ふしぎな微分 Schwarzian
Akio Arimoto
March 7,2011
Seminar at Tokyo City University
Agenda
１．Schwarzian {w, z }の 一般的性質
2.非線型微分方程式 {w, z } = Q (z ) の解
３．一次元力学系
４．等角写像
５．ガウス超幾何微分方程式
６．２つの完全楕円関数の比が満たす
微分方程式
• ７．Halphen システム
•
•
•
•
•
•
Schwarzianの定義
w = w (z )
w¢º
dw
dz
2
æ
ö
é
æ
öù
d ç dw ÷ 1 d ç dw ÷
ê ç ln
ú
÷
{w, z } º 2 ççln ÷÷
÷
÷ 2 êëdz èç dz ø
÷ú
dz è dz ø
û
2
2
¢ 1 æw ¢¢ö2
æw ¢¢ö
æ
ö
w ¢¢¢ 3 ç w ¢¢÷
÷
÷
ç
ç
= ç ÷
÷
=
- ç ÷
÷
÷
÷
çè w ¢ø
÷ 2 èçç w ¢ø
÷
÷
w ¢ 2 èç w ¢ø
Schwarzian の性質
1.
ìïï aw + b ü
ïï
,
z
í
ý=
ïîï cw + d ïþ
ï
{w, z }
ad - bc ¹ 0
一次分数変換を保存する
,
2
２．
ìïï az + b ü
ïï (ad - bc )
=
í w,
ý
4
ïîï cz + d ïïþ
(cz + d )
{w, z }
aw + b
W =
cw + d
ad - bc
W ¢=
2
(cw + d )
w¢
W ¢¢ w ¢¢
2cw ¢
=
W¢
w
cw + d
2
2
æW ¢¢ö
æ
ö
¢
¢
w
4c 2w ¢2
4cw ¢¢
÷
÷
çç
ç
÷
=
÷
+
ç ÷
÷
çèW ¢ø
2
÷
÷
èç w ø
(cw + d ) cw + d
¢
æW ¢¢ö
÷
çç
÷
=
÷
çèW ¢ø
÷
¢
æw ¢¢ö
÷
çç ÷ +
÷
çè w ¢ø
÷
2c 2w ¢2
2
(cw + d )
-
2cw ¢¢
cw + d
2
¢ 1 æW ¢¢ö2
¢
æW ¢¢ö
æ
ö
æ
ö
w ¢¢÷ 1 ç w ¢¢÷
÷
÷
çç
ç
ç
÷
- ç
÷
= ç ÷
- ç ÷
÷
÷
÷
÷
çèW ¢ø
çè w ¢ø
÷ 2 çèW ¢ø
÷
÷ 2 èç w ¢ø
÷
一次分数変換により保存
ポアンカレ計量metric
• 一次分数変換はポアン
カレ計量で等距離変換
l (t ) = (l1 (t ), l2 (t ))
dl
=
dt
2
2
ædl1 (t )ö
æ
ö
dl
t
(
)
÷
÷
çç
çç 2
÷
÷
+
÷
çç dt ÷
çç dt ÷
÷
÷
÷
è
ø
è
ø
b
b
1 dl
LegP (l ) = ò
dt
l (t ) dt
a 2
LegE (l ) =
ò
a
dl
dt
dt
ユークリッドの長さ
ポアンカレ計量での長さ
双曲幾何
フックス群
Schwarzian の性質
３．
2
ædu ö
{w, z } = {w, u }ççç ÷÷÷÷ + {u, z }
è dz ø
,
４．
合成関数の微分
2
ædw ö
{w, z } = - {z, w }ççç ÷÷÷÷
è dz ø
逆関数の微分
Schwarzian の性質
５．
６．
az + b
{w, z } = 0 Þ w =
cz + d
,
n
z
{ ,z }=
1 - n2
2z 2
lz
e
{ ,z }= -
0
ìïï az + b ü
ï
, z ïý = 0
í
ïîï cz + d ïþ
ï
７．
l
{z, z } =
2
2
非線型微分方程式 {w, z } = Q (z ) の解は
線型微分方程式の解からもとまる。
• 定理：微分方程式
y ¢¢ +
Q (z )
2
y = 0 の一次独立な解を、
,
y = y1 (z )
w =
y2
y1
y = y2 (z )
は {w, z } = Q (z )
とする
の解
証明
y ¢¢ +
(y ¢y
2 1
Q (z )
2
¢¢
- y2y1
)
y = 0
Q
Q
¢
¢
¢
¢
= y2 y1 - y1 y2 = - y1y2 + y1y2 = 0
2
2
y2¢y1 - y2y1¢ = C
æy 2 ÷
ö¢ y 2¢y1 - y 2y1¢ C
w ¢ = ççç ÷
=
=
÷
çè y1 ÷
ø
y12
y12
æy 2 ÷
ö¢ C
w ¢ = ççç ÷
=
÷
çè y 1 ÷
ø
y 12
2
æ
ö
y1¢÷
1é
ù
ç
¢
÷
ê( ln w ¢) ú = 2 çç ÷
ççè y1 ÷
ú
÷
2 êë
û
ø
2
(ln w ¢)¢¢ =
-
2y1¢¢
y12
æy ¢÷
ö2
ç
+ 2 çç 1 ÷
÷
ççè y1 ÷
÷
ø
2
¢¢
2
y
1
é
ù
{w, z } = (ln w ¢)¢¢ - êê(ln w ¢)¢úú = - 12 = Q
2ë
û
y1
y 1¢¢+
Q (z )
2
y1 = 0
３．１次元力学系
反復
f n (x ) = f ( f ( f (L f (x ))))
f n (p ) = p
n ¢
f
( ) (p ) < 1
（１）かつ（２）
p
は周期点（１）
p はアトラクタ（吸引点）（２）
p
は吸引周期点
： Schwarzian が力学系を支配
• 定理
{f (x ), x } <
n
0
臨界点の個数
吸引周期点の個数
f ¢(x ) = 0
となる
x
を臨界点という
£ n + 2
Example
{e
lx
,x }= -
l
2
2
< 0
4
2
-4
吸引周期点は１個
-2
2
4
-2
n = 0
el x
の微分は０となれない
Example
{l arct an x , x } = -
2
-2
2
4
-2
-4
n = 0
2
(1 + x 2 )
4
-4
2
吸引不動点が２つ
< 0
力学系のSchwarzian はマイナス符号
定理
{f (x ), x } <
f ¢(x )
は正の極小または負の極大をもつことができない
定理
{f (x ), x } <
0
0
臨界点 f ¢(x ) = 0
有限個
周期点は有限個
４．等角写像
1. 平面上の伸縮運動
2. Mercator の射影。
3. Coppenhagen 王立科学協会が提出した懸
賞問題(1822) ２つの解析面の対応が等角であるための条件を求めよ
.Gauss が解析関数であることを示した
4. Riemann の博士論文1851
任意の２領域間の等角写像を与える関数の存在定理
問題：上半平面を
pa 1, pa 2, L pa n
を頂角とする
circular linear polygon の内部に移す等角写像 を求めよ
複素上半平面
答：
異なる実数
a1, a2, L an
b1, b2, L bn
実数
• 微分方程式
n
1 - a n2
1
+
{w, z } = å
2 n = 1 (z - a )2
n
n
å
n= 1 z
bn
- an
+ g
の解
w = f (z )
が求めるもの これは解析関数である
g
特に
,
,
{w, z } =
n=3
1 - a2
2z
2
+
a1 = 0
1 - g2
2
2 (z - 1)
a2 = ¥
a3 = 1
a 2 + g2 - b 2 - 1
+
2z (z - 1)
é
ù
2
2
2
2
2
1 ê1 - a
1- g
a + g - b - 1ú
¢
¢
u + ê
+
+
úu = 0
2
2
ú
4ê z
z (z - 1 )
z
1
(
)
êë
ú
û
の一次独立な解の組
w = f (z ) =
u1 , u 2
u1 (z )
u 2 (z )
求める等角写像
微分方程式の変換
é
1 2 1 ù
u ¢¢ + êQ - P - P ¢úu = 0
êë
4
2 ú
û
z
æ
ö
÷
çç 1
÷
y (z ) = exp çç- ò P (z )dz ÷
u (z )
÷
÷
çè 2
÷
ø
y ¢¢+ P (x )y ¢+ Q (x ) = 0
ガウス超幾何微分方程式
• 結局つぎの微分方程式が得られる
z (1 - z )y ¢¢+ éëc -
(a + b + 1)z ùûy ¢-
1
a = (1 + b - a - g )
2
1
b = (1 - a - b - g )
2
c = 1- a
aby = 0
定理
上半平面 Im z > 0 を pa , pb , pg 頂角とする
circular linear polygon の内部に移す等角写
像は 超幾何微分方程式
z (1 - z )y ¢¢+ éëc -
(a + b + 1)z ùûy ¢-
の2つの１次独立な解
f (z ) =
y1 (z )
y 2 (z )
y1, y 2
で与えられる
aby = 0
にたいして
Fuchs型微分方程式
複素関数
y = y (z )
に対し２階微分方程式
y ¢¢+ p (z )y ¢+ q (z )y = 0
確定特異点
p (z ) =
q (z ) =
p0
z - z0
q0
(z -
2
z0 )
をもつとするとき
z0
+ p1 + p2 (z - z 0 ) + L
+
q1
(z -
2
z0 )
+ q2 + q3 (z - z 0 ) + q4 (z - z 0 ) + L
確定特異点regular singular points
z = c
z- c
はw = w (z ) の確定特異点
N
w (z ) ® 0
$N Î ¢
w = w (z ) は
大体 極
q < arg (z - c ) < Q
0< z- c < r
で正則（多価でよい）
決定方程式
r (r - 1) + p0r + q0 = 0
r 1, r 2
の根
は特性根と呼ばれる
y ¢¢+ p (z )y ¢+ q (z )y = 0
p (z ) =
q (z ) =
p0
z - z0
q0
(z -
2
z0 )
+ p1 + p2 (z - z 0 ) + L
+
q1
(z -
2
z0 )
+ q2 + q3 (z - z 0 ) + q4 (z - z 0 ) + L
Riemann Scheme
確定特異点
r 1¥ , r 2¥
r 11, r 21
r 10 , r 20
に於ける特性根を
0, 1, ¥
、
z (z - 1)y ¢¢+
{(1 -
r 10
-
r 20
ìï 0 1 ¥
ïï
P ïí r 10 r 11 r 1¥
ïï
ïï r 20 r 21 r 2¥
îï
)(z - 1) + (1 ü
ïï
ïï
;z ý
ïï
ïï
ï
þ
r 11
-
r 21
ìï r 0r 0
üï
r 11r 21
ï
1 2
¥ ¥ ï
)z }íï - z + z - 1 + r 1 r 2 ýï y = 0
ïî
ïþ
ガウス超幾何微分方程式の登場
ìï 0
ü
ïï
1
¥
ïï
ïï
ï
Pí0
0
a ;z ý
ïï
ïï
ïï 1 - g g - a - b b
ïï
î
þ
z (z - 1)y ¢¢+
{(a + b + 1)z - g }y ¢+ aby =
0
楕円周期関数
1
K (z ) =
ò
0
K
*
(z ) =
du
1 - u 2 1 - z 2u 2
K
(
1- z
2
)
は２階線形微分方程式の基本解
ルジャンドルの微分方程式
2
d
K
dK
2
2
z (z - 1 )
+ ( 3z - 1 )
+ zw = 0
dz
dz
2
æ
ö
2
÷
d w çç 1 + z
÷
÷
+ ç
w = 0
÷
çç 2z 1 - z 2 ÷
dz 2
)÷ø
è (
2
2
d y
dy
+ p (z ) + q (z )y = 0
dz
dz 2
é
1 2 1 ù
+ êq - p - p ¢úu = 0
êë
4
2 ú
dz 2
û
d 2u
次の変換をつかえばよい
ìï z
ü
ïï
ïï 1
u (z ) = exp í ò p (z )dz ïý y (z )
ïï 2
ïï
ï
îï
þ
変換しても基本解の比は保存
• 基本解
y1, y 2
u1 , u 2
y 1 (z )
y 2 (z )
=
u1 (z )
u 2 (z )
ìï z
ü
ïï
ïï 1
u (z ) = exp í ò p (z )dz ïý y (z ) であるから
ïï 2
ïï
ï
îï
þ
2
æ
ö
d 2w çç 1 + z 2 ÷
÷
÷w = 0
+ ç
ç
2
2 ÷
dz
÷
çè 2z (1 - z )÷
ø
t (z ) º
K * (z )
K (z )
=
の基本解を
v (z )
k, k * に関する第一種完全楕円積
u (z )
分の値の比
2
é
2 ù
1ê 1+ z ú
t
z
,
z
=
{ ( ) }
ê
ú
2 êz (1 - z 2 ) ú
ë
û
2
é
ù
2
ö
¢
¢
t ¢¢¢ 3 æ
t
1
1
+
z
ê
ú
÷ =
- çç ÷
ê
ú
÷
÷
t ¢ 2 çè t ¢ø
2 êz (1 - z 2 ) ú
ë
û
2
u, v
2
é
ù
ìï a t (z ) + b ü
ïï
1 ê 1 + z2 ú
ï
,z ý = ê
í
ú
2
ïï c t (z ) + d ïï
î
þ 2 êëz (1 - z ) ú
û
w (z ) =
aK * (z ) + bK (z )
cK
*
(z ) + dK (z )
2
é
ù
2
ö
¢
¢
w ¢¢¢ 3 æ
w
1
1
+
z
ê
ú
÷ =
- çç ÷
ê
ú
÷
÷
w ¢ 2 çè w ¢ø
2 êz (1 - z 2 ) ú
ë
û
2
も同一の微分方程式を満たす
基本解 u が満たす微分方程式
2
æ
ö
2
÷
d w çç 1 + z
÷
÷w = 0
+ ç
ç
2
2 ÷
dz
÷
çè 2z (1 - z )÷
ø
2
t (z ) º
K * (z )
K (z )
=
の基本解を
v (z )
u (z )
dt
v ¢u - vu ¢
c
=
=
dz
u2
u2
(v ¢u -
u ¢v )¢ = v ¢¢u - u ¢¢v = 0
u, v
変換された非線形微分方程式
dt
c
=
dz
u2
zÞ t
æu t
ut t
- 2 ççç
çè u
u
2
æ
ö 4
2
ö
÷
çç 1 + z
u
÷
÷
÷
÷
+ ç
= 0
÷
÷
çç 2z 1 - z 2 ÷
÷
ø
)÷ø c
è (
2
2
é
ù
2
d 2u
ê 1+ z
ú
+ ê
úu = 0
2
2
ê2z (1 - z ) ú
dz
ë
û
du
du d t
c
=
= ut
dz
d t dz
u2
d u
d uæ
dt
ç
=
ç
2
2ç
dz
d t è dz
2
2
2
2
2
2
ö
du
d
t
c
2
c
÷ +
÷
= ut t
- ut
÷
÷
ø
d t dz 2
u4
u5
Halphenシステム
• 部分分数表示
2
æ
ö
4
÷
æu t ö
ç
ut t
1
1
1
2
u
÷
÷
ç
÷
- 2 ççç ÷
+ çç +
+
+
= 0
÷
÷
÷
2
2
2
2
2
÷
çè u ø
çç z
u
(1 - z ) (1 + z ) (1 - z )ø÷÷ 4c
è
2
X0 =
ut
u
1 u2
X2 =
u
z - 1 2c
ut
1 u2
X1 =
u
z 2c
ut
X3
1 u2
=
u
z + 1 2c
ut
得られたHalphen システム
d (X 1 - X 0 )
dt
d (X 2 - X 0 )
dt
d (X 3 - X 0 )
dt
= X 12 - X 02
= X 22 - X 02
= X 32 - X 02
これからSchwarz 導関数を用いた微分方程式ができる
• Yousuke Ohyama,
Systems of Nonlinear Differential
Equations Related to Second Order Linear
Equaiotns, Osaka J. Math. 33 (1996), 927-949.
• Zeev Nehari,
Conformal Mapping, Dover
• 難波誠, 複素関数三幕劇 朝倉書店
• Thank You for your Patience
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