電磁気学C Electromagnetics C 6/26講義分遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル山田博仁今後のスケジュール・ 6/26(第12回目) 遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル (第3回レポート出題) ・ 7/3(第13回目) 電気双極子による電磁波の放射・ 7/10(第14回目) 電気双極子による電磁波の放射 (第3回レポート締め切り) ・ 7/17(第15回目) 点電荷による電磁波の放射・定期試験 7/24(木)以降 (候補日、7/24(木), 8/7(木)など) 定期試験の日程についてアンケートをとりたいと思いますので、出席確認のノートに都合の悪い日、絶対に避けて欲しい日、希望日などを記入願います。できるだけ、多くの皆さんのご希望に沿えるよう努力します。成績評価は以下の点の合計です 1. 出席状況+出席レポート 2. 全員対象のレポート 3. 定期試験 30点 10点 × 3回 40点ローレンツ・ゲージにおけるMaxwell方程式今回からは、自由空間への電磁波の放射の問題を取り扱う。まず、ローレンツ・ゲージにおける自由空間でのMaxwell方程式は、 A( x, t )  grad ( x, t ) t B ( x, t )  rotA( x, t ) E ( x, t )    1    2 c   1    2 c  2  1   ( x , t )    e ( x, t ) t 2  0 2   A( x, t )    0 ie ( x, t ) 2  t  div A( x, t )  1  ( x, t ) 0 c2 t  (1)  (2)  (3) 真空中を仮定して、  (4)    0 0  c2  (5) としている。電荷分布 e(x, t)と電流分布 ie(x, t) とが与えられているとき、それらの時間的変化に伴って発生する電磁波を求める。そのためには、非斉次項をもつ波動方程式(3)式および(4)式を解いて、その特解を求めなければならない。時間に依存した静電ポテンシャル (3)式において、左辺第2項が無いときは、静電場におけるポアソンの方程式  ( x )   1 0 e ( x)  (6) になり、その特解は、  ( x)  1 4 0  V d 3 x' e ( x' ) x  x'  (7) 教科書の式(2.34)参照で与えられていた。(7)式では、電荷分布 e(x’)は時間的に変化していないから、それによって作られる場所 x における静電ポテンシャル(x)も時間に依存しない。しかし、電荷分布が時間的に変化する時でも、|x|→∞の遠方におけるポテンシャルの様子は、大体(7)式と同じであろうと考えられる。ただし、(3)の波動方程式で伝わる電磁波は、有限の速度 c で空間内を伝搬していくので、x’点の電荷分布の変動の影響は、時間 |x - x’|/c だけ遅れて x 点に到達するはずである。従って、x 点でのポテンシャル(x, t)は次式のように表される。  ( x, t )  1 4 0  V d 3 x' x  x' ) c x  x'  e ( x', t   (8) 遅延ポテンシャルこのような物理的考察から、(3)式の特解は(8)式のように表される。ここで積分領域 V は、観測点 x および電荷分布の存在する全領域を含む空間領域を表している。 (8)式が(3)式の解であることの証明 → 出席レポート(参考: 砂川先生の教科書など) (4)式に対しても同様に考えることができるので、(4)式の解として次式が得られる。 A( x, t )  0 4 x  x' ) c d 3 x' x  x' ie ( x', t   V  (9) (8)式或いは(9)式で表される電磁ポテンシャルは、影響が光速で伝わることによる時間的な遅れを考慮して導かれるというので、遅延ポテンシャルという。それに対して、  ( x, t )  A( x, t )  1  4 0 0 4 V  V d 3 x' x  x' ) c x  x' e ( x', t  x  x' ) c d 3 x' x  x' ie ( x', t   (10)  (11) 先進ポテンシャル  ( x, t )  A( x, t )  1  4 0 0 4 V  V d 3 x' x  x' ) c x  x' e ( x', t  x  x' ) c d 3 x' x  x' ie ( x', t   (10)  (11) (10)式或いは(11)式で表される電磁ポテンシャルも(3)式および(4)式の解である。これらは電荷や電流が動くよりも前に何故かその動きを知っていたかのように存在していて、それが周囲から電荷に向かって集まってくる電磁波であり、言わば映画を逆回ししたようなイメージである。そのため、先進ポテンシャルと呼ばれている。先進ポテンシャルの物理的意味については色々と議論があるが、これはMaxwell 方程式やそれらから導かれる波動方程式が時間反転に対して共変的(即ち、 Maxwell方程式において、t’= -t とおいて変換してやっても、全く同じ方程式系が得られる)であることに由来するものである。ところで、(8)～(11)式は、(5)式のローレンツ条件を満足しているか、各自で確かめてみて下さい。波動の時間反転性と位相共役波今、ほぼ +z 方向に伝搬している周波数 、波数成分 kz の波を、空間座標 r と時間 t の関数として表すと、    E(r , t )  Re E(r )e j ( t kz z )  Re A(r )e j t  と書かれる。この式の複素共役(complex conjugate)をとり、t’ = -t とした波は、    Ecc (r , t' )  Re E* (r )e j ( t' kz z )  Re A* (r )e j t'  となる。このように、波の複素振幅が元の波の複素共役で表される波を位相共役波(phase conjugate wave)と言い、これもまた電磁波の波動方程式の解となっている。これは、波面の形が同じであり、伝搬方向がちょうど反対の波であり、あたかも時間を逆向するかのように振舞う波である。 Maxwell方程式の時間反転性に由来 A*(r) jejtt’ A(r)e *(r) A(r) A 波源障害物四光波混合と位相共役波非線形光学(nonlinear optics)の技術を用いれば、位相共役波を作り出すことが可能・四光波混合ポンプ波 kpump pump プローブ波非線形光学媒質 kp p 3次非線形感受率 c(3) ks s -kpump pump ポンプ波シグナル波  p  s  2 pump エネルギー保存則 k p  ks  k pump  k pump  0 波数(運動量)保存則  p  s   pump k p  k s の時、縮退四光波混合このとき、プローブ波と信号波は位相共役の関係にある。位相共役波は、様々な魅力的な応用が考えられる。位相共役鏡普通の鏡と位相共役鏡との比較入射光 k(i) 入射光 z=0 鏡面 k(i) 反射光 z=0 鏡面 k(r) z z k(r) つまり、k(r) = -k(i) 反射光 k(i)x = k(r)x k(i)y = k(r)y k(i)z =- k(r)z k(i)x = -k(r)x k(i)y = -k(r)y k(i)z =- k(r)z 普通の鏡位相共役鏡 Q. 位相共役鏡に自分の顔を映せば、どのように見えるか ? 1. 普通の鏡と同じ 2. 左右反対に映る 3. 上下反対に映る 4. 何も映らない鏡に顔が映るしくみということで、位相共役鏡には、自分の顔は映らない普通の鏡普通の鏡の場合位相共役鏡位相共役鏡の場合位相共役波と防御シールド? 防御シールド、防御スクリーン、エネルギーシールド、バリヤー、航宙デフレクター非線形光学媒質のガスポンプ光位相共役光 USSエンタープライズ (スタートレック) 縮退四光波混合により位相共役波が発生ポンプ光の強度を高めれば、位相共役光の発生に光学利得を持たせることも可能で、攻撃を受けた光よりもはるかに強い位相共役光を返すことも可能クリンゴンの戦艦擬似的な位相共役波の作り方平面波平面鏡球面波凹面鏡電磁気学においては時間反転が可能言いたかったこと映画を逆回しにしたように伝搬する波(電磁波)は、解として存在する実際に発生させるには、縮退四光波混合の技術などを使用する以下のような様々な応用が考えられる - 通信応用(障害物による波面の乱れを補正) - 通信応用(フォトニックNWにおける波長変換) - 軍事応用(対ビーム兵器に対する防御シールド) - その他天文学や医療応用などなど