e A

運動方程式の積分
解答例
力が一定でないとき、加速度を積分することによって速度、位置を求める。
（例題１）(a)
運動方程式
２ａ＝
∴
(b)
ａ
ａ
v(t )
adt
に
ｍ＝２，Ｆ(t)＝８＋１２ｔを代入して、
８＋１２ｔ
＝
＝
ｍａ＝Ｆ
８＋１２ｔ
＝
２
ｄｖ
４＋６ｔ
より、これを時間ｔについて積分すると、速度が求まる。
ｄｔ
(4
6t )dt
4t
6
t2
2
C1
4t
3t 2
C1
・・①
ここで、C １は積分定数。積分定数が入ったこの形の解を一般解という。
次に、初期条件を使って積分定数 C １を求める。
一般解①式は、任意の時間ｔについて成立するので、
①式にｔ＝０を代入すると、
ｖ（０）＝４・０＋３・０２＋ C １＝ C １
・・・①’
一方、問題文「ｔ＝０で物体は初速度 10 m/s を持つ」（初期条件）より、
ｔ＝０で物体は初速度 10 m/s を持つので、
ｖ（０）＝１０
・・・①”
①’と①”は等しくなければならないので、①’＝①”より、
C １＝１０
よって、ｔ秒後の速度は、①式に C １＝０を代入して、
ｖ（ｔ）＝
４ｔ＋３ｔ２＋１０・・・①'"
-1-
(c)
ｖ
＝
x(t )
ｄｘ
より、①'"を時間ｔについて積分すると、C2 を積分定数として
ｄｔ
vdt
3t 2
(4t
2t 2
10) dt
t3
10t
C2
・・②
題意より、ｔ＝０で物体は原点なので、一般解②にｔ＝０を代入したものと等し
ｘ（０）＝ C2 ＝０
いとして、
これを一般解
②式に代入して、
ｘ（ｔ）＝２ｔ２＋ｔ３＋１０ｔ
（別法）
C2 ＝０。
より
・・②’
定積分を用いる方法。
dv
dt
加速度 a
4 6t を積分するとき、不定積分ではなく、定積分を使う。
問題文に初期条件「ｔ＝０で物体は初速度 10 m/s を持つ」とあるので、
加速度を積分するとき、時刻０から時刻ｔまで、定積分を行う。
両辺を０からｔまで積分すると、
t
0
t
adt
0
(4
t
左辺
右辺
：
0
6 t ) dt
t
(4
：
t
adt
0
v (t )
0
4t
v(t )
t
t
6t ) dt
右辺＝左辺より、 v (t )
∴
dv
dt
dt
v ( 0)
3t 2
0
4dt
0
v(0)
6tdt
4t
t
0
6
t2
2
3t 2
4t
v (0)
ここで、初期条件より v(0)＝１０なので、これを代入して
v (t )
4t
3t 2
10
・・・
①'"と一致
同様に、速度ｖを０からｔまで積分して、
x (t )
x ( 0)
2t 2
t3
10 t
初期条件より、x(0)＝０を代入して、
x (t )
2t 2
t3
10 t
-2-
・・②’と一致
t
4t
0
3t 2
(例題２)
10
運動方程式は
dv
dt
dv
dt
20v
両辺を質量で割って加速度は、
2v
これを変数分離形にすると、変数を左辺、ｔを右辺にまとめて、
dv
v
2dt
積分公式
両辺をそれぞれ積分すると、
log v
2t
dx
x
C
log x
C
ただし、C は積分定数。
ここで求めたいのは v(t）なので、
e 2t C Ae
v (t )
ただし、
A
2t
e
log x y
・・①
C
z
のとき、
y
と置いた。
xz
初速度が10(m/s)のとき、ｔ＝０のとき、v(0)＝20となる。
よって、一般解にｔ＝０を代入して、
v ( 0)
Ae
これを①に代入して、
0
A
v (t )
20
20 e
∴
2t
Ａ＝２０
・・②
このグラフは右図のようになる。
速度は時間と共に指数関数的に減速し、0.5 秒で
初速の 0.37 倍（約 1/3）になり、十分時間が経つ
と（ｔ→∞）で０となる。
速度が初めのｅ－１倍＝ 0.37 倍つまり、
20 ｅ－１になるとき、②式より
20e
1
20e
2
2
1
（例題 3）(1)
1/ 2
働く力が 30(N)なので、速度をｖとすると運動方程式は、
4
dv
30
dt
dv
7.5
dt
それを積分すると一般解は、
v(t )
7.5dt 7.5 t C
-3-
ただし、C は積分定数。ｔ＝０で v(0)＝ 0 なので、ｔ＝０を代入して、
v(0)＝ 7.5・0 ＋ C ＝０
∴
C ＝０
よって、初めに止まっているときのｔ秒後の速度は、
v(t)＝ 7.5・ｔ
ｔ秒後の位置 x(t)はこれを積分して、
x(t )
v(t )dt
(7.5t )dt 3.75t 2
C'
ただし、Ｃ’は積分定数。ｔ＝０で原点にいるので、
ｘ(0)＝ 3.75・0 ＋Ｃ’＝０
∴
Ｃ’＝０
よって、初めに原点にあるとき、物体のｔ秒後の位置は
x(t ) 3.75t 2
(2) (a) 物体に 30(N)の力と速度に比例する抵抗力 10 ｖが働いている時、運動方程式は、
4
(b)
dv
30 10v
dt
dv
7.5 2.5v
dt
変形して変数分離にする。
dv
7.5 2.5v 2.5(v 3)
dt
dv
2.5dt
v 3
ｖの係数（－ 2.5）でまとめる
（注）Ｘ＝ｖ－３
とおいて
ｄ X/d t ＝－ 2.5 X
として解いても良い。
両辺を積分して、
よって、
v 3
dv
2.5 dt
v 3
log v 3 2.5 t C"
e
2.5 t C "
Ae
v(t ) 3 Ae
2. 5 t
2.5 t
ただし、
初速度 0(m/s)なので、ｔ＝０を代入して、
2. 5 t
)
このグラフは右図のようになる。
また、十分時間が経った時の速度（終端速度）は、
lim v ( t )
t
lim 3 (1
t
e
2 .5 t
A
v(0)＝３＋Ａ＝０
この A を上の一般解に代入して、
v(t ) 3(1 e
但し、Ｃ”は積分定数。
)
または、定常状態では dv/dt ＝０より、ｖ＝３
-4-
3
eC"
とおいた。
∴ A=－３
(c)
さらにｖを積分すると
x (t )
v (t )dt
3(1 e
3
e
2 .5
3t
2 .5 t
2 .5 t
)dt
C1 3t .1.2e
2 .5 t
C1
ただし、C1 は積分定数。x(0)＝０より、x(0)＝ 1.2 ＋ C1 ＝０
x (t )
2 .5 t
3t 1 . 2 ( e
∴
C1 ＝－ 1.2
1)
（１）運動方程式は、
2
dv
dt
12t
dv
dt
a
6t
これを時間について積分して、
v (t )
3t 2
( 6t ) dt
・・①
C1
但し、C １は積分定数
ｔ＝０で物体が止まっているので v(0)=0、
よって①式にｔ＝０を代入して
v(0)＝ C １＝０、
C １＝０
∴
よってｔ秒後の速度は、これを①に代入して
ｖ（ｔ）＝－３ｔ２
・・・①’
①’式をさらに時間ｔで積分すると、
x(t )
dx
dt
dt
vdt
( 3t 2 ) dt
t3
・・②
C2
初めにｘ＝１２５の所にいたので、ｘ（０）＝１２５
よって②式にｔ＝０を代入し、１２５に等しいとおいて、
ｘ（０）＝ C ２＝１２５，
∴
C ２＝１２５
これを②式に代入して、
t3
x (t )
125
物体の位置が０になるときは
ｔ＝５，
（２）(a)
ｘ：
ｙ：
・・②’
②’よりｘ＝０とおくと、
これを①に代入して、ｖ＝－７５
ｘ、ｙ方向の運動方程式と加速度は、
m
m
dv x
dt
dv y
dt
dv x
dt
f1
A
f 2t
f1
m
dv y
dt
-5-
A
f 2t
m
(b)ｘの加速度を積分して速度を求め、初期条件から積分定数を求めて、ｘの速度の特殊
解を求める。また、更にそれを積分してｔ秒後の位置 x(t)を求める。
dv x
dt
dt
v x (t )
v ｘ：
ｘ：
v x (0)
C1 x
x (t )
dx
dt
dt
x (0)
C1 x
f1
dt
m
f1
t
m
C1 x
f1
t
m
f1
f1
tdt
t2
m
2m
f1
x (t )
t2
2m
0
v x (t )
v x dt
0
C2 x
同様に、ｙ方向について
vy ：
dv y
v y (t )
v y (0)
C1 y
y (0)
f 2t
dt
m
v0
dy
dt
dt
y： y (t )
A
dt
dt
C2 y
A
t
m
A
t
m
v y (t )
A
t
m
0
f2 2
t
2m
y (t )
v0
f2 2
t
C1 y
2m
f2 2
t
v0
2m
f2 3
A 2
dt
t
t
2m
6m
A 2
t
2m
f2 3
t
6m
v0 t
C2 y
v0 t
（３）
ⅰ．まず、運動方程式を立て、加速度を求める。
運動方程式ｍａ＝Ｆに力Ｆ＝Ａ e －λｔを代入し、運動方程式は、
Ａ e －λｔ
ｍａ＝
∴
ａ
Ａ e －λｔ
＝
ｍ
ⅱ．次に加速度を時間について積分して、速度の一般解を求める。
ａ
＝
v(t )
ｄｖ
ｄｔ
より、これを時間ｔについて積分すると速度になり、
Ae t
dt
m
A
e
m
t
dt
A
e
m
t
C1 ・・①
積分公式
ここで、C １
は積分定数。
e
t
dt
1
e
t
C1
ⅲ．初期条件を使って、積分定数 C １を求める。
問題文「ｔ＝０で初速度１５ m/s とする」より、ｔ＝０で速度は 15 なので、v(0)=15
-6-
一方、一般解①式にｔ＝０を代入した v(0)と初速度が等しいので、
A
e
m
v(0)
A
m
C1
∴
0
A
m
C1
15
C1
15
・・②
よって、ｔ秒後の速度は、①式に②式の C １を代入して、
A
e
m
v(t )
ⅳ．
ｖ
＝
ｄｘ
A
m
t
A
m
A
m
1
t
t
1 e
t
t
15
・・・③
より、速度（③式）を時間ｔについて積分すると、位置が求まる。
ｄｔ
A
1 e
m
x(t )
A
1 e
m
15
e
15 dt
dt
t
15dt
15t
C 2 ・・④
積分公式
1 dt
e
ここで、C2 は積分定数。
t
dt
t C
1
e
t
C1
初期条件と、積分による一般解④式より、ⅲと同様にして、積分定数 C2 を決める。
題意より、ｔ＝０で物体は原点にいるので、ｘ(0)＝０。（初期条件）
よって④式にｔ＝０を代入すると、
x ( 0)
∴
A
0
m
A
(0
m
1
1
1)
A
m 2
C2
0
e
15 0
C2
C2
A
m 2
C2
・・⑤
これを④式に代入すると、
x (t )
t
A
m
15
A
e
m 2
t
1
（４）まず、運動方程式を立て、加速度を求める。
-7-
0
運動方程式ｍａ＝Ｆに力Ｆ＝Ａ sin（ωｔ）を代入し、運動方程式は、
Ａ sin ωｔ
ｍａ＝
∴
ａ
＝
Asin ωｔ
ｍ
次に加速度を時間について定積分する。
ａ
＝
ｄｖ
v(t ) v(0)
v(t )
∴
より、これを時間ｔについて積分すると速度になり、
ｄｔ
t
0
A sin t
dt
m
A
m
t
sin tdt
0
A
cos t 1
m
A
m
1
t
0
v(0)
また、ｔ＝０で物体は止まっているので、v(0)＝０を
代入して、
ⅲ．
ｖ
＝
x(t )
ｄｘ
1
cos t C1
・・①
より、速度（①式）を時間ｔについて定積分して、
ｄｔ
A
cos t 1 dt
0m
A
m
t
x (0)
x (t )
積分公式
sin( t )dt
A
cos t 1
m
v(t )
∴
A
cos t 1
m
cos t
A
m
t
1
sin t
1
t
sin
t t
0
A
m
t
1
sin t
x ( 0)
ここで、はじめに原点にいるので、x(0)＝０を代入して、
x (t )
(５)
2
(1)運動方程式は
(2)
dv
dt
5v
A
m
dv
dt
1
t
sin t
10 v
を変数分離形にすると、
両辺をそれぞれ積分して、 log
v
5t
-8-
C
dv
v
5dt
ただし、C は積分定数。
v (t )
5t C
e
ただし、
(3)
5t
Ae
・・①
eC
A
と置いた。
初速度が30(m/s)のとき、ｔ＝０のとき、v(0)＝30となる。
よって、一般解にｔ＝０を代入して、
v (0 )
A
v (t )
これを①に代入して、
(4)
0
Ae
30
30 e
∴
5t
Ａ＝３０
・・②
速度が初めのｅ－１倍＝ 0.37 倍つまり、20 ｅ－１になるとき、②式より
30e
1
30e
5
5
1
1/ 5
その時の速さは、
ｖ(0.2)＝ 30・ｅ－１
=30・0.37 ＝ 11.2
速度は時間と共に指数関数的に減速し、0.2 秒
で初速の 0.37 倍（約 1/3）になり、十分時間が
経つと（ｔ→∞）で０となる。グラフは右図の
ようになる。
(5)
さらにｖを積分すると
x (t )
3e 5 t dt
v (t )dt
3
e
5
5t
C1
ただし、C1 は積分定数。
x(0)＝０より、x(0)＝－ 0.6 ＋ C1 ＝０
x (t )
0 . 6 (1 e
5t
)
∴
・・・③
(6)ｖ(ｔ)＝ 30・ｅ－５ｔ＝０のとき、ｅ－５ｔ＝０
つまり t →∞
のとき物体は止まる。
これを③に代入すると、ｘ（ｔ→∞）＝ 0.6
-9-
C1 ＝ 0.6
（６）a)
物体には下向きに重力ｍｇと、上向きに抵抗力ｍγｖが働く。
上向きをｘ軸と取るので、
重力は下向きなので、
ーｍｇ
抵抗力ｍγｖは、落下しているので、ｖ＜０なので、ｍγｖ＜０
よって、抵抗力を上向き（正）にするには、－ｍγｖとなる。
運動方程式は、
m
dv
dt
dv
dt
この符号を
mg m v
g
間違えやすいので注意！
v
dv
v g
(
－を忘れないこと！
g
v
)dt
右辺はｖの係数－γでくくる。
(6)と同じ形にする。
g
log | v
|
dv
dt
t C
ただし、C は積分定数
v
（６）
ｖ
前問と同様に積分定数をＡ＝ｅＣで置き換えると、
g
v(t )
e(
t C)
g
v(t )
t
Ae
Ae
t
・・(1)
積分定数 A を決める。v(t)の一般解(1)にｔ＝０を代入して、
v (0)
g
g
A
g
v (t )
x(t )
A
ｔ＝０でｖ＝０より、
この A の値を(1)式に代入して、
1 e
t
・・(2)
(2)を積分して、
g
g
g
0
Ae
1 e
t
g
2
t
e
dt
t
C'
・・(3)
ただし、C' は積分定数
積分定数 C'を求める。
はじめの高さをｈとすると、ｔ＝０でｘ（０）＝ｈとして、
- 10 -
dv
dt
v
（７）
ｇ
ｖ＋
γ
g
g
x(0)
g
g
2
0
e
g
C'
2
C'
これがｈに等しいので、
g
C' h
x (t )
g
0
2
C'を(3)式に代入して、
g
t
g
t
t
e
2
2
g
h
1 e
2
t
h
γ＝２，ｇ＝９．８，ｈ＝ 10000（ｍに直す）を代入すると、
b)
2t
v(t )
4.9 1 e
x(t )
4.9 t 2.45 1 e
2t
10000
十分時間がたったとき、e －２ｔ→０となる。
このとき、ｖ→－４．９ m/s
一定値となる。
これは運動方程式で、時間がたって速度に比例する抵抗力が徐々に大きくなり、
m
dv
dt
mg
m v
m( g
v)
0
となって、物体に働く合力が０となったとき、物体に力が働かないので、
それ以降は物体は等速運動をする。つまり
m
dv
dt
m( g
v )
0
v
g
と一致する。
- 11 -
4 .9

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