第3回演習問題（微分方程式）

2014 年 10 月 10 日内田健康
回路理論Ｂ（2 クラス）
１．線形微分方程式の解法のまとめ（教科書の３．１）
n 階の微分方程式：
（１）
y ( n )  a1 y ( n 1) 
 an1 y  an y  f (t )
y ( n 1) (0),..., y(0), y(0) : given (initial conditions)
の解を求める。
ステップ１：補解（回路では過渡解という）を求めるステップ：
同次方程式（（１）で f (t )  0 としたもの）
（２） y ( n )  a1 y ( n1) 
 an1 y  an y  0
を解く。線形微分方程式の解の形式 et を（２）へ代入すると、特性方程式
（３）  n  a1 n1 
 an1  an  0
を得る。特性根 1 , 2 ,..., n とする。以下、二つの場合に分けて考える。
①特性根がすべて相異なる場合
（２）の解は
 Anent （補解、過渡解）
（４） y f (t )  A1e1t  A2e2t 
で与えられる。 A1 , A2 ,..., An は未定定数。
②特性根の中に重根が有る場合、例えば、 k  k 1 
 k m1 (  ) なる m 重根
が含まれ、他は相異なる場合
（２）の解は
（５）
y f (t )  A1e1t 
 Ak 1ek it
( Ak  Ak 1t 
 Ak  m1t m )et  Ak  mek mt 
で与えられる。 A1 , A2 ,..., An は未定定数。
 An ent
（補解、過渡解）
ステップ２：特解（回路では定常解に対応）を求めるステップ：
元の微分方程式（非同時方程式）
（１）において、 f (t ) が以下の二つの特別な形
をしているときの特解の求め方を示す。
① f (t )  Ae t （ A と  は定数。複素数でもよい）の場合
ａ）  がステップ１の特性根と一致しない場合の特解は
（６） ys (t )  Ce t （特解、定常解）
の形になり、これを（１）に代入して定数 C を決めればよい。
ｂ）  がステップ１の特性根、例えば m 重根、と一致する場合の特解は
（７） ys (t )  Ct me t
の形になり、これを（１）に代入して定数 C を決めればよい。
② f (t )  B sin t （ B と  は定数）の場合（この場合はオイラーの公式、そして
重ね合わせの理を使えば①の特別な場合として扱える）
ａ） j がステップ１の特性根と一致しない場合の特解は
（８） ys (t )  C sin(t   ) （特解、定常解）
の形となり、これを（１）に代入して定数 B,  を決めればよい。
（回路理論Ａで
学んだ交流理論、もちろんフェーザが使える。）
ｂ） j がステップ１の特性根、例えば m 重根、と一致する場合の特解は
（９） ys (t )  Ct m sin(t   )
の形になり、これを（１）に代入して定数 C ,  を決めればよい。
ステップ３：ステップ１とステップ２（特に四角で囲った②のａ）の場合が重
要）から得られた補解 y f (t ) と特解 ys (t ) を用いて、元の微分方程式（１）の一般
解は
（１０） y(t )  y f (t )  ys (t )
で与えられる。未定定数 A1 , A2 ,..., An は初期条件を用いて決定すればよい。
２．演習問題
微分方程式の解を求めよ。
dy
 y  0,
dt
y (0)  1
dy
 y  1,
dt
y (0)  1
d 2 y dy
  y  0,
dt 2 dt
dy
(0)  1,
dt
y (0)  0
d2y
dy
 2  y  1,
2
dt
dt
dy
(0)  0,
dt
y (0)  1
d2y
dy
 3  2 y  sin t ,
2
dt
dt
dy
(0)  0,
dt
y(0)  1
d 2 y dy
  y  sin t ,
dt 2 dt
dy
(0)  0,
dt
y (0)  0

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