met eigenwaarden ai zijn.
(a) Waaraan moeten α, β, γ voldoen?
(b) Bepaal hψ|ψ1 i, hψ2 |ψ1 i, hψ3 |ψi.
We meten de observabele A aan de toestand ψ.
(c) Welke uitkomsten zijn mogelijk? Met welke kansen?
(d) Gebruik je antwoord bij (c) om de verwachtingswaarde hAi te berekenen
(e) Reken de hAi nu op de ‘formele’ manier uit met behulp van je antwoord
bij (b). Begin dus met hAi = hψ|A|ψi = . . .

Download Report