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情報通信工学セミナーⅡ
応用数学
確率 確率分布
C507092
松村政志
1
目次
1.確率
2.確率分布
2
1.確率
何らかの試みで生じ得るすべての結果に対し
目的とする状態の発生する可能性を表すもの
ある試行が行われたあとある事象が現れる割
合。偶然性を含まない一つに定まった数値。
3
1.確率
サイコロを1回投げた時、1の目が出る確率
全事象
6
起こり得る事象 1
確率をP(A)とすると
P(A)=1/6
4
1.確率
・和事象
・事象AまたはBのいずれかが起こる事象
・事象AとBが同時に起こらない(互いに排反)場合と、
両方の事象が重複する部分がある場合の2通りがある。
5
1.確率
・和事象
事象AとBが互いに排反である場合
事象Aの確率をP(A) 事象Bの確率をP(B)とすると
AとBが互いに排反である場合の和事象の確率P(A∪B)は
P(A∪B)=P(A)+P(B) と表される
A
B
6
1.確率
・和事象
事象AとBが互いに排反である場合
例:サイコロを振った時偶数である2.4.6の目が出る
のは互いに排反であるため
事象A:サイコロの目が2 事象B:サイコロの目が4
事象C:サイコロの目が6
P(A∪B∪C)=1/6+1/6+1/6=1/2
となる。
A
2
B
C
4
6
7
1.確率
・和事象
事象AとBが排反でない場合
事象Aの確率をP(A) 事象Bの確率をP(B) AとBが同時に起こる確率をP(A∩B)とすると
AとBが互いに排反でない場合の和事象の確率はP(A∪B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) と表される
A
B
8
1.確率
・和事象
事象AとBが排反でない場合
例:サイコロを振った時、2の倍数(2.4.6)と3の倍数(3.6)
の出る事象は互いに排反でないので
A{2.4.6} B{3.6} P(A∩B){6}
P(A∪B)=3/6+2/6-1/6
=4/6
=2/3
となる。
9
1.確率
・積事象
・事象AとBが同時に起こる事象
・事象が互いに独立している独立事象と、一方の事象が
他方の事象に影響を及ぼす従属事象がある
10
1.確率
・積事象
事象AとBが独立事象である場合
事象Aの確率をP(A) 事象Bの確率をP(B)
AとBの積事象の確率をP(A∩B)とすると
P(A∩B)=P(A)×P(B)
例:サイコロを2回振った時、最初に奇数が出る事象A
と2回目に5の目が出る事象Bは独立事象
A{1.3.5} B{5}
P(A∩B)=3/6×1/6
=1/12
A
B
11
1.確率
・積事象
事象AとBが従属事象である場合
事象Aの確率をP(A)
事象Aの起こったことを前提に事象Bが起こる確率をPA(B)
積事象をP(A∩B)とすると
P(A∩B)=P(A)×PA(B)
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1.確率
例:1から10の数字が書かれたカードから、1枚ずつ2枚のカード
を取り出すことを考える(取り出したカードは元に戻さない)
2枚とも奇数のカードを取り出す確率はいくらか
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10
奇数を取り出す確率は5/10
3を取り出したと考えると
1.2. .4.5.6.7.8.9.10
次に奇数を取り出す確率は4/9
よって P(A∩B)=5/10×4/9
=2/9
13
1.確率
・余事象
・事象AがおこらないことをAの余事象といい、A で表す
事象Aの確率をP(A) Aの余事象の起こる確率をP(A)とすると
P(A)=1-P(A)
A
A
14
1.確率
・余事象
例:サイコロを3回振って少なくとも1回は1の目が出る
事象Aの確率を余事象を用いて考えると
サイコロを一回振った時に1の目がでない確率
A1{2.3.4.5.6} A2{2.3.4.5.6.} A3{2.3.4.5.6}
P(A)=5/6×5/6×5/6
=125/216
P(A)=1-P(A)=1-125/216=91/216
15
1.確率
・原因の確率
P(A)×P(E|A)
P(A)×(E|A)+P(B)×P(E|B)
事象Aと事象Eが同時に起こる時、
事象Aの起こる確率をP(A)、事象Eの起こる確率をP(E)とすると、
事象Aが起きるという条件がみたされた場合に事象Eが起きる
確率はP(E|A)と表すことができる。
事象Aになり、更に事象Aが起きるという条件が満たされた場合
にEという事象が起きる確率は、P(A)×P(E|A)となる。
この式は、P(A)×P(E|A)+P(B)×P(E|B)の中で、
P(A)×P(E|A)が起こる確率を示している。
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1.確率
・原因の確率
弁当あり
弁当なし
男
5
65
70
女
15
15
30
20
80
100
弁当ありの確率P(E) 女性である確率P(A)
P(E)=20/100 P(A)=30/100
P(E|A)=P(E∩A)/P(A)
P(E∩A)は弁当ありの中で、女性である確率なので
P(E∩A)=(30/100)×(15/30)
=3/20
P(E|A)=(3/20)/(30/100)
よって、P(E|A)=1/2 となる。
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1.確率
・原因の確率
例:袋の中に重心の偏った2つのサイコロA,Bが入っている。
Aは1つ目が3/10の確率で、Bは1の目が3/5の確率で出
る。袋の中からサイコロを一つ取り出し、振ってみたら1
の目が出た。取りだしたサイコロがAである確率はいくらか
サイコロを取り出す確率P(A),P(B)はともに1/2
サイコロAで1の目が出る確率P(E|A)は3/10
サイコロBで1の目が出る確率P(E|B)は3/5
1/2×3/10
P(A|E)= 1/2×3/10+1/2×3/5 =1/3
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1.確率
・原因の確率
ある試薬がある。確率98%で正しい結果が、2%で間違った結果が出る
とする。
1億人に一人かかる病気があり、この試薬を試したとき、試薬が間違っ
ているかその人が病気かどちらの確率が高いか。
正しい確率0.98 間違っている確率0.02 1億人に一人かかる確率 1/108
0.98×1/108
=4.9×10-7
0.98×1/108+0.02×99999999/108
試薬が間違っている確率が高い
0.02×99999999/108
=0.99999951
8
8
0.98×1/10 +0.02×99999999/10
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2.確率分布
・代表値と散布度
・代表値
平均値、中央値、最頻値の総称。中央値は測定値を小さい
順に並べた時丁度真中にくる値のことで、分布の両端に
大きな値や小さな値があっても影響されない。
データが偶数個の場合真中に一番近い2つのデータの
平均をとって平均値とする。
最瀕値は、度数の最も多い階級に対する値である。
・散布度
データの分布のばらつきを表す統計量の総称。
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2.確率分布
・中央値
6人の身長が156.8,168.7,163.8,154.1,159.6,165.6であっ
た場合。その中央値を求める。
小さい順に並べると154.1,156.8,159.6,163.8,165.6,168.7
となる。3番目と4のデータの平均値が中央値である。
中央値をMeとすると
Me=(1.59.6+163.8)/2=161.7である。
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2.確率分布
・中央値と平均値
例えば年収を考えた場合。貧富の差が激しい国では、一部
の大金持ちが平均年収をつりあげてしまっている為、平均収
入は普通の人の年収よりもずっと高い値になってしまう。この為、
平均年収は普通の人の生活水準を推し測るには向かない。
一方中央値は、年収が低い順に国民を並べた時に丁度真中
になる人の年収を表している為、一部の大金持ちの年収に左
右されることが無く、中央値は普通の人の生活水準に近くな
る。
22
2.確率分布
・分散(標本分散)と標準偏差
平均値が同じでもデータの分布が同じとは限らない
データがどのくらい平均値の周りに散らばっているのか
知りたい
そこで、データの分散状態を調べる
分散σ2はデータ数をn、それぞれのデータ値をxi、その平均
値をxとすると、次式で得られる
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2.確率分布
・分散(標本分散)と標準偏差
データ数n データ値xi
データ値の平均値 x
この分散σ2は変量 (xi-x)2の平均値であるから、変量xの測定
単位が、例えばcmであるとき、分散の単位はcm2になってし
まう
単位を一致させるために、分散の正の平方根σを取り、これを
変量xの標準偏差と言う 標準偏差=σ
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2.確率分布
例:5つのデータ{3.2.7.7.6}の分散を求める
データ数n データ値xi
データ値の平均値 x
5つのデータの平均は
(3+2+7+7+6)/5=5
よって
σ2={(3-5)2+(2-5)2+(7-5)2+(7-5)2+(6-5)2}/5
=4.4
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2.確率分布
・確率分布
宝くじで一等が当たる確率や、試験に合格する確率などに
対して、種々の結果がどんな確率で起きるかをまとめたもの
確率変数Xの確率分布において、Xの取り得る各数値の得ら
れる確率をPnとするとその平均は次式で求められる
確率分布=X1・P1+X2・P2+X3・P3+・・・+Xn・Pn
このときの平均値を期待値という
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2.確率分布
例:サイコロを投げて、出た目に応じて得点するゲー
ムを行う。出た目が1~4の場合はその目を得点とし、目
が5,6の場合は得点しない。サイコロを一回投げた時に得点
の期待値はいくらか。
確率分布=X1・P1+X2・P2+X3・P3+・・・+Xn・Pn
サイコロの各目の出る確率は1/6、
それぞれの目で得られる値は1.2.3.4.5.6
ただし5,6は0となるので、
X=(1×1/6)+(2×1/6)+(3×1/6)+(4×1/6) =5/3
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2.確率分布
モンティ・ホール問題
A B Cのドアがあり、このうちどれか一つがあたりである。
プレイヤーはA B Cのドアから1つ選ぶ。ホストは他の2つのドアのうち一つを開けて、
ハズレを見せる。ホストはプレイヤーに、初めの選択のままでよいか、もう一つの閉じ
ているドアに変更するか、選択権を提供する。プレイヤーは選択を変更すべきだろう
か?
当たりのドアを選ぶ確率は1/3、はずれのドアを選ぶ確率は2/3である。最初にあたり
を選んだとき、変更した場合当たる確率は0%。最初にはずれを選んだとき、変更した
場合当たる確率は100%。 なので、
変更して当たる確率=(1/3×0)+(2/3×1)
=2/3
最初のドアで当たる確率=(1/3×1)+(2/3×0)
=1/3
答え 変更した方が当たる確率が高い
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2.確率分布
・正規分布
正規分布は自然現象や社会現象に広く見られる確率分布の
一つで、ガウス分布とも呼ばれている。
mを平均値、σ2を分散、σを標準偏差とすると、
の式で与えられる。
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2.確率分布
・正規分布
先ほどの式から曲線を描くと、中央の平均値を中心に左右対称の釣り鐘状の曲線と
なる。正規分布はN(m,σ2)と表される。
正規分布の概形
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2.確率分布
・標準正規分布
平均mが0,分散σ2が1である正規分布N(0.12)を標準正規分布
という。次式はその確率密度関数を示している。
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2.確率分布
・標準正規分布
確率密度関数
連続的な値をとることができる確率変数xの確率密度を表す関数である。
確率密度関数を積分することによって、ある区間の確率を算出することが
でき、全ての区間にわたって積分を行うと1となる。
データ数を多く取っていくと、ヒストグラムはきめ細かくなり、次第に滑らか
になる。この形を確率密度関数という。
ヒストグラムと確率密度関数
32
2.確率分布
・標準正規分布
テストの点数を考える。図のような位置に40点と60点があるとすると、確率
密度関数のその間にある領域の面積をSとすると、Sは40点から60点の間に
いる人の割合になる。
f(x)
面積と確率
つまり、集団の中から一人選ぶと40点から60点の間の人を選ぶ確率はSとな
る。この面積は0以上1以下である。縦軸はある点数になる確率である。確率
密度関数は囲む全面積が1になるように縦軸を書き換えているが、その理由
33
は全確率が1になるように設定するためである。
2.確率分布
正規分布σ=1の範囲は全体の約68%である。
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2.確率分布
得点分布の右端から左端までの長さを5~6等分した時の長さ(点数幅)が、
ほぼ標準偏差の数値になる。分布曲線のやまのすその幅が広いというのは、
標準偏差が大きいことであり、それはそのテストを受けた受験生の集団の成
績に大きなバラツキがあることを表している。
反対に標準偏差が小さいということは、受験生集団の成績が平均点の近く
にかなり集中していて、学力格差が少ないことを意味する。
35
2.確率分布
偏差値とは、このような得点分布のなかで平均点と標準偏差の2つの条件
を用いて、基準を同一にして各受験生の得点から導き出された全体のなか
での学力位置を示す値である。中心のポイントを常に50と定め、ヤマ型のす
その幅の広い、狭いを標準偏差を使って、同一基準に変換し、テストの受験
生体の学力分布の中央の部分からどのくらい上位か、あるいは下位に偏っ
ているかを推し測っている数値である。偏差値50を中心にして、75から25ま
での間に約99%が入る。
36
2.確率分布
・標準正規分布
体重、身長、科目の成績など測定している対象によって単位が異なる。
ある人が全体のなかで体重についてどの位置にいるか、身長についてどの
位置にいるかを見るためには必ずしもキログラムやセンチメートルという単
位は必要とならない。
単位が違うものでも統一的に比較できる指標があると便利である。このた
め考えられたのが標準正規分布である。
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2.確率分布
・標準正規分布
38
2.確率分布
・標準正規分布
平均m、標準偏差σの正規分布は、次式を使うことで
平均0、標準偏差1の標準正規分布へ変換することができる
この時xが実際の変数、平均値をm、標準偏差をσ
標準正規分布の変数をuとしている。
この値をf(x)に入れ、f(u)とすることで、標準正規分布への変換
が達成される。
39
2.確率分布
・一様分布
確率変数xの値に関わらず、f(x)が一定の値をとるような分布を
一様分布と呼ぶ。minがa、maxがbとすると、確率の総和が1に
なるという制約から
f(x)×(b-a) = 1
すなわち
1
f(x)= b-a
となる。
一様分布図
40
2.確率分布
・二項分布
ある集団において、特性Aを持つものの割り合いがpであり、持
たないものの割り合いがqであるとする(p+q=1)。このとき、集団
から無作為にn人を抽出したとき、特性Aを持つ者がx人である
確率を考える。n人のうちx人が特性を持つ組み合わせはnCx。
その各々に対して、x人が特性Aを持つ確率はpx、残りn-x人が
特性を持たない確率はqn-xであり、両者共に起こるのは両者
の積である。よって、
f ( x ) = nCx px qn – x x = 0,1, … ,n,p > 0,q > 0,p + q = 1
が求まる。この分布を二項分布と呼ぶ。
41
2.確率分布
・二項分布
f ( x ) = nCx px qn – x
x = 0,1, … ,n,p > 0,q > 0,p + q = 1
p:特性を持つ者の割合 q:持たない割合 n:無作為に抽出した人数
X:無作為に抽出した時に特性を持っている人数
42
2.確率分布
・ポワソン分布
単位時間中に平均でλ回発生する事象が丁度x回発生する確率
λが大きくなると正規分布に近づく。
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2.確率分布
・ポワソン分布
ある店では、一時間に平均5人の客が来る。客の着方はランダムだとすると
き、1時間に3人の客が来る確率を求めよ。
λ=5[人/時間] x=3[人/時間] e=2.72
f(x)=0.1404
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2.確率分布
・指数分布
単位時間中にある事象が発生する平均回数をλとするとき、その事象の発
生間隔がt単位時間である確率f(x)は指数分布に従う。
ある店では1時間に平均5人の客が来る(客の平均到着間隔は12分)。客の
来かたはランダムだとするとき、客が来てから次の客が来るまでの間隔が15
分以内である確率を求めよ。
λ=5[人/時間] t=0.25[時間]
f(0.25)=1-0.2865
=0.7135
45
2.確率分布
・待ち行列
利用率をρとすると、待ち行列Lは
L=ρ/(1-ρ)
となる。
利用率/(1-利用率) つまり 利用時間/非利用時間
Ρ=0.5の時、待ち行列はL=0.5/(1-0.5)となるので、L=1となる。
これは平均一人並んでいるということになる。
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2.確率分布
・待ち行列
利用率ρはポワソン分布で利用した「単位時間中に平均でλ回
発生する事象」をどれだけのスピードで処理できるかで求める
ことができる。ここではそのスピードをμとすると、
ρ=λ/μ
と表すことができる。
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2.確率分布
・待ち行列
ある医院では,患者が平均10分間隔でランダムに訪ねてくる。
医者は、1人であり、一人の患者の診断および処方の時間は平均8分の指
数分布であった。このとき,患者が診察を受け始めるまでの純粋待ち時間は
何分か。
λ=1/10[人/分]
μ=1/8[人/分]
λ=6[人/時間]
μ=7.5[人/時間]
ρ=(1/10)/(1/8) = 6/7.5=0.8
L=ρ/(1-ρ) = 0.8/(1-0.8) = 4
一人あたりの診察時間が8分なので、待ち時間は
4 ×8 = 32[分]
48
参考文献
・統計学
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/toukeihy.htm
・初級シスアド取扱説明書_正規分布図と標準偏差
http://www.geocities.co.jp/SiliconValleyCupertino/2190/topic/hensa/hensa.html
・情報理論(第2版) 著 南 産業図書
2009年版 基本情報技術者 標準教科書 中根 雅夫 監修
・一様分布
http://staff.aist.go.jp/t.ihara/uniform.html
・二項分布
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/nikou.html
・サルでもわかる待ち行列
http://www.objectclub.jp/technicaldoc/monkey/s_wait
・確率分布と検定
http://www.heisei-u.ac.jp/ba/fukui/pdf/apstattext02.pdf
49
参考文献
・第8回 教育統計入門
http://www.eng.ritsumei.ac.jp/asao/courses/rmethod/week08/RM_Week08.
pdf
・バラツキの概念と標準偏差について
http://homepage1.nifty.com/QCC/sqc2/sqc-2.html
・偏差値のお話
http://www.o-shinken.co.jp/benkyo/hensati/hensachi.htm
・指数分布
http://www.kogures.com/hitoshi/webtext/stat-poisson-bunpu/index.html
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