統計学1 標本空間と事象事象の演算

2015/06/05
標本空間と事象
統計学１
確率・条件付確率
1枚のコインを2回投げる場合、起こり得る
結果は
（表、表）、（表、裏）、（裏、表）、（裏、裏）
なので、標本空間は4つの標本点からなる。
よって
Ω＝｛（表、表）、（表、裏）、（裏、表）、（裏、裏）｝
である。
さいころを1回投げたとき、起こり得る結果は
・1の目が出る・2の目が出る
・3の目が出る・4の目が出る
・5の目が出る・6の目が出る
の6つである。このような起こり得る結果を標
本点といい、その全体の集合を標本空間と
いう。標本空間はΩという記号で表現される。
標本空間の部分集合を事象という。必ず起
こる事象を全事象、起こり得ない事象を空事
象という。
コインを2回投げる試行では、
事象A：1回目に表が出る
A=｛（表、表）、（表、裏）｝
事象B：1回目も2回目も裏である
B=｛（裏、裏）｝
などとなる。
事象の演算
ただ1つの標本点からなり、それ以上分解で
きない事象を根元事象とよび、2つ以上の根
元事象に分解可能な事象を複合事象という。
前例の事象Bは根元事象であり、事象Aは複
合事象である。
• 和事象
2つの事象A、Bに対して、どちらかの事象が起
こるという事象を和事象とよび、A∪Bで表す。
サイコロを1回投げる試行において、
事象A ：偶数の目が出る
事象B : 3以上の目が出る
とすると、A∪B＝｛２、３、４、５、６｝となる。
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事象の演算
• 積事象
2つの事象A、Bに対して、どちらの事象も同時
に起こるという事象を積事象とよび、A∩Bで表す。
サイコロを1回投げる試行において、
事象A ：偶数の目が出る
事象B : 3以上の目が出る
とすると、A∩B＝｛４，６｝となる。
AとBが同時に起こることがない場合、AとBは互
いに排反であるという。
事象の演算
• 余事象
事象Aに対して、事象Aが起こらないとい
う事象をAの余事象とよび、ACで表す。
サイコロを1回投げる試行において、
事象B : 3以上の目が出る
とすると、BC＝｛１、２｝となる。
事象の演算
事象の演算
• 差事象
２つの事象A,Bに対して、事象Aは起こる
が事象Bは起こらないという事象をAとBの
差事象とよび、A－B(=A⋂BC)で表す。
事象の演算に対しては、集合の場合と同じ
ように次式が成り立つ。
サイコロを1回投げる試行において、
事象A : 偶数の目が出る
事象B : 3以上の目が出る
とすると、A－B＝｛２｝となる。
確率とは？
17世紀パスカル
1812年ラプラス
『確率の解析的理論』
（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）
（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）
（A∪B）C＝AC∩BC
（ド・モルガンの法則）
（A∩B）C＝AC∪BC
AさんとBさんで72ドルのお金を賭けて、ゲー
ムをし、先に３勝した方が勝ちとした。しかし、
時間の関係でAさんが２勝１敗のところで止
めなければならなくなった。
掛け金の分配方法が分からなかったから
２
Aさん 72 ３＝48
１
Bさん 72 ３＝24
と分けた。これでよかったのだろうか？Aさん
Bさんが勝つ確率はとする。
2
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Aさんの
現在までの勝敗
４回戦
５回戦
○○×
○○×
○○×
○○×
○
○
×
×
○
×
○
×
確率とは？（中学1年生）
勝者
Aさん
Aさん
Aさん
Bさん
２人の勝負は上記のようになり、Aさんはの確率で勝者になる。
Aさん
72
Bさん
72
３
＝54
４
１
＝18
４
確率とは？（高校）
正しく作られたさいころを投げる実験では、起こ
りうる結果は全部で6通りあり、そのどれが起こる
ことも同じ程度に期待できる。このようなとき、ど
の結果が起こることも同様に確からしいという。こ
のようなときは計算によって、確率が求められる。
たとえば、（奇数の目がでる）という事柄を考えて
みよう。目の出方は全部で6通りあり、どの目が
出ることも同様に確からしい。このうち、奇数の
目が出る場合は、3通りであるから
（奇数の目が出る確率）＝3/6=1/2
である。
フォン・ミーゼス
確率ってなんだ？
（ラプラスの確率定義）
1928年『確率、統計量および真実』
同様に確からしい？
（律核とは）・・・・
同様に確からし
いとする。・・・を
律核という。
確率とは？（中学校２年生）
律核とは？
同様に確から
しいとは？
同様に確からしい
とは？
（同様に確からし
いとは）・・・・それ
が起こる律核が
等しいんだよ。
律核とは？
？？？
同様に確からしい？
（さいころを投げて1の目が出る）という事柄のよう
に、結果が偶然に左右される実験や観察を行う
とき、ある事柄が起こると期待される程度を数で
表したものを、その事柄の起こる確率という。
たとえば、さいころを投げるとき1の目が出る確率
は1/6である。このように、確率がpであるというこ
とは、同じ実験や観察を多数回繰り返すとき、そ
の事柄の起こる割合がpに近づくという意味を
持っている。
（経験的確率or統計的確率：フォン・ミーゼス）
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アンドレイ・コルモゴロフ
確率ってなんだ？
1933年『確率理論の基礎』
確率とは？
「確率がpであるということは、同じ実験や観察を多数回繰り
返すとき、その事柄の起こる割合がpに近づく」
何回投げてどれくらい
なら0.5に近いの？
50回中、表は22回出たので
表の出る確率は0.44くらいだ
けど0.5に近いから0.5です。
• ラプラスの確率定義（１８１２）
• 経験的確率（１９２８）
• 公理主義的定義（１９３３）
ある事象Aに対して、関数P(A)を考える。この関数P(A)
が下記の3つを満たすとき、 P(A)を確率と呼ぶ。
50回は少ない！100回中、表は47
回出たので表の出る確率は0.47だ
けど0.5に近いから0.5です。
150回中、表は77回出たので表の
出る確率は0.513だけど0.5に近い
から0.5です。
(1) すべての事象Aに対して0≦P(A)≦1
(2) P(Ω)=1
(3) 互いに排反な事象A1､A2､A3､・・・に対して
P(A1∪A2∪A3∪・・・)
＝ P(A1）＋P(A2）＋P(A3）＋・・・
が成り立つ。
確率計算
• 階乗
n個のものを1列に並べる並べ方は
n×(n-1)×・・・×3×2×1通り
あり、これをn! で表す。
例 1,2,3と書かれたカードを1列に並べると
確率計算
• 順列
n個のものからr個を選び一列に並べる並べ方は
n×(n-1)×・・・×(n-r+1)通り
あり、これをnPrで表す。
例 1,2,3,4,5と書かれたカードから3枚選び、1列に並
べると5P3＝5×4×3=60通り
1 2 3
2 3 1
1 3 2
3 1 2
1 2 3
1 3 2
1 4 2
1 5 2
2 1 3
3 2 1
1 2 4
1 3 4
1 4 3
1 5 3
1 2 5
1 3 5
1 4 5
1 5 4
の6通り。（3!=3×2×1=6）
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確率計算
確率の性質
• 組み合わせ
n個のものからr個を選ぶ選び方は
{n×(n-1)×・・・×(n-r+1)}/r!通り
あり、これをnCrで表す。
例 1,2,3,4,5と書かれたカードから3枚選び、1列に並
べると5P3＝5×4×3=60通り
1 2 3
1 3 2
3 1 2
3 2 1
2 1 3
(1)互いに排反な事象A,Bに対して
P(A∪B)=P(A)+P(B)
C
(2) P(A )=1－P(A)
(3) 事象A,BがA⊂Bであるとき、P(A)≦P(B)
2 3 1
この1,2,3のカードの組み合わせは同じであり、
6種類あるので60÷6=10通りとなる。
条件付確率
確率の性質
下の箱から玉を1つ取り出すことを考える。ただし、手触りな
どで書かれている数字や色は分からないことにする。
このとき、
「1と書かれた玉が出てくる」
「2と書かれた玉が出てくる」
のどちらに賭けた方がよいかを考える。
(4) ２つの事象A,Bに対して
P(A∪B)＝P(A)+P(B)－P(A∩B)
が成り立つ。
A
B
１
１
１
適当に考えるよりも確率を考えて、出てくる
確率が高いほうに賭けることが普通であろう。
「1と書かれた玉が出てくる」確率をP(1)、
「2と書かれた玉が出てくる」確率をP(2)として
それぞれの確率を求める。
P (1) 
P ( 2) 
２
２
では、取り出す玉の数字を確認する前に玉の
色が分かっていたらどうであろうか？
手に握っている玉の色が青であるとき
P (1) 
2
3
P (2) 
1
3
手に握っている玉の色が赤であるとき
3 1

6 2
3 1

6 2
２
P (1) 
１
１
１
２
２
２
1
3
P ( 2) 
2
3
玉の色によって、1や2に賭けるのを変えたほうがよい！
5
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このように他の事象B（玉の色）が起こってい
ると分かっているときに、事象A（1か2）が起こ
る確率をBを条件とするAの条件付確率とい
い、P(A｜B)で表す。
Aの条件付確率は、B（玉の色）が起った場合
で、さらにAが起こる確率なので
P( A | B) 
P( A  B)
P( B)
先ほどの箱で、握った玉が青であるとき1と書
かれた玉が出る確率は
P (1 | 青) 
握った玉が青であるとき2と書かれた玉が出る
確率は
P(2 | 青) 
と定義される。
P(1  青) 2 / 6 2
＝

P (青)
1/ 2 3
P(2  青) 1 / 6 1
＝

P(青)
1/ 2 3
となり、先ほどの結果と同じになる（赤玉の場
合も同様です。）。
P( A | B) 
P( A  B)
P( B)
条件付確率の性質
条件付確率の定義を書き直した
P( A  B)  P( A | B) P( B)
は乗法公式と呼ばれている。これは、P(B)=0
の場合も成り立つ。
P ( A  B )  P( B  A)  P( B | A) P ( A)
演
(1)互いに排反な事象A,Bに対して
P(A∪B | C)=P(A | C)+P(B | C)
(2) P(AC | C)=1－P(A | C)
(3) 事象A,BがA⊂Bであるとき、
P(A | C)≦P(B | C)
(4) ２つの事象A,Bに対して
P(A∪B | C)＝P(A | C)+P(B | C)－P(A∩B | C)
が成り立つ。
習
下の箱から１つ球を取り出すとき、次の確率
を求めよ。
(1) P(1  赤)
(2) P(1 | 赤)
２
１
１
１
１
２
２
２
6

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