数学の予備知識

数学の予備知識
ネットワークシステムⅠ
ネットワークシステム
第2回
数学と言っても




10進数
2進数
16進数
これらの間での変換
 別の授業で聞いたことがあるだろう
10進数(1)



1,2,3,100,1000 …
普通に使っている数
マイナスもある
-1,-5,-100 …
 この講義ではマイナスは必要ない
ただし,0 を忘れてはいけない
10進数(2)




33
1桁目の3と2桁目の3は同じ3
 しかし,2桁目の3は,30を意味する
 1桁目の3の10倍
2桁目は1桁目よりも10倍重い
2
 3桁目は1桁目よりも100=10 倍重い
各桁に重みがついている
 各桁の重みの比を基数と呼ぶ
10進数(3)



基数が10である数を10進数
 ある桁は,そのすぐ下の桁より10倍重い
30,31,32,33,34,35,36,37,38,39
 1桁目が10になると,
1桁目が0に戻り,2桁目が1増える
40
2進数(1)

基数が2の数
 ある桁は,そのすぐ下の桁より2倍重い
2進数(2)






0,1 次は
2ではなく10
 1桁目が2になると,
1桁目が0に戻り,2桁目が1増える
11 次は
12ではなく,20 でもなく
100
 2桁目が2になると,3桁目が1増える
0,1,10,11,100
16進数(1)



基数が16の数
 ある桁は,そのすぐ下の桁より16倍重い
1桁目が16になると,2桁目が1増える
10,11,12,13,14,15を
A,B,C,D,E,Fと書く
16進数(2)

0,1,2,…,9,A,B,C,D,E,F

10,11,…,19,1A,1B,…,1F

20,…
10進数・2進数・16進数

101は何進数か?

2進数は (101)2


16進数は (101)16
( )で囲み,
基数を書く
と,この授業では書くことにする
 単に101は10進数
 例外あり(基数が明らかなときは省略する)
ちょっと一息




時刻表示
 11:35:20
秒は60進数
分も60進数
時は12進数・24進数
10進数と2進数(1)




○○○○○○○
 上の“○”の数はいくつあるか
7個
(111)2個
7と(111)2は同じ大きさ
 表記法の違いだけ
10進数と2進数(2)





2進数 → 10進数
2進数 → 10進数への変換
 (111)2
1桁目の重みは1
2桁目の重みは2
3桁目の重みは4
各桁と重みをかけて和を求める
 1×1+1×2+1×4=7
10進数と2進数(3) 2進数 → 10進数

1桁目の重み1=20
2桁目の重み2=21
3桁目の重み4=22
4桁目の重み8=23
5桁目の重み16=24

N桁目の重み2N-1




10進数と2進数(4) 2進数 → 10進数







(1011)2は,10進数では?
各桁に重みをかけて足す
1桁目 1×1
2桁目 1×2
3桁目 0×4
4桁目 1×8
合計
11
10進数と2進数(5)




10進数→2進数
10進数 → 2進数への変換
 10進数11
11=(1011)2
=1×8+0×4+1×2+1×1
=(1×4+0×2+1)×2+1
1桁目の1は,11を2で割った余り
つまり,1桁目は10進数を2で割った余り
10進数と2進数(6)
10進数→2進数

1×4+0×2+1は,11を2で割った商

1×4+0×2+1=(1×2+0)×2+1


2桁目の1は,1桁目を求めたときの商を2で割っ
た余り
以下同様
10進数と2進数(7)

10進数→2進数
1桁目は,11÷2=5 … 1

2桁目は,5÷2=2 … 1

3桁目は,2÷2=1 … 0

4桁目は,1÷2=0 … 1
つまり,2で割り
余りが2進数の1桁
商をさらに2で割り
余りが次の1桁
以下,繰り返す
10進数と2進数(7)


以上が数学的な方法
この講義では2進数といっても8桁までしか使わ
ない!
10進数と2進数(8)

2進数8桁までの,各桁の重みを覚えろ!

1 2 4 8 16 32 64 128
10進数と2進数(9)



(1 1 0 0 1)2 は10進数では?
16 8 4 2 1
と各桁の下に重み
1の下の重みを足す
 16+8+1=25
10進数と2進数(10)









25は2進数では?
重みを並べる
32 16 8 4 2 1
16の桁は1,残りは25-16=9
8の桁は1,残りは9-8=1
4の桁は0,残りは1
2の桁は0,残りは1
1の桁は1
(11001)2
10進数と2進数(11)

10進数と2進数の変換は,2進数の各桁の重み
を覚えていると楽
2進数と16進数(1)


2進数4桁が
16進数1桁
この講義で
は16進数は
2桁まで
2進数と16進数(2)



(11010011)2は16進数では?
4桁ごとに分ける
2進数4桁が,
16進数1桁
 1101 0011
各桁を16進数にする
 (暗算で)10進数を求める
 13と3
 9まではそのまま,10以上はA,B,…
 (D3)16
2進数と16進数(3)



(8B)16は2進数では?
各桁を2進数にすればよい
 8 → (1000)2
 B → (11)10 → (1011)2
(10001011)2
10進数と16進数(1)


(8B)16は10進数では?
8×16+11=139
 暗算ではムリ?
10進数と16進数(2)

139は16進数では?

139÷16=8…11


1桁目は 11=(B)16
2桁目は 8
(8B)16
宿 題(1)


2進数8桁までの重みを覚える
1 2 4 8 16 32 64 128
表をよく見る
宿 題(2)

基数変換ができるように
10進数
2進数(8桁)
16進数(2桁)