大学院理工学研究科 2004年度物性物理学特論第4回

大学院理工学研究科 2004年度
物性物理学特論第5回
－磁気光学効果の電子論(1):古典電子論－
非常勤講師：佐藤勝昭
（東京農工大学工学系大学院教授）
復習コーナー
磁気光学Kerr効果

1.
2.
反射の磁気光学効果を磁気光学カー効果
(MOKE)という
通常の反射の法則を導く：電界に対する反
射率＝複素振幅反射率(Fresnel係数)
右回り円偏光に対するFresnel係数と左回
り円偏光に対するFresnel係数の差を考え
る。位相の差からKerr回転が振幅の差から
Kerr 楕円率が導かれる。
復習コーナー
斜め入射の場合の反射

反射は界面における電
磁波の伝搬の境界条件
により決められる。
1 
E1p
K0
Kのx成分の連続性
K0sin0=K1sin1
＝K2sin 2
これよりSnellの法則が
導かれる。
 0  1
sin 2 K 0
1 N1



sin 0 K 2
 2 N2
法線
n02
E0p
0
K１
Ｘ
１
Ｙ
２
 2  n  i 2
Ｚ
E2p
K２
復習コーナー
複素振幅反射率(Fresnel係数)
P偏光の反射
E1P K 2 cos 0  K 0 cos 2
rp  P 
K 2 cos 0  K 0 cos 2
E0

S偏光の反射
K 22 cos 0  K 02 K 22  K 02 sin2  0
K 22 cos 0  K 02 K 22  K 02 sin2  0

tan 0   2 
tan 0   2 
E1S K 0 cos 0  K 2 cos 2
rs  S 
K 0 cos 0  K 2 cos 2
E0
sin 0   2 


2
2
2
sin 0   2 
K 0 cos 0  K 2  K 0 sin  0
K 0 cos 0  K 22  K 02 sin2  0
ここに、ｒp＝|ｒp|ｅiδp、ｒs＝|ｒs|ｅiδsである。
復習コーナー
エリプソメトリ(偏光解析）
rs
cos( 0  2 ) rs


exp(i )  tan  exp(i )
rp
cos( 0  2 ) rp



 azimuth (方位角)
 phase (位相差)
反射は方位角と位相差=p-sによって記述できる。反射光
は一般には楕円偏光になっているが、そのｐ成分とｓ成分の逆
正接角と位相差を測定すればrが求められる。（測定には
1/4波長板と回転検光子を用いる。）この方法を偏光解析また
はエリプソメトリという。
復習コーナー
P偏光反射率とS偏光反射率

第１の媒体が真空、第２の媒体の複素屈折率
がNの場合
Rp 
Rs 
N 2 cos 0  N 2  sin2  0
N 2 cos 0  N 2  sin2  0
cos 0  N 2  sin2  0
cos 0  N 2  sin2  0
2
2
復習コーナー
入射角に依存する反射率

Ｐ偏光とS偏光で
は反射率の入射
角依存性が異な
る。
復習コーナー
反射と偏光：Brewster角
もし、ψ0＋ψ2＝π/2であれ
ば、tanが発散するため、
Rpは0となる。
 このとき、反射光はS偏光
のみとなる。
 このときの入射角を
Brewster angleという。

tan 0  2 
Rp 
tan 0   2 
sin 0  2 
Rs 
sin 0   2 
2
2
復習コーナー
垂直入射の光強度反射率と位相

R＝r*r=|r|2は光強度の反射率、は反射の際の
位相のずれ
R
(1  n)2   2
(1  n)  
 2
  tan1 2
n   2  12
2
2
n

1 R
1  R  2 R cos
2 R sin
1  R  2 R cos
復習コーナー
反射率と位相

Kramers-Kronig(クラマースクローニヒ）の関係

ln R()

 ( )  P  2
d

2
 0   

復習コーナー
Kramers-Kronig の関係

応答を表す物理量の実数部と虚数部の間に成
立（Pは積分の主値を表す。）
2  x ij ( )
 ij ( )  1  P 0 2
d 
2

  
2   ij ( )

 ij ( )  
P 0 2
d


   2
   f ( )
   f ( )
f ( )
P 2
d   lim 
d   lim 
d 
2
2
2
2
2
 0 0    
 0 0    
0  

復習コーナー
KK変換の微分性

第２式を部分積分すると

  
1     d ij ( x)
 ij ( )   ln
 ij ()  P  ln
dx
   
 0    dx
0
1
右辺の第１項は0であるから、結局第２項のみとなる。
はx～付近で大きい値をとるので、“は‘の微分形
に近いスペクトル形状を示すことになる。
 'がピークを持つでは"は急激に変化し、'が急激
に変化する付近で"は極大（または極小）を示す．

復習コーナー
Kerr効果
K  
   
2


2
r  r
1 r 1 R
K 


r  r
2 r
4 R

磁気カー回転角Kと磁気カー楕円率Kをひと
まとめにした複素カー回転K

r
rˆ
1  rˆ 
 K   K  i K  
i
 i
 i ln 
2
2r
2rˆ
2  rˆ 
復習コーナー
複素カー回転
K 

 xy
1   xx 
 xx
この式から，カー効果が誘電率の非対角成分
xyに依存するばかりでなく，分母に来る対角成
分x xにも依存することがわかる．この式の対
角成分x xを光学定数n, によって表すと，
復習コーナー
Kerr効果と誘電率
 K  n0
 K  n0




n n02  n 2  3 2  x y   n02  3n 2   2  xy


n


2 2
2 2
2
2

n    n0  n    4n0 


  n02  3n 2   2  x y  n n02  n 2  3 2  xy
2
2
2




2 2
2 2
2
2

   n0  n    4n0 


2

磁気光学効果の電子論
今回：古典電子論
 次回：量子論

電界・磁界のもとにおける荷電粒子の運動

古典力学の運動方程式を考える。
荷電粒子の電荷 q [C], 質量 m [kg]
 荷電粒子の変位 u [m]
 慣性力 md2u/dt2
 摩擦力 mdu/dt
 Lorentz力 q(E+vB)=q(E+du/dtB)

B
古典電子論
m
d 2u
dt 2
 m
du
du


 m 02u  q E 
 B
dt
dt


B  (0,0, B)
E  E 0 exp i t 
u  u0 exp(it )
 m 2u  imu  m02u  qE  iu  B


m  2  i  02 x  iqBy  qEx


 iqBx  m  2  i  02 y  qE y


m  2  i  02 z  qEz
変位uを求める

連立方程式を解いて、u=(x, y, z)を求める
q
 2  i  02
q
ic
x
Ex

Ey
2
2
m  2  i   2   2 2
m  2  i   2   2 2
0
c
0
c




q
ic
q
 2  i  02
y
Ex 
Ey
2
2
m  2  i   2   2 2
m  2  i   2   2 2
0
c
0
c


q
1
z
Ez
2
2
m   i  0


電気分極Pを求める

P=nquにより分極Pを求める
nq 2
 2  i  02
nq 2
ic
Px  
E

Ey
x
2
2
m  2  i   2   2 2
m  2  i   2   2 2
0
c
0
c




nq 2
ic
nq 2
 2  i  02
Py  
Ex 
Ey
2
2
m  2  i   2   2 2
m  2  i   2   2 2
0
c
0
c


nq 2
1
Pz  
Ez
2
2
m   i  0

 c  qB m
サイクロトロン角振動数

電気感受率を求める

P=0Eにより電気感受率を求める。


Py   0   xy Ex   xx E y 
Px   0  xx Ex   xy E y
Pz   0  zz Ez
nq 2
 2  i  02
 xx    

m 0  2  i   2 2   2 2
0
c


nq 2
ic
 xy   

m 0  2  i   2 2   2 2
0
c


nq 2
1
 zz    
 2
m 0   i  02
 c  qB m
より、非対角成分は磁界に比例
誘電率に変換する
 ij=ij+ijを用いて、誘電率テンソルに変換
nq 2
 2  i  02
 xx    1 

m 0  2  i   2 2   2 2
0
c


nq 2
ic
 xy   

m 0  2  i   2 2   2 2
0
c


nq 2
1
 zz    1 
 2
m 0   i  02
 c  qB m
より、非対角成分は
磁界に比例
磁界ゼロの場合：ローレンツの式

B=0なのでc=0を代入：Lorentzの分散式
nq 2
1
 xx     zz    1 
 2
m 0   i  02
 xy    0
 2   02
nq 2
 xx ( )  1 

m 0 ( 2   02 ) 2   2 2
nq 2



 xx ( ) 

m 0 ( 2   02 ) 2   2 2
磁界がなく，束縛項もない場合：
ドルーデの式

c=0, 0=0とおく：Drude formula
nq 2
1
 xx     zz    1 

m 0  (  i )
 xy    0
nq 2
1

 xx ( )  1 

m 0  2   2
nq 2

 ( ) 
 xx

m 0  ( 2   2 )
負の誘電率
プラズマ振動数

Drudeの式で、ダンピング項を0としたとき、εの実数
部が0となる振動数を自由電子プラズマ振動数pとよ
び下の式で求められる。
nq 2 1
 xx ( )  1 
 2 0
m 0  p
p 
nq 2
m
ダンピングのある場合のDrudeの式
をpを使って書き直すと
2
 xx ( )  1 
 ( ) 
 xx
p
2   2
 2p
 (   )
2
2
 p   2p   2
においてゼロを横切る
磁界がかかっており束縛項がない場合：
マグネトプラズマ共鳴
0=0，=0を代入
 ij=-i0(ij-ij)によりに変換

p
nq 2
1
 xx    1 

1 2
m 0  2  c 2
  c 2
2
 pc
nq 2
 ic
 xy   

 i
m 0   2  c 2
  2  c 2



p
nq 2 1
 zz    1 
1 2
m 0  2

2
2=p2+c2で
ゼロを横切る
マグネトプラズマ共鳴
 xx    i0  zz  1 

 xy    i0 xy 
 2  c 2
 2pc
  c
2
2
= cで発散
i 2p 0
 zz    i0  zz  1 

2 0
i 2p 0

磁界がかかっていて，束縛がなく，
散乱のない場合
 xx    1 
 xy    i
 2p

 2p c
  2  c 2
 zz    1 
N  2   xx  i xy  1 
 2  c 2
 2p
2



 2p
2
  c2

   c   1 
 2p
    c 
ホール効果(による記述)

DCにおいては、→0とすることにより、次式を得る。xyはx方
向に電流が流れたときy方向に電圧が生じることを表しており、
まさにホール効果を記述するものである。
nq 2

q
2
2
0
 xx 0 
 2

nq

nq


m c   2
m  c 2   2
 c 2   2 ( c /  ) 2  1
nq 2

q
 c
c / 
 xy 0   
 2 c 2   nq



0
m c  
m  c 2   2
( c /  ) 2  1
nq 2 1
q
 zz 0  
  nq
 nq   0
m 
m
ホール効果(による記述)

導電率テンソルを抵抗率テンソルに変換
 xx 0  
1
 zz 0  
1
ホール係数
0
 /
qB / m
B
 xy 0    c   2

  RH B
0
nq
nq / m
0
0 
1 /  0  RH B


ˆ   RH B 1 /  0
0 
 0

0
1
/

0

Feの磁気光学効果は
古典電子論で説明できるか？
nq 2
ic
 xy   

m 0  2  i   2 2   2 2
0
c


比誘電率の非対角成分の大きさ：最大5の程度
   0  2eV ,  0.1eV ,
キャリア密度 n  1022 cm 3  1028 m -3 と仮定
B=3000Tという非現実的な磁界が必要
 スピン軌道相互作用によって初めて説明可能

磁気光学効果の量子論

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