確率と統計

確率と統計2007
平成19年11月15日
今日の内容
1.
2.
3.
4.
乗法の定理（確率）
ベイズの定理
確率公式のまとめ
今後の予定
• 「事象Aと事象Bが同時に起きる確率」を考
える。
これを、
P(A and B)
と書くこととする。
• 例：２個のサイコロ（赤いサイコロと白いサ
イコロ）を投げる。赤いサイコロの目が１
（=A）で白いサイコロの目が３(=B)となる
確率。
• P(A and B) =
P( 赤いサイコロの目が１ and
白いサイコロの目が３ )
• 例：１個のサイコロを投げて、
A = ２の倍数の目が出る
B = ３の倍数の目が出る
確率
• P( A and B ) =
P(２の倍数の目が出る and
３の倍数の目が出る)
事象Aに対応
する集合群
事象Bに
対応する
集合群
P(A ∩ B)
• サイコロ投げ
–
–
–
–
事象A：２の倍数（偶数）が出る
事象B：３の倍数が出る
A and B: ６の倍数が出る
A∩B = {2,4,6}∩{3,6} = {6}:
６の倍数が出る
１
３
５
２
６
４
P(A ∩ B)
• P(A and B) = #(A∩B) / #Ω
= #(A∩B) / N
= #{6} / #{1,2,3,4,5,6}
=1/6
• 次に「事象Aが起きた後に事象Bが起きる確率」
を考えてみる。
これを、
P(B | A)
と書くこととする。
• <<注>> 事象Aが起きたという条件の下、事象B
の生起する確率を聞いている。単にBが生起す
る確率を聞いているのではない。
• 例：
– 雨が降った(事象A)次の日が晴れる(事象B)
確率
– １回目は表(事象A)、２回目は裏(事象B)の確
率
– まず、事象Aが起き、ついで、
「事象Bが起きる確率」 => P(B | A)
今日雨であることを知って、明日晴れる確率
を求めたい、ということ。
• サイコロ投げ
– 事象A：２の倍数（偶数）が出る
– 事象B：３の倍数が出る
– Aが起きた後に（という条件の下に）、Bが起き
る。
まず、標本空間を作って考えよう。
• 標本空間Ω
Ω = Ω１×Ω２
= {{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},
{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},
{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{3,5},{3,6},
{4,1},{4,2},{4,3},{4,4},{4,5},{4,6},
{5,1},{5,2},{5,3},{5,4},{5,5},{5,6},
{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{6,6}}
• 標本空間Ω={
{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},
{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},
{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{3,5},{3,6},
{4,1},{4,2},{4,3},{4,4},{4,5},{4,6},
{5,1},{5,2},{5,3},{5,4},{5,5},{5,6},
{6,1},{6,2},{6,3},{,64},{6,5},{6,6}}
事象A
• 標本空間Ω={
{1,1}, {1,2},{1,3}, {1,4},{1,5},{1,6},
{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},
{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{3,5},{3,6},
事象A
{4,1},{4,2},{4,3},{4,4},{4,5},{4,6},
{5,1},{5,2},{5,3},{5,4},{5,5},{5,6},
{6,1},{6,2},{6,3},{,64},{6,5},{6,6}}
事象B
• 標本空間Ω={
{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},
{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},
{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{3,5},{3,6},
{4,1},{4,2},{4,3},{4,4},{4,5},{4,6},
{5,1},{5,2},{5,3},{5,4},{5,5},{5,6},
{6,1},{6,2},{6,3},{,64},{6,5},{6,6}}
事象A
• サイコロ投げ（続き）
– １回目２の倍数が出て、
２回目に３の倍数が出る確率
– 前の図より、
P( B | A ) = 6 / 36
=1/6
一方、
P(A and B) = #(A∩B) / #Ω
= ( #(A∩B) / #A ) × ( #A / #Ω)
= ( #(A∩B) / #A ) × P(A)
ここで、
#(A∩B) / #A は、「Aが起きたという条件の下で
Bが起きる確率」になっている。
従って、
P(A and B) = P( B | A ) ×P(A)
= (18 / 36) × (6 / 18 )
= (1 / 2 ) × ( 1 / 3)
= 1 / 6 ＜＝確かに一致！
確率計算の公式
• P( A∩B ) = P(A)×P(B | A)
• P(B | A) = P( A∩B ) / P(A)
• いま特に、
「Bの生起確率がAの生起に無関係」
であるとする。つまり、
P(B | A) = P(B)。
• このとき、
P(B) = P(B | A) = P(A∩B) / P(A)
• よって、
P(A∩B) = P(A)×P(B)
定義(独立と従属)
• 事象Bの生起確率は、事象Aに無関係
• 事象AとBとは互いに独立
• P(A∩B) = P(A)×P(B)
（独立事象の乗法定理）
• 「独立でない」とき、「従属である」という。
• 2個のサイコロの場合：
– １回だけ（１個だけ）の場合：
•
•
•
•
A:２の倍数  生起確率 3 / 6 = 1 / 2
B:３の倍数  生起確率 2 / 6 = 1 / 3
AとBは互いに独立
P(A and B) = P(A∩B) = P(A)×P(B)
= (1 / 2) ×(1 / 3)
= 1 / 6 <= 前の結果と一致！
• 2個のサイコロの場合：
– ２回（２個）を続けて投げる場合：
•
•
•
•
A:２の倍数  生起確率 3 / 6 = 1 / 2
B:３の倍数  生起確率 2 / 6 = 1 / 3
AとBは互いに独立
P(A and B) = P(A∩B) = P(A)×P(B)
= (1 / 2) ×(1 / 3)
= 1 / 6 <= 前の結果と一致！
• 練習問題
– １枚のコインを３回続けて投げるとき、表裏表
となる確率はいくか？
• ヒント：コイン投げでは、それまでに何が出たか（表
が出たか裏が出たか）関係しない。
=> 独立な事象
=> 乗法の定理が使える。
確認問題
（確率の計算に慣れよう）
1. １組５２枚のトランプカードから、カードを
１枚づつ２回取り出す。ただし、１枚目の
カードは、２枚目を取り出す前に元に戻
すものとする。
（１）２枚ともスペードとなる確率は？
（２）２枚ともスペードかまたは２枚とも
ハートとなる確率は？
2. １組５２枚のトランプカードから、カードを
１枚づつ２回取り出す。ただし、一枚目の
カードは、元に戻さないものとする。
（１）２枚ともスペードとなる確率は？
（２）２枚ともスペードかまたは２枚とも
ハートとなる確率は？
3. 男の子の生まれる確率が1/2であるとし
て、６人の子持ちの家族で次の事象の
起こる確率を求めよ。
（１）子供全員が男の子である確率は？
（２）子供全員が男の子であるかまたは
女の子である確率は？
(3)男の子が５人、女の子が１人である
確率は？
練習問題（宿題）
• 教科書のp.65-p.68の例題（２）（例１～例
５）を勉強しておくこと。
• 余裕のある人は、教科書p.52-p.65にも目
を通しておくこと。
（何も提出の必要はありません）
大学入試問題の例
1. 問題１：次の確率を求めよ。
（１）２個のさいころを投げるとき、目の和が素数
である確率。
（２）３枚の硬貨を投げて、表１枚、裏２枚が出る
確率
ここからは、少し進んだ話
まずは気楽に聞いてください。
ベイズの定理
• 例：２つの箱AとBがあり、Aには赤球が１
個、白球が２個入っており、一方、Bには
赤球が２個、白球が３個入っている。いま、
２つの箱を無作為に選んで、かつ、選んだ
箱から無作為に球を１つ取り出したら赤球
だった。この球がAから取り出された確率
はいくらか？
• ～したら～だった。このとき、～だった確率。
• このような確率を「事後確率」といい、計算
公式が知られている。
• ベイズの定理という。
• 以下では、この公式の使い方を説明する。
• １つ取り出したら赤球だった。
• このとき、この球がAからとられた確率
は？
赤球
赤：１個
赤：２個
白：２個
白：３個
箱A
箱B
赤球
1/2 *1/3
A
1 / 2*2/3
白球
赤球
1 /2 * 2/5
B
白球
1/2*3/5
• 求める確率P
Aが選ばれる確率 × Aの赤球が選ばれる確率
=－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（箱Aの確率 × Aの赤球の確率）＋
（箱Bの確率 × Bの赤球の確率）
=( 1 / 2 × 1 / 3 ) / { ( 1 / 2 × 1 / 3 )
+ (1 / 2 × 2 / 5 ) }
= 5 / 11
レポート問題：いま稀にしか起こらないある
特別な病気（例えばHIV）を発見する検査
法があるとする。この検査法が実際にそ
の病に冒されている人（A群）に適用され
るならば97%の確率でその病気であるこ
とを発見することができる。一方、健康な
人（B群）にこの検査法を適用すると、その
5%の人が病気であると間違った診断結果
をもたらす。さらに、別のある軽い病気に
かかっている人（C群）にこの検査法を適
用すると、その10%の人が病気であると誤
診する。
多数の人を調べたところ、A群の人、B群の人、
C群の人の割合はそれぞれ、1:96:3であった。
さて、任意の１人に対してこの検査法を適用
したところ、陽性反応（その病気にかかって
いるとの反応）が得られた。
このとき、この人が本当にその病気にかかっ
ている確率はいくらか？
発展課題
1. 前記のレポート問題を解きなさい。
可能ならば、ベイズの定理を証明してみ
てください。
（Hint:乗法の定理から簡単に導かれま
す。）
確率の諸公式
• P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
• P(A∪B) = P(A) + P(B)
• P(A∩B) = P(A)×P(B | A)
= P(B)×P(A | B)
• P(A∩B) = P(A)×P(B)
（加法の定理）
（排反事象の加法の定理）
(乗法の定理)
（独立事象の乗法の定理）
• ベイズの定理（事後確率を計算するための公式）
お知らせ
今年は定期試験は実施しません。
レポートのみです。レポートは後日
お知らせします。

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