電磁気学C Electromagnetics C 7/2講義分遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル山田博仁ローレンス・ゲージにおけるMaxwell方程式今回からは、自由空間への電磁波の放射の問題を取り扱う。まず、ローレンス・ゲージにおける基本方程式系は、 A( x, t )  grad ( x, t ) t B ( x, t )  rotA( x, t ) E ( x, t )    1    2 c   1    2 c  2  1   ( x , t )    e ( x, t ) t 2  0 2   A( x, t )    0 ie ( x, t ) 2  t  div A( x, t )  1  ( x, t ) 0 c2 t  (1)  (2)  (3) 真空中を仮定して、  (4)    0 0  c2  (5) としている。電荷分布 ρe(x, t)と電流分布 ie(x, t) とが与えられているとき、それらの時間的変化に伴って発生する電磁波を求める。そのためには、非斉次項をもつ波動方程式(3)および(4)を解いて、その特解を求めなければならない。時間に依存した静電ポテンシャル式(3)において、左辺第2項が無いときは、静電場におけるポアソンの方程式  ( x )   1 0 e ( x)  (6) になり、その特解は、  ( x)  1 4 0  V d 3 x' e ( x' ) x  x'  (7) 教科書の式(2.34)参照で与えられていた。式(7)では、電荷分布 ρe(x’)は時間的に変化していないから、それによって作られる場所 x における静電ポテンシャルϕ(x)も時間に依存しない。しかし、電荷分布が時間的に変化する時でも、|x|→∞の遠方におけるポテンシャルの様子は、だいたい式(7)と同じであろうと考えられる。ただし、式(3)の波動方程式で伝わる電磁波は、有限の速度 c で空間内を伝搬していくので、x’点の電荷分布の変動の影響は、時間 |x - x’|/c だけ遅れて x 点に到達するはずである。従って、 x 点でのポテンシャルϕ(x, t)は次式のように表される。  ( x, t )  1 4 0  V d 3 x' x  x' ) c x  x'  e ( x', t   (8) 遅延ポテンシャルこのような物理的考察から、式(3)の特解は式(8)のように表される。ここで積分領域 V は、観測点 x および電荷分布の存在する全領域を含む空間領域を表している。式(8)が式(3)の解であることの証明 → 出席レポート式(4)に対しても同様に考えることができるので、式(4)の解として次式が得られる。 A( x, t )  0 4  V x  x' ) c d 3 x' x  x' ie ( x', t   (9) 式(8)或いは式(9)で表される電磁ポテンシャルは、影響が光速で伝わることによる時間的な遅れを考慮して導かれるというので、遅延ポテンシャルという。それに対して、 x  x' e ( x', t  ) 1 3 c  ( x, t )  d x' 4 0 V x  x' A( x, t )  0 4  V x  x' ) c d 3 x' x  x' ie ( x', t   (10)  (11) で表される式(10)或いは式(11)の電磁ポテンシャルも、式(3)および式(4)の解となる。先進ポテンシャルこれらは電荷や電流が動くよりも前に何故かその動きを知っていたかのように存在していて、それが周囲から電荷に向かって集まってくる電磁波であり、言わば映画を逆回ししたようなイメージである。そのため、先進ポテンシャルと呼ばれている。先進ポテンシャルの物理的解釈については色々と議論があるが、これはMaxwell 方程式やそれらから導かれる波動方程式が時間反転に対して共変的(即ち、 Maxwell方程式において、t’= -t とおいて変換してやっても、全く同じ方程式系が得られる)であることに由来するものである。ところで、式(8)～(11)は、式(5)のローレンス条件を満足しているか、各自で確かめてみて下さい。波動の時間反転性と位相共役波今、ほぼ +z 方向に伝搬している周波数 、波数成分 kz の波を、空間座標 r と時間 t の関数として表すと、    E(r , t )  Re E(r )e j ( t kz z )  Re A(r )e j t  と書かれる。この式の複素共役(complex conjugate)をとり、t’ = -t とした波は、    Ecc (r , t' )  Re E* (r )e j ( t' kz z )  Re A* (r )e j t'  となる。このように、波の複素振幅が元の波の複素共役で表される波を位相共役波(phase conjugate wave)と言い、これもまた電磁波の波動方程式の解となっている。これは、波面の形が同じであり、伝搬方向がちょうど反対の波であり、あたかも時間を逆向するかのように振舞う波である。 Maxwell方程式の時間反転性に由来 A*(r) jejtt’ A(r)e *(r) A(r) A 波源障害物四光波混合と位相共役波非線形光学(nonlinear optics)の技術を用いれば、位相共役波を作り出すことが可能・四光波混合ポンプ波 kpump pump プローブ波非線形光学媒質 kp p 3次非線形感受率 c(3) ks s -kpump pump ポンプ波シグナル波  p  s  2 pump エネルギー保存則 k p  ks  k pump  k pump  0 波数(運動量)保存則  p  s   pump k p  k s の時、縮退四光波混合このとき、プローブ波とシグナル波は位相共役波の関係にある。つまり、非線形光学媒質を鏡と見なせば、プローブ波に対する位相共役波が得られる。位相共役波には、様々な応用が考えられる。位相共役鏡普通の鏡と位相共役鏡との違い入射光 z = 0 (鏡面) 入射光 z = 0 (鏡面) k(i) k(i) 反射光 k(r) z z k(r) つまり、k(r) = -k(i) 反射光 k(i)x = k(r)x k(i)y = k(r)y k(i)z =- k(r)z k(i)x = -k(r)x k(i)y = -k(r)y k(i)z =- k(r)z 普通の鏡位相共役鏡 Q. 位相共役鏡に自分の顔を映せば、どのように見えるか ? 1. 普通の鏡と同じ 2. 左右反対に映る 3. 上下反対に映る 4. 何も映らない鏡に自分の顔が映るしくみということで、位相共役鏡には、自分の顔は映らない敢えて言えば、自分の目だけが、鏡全体に映る普通の鏡普通の鏡の場合位相共役鏡位相共役鏡の場合位相共役波の応用その1、防御シールド? 防御シールド、防御スクリーン、エネルギーシールド、バリヤー、航宙デフレクター非線形光学媒質のガスポンプ光位相共役光 USSエンタープライズ (スタートレック) 縮退四光波混合により位相共役波が発生ポンプ光の強度を高めれば、位相共役光の発生に光学利得を持たせることも可能で、攻撃を受けた光よりもはるかに強い位相共役光を返すことも可能クリンゴン(敵)の戦艦擬似的な位相共役波の作り方平面波平面鏡球面波凹面鏡コーナーキューブ・ミラー 3枚の鏡を互いに直角になるように組み合わせたもの。入射した光は平面で反射を繰り返し、元来た方向へ帰る。コーナーキューブ・プリズムコーナーキューブ・リフレクタの応用例電磁波の伝搬においては時間反転が可能映画を逆回しにしたように伝搬する波(電磁波)は波動方程式の解となり、実在する。そのような波を位相共役波と言い、実際に発生させるには、縮退四光波混合などの技術を用いる。位相共役波には、以下のような様々な応用が考えられる 1. 通信応用・伝搬路の障害物による波面の乱れを補正・フォトニックNWにおける波長変換・暗号通信(信号波形を解読できないように歪ませて送信し、受信側で元に戻す) 2. 軍事応用・対ビーム兵器に対する防御シールド 3. その他天文学や医療応用などなど