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第５回
ディジタル回路内の数値表現
瀬戸
ディジタル回路内部で，数を表現する方法（２進数）
を学ぶ
１０進数⇔２進数⇔１６進数の変換ができる
２のべき乗を、K, M, Gを使ってすぐに表せる
２の補数表現を説明できる
１０進数⇔２の補数表現の変換ができる
http://www.ee.tcu.ac.jp/lectures/digital/index.html
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1
ディジタル回路内で使用される数の分類
本講義で学習
非負の整数 0,1,2,3,...
整数
符号なし
正負の整数 ...,-2,-1,0,1,2,...
符号つき
数
固定小数点数 1.52
小数
固定
浮動小数点数 1.52
移動
2
１０進数、２進数、１６進数
１０進数 (decimal number)
日常的に使用している数
0～9 の１０種類の数字
200810年
２進数 (binary number)
コンピュータ、ディジタル回路の中で使用
0, 1の２種類の数字（1 ... Hレベル, 0 ... Lレベル）
111110110002年（長くて，見にくい...）
１６進数 (HEXadecimal number)
２進数を短く表示するために使用
0～9, A, B, C, D, E, Fの１６種類の文字
7D816年
3
そもそも１０進数って？（復習）
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9の９個の数字を使用
１０のべき乗で重み付け
例
2008 =(2x103)+(0x102)+(0x101)+(8x100)
1000の位
100の位
10の位
1の位
1973
=(1x103)+(9x102)+(7x101)+(3x100)
4
本日のテーマ - ２進数
ライプニッツが発明
ドイツの数学者、哲学者
d
微積分記号の提案
dt
２進数の提案

「全ての数を１と０によって表す驚くべき表記法」 (1692年)
5
符号無し２進数は、どんなものか？
0, 1の2種類の数字だけを使用（0以上の数）
２のべき乗
符号無し２進数の例
1101 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20
8の位
最上位最下位
ビットビット
MSB
LSB
4の位
2の位
1の位
１０進数への変換：
=
8 + 4 + 0 + 1 = 1310
“10進数”を表す
6
では、符号無し２進数は、どんなものか？
n個のビット列 an-1an-2...a0で以下の数を表すと決め
る
n1
an1  2
n2
 an2  2
  a0  2
0
例： 3ビットの場合、 0 ～ 7 まで表せる
000  0  4  0  2  0  1  0
001  0  4  0  2  1 1  1

110  1 4  1 2  0  1  6
111  1 4  1 2  1 1  7
7
では、16進数は、どんなものか？
=
=
=
=
=
=
0, ..., 9, A, B, C, D, E, F の16種類の文字を使う
10 11 12 13 14 15
１６のべき乗
例
1AB= 1 x 162 + A x 161 + B x 160
256の位
16の位
1の位
１０進数への変換：
= 256 + 160 + 11 = 42710
8
２進数 ⇔ １６進数の変換 (簡単)
2進数は長ったらしいので、16進数に変換することが多い
変換例1： 111010111002を16進数に直せ
最下位ビット（右）から４ビットずつ区切り，変換
111 _ 0101 _ 1100 = 75C
7
5
C
変換例2： 3AB16を2進数に直せ
各数字を，２進数にして，つなげる
3
A
B = 1110101011
11 1010 1011
9
符号無し数
の２進表現
のまとめ
10進数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16進数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
2進数
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10
２進数の加算 (ディジタル回路で実行可能）
通常の数（１０進数）と全く同様の方法で、筆算
できる
一桁分の加算
４ビットの加算
0+0 = 0
0+1 = 1
1+0 = 1
1+1 = 10 （1繰上がり）
1 0 0 1 910
+ 0 1 0 1 510
0 0 1 繰上がり
1 0 0 1 910
+ 0 1 0 1 510
1 1 1 0 1410
11
０，１だけで “もの”を表す方法（複数）
nビットでは、最大 2n 通りの“もの”が表せる
3ビットだと，2×2×2 = 8 通り
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
例
スイッチの状態（１ビット）
on: 1, off: 0
３色（ 2 ビット）
01
10
11
アルファベット 26文字（ 5 ビット = 25 =
32 ）
A: 00000, B: 00001, C: 00010, ....
12
０，１だけでどうやって数を表すのか？
（１）
数も“もの”の一種
nビットでは、最大2n個の“数”が表せる
nビットで表せる正の整数（０を含む）は 0～2n-1
3ビットの場合、
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 （= 23 – 1 ）
「0」の分、
1引いている
例
4ビット: 最大 24-1 = 15 ( 1111 )
８ビット: 最大 28-1 = 255 ( 11111111 )
13
よく出る 2nの値（覚えておく）
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
16
2n
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
65536
n
10
20
30
40
2n
1,024 ≒ 103
1,048,576 ≒ 106
1,073,741,824 ≒ 109
1,099,511,627,776 ≒ 1012
呼び名
K
M
G
T
任意の2nの簡単な計算法
2ab = 210 x a x 2b
計算例
224 = 220 x 24 = 16M
232 = 230 x 22 = 4G
14
１０進数から２進数への変換
どんどん２で割り、余りを最下位からa0 , a1, ...と
する a  2n1  a  2n2   a  21  a  20
n1
n 2
n 2
n3
余り
２進数
1
0
 2  (an1  2  an2  2   a1  2 )  a0
n 3
n 4
 2  (2 (an1  2  an2  2 )  a1 )  a0
2 53・・・
2 26・・・
2 13・・・
2 6・・・
2 3・・・
2 1・・・
0
1・・・
0・・・
1・・・
0・・・
1・・・
1・・・
a0
a1
a2
a3
a4
a5
最上位
ビット
0
最下位
ビット
a5 a4 a3 a2 a1 a0
1 1 0 1 0 1
必ず検算をする!
（２進数→１０進
15
数）
符号つき２進数の表現法：２の補数表現
以上では、符号なし（ 0 か正）の２進数のみを考え
た
負を含む，符号つきの数は、どうやって0,1で表すの
か？
マイナス（これが肝）
n1
n2
an1  
2an-2...a
 a0nの２の補数表現は，次の値を
 a0  2
nビット
an-1
2  2
表す
0
最上位ビットが１だと負で，０だと正(０) （符号
ビット）
２の補数の例：確かに負の数を表現できる
４ビットの２の補数 1011が表す値
16
は？
2進数
10進数
0000
0
0001
1
0010
2
0011
3
0100
4
0101
5
0110
6
0111
7
1000
-8
1001
-7
1010
-6
1011
-5
1100
-4
1101
-3
1110
-2
1111
-1
例：4ビットの２の補数表現
範囲：-8～7
最上位ビットが
０だと非負，１だと負
0000が「0」を表現するため，
負数が，正数より１個多い
負の数の最上位ビットは
「 1」
符号
ビットと呼ぶ
17
10進数
2進数
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
-8
1000
-7
1001
-6
1010
-5
1011
-4
1100
-3
1101
-2
1110
-1
1111
２の補数の簡単な計算法
マイナスをつけることに相当
方法
反転して、１を足す
例: 01102(=610)の２の補数
0110
610
反転
1001
1を足す
1 0 1 0 -610
２の補数の性質
数xの２の補数の、そのまた
２の補数は、xに戻る
18
１０進数⇒2の補数表現への変換方法の例
次の10進数を5ビットの2の補数表現（符号付き２進数）
で表せ
+6
6を符号無し２進数で表現：
110
５ビットに拡張するため，4，５ビット目に0を追加：
00110
-12
対応する正の値(12)を、５ビットの2の補数で表現: 01100
反転して１を足す: 10011 + 1 = 10100
-1
（-12と同様の方法）
１を、５ビットの２進数で表現： 00001
反転して１を足す: 11110+1 = 11111
19
２進数の注意点
符号無しと見るか，符号付き（２の補数表現）と見るかで，
符号ビットが１の場合に異なるので，どちらかを意識する
例： 11112
符号無し２進数と見ると
1 x 2 3 + 1 x 22 + 1 x 2 1 + 1 x 20
= 8 + 4 + 2 + 1 = 15
符号付き２進数（４ビットの２の補数）と見ると
1 x -2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 1 x 2 0
= -8
+
4
+
2
+
1
=
-1
20
まとめ
ディジタル回路内部での，数値の表現法を学
習
２進数
符号無し２進数 (0以上の整数を表現．）
符号付き２進数 (２の補数表現．正負の整数を表現）
２進数(符号付き/無し）、１６進数、１０進数の相
互変換
中間試験の範囲
第１回～第６回までの講義内容，演習問題，宿題
21

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