大学院物理システム工学専攻2004年度固体材料物性第7回

大学院物理システム工学専攻2004年度
固体材料物性第8回
－光と磁気の現象論(3)－
佐藤勝昭
ナノ未来科学研究拠点
復習コーナー
第7回に学んだこと

光の伝搬とマクスウェルの方程式
– 固有解：波動解、固有値：複素屈折率

ファラデー配置の場合の固有値と固有状態
– ２つの固有値と対応する固有状態（円偏光）

フォークト配置の場合の固有値と固有状態
– 磁気誘起の複屈折

ファラデー効果の現象論
– ファラデー効果と誘電率テンソル
マクスウェル方程式をEとHで表す


簡単のため， J=0と置く。[伝導電流を分極
電流（変位電流）の中に繰り込む]
BとH、DとEの関係式
B  μ0 H
D~
εε E
0
を代入して、
H
rot E    0
t
E
~
rot H  ε  0
t
(3.18)
誘電率テンソル
平面波の解を仮定する





波数ベクトルKとして
E  E 0 exp(it )  exp(iK  r )
H  H 0 exp(it )  exp(iK  r )
(3.19)
ここにＥ0，Ｈ0は時間や距離に依存しない定数ベクトルで
ある。この式を式(3.18)に代入すると、
K  E  ωμ0 H
K  H  ω~
ε ε0 E
となる。
固有方程式


両式からHを消去し、
固有方程式として
~
(E  N ) N  N E   E  0
2
が得られる。問題3.1参照
ファラデー配置の場合(=0)

磁化がz軸方向にあるとして、z軸に平行に進む波(N
//z)に対して式(3.21)は
E  E0 exp{i (t  Nz / c)}

と表される。固有方程式(3.22)は
 N 2   xx

  xy

0


  xy
N 2   xx
0
0  E x 
 
0  E y   0

  zz  E z 
と書ける。この方程式がE0の解をもつためには、上式
においてEの係数の行列式が0でなければならない。こう
して次の永年方程式を得る。(問題3.2参照)
永年方程式


N 2   xx
  xy
0
 xy
N 2   xx
0
0
0
  zz

（３．２５）
これより、N2の固有値として２個の値
N 2    i （３．２６）


0
xx
xy
を得る。これらの固有値に対応する固有関数は、
E0
N
E 
(i  ij ) exp{i(t 
z)
2
c
（３．２７）
E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応する。
フォークト配置の場合



N2の固有値として
N1   xx 
2
2
 xy
 xx
および N 2  
2
zz
という２つの解を得る。 N1およびN2に対応する固
有関数は

 N 
E1  A exp  i  t  1 x   xy i   xx j
c 






 N 
E 2  B exp  i  t  2 x k
c 



(3.33)
となり、複屈折を生じる。(コットンムートン効果)
3.3のまとめ

光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述す
ると，磁化された等方性物質の屈折率Nは
N 2   xx  i xy で与えられる２つの固有値をとり，
それぞれが右円偏光および左円偏光に対応
する．（ここに，εxxは誘電テンソルの対角成
分，εxyは非対角成分である．）もし，εxyが０で
あれば，円偏光は固有関数ではなく，磁気光
学効果は生じない．
磁気光学の式
Nˆ  Nˆ   Nˆ    x x  i x y   x x  i x y  i
xy
 xx
Nˆ 
i  x y
F  




 xx
 (xy1) M
i



 (xx0)  12  (xx2) M 2
磁気光学効果には対角・非対角両成分が寄与
磁気光学Kerr効果

1.
2.
反射の磁気光学効果を磁気光学カー効果
(MOKE)という
通常の反射の法則を導く：電界に対する反
射率＝複素振幅反射率(Fresnel係数)
右回り円偏光に対するFresnel係数と左回
り円偏光に対するFresnel係数の差を考え
る。位相の差からKerr回転が振幅の差から
Kerr 楕円率が導かれる。
斜め入射の場合の反射

反射は界面における電
磁波の伝搬の境界条
件により決められる。
Kのx成分の連続性
K0sin0=K1sin1
＝K2sin 2
これよりSnellの法則が
導かれる。
 0  1
sin 2 K 0
1
N1



sin 0 K 2
 2 N2
法線
1 
K0
n02
E1p
E0p
0
K１
Ｘ
１
Ｙ
２
 2  n  i 2
Ｚ
E2p
K２
1  n02
電界と磁界の界面における連続
性
E0 x  E0P cos 0 , E0 y  E0S
一方、磁界のx成分、y成分についての連続の式
H
E1x   E1P cos 0 , E1 y  E1S
E2 x  E2P cos 2 , E2 y  E2S
電界のx成分、y成分の連続性より
E

P
P

E
0
1 cos 0
E0S  E1S  E2S

P
P

H
0
1 cos 0
H 0S  H1S  H 2S
 E2P cos 2
 H 2P cos 2
HS＝(K/0)ＥP、HP＝－(K/0)ESによって
電界についての式に書き直す

K E

 K E
K0 E0S  E1S cos 0  K1E2S cos 2
0
連立方程式を解く
P
0
 E1P
P
2 2 cos 2
複素振幅反射率(Fresnel係数)
P偏光の反射
E1P K 2 cos 0  K 0 cos 2
rp  P 
K 2 cos 0  K 0 cos 2
E0

S偏光の反射
K 22 cos 0  K 02 K 22  K 02 sin2  0
K 22 cos 0  K 02 K 22  K 02 sin2  0

tan 0   2 
tan 0   2 
E1S K 0 cos 0  K 2 cos 2
rs  S 
K 0 cos 0  K 2 cos 2
E0

K 0 cos 0  K 22  K 02 sin2  0
K 0 cos 0  K 22  K 02 sin2  0

sin 0   2 
sin 0   2 
ここに、ｒp＝|ｒp|ｅiδp、ｒs＝|ｒs|ｅiδsである。
エリプソメトリ(偏光解析）
rs
cos( 0  2 ) rs


exp(i )  tan  exp(i )
rp
cos( 0  2 ) rp



 azimuth (方位角)
 phase (位相差)
反射は方位角と位相差=p-sによって記述できる。反射
光は一般には楕円偏光になっているが、そのｐ成分とｓ成分
の逆正接角と位相差を測定すればrが求められる。（測
定には1/4波長板と回転検光子を用いる。）この方法を偏光
解析またはエリプソメトリという。
P偏光反射率とS偏光反射率

第１の媒体が真空、第２の媒体の複素屈折
率がNの場合
Rp 
Rs 
N 2 cos 0  N 2  sin2  0
N cos 0  N  sin  0
2
2
2
cos 0  N 2  sin2  0
cos 0  N  sin  0
2
2
2
2
入射角に依存する反射率

Ｐ偏光とS偏光で
は反射率の入
射角依存性が
異なる。
反射と偏光：Brewster角

tan 0  2 
Rp 
tan 0   2 
sin 0  2 
Rs 
sin 0   2 
2
2


もし、ψ0＋ψ2＝π/2であれ
ば、tanが発散するため、
Rpは0となる。
このとき、反射光はS偏光
のみとなる。
このときの入射角を
Brewster angleという。
垂直入射のFresnel係数

垂直入射の場合、0＝0、従って1＝0。この
とき電界に対するFresnel係数rとして、
K 2  K0 N  1
r  rp 

K2  K0 N  1 （媒質1が真空のとき）
を得る。これより、
N  1 n  i  1
r

 R exp(i )
N  1 n  i  1
垂直入射の光強度反射率と位相

R＝r*r=|r|2は光強度の反射率、は反射の
際の位相のずれ
R
(1  n)2   2
(1  n)  
 2
  tan1 2
n   2  12
2
2
n

1 R
1  R  2 R cos
2 R sin
1  R  2 R cos
反射率と位相

Kramers-Kronig(クラマースクローニヒ）の関係

ln R()

 ( )  P  2
d

2
 0   

Kramers-Kronig の関係

応答を表す物理量の実数部と虚数部の間に
成立（Pは積分の主値を表す。）
 ij ( )  1 
2

P 0
x ij ( )

d

2

 2  
2   ij ( )
 ij ( )  
P 0 2
d 
2

  
   f ( )
   f ( )
f ( )
P 2
d   lim 
d   lim 
d 
2
2
2
2
2
 0 0    
 0 0    
0  

KK変換の微分性

第２式を部分積分すると

  
1     d ij ( x)
 ij ( )   ln
 ij ()  P  ln
dx
   
 0    dx
0
1


右辺の第１項は0であるから、結局第２項のみとなる。
はx～付近で大きい値をとるので、“は‘の微分形
に近いスペクトル形状を示すことになる。
'がピークを持つでは"は急激に変化し、'が急激
に変化する付近で"は極大（または極小）を示す．
K-K関係の数学的説明



線形応答関数f (ω)が、図に示すωの複素平面の上半面内で
正則、かつ上半平面で |ω|→∞において|f(ω)|→0、さらに実
数ωに対しf'(-ω)=f'(ω)、f"(-ω)=-f"(ω)であるような性質を
持っておればよい。このような条件が成り立つとき、コーシー
の積分公式によって
πif(ω)=∮dω'f(ω')/(ω'-ω)
が成立する。
つづき


f(ω)=f'(ω)+if"(ω)を代入し、両辺の実数部、
虚数部がそれぞれ等しいとおくことによって
導くことができる。
ωの複素平面の上半面内で正則、かつ、上
半平面で|ω|→∞において|f(ω)|→0という条
件は、t=0において外場が加えられたときの
応答はt>0におきるという因果律に対応して
いる。
Kerr効果
K  
   
2


2
r  r
1 r 1 R
K 


r  r
2 r
4 R

磁気カー回転角Kと磁気カー楕円率Kをひ
とまとめにした複素カー回転K

r
rˆ
1  rˆ 
 K   K  i K  
i
 i
 i ln 
2
2r
2rˆ
2  rˆ 
複素カー回転
K 

 xy
1   xx 
 xx
この式から，カー効果が誘電率の非対角成
分xyに依存するばかりでなく，分母に来る対
角成分x xにも依存することがわかる．この
式の対角成分x xを光学定数n, によって
表すと，
Kerr効果と誘電率
 K  n0
 K  n0




n n02  n 2  3 2  x y   n02  3n 2   2  xy


n


2 2
2 2
2
2

n    n0  n    4n0 


  n02  3n 2   2  x y  n n02  n 2  3 2  xy
2
2
2




2 2
2 2
2
2

   n0  n    4n0 


2

第８回の問題

反射の際に偏光選択性が生じることの理由
を考えよ。

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