モジュール1のまとめ

数理統計学
第4回
西山
第3回のまとめ
1. データの分布と確率分布との意味の違い
2. どちらも分布だから、分布の中心（＝平均値）と分布の
広がり（標準偏差）で特徴をとらえる
3. 平均値＝合計÷個数はあまりに幼稚。本当の定義は
平均値＝割合×値の合計
4. 割合として確率を指定したときの平均値を数学的期待
値という。
数学的期待値＝確率×値の合計
期待値の意味は「本当の平均」、「理屈の平均」
第4回の目標
確率分布のばらつきは標準偏差ではかる。
分散＝平均二乗偏差を思い出す。
確率分布の平均と分散、標準偏差を完全理解する
授業はここまで
10/13
実際に10回やってみると
表が7回、裏が3回出た。合計で４０００円も
うけた。平均ではどれだけトクをしたか？
X



理屈では

1000  1000  (1000)    1000
10
7  1000  3  (1000)
10
7
3
 1000   (1000)
10
10
400
EX   0.5 1000  0.5  (1000)  0  割合 値の合計
Xの平均、あるいはXの数学的期待値と呼びます。
賭け金をあげるとどこが変わる？
『 1000円から10000円に上げよう』
X
1000
-1000
P
0.5
0.5
確率分布の平均をE[X]
確率分布の分散をV[X]
確率分布の標準偏差をSD[X]
X
10000
-10000
P
0.5
0.5
計算を確かめると
平均
利得
-1000
1000
0
偏差
二乗偏差
確率
-1000
1000000
0.5
1000
1000000
0.5
0
1000000
↓
分散＝
1000000
標準偏差＝
1000
利得をXと置くと
E X   0
V X   10 6
SDX   1000
同じく・・・
EX   0
V  X   10 8
SD X   10000
教科書：頁67～71
平均
利得
-10000
10000
0
偏差
-10000
10000
0
二乗偏差
100000000
100000000
100000000
↓
分散＝
標準偏差＝
確率
0.5
0.5
1E+08
10000
練習問題【１】
表の出る確率が0.4であるコインを使って、
賭け金を1000円にしてすると、どうなる？
平均
利得
-1000
1000
-200
偏差
二乗偏差
確率
-800
640000
0.6
1200
1440000
0.4
0
960000
↓
分散＝
960000
標準偏差＝ 979.7959
利得
-1000
1000
確率
0.6
0.4
E  X   0.6   1000   0.4  1000  200
V  X   0.6  {1000  (200 )}2  0.4  {1000  (200 )}2  960000
SD X   960000  979.8
練習問題【２】
変数Xの分布は以下に示すとおりである。設問に答えなさい。
値（X)
0
1
確率（P)
0.3
0.7
1. Xの確率分布図を描きなさい
2. Xの平均値E[X]と分散V[X]、標準偏差SD[X]を
求めなさい
練習問題【２】の解答
確率分布図を描くのは非常に容易なので省略。横軸をX、縦軸をP
として棒グラフを描けばよい
まず平均値は
EX   0.3  0  0.7  1  0.7
分散は公式を使う
 
E X 2  0.3  0 2  0.7  12  0.7
 
 V X   E X 2  EX   0.7  0.7 2  0.7  0.3
2
 SDX   0.21  0.46
練習問題【３】
（１）さいころを6回振ったところ、
１、２、６、６、１、２
となった。平均と分散、標準偏差を求めなさい。平
均計算＝値×割合の合計、によっても同じ平均値
と標準偏差が得られることを確かめなさい。
（２）正しいサイコロを振るときに出る目の数をXと置く。
E[X]とV[X]、SD[X]を求めなさい。
練習問題【３】の解答
X
偏差
1
2
6
6
1
2
18
-2
-1
3
3
-2
-1
0
二乗偏差
4
1
9
9
4
1
28
E[X]やV[X]など
は教科書６９，７０
ページを見よ
X 3
S 2  4.67
S  2.16

Download Report