確率･統計Ⅰ

確率･統計Ⅰ
第1回確率変数、確率分布
ここです！
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
確率変数と確率分布
確率変数の同時分布、独立性
確率変数の平均
確率変数の分散
確率変数の共分散
ベルヌイ試行、二項分布
二項分布（続き）、幾何分布
ポアソン分布
正規分布
正規分布（続き）
大数の法則、中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
確率変数、確率分布
1. 確率変数
2. 確率分布
確率変数とは
確率変数の直感的表現
偶然的変動を含む量を確率変数と呼ぶ
種々の値をとる確率が定まる変量を確率変数と呼ぶ
試行（実験・観測・調査等）の結果を表す変数 X のこと
決定論的に定められないすべての未知の変数
問題とする変量がいかなる値をとるか確定的には予測で
きないとき、その不確定変量を確率変数と呼ぶ
確率変数とは
• 変数…いろいろな値をとる文字
例ある物体が動き出してからの時間をｔとする
x＝f(t)
t=1
t=1.5
t=2
…
確率変数とは
• 確率変数…いろいろな値をとる「確率」が定
まっている文字
例
サイコロを10回投げるとき、
1の目が出る回数 X
2の目が出る回数 Y
「値が確定しない」というイメージはよくない。
事象が決まれば、それに対応して値が「定まる」。
確率変数、確率分布
1. 確率変数
2. 確率分布
確率分布
実際上、確率変数 X についてのいろいろな確率が計算
できるためには、
X
1
確率 1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
上のように、各 xi に対する P(X=xi) ＝ pi の値がすべて決
まっていればよい。この「決まり方」 pi が「確率分布」。
X の値が離散的な場合は、上のような表を「確率分布」と
思ってよい。
確率変数 X がたとえば x という値をとる確率（定まってい
る）を、
P(X=x)
と書く。
P (X
=
x)
↑X が
↑x になる
↑確率
例サイコロを1回投げて出る目の数を X とする
P ( X = 3 ) ＝ 1/6
P ( X=1 または X=4 ) ＝ 2/6 ＝ 1/3
P ( X=1 かつ X=4 ) ＝ 0
P ( 1≦X≦4 ) ＝ 4/6 ＝ 2/3
P ( 0.5≦X≦4.2 ) ＝ 4/6 ＝ 2/3
※ X の値は離散的とは限らない。
例区間 [0,1] にランダムに針を落とす。
落ちた位置を X とする。
0
X
確率
0
?
0.3
?
0.5
?
0.7
?
0.8
?
1
1
?
これでは不十分。
このように、X のとる値が無限個で、連続的な場合は、
任意の a,b に対して P ( a≦X≦b ) ＝ F(a,b) が定まっていれ
ばよい。
X が連続的な場合、ふつうはその分布は定積分で与えられる：
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
f (x)
a
a
b
x
この f (x) のグラフが、前の離散的な場合の分布表と同じ役
割を果たす。
f (x)を確率密度関数という。（ f(x)dx が確率になる）
まとめ
離散的確率変数
確率分布
P ( X = x ) ＝ px
b
P ( a  X  b)   p x
xa
p
x
1
x
分布関数
F (x)=P (X≦x )
F ( x)   pt
tx
連続的確率変数
P ( x≦X ≦x+dx ) ＝ f (x) dx
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
a



f ( x)dx  1
x
F ( x)   f (t )dt

［演習］確率変数、確率分布
（連続型）
区間[0,1]に針を落とすとき、落ちる位置の
座標を X とする。風の影響で、確率変数X
の確率分布が右下図のような形をしている
ものとするとき、次の問いに答えよ。
(1) X の確率密度関数 f (x) を求めよ。
f(x)
(2) P ( 0.2 < X < 0.6 ) を計算せよ。 a
0
0.5
1
メニューに戻る
メニューへ

Download Report