数理統計学第3回西山第1回のまとめ統計的なものの見方 • 分布の形を見ることからスタート • 要するに、平均値と標準偏差を図から読みとれればよし！復習クイズ（５）偏差の合計は常にゼロである。（６）分散＝二乗の平均－平均の二乗  X n i 1 i    X   nX   X  X i  X    X i  n X  0 Xn 2 n i 1 2 i n i 1 nX 2X 2 i n i 1 i 1 データの個数in 1 上の両辺をで割ればよい i 2  nX 2 第2回目の目標 1. 2. 3. 確率分布とは何の意味？データの平均と理屈の平均データの標準偏差と理屈のそれ教科書：第2章の頁49～53 第2章の頁67～71 偶然は分布を生むサイコロを6回振ると、６、４、２、６、５、５度数分布図 2.5 目の数の平均と標準偏差、出せますね 2 1.5 1 0.5 X  4.67 0 S 2  1.89 S  1.37 1 2 3 不自然なところはありますか？ 4 5 6 理屈に合っていますか？正しいサイコロの目の出方これが理屈です！本当の分布の形理屈の割合のことを確率といって P（X=1)＝1/6 と書きます． 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 目の数 5 6 目の数をXとすると割合の決まった変数だから確率変数と呼んでいます．縦軸の値は1回ずつというより1/6ずつ、ですね．同じ分布ではあるがデータの分布 VS 理屈の分布ヒストグラム確率分布分布の中心と広がり平均と標準偏差分布の形だけは最初から分かっている理屈の平均の求め方『正常なコインを投げて表だと君の勝ちだ。私が千円あげる。だが裏だと千円もらおう！』どちらが得をするか？何度も反復すると割合×値の合計・・これは平均計算じゃ教科書68－69ページを見よ． E[利益]＝0.5×（＋1000）＋0.5×（－1000）＝0 勝ち負け半々だから、損も得もしない理屈．勝ち負けの理屈の分布は勝ち負けの割合、決まってるね勝ち（1000円）と負け（－1000円）の頻度 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -1000 1000 回数でなく確率を示しているから確率分布です授業はここまで 10/13 実際に10回やってみると表が7回、裏が3回出た。合計で４０００円もうけた。平均ではどれだけトクをしたか？ X    理屈では  1000 1000 (1000)    1000 10 7  1000 3  (1000) 10 7 3  1000  (1000) 10 10 400 EX   0.5 1000 0.5  (1000)  0  割合 値の合計 Xの平均、あるいはXの数学的期待値と呼びます。賭け金をあげるとどこが変わる？『 1000円から10000円に上げよう』 X 1000 -1000 P 0.5 0.5 Xの理屈の平均をE[X] Xの理屈の分散をV[X] Xの理屈の標準偏差をSD[X] X 10000 -10000 P 0.5 0.5 計算を確かめると平均利得 -1000 1000 0 偏差二乗偏差確率 -1000 1000000 0.5 1000 1000000 0.5 0 1000000 ↓ 分散＝ 1000000 標準偏差＝ 1000 利得をXと置くと E X   0 V X   10 6 SDX   1000 同じく・・・ EX   0 V  X   10 8 SD X   10000 教科書：頁67～71 平均利得 -10000 10000 0 偏差 -10000 10000 0 二乗偏差 100000000 100000000 100000000 ↓ 分散＝標準偏差＝確率 0.5 0.5 1E+08 10000 練習問題【１】表の出る確率が0.4であるコインを使って、賭け金を1000円にしてすると、どうなる？平均利得 -1000 1000 -200 偏差二乗偏差確率 -800 640000 0.6 1200 1440000 0.4 0 960000 ↓ 分散＝ 960000 標準偏差＝ 979.7959 E  X   0.6   1000   0.4  1000  200 V  X   0.6  {1000  (200 )}2  0.4  {1000  (200 )}2  960000 SD X   960000  979.8 練習問題【２】（１）さいころを6回振ったところ、１、２、６、６、１、２となった。平均と分散、標準偏差を求めなさい。平均計算＝値×割合の合計、によっても同じ平均値と標準偏差が得られることを確かめなさい。（２）正しいサイコロを振るときに出る目の数をXと置く。 E[X]とV[X]、SD[X]を求めなさい。練習問題【２】の解答 X 偏差 1 2 6 6 1 2 18 -2 -1 3 3 -2 -1 0 二乗偏差 4 1 9 9 4 1 28 E[X]やV[X]などは教科書６９，７０ページを見よ X 3 S 2  4.67 S  2.16