keisoku22 FFT

復習
単純移動平均の周波数特性
• 位相は変化しない
• 振幅特性（ゲイン）は
1
G
2f
2(1  cos 2f )
ただし t : サンプリング間隔
fs : サンプリング周波数（
f : 信号周波数
M : 移動平均点数
 : Mt [ s ]
 1 / t ）
相関法
• ２つの時系列信号x(t), y(t)の関係の深さ、類
似度を表す
音の伝播
相関利用の例
A
B
A点で観測
B点で観測
この遅れ時間の測定に相関を利用する
相互相関関数
1
 (m)   x(i) y (i  m)
N
N 1
xy
i 0
m＝０の時
x
x(0)
y
y(0)
10
20
10
20
Φ(m)
m
相互相関関数
1
 (m)   x(i) y (i  m)
N
N 1
xy
i 0
m=5の時
x
x(0)
y
y(5)
Φ(m)
10
20
m
相互相関関数
1
 (m)   x(i) y (i  m)
N
N 1
xy
i 0
m=10の時
x
x(0)
y
y(10)
Φ(m)
10
20
m
相互相関関数
1
 (m)   x(i) y (i  m)
N
N 1
xy
i 0
m=15の時
x
x(0)
y
y(15)
Φ(m)
10
20
m
計測工学21
相関関数
相関法の注意点
•
相関法を行う前に、データの平均を０にしておく（データから平均を差し引いておく
＝オフセットを除去する）
x(t ), y (t )は平均0のデータであるとする
今、オフセットのある
。
データ
X (t )  x(t )  C , Y (t )  y (t )  D
を観測したとする。こ
1
 XY (m) 
N


N 1
 X (i)Y (i  m)
i 0
N 1
1
N
 x(i)  C  y(i  m)  D 
1
N
N 1
1

N
i 0
 x(i) y(i  m)  Dx(i)  Cy (i  m)  CD
i 0
N 1
1
x(i ) y (i  m)  D

N
i 0
1
N
となり、オフセットが
  xy (m)  C
（１）上式第
（２）第
の時、 X (t ), Y (t )で相関を求めると
N 1
1
x(i )  C

N
i 0
N 1
1
y (i  m)  CD

N
i 0
N 1
1
i 0
N 1
 y(i  m)  CD
i 0
大きい場合、
3項CDが大きく、相関関数の変化が埋もれて見えにくくなる
2項の値が０とならず、
などの影響が出る。
mによって値が変わるため、相関関数の形そのものがかわる
自己相関関数
• 相互相関関数の式におけるy(t)をx(t)に置き換え、自分自身
との相関をみる
N 1
1
xx (m) 
N
 x(i) x(i  m)
i 0
相互相関関数（２つの波形の相関関数）
自己相関関数（１つの波形の相関関数）
x(i)
x(i)
m
y(i+m)
x(i+m)
自己相関関数の性質
• 自己相関関数の性質
– 偶関数 Φxx(m)=Φxx(-m)
-m
m
– m=0で最大(２つの波形の類似度最大)
– 不規則信号では、Φxx(0)以外はΦxx(m)=0
– 周期関数に対しては、Φxx(m)も周期関数
（Φxx(m)が最大となるところで、関数の周期がわかる）
計測工学22
フーリエ変換、DFT
周波数領域における信号解析
フーリエ級数展開
繰り返し波形
周期Ｔ
b1 sin
基本波
2
t
T
2
b2 sin
2t
T
2
a2 cos
2t
T
2
b3 sin
3t
T
a1 cos
高調波
2
t
T
フーリエ級数展開式
• 周期Ｔの繰り返し波形x(t)は
a0 
2
2  
2
2 
x(t ) 
  a1 cos t  b1 sin
t    a 2 cos 2t  b2 sin
2t  ・・・
2 
T
T  
T
T 
a0  
2
2 

   a n cos nt  bn sin
nt 
2 n 1 
T
T

となる
フーリエ係数の求め方
T
2
a0   x(t )dt
T 0
直流分
2
2nt
an   x(t ) cos
dt
T 0
T
T
2
2nt
bn   x(t ) sin
dt
T 0
T
T
例） a1
n=1のとき基本波
n>1のとき高調波
2 a
2t
2t
2 2t
a1    0  a1 cos
 b1 sin
  a2 cos
・・・
T 0 2
T
T
T
T

2t

dt
 cos
T

2  a0
2t
2t
2t
2t
2t
cos
dt

a
cos
cos
dt

b
sin
cos
dt ・・・
1 T
1 T
T   2
T
T
T
0
0でない
0



演習
• Excelのシート「フーリエ級数基礎」で、正弦波
どうしの積が、同じ周期同士の場合のみ０で
ないことを確認する。（演習１）
• また、sin(2πft)+sin(2π3ft)の波形についてフー
リエ級数展開を試み、フーリエ係数を求める（
演習２）
離散フーリエ変換
• フーリエ級数展開
– 繰り返し波形を基本波と高調波の和として表す
• フーリエ変換
– 繰り返しでない波形についても各周波数成分の和として
表す
– フーリエ級数展開における周期Ｔが∞になったと考えても
よい（基本波の周波数が1/∞に低くなり、周波数の間隔が
1/∞に小さくなり、周波数成分は連続になる）
• 離散フーリエ変換
– サンプリングした波形についてフーリエ級数展開
– サンプリングしたデータの繰り返し波形についてのフーリ
エ級数展開
– サンプリング周波数fsに対してfs/2までの周波数成分でサ
ンプリングされたデータを表す。
離散フーリエ変換
フーリエ級数展開（離散有限フーリエ逆変換（ＩＤＦＴ））
a0 N / 21 
2km
2km  aN / 2
2 ( N / 2)m
xm    ak cos
 bk sin
cos

2
N
N 
2
N
k 1 
ただし、 m  0,1, 2・・・
,
, ( N  1)
離散有限フーリエ変換（ＤＦＴ）
N 1
2km
, k  0,1, 2・・・
,
N
2
ak 
N
m 0
2
bk 
N
2km
xm sin
, k  0,1, 2・・・
,

N
m 0
 xm cos
N 1
N
, 
2
N 
,   1
2 
演習
• Ｅｘｃｅｌのシート「離散フーリエ変換（ＤＦＴ）」の
演習３を行い、ＤＦＴを計算してみよう。
• 練習問題をやってみよう。

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