スライド 1

小暮研究会1;数理ファイナンス
大竹哲弘
今日の目標
• マルチンゲールモデルに関する表現定理を
理解し、マルチンゲールである事を示して
ストラテジーを求める
1
マルチンゲール表現定理
2
マルチンゲール表現定理はU tが １ ,  2  tに関してマルチンゲールならば、
ある賭け方のストラテ
ジー( f1 , f 2 (1 ), f t (1 ,  2 ,,  t 1 ))が存在して、
U t  U 0  f11  f 2 (1 ) 2    f t (1 ,  2 ,,  t 1 ) t
と表せる事が出来る。
抑えるべきポイント
3
定理1.3.1 Uｔがξ1、ξ2、・・・、
ついて、
に関してマルチンゲールならt>sであるsに
t
E(Ut )  E(U S )
マルチンゲールを
示す際に使用
（教科書p.21参照)
これらを踏まえて練習1.4.1
4
例題1.4.1
U t  Z t2  t　は 1 ,  2  tに関するマルチンゲールである事
を示し、ストラテジー
( f1　, f 2 (1 ), f t (1 ,  2  t 1 )を求めよ。
E (U t 1 | 1 ,  2 ,  ,  t )  U tであることを示す。
E (U t 1 | 1 ,  2 ,  ,  t )  E ((Z t   t 1 ) 2  (t  1) | 1 ,  2 ,  ,  t )
 E ( Z t2  2 t 1Z t  ( t 1 ) 2  (t  1))
 Z t2  2 E ( t 1 ) Z t  E (( t 1 ) 2 )  (t  1)
 Z t2  0  1  t  1
 Z t2  t  U t
これらを踏まえて練習1.4.1
5
f t (1 ,  2  t 1 )を求める
Ｕｔ  U t 1
t



( Z t2  t )  ( Z t21  (t  1))
t
((Z t 1   t ) 2  t )  ( Z t21  (t  1))
t
( Z t21  2 t Z t 1   t2 )  t  Z t21  t  1
t
 2 Z t 1
1
 t   を代入
 1
例題1.4.2
6
aを定数とする U t  e aZ t   t が 1 ,  2  tに関してマルチンゲール
であるように を で示し、その時のスト
ラテジーを求めよ
解
E (U t 1 | 1 ,  2  t )  U tとなるように
を求める
E (U t 1 | 1 ,  2  t )  E (e aZ t 1   ( t 1) | 1 ,  2  t )
 t 1  
| 1 ,  2  t )
 U t E (e
 U t e   E (e


e

e
 U t e 
2
 t 1
| 1 ,  2  t )
これがeβになればOK!
例題1.4.2
7
a
e e
e e
e 
より   log
2
2
ストラテジーは
a

U t 1  U t
 t 1

a
a
(et 1    1)U t
 t 1
2
 (e  
 1)U t

e e
e  e 
 
Ut

e e

マルチンゲール表現定理②；離散確立積分
U tをランダムウォーク
9
Z tで表してみる
U t  f11  f 2 (1 ) 2    f t (1 ,  2 ,  ,  t 1 ) t
 f1 ( Z1  Z 0 )  f 2 ( Z1  Z 0 )(Z 2  Z1 )  
 f t ( Z1  Z 0 , Z 2  Z1 , , Z t 1  Z t  2 )(Z t  Z t 1 )
 g1 ( Z1  Z 0 )  g 2 ( Z1 )(Z 2  Z1 )  
 g t ( Z1 , Z 2 ,  , Z t 1 )(Z t  Z t 1 )
t
  g i ( Z1 , Z 2 , , Z i 1 )(Z i  Z i 1 )
i 1
１次元非対称ランダムウォークのマルチンゲール表現定理
U t  f1 (1  ( p  q))  f 2 (1 )( 2  ( p  q)  
 f t (1 ,  2 ,t 1 )(t  ( p  q))
10
例題1.4.3
11
U t  Z t2  2tZ t ( p  q)  (1  ( p  q) 2 )t  ( p  q) 2 t 2は、
1 ,  2 ,,  tに関してマルチンゲールである事を示し、
賭け方のストラテジー ( f1 , f 2 (1 ),, f t (1 ,  2 ,,  t )を求めよ。
まず、 E (U t 1 | 1 ,  2 ,,  t )  U t である事を示す。
E (U t 1 | 1 ,  2 ,,  t )  E ((Z t   t 1 ) 2  2(t  1)( p  q)(Z t   t 1 )
 (1  ( p  q) 2 )(t  1)  ( p  q) 2 (t  1) 2 | 1 ,  2 ,,  t )
 E ( Z t2  2 t 1 Z t   t21  2(t  1)( p  q) Z t  2(t  1)( p  q) t 1
 (1  ( p  q) 2 )(t  1)  ( p  q) 2 (t  1) 2 | 1 ,  2 ,,  t )
 Z t2  2(t  1)( p  q) Z t  (1  ( p  q) 2 )(t  1)  ( p  q) 2 (t  1) 2 
E (2 t 1 Z t   t21  2(t  1)( p  q) t 1 | 1 ,  2 ,,  t )
 Z t2  2(t  1)( p  q) Z t  (1  ( p  q) 2 )(t  1)  ( p  q) 2 (t  1) 2 
2( p  q) Z t  ( p  q)  2(t  1)( p  q) 2
 Z t2  2tZ t ( p  q)  (1  ( p  q) 2 )t  ( p  q) 2 t 2
 Ut
E(ξt+1)=p-q
E((ξt+1)2)=p+q=1
例題1.4.3
次にストラテジーだが
12
、これも基本的に対象の例題と同じようにし
て解く。
U t 1  U t
 t 1  ( p  q)
( Z t   t 1 ) 2  2(t  1)( p  q)(Z t   t 1 )  (1  ( p  q ) 2 )(t  1)  ( p  q ) 2 (t  1) 2

 t 1  ( p  q )
 ( Z t2  2tZ t ( p  q )  (1  ( p  q) 2 )t  ( p  q ) 2 t 2 )
 t 1  ( p  q )
 2 Z t  2( p  q )(t  1)
よって賭け方のストラ
f t  2 Z t 1  2( p  q )t
テジーは

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