極限と微分 - 雑多なコケ

極限と微分
２０１０年河合塾立川校
ogose
shigeki
By 生越茂樹
http://mixedmoss.com
目次
1.
2.
3.
4.
5.
三角関数の極限
指数関数，対数関数の極限
主要部分に注目すること
ロピタルの定理
n次近似式(Taylor展開)
0. 極限の確認テスト
1 ( x  0)
1 f ( x)  
のとき, lim f ( x) を求めよ.
x0
2 ( x  0)
2
(1) lim
 0
sin 

(2) lim
 0
1- cos 
2
eh  1
3 (1) lim
h 0
h
log(1  t )
(2) lim
t 0
t
1
t
x
(3) lim (1+t)
t 0
 1
(4) lim  1  
x 
x

 1
(5) lim  1  
x - 
x

x
確認テスト解答
1 lim f ( x ) は, x が a 以外の値をとりながら，
xa
y
a に限りなく近づいた時の値だから，
2
lim f ( x )=1
1
x 0
０
x
±0.1
f ( x) 1
±0.01
±0.001
±0.0001
±0.00001
1
1
1
1
x
2 (1) lim
 0
sin 

=1
eh  1
3 (1) lim
1
h 0
h
(2) lim
 0
1- cos 
2
1
=
2
log(1  t )
(2) lim
1
t 0
t
1
t
(3) lim(1  t )  e
t 0
x
 1
(4) lim  1    e
x 
x

x
 1
(5) lim  1    e
x - 
x

1.三角関数の極限
(1) lim
 0
sin 

=1 (公式)
(2)lim
1- cos
 0
2
1
= (準公式)
2
A(1,0)　から  rad 回転した点を P( cos  , sin  )
Pから , x軸に下ろした垂線の足を Hとすると，
PH  sin  , 弧AP=
PがAに限りなく近づく時，PH と弧AP
の長さの比は限りなく１に近づくので，
lim
 0
sin 

=1
sin.geo
lim
 0
1  cos 
2
(1  cos  )(1+ cos  )
= lim
 0
 2 (1+ cos  )
sin 
= lim 2
 0  (1+ cos  )
2
1
1
  
=
·
= lim 

 0 sin 
 1+ cos  2

2
(1) lim
 0
sin 

=1
(2)lim
1- cos
 0
2
1
=
と近似式
2
  0 のとき ,
sin 
 1 – sin    ,

1  cos  1
1 2
1 2
 – 1  cos    – cos   1  
2

2
2
2
即ち，
  0 のとき ,
sin    ,
1 2
cos   1  
2
  0 のとき, sin   
例えば，  30のとき，
 3.14




=0.52

6
6

sin   sin  = 1  0.5

6 2
1 2
  0 のとき , cos   1  
2
例えば，  30のとき，
 1 2 1    2 1  3.14  2 1
1
2





0.5
2
=
 0.2704=0.135

 


2
2 6
2 6 
2
2


3
1.732

1  cos   1  cos 6 =1  2  1  2 =0.134
cos&ex.mn
演習1
sin 3x
x 0 sin x
1 lim
sin (2sin 3x )
2 lim
x 0
x
cos x
3 lim 2
x 0 x
cos 3x  cos x
4 lim
x 0
x2
sin 3x
3
sin 3x
1 3
3
x
1 lim
 lim

3
x 0 sin x
x 0
sin x
1
x
[直感的説明]
  0 のとき , sin    だから，
x  0 のとき，sin 3x  3x, sin x  x
よって，x  0 のとき ,
sin 3x 3x

3
sin x
x
練習1_1.gb
sin (2sin 3x )
sin (2sin 3x ) 2sin 3 x
2 lim
 lim
·
·3  1·2·3  6
x 0
x 0
x
2sin 3x
3x
[直感的説明]
  0 のとき , sin    だから，
x  0 のとき，sin(2sin 3x )  2sin 3 x  2·3 x  6 x
よって，x  0 のとき ,
sin (2sin 3x ) 6x

6
x
x
cos x
3 lim 2 = 
x 0 x
(
x  0 のとき，分母  + 0, 分子  1 )
【注】 x  0 の極限では ,
cos x は「 1  cos x」の形で考えることが多い
練習1-3.geo
cos 3x  cos x
(1  cos x )  (1  cos 3x )
4 lim
 lim
2
x 0
x 0
x
x2
1  cos x
(1  cos x )(1  cos x )
sin 2 x
1
lim
 lim
 lim 2
=
2
2
x 0
x 0
x 0 x (1  cos x )
x
x (1  cos x )
2
1  cos 3x
1  cos 3 x
1
9
lim
 lim
·9 ·9
③
2
2
x 0
x 0
x
(3x )
2
2
ゆえに， lim
x 0
cos 3 x  cos x
x
2
1
9
2
2
= 
 4
1 2
[直感的説明]   0 のとき , cos   1   だから，
2
1 2
1
9 2
2
x  0 のとき，cos x  1  x , cos 3x  1  (3 x )  1  x
2
2
2
 9 2  1 2
1  x   1  x 

cos 3x  cos x  2   2  4 x 2
ゆえに，

 2  4
2
2
x
x
x
①
②
2.指数関数の極限
ex  1
(1) lim
=1
x 0
x
1
t
(3) lim(1  t )  e
t 0
log(1  t )
(2) lim
=1
t 0
t
x
 1
(4) lim  1    e
x 
x

「 y  a x の A(0,1)に於ける接線の傾きが　1」
となる底 a を e と定める.　即ち f ( x)  e x と置くと ,
f '(0)  1 –
f (h )  f (0)
lim
1 –
h 0
h
eh  1
lim
1
h 0
h

exの極限3
cos&ex.m
exの極限.geo
「 y  e xと y  log x は y  x に関し対称」だから，
y  log x と y  x  1 は点(1,0)で接する．
さらに「 y  log x を x軸方向に( 1)平行移動すると y  log(1  x )」だから，
y  log(1  x )と y  x は原点で接する．ゆえに g ( x )  log(1  x ) とおくと，
g ( h )  g (0)
log(1  h )
g '(0)  1 –
lim
 1 – lim
1
h 0
h

0
h
h

exとlogxの極限.geo
logxの極限
e x ,log x の「極限」と「近似式」の関係
ex  1
(1) lim
=1
x 0
x
log(1  x )
(2) lim
=1　x 0
x
x  0 のとき，
ex  1
log(1  x )
 1.　1
x
x
だから，
x  0 のとき， e x  1  x,
log(1  x)  x
同値性の証明
eh  1
lim
=1 –
h0
h
log(1  t )
lim
=1　–
t 0
t
x
1
t
lim(1  t )  e –
t 0
 1
lim  1    e
x 
x

eh  1  t とおくと，「 h  0 のとき，t  0」「
, h  log(1  t )」だから，
eh  1
lim
1 –
h0
h
lim
t 0
t
1 –
log(1  t )
lim
t 0
log(1  t )
1
t
また, log x は log e x の略だから ,
log(1  t )
lim
1 –
t 0
t
さらに x 
1
t
1
t
lim loge (1  t )  1 –
t 0
1
t
とおくと， lim(1  t )  e –
t 0
1
t
lim(1  t )  e
t 0
x
 1
lim 1    e
x
x

指数・対数関数の微分
f ( x )  e x , y  f ( x )上の点を P(a, ea )とすると，Pに於ける接線の傾きは，
h
f (a  h)  f (a )
ea h  ea
a e 1
f '(a )  lim
 lim
 lim e ·
 ea  (Pのy成分)
h0
h0
h0
h
h
h
次に Pを y  x に関し対称移動した点を
Qとすると Q(ea , a). Qは y  log( x)上にあり，
(Qに於ける接線の傾き )
1

(Pに於ける接線の傾き )　1
 a
e
1

Qの x成分
よって, ( log x ) 
1
x
exとlogxの微分.geo
演習2-1
e3 x  1
1 lim
x 0
x
log (1+3x )
2 lim
x 0
x
5x  1
3 lim
x 0
x
e x sin x  1
4 lim
x 0 x log(1  x )
log(cos x )
5 lim
x 0
x2
演習2-1 解答
e3 x  1
e3 x  1
1 lim
 lim
·3  3
x 0
x 0
x
3x
[注] 3x  h とおくと「, x  0のとき h  0」
e3 x  1
eh  1
 lim
 lim
1
x 0
h0
3x
h
[直感的説明]
x  0 のとき , e x  1  x だから， x  0 のとき，e3 x  1  3x
よって，x  0 のとき ,
e3 x  1 3x

3
x
x
log(1  3x )
log(1  3 x )
2 lim
 lim
·3  3
x 0
x 0
x
3x
[注] 3x  h とおくと「, x  0のとき h  0」
log(1  3x )
log(1  h)
 lim
 lim
1
x 0
h 0
3x
h
[直感的説明]
x  0 のとき , log(1  x )  x だから， x  0 のとき，log(1  3x )  3x
よって，x  0 のとき ,
log(1  3x ) 3x

3
x
x
3 5  eloge 5  elog 5 だから ,
5 1
(e )  1
e
1
lim
 lim
 lim
x 0
x 0
x 0
x
x
x
(log 5) x
e
1
 lim
·log 5  log 5
x 0 (log 5) x
x
log 5 x
(log 5) x
[注] log e 5  a とおくと , 対数の定義より ea  5.
すなわち， eloge 5  5
一般に，
a loga M  M
(例 : 5=3log3 5 )
e x sin x  1
e x sin x  1 sin x
4 lim
 lim
·
x 0 x log(1  x )
x 0 x sin x log(1  x )
e x sin x  1 sin x
x
 lim
·
·
x 0 x sin x
x log(1  x )
1
[注] x sin x  h とおくと「, x  0のとき h  0」
e x sin x  1
eh  1
 lim
 lim
1
x 0 x sin x
h0
h
[直感的説明]
x  0 のとき , e x  1  x, log(1  x )  x, sin x  x だから，
x  0 のとき , e x sin x  1  x sin x  1  x 2
e x sin x  1
x2


1
x log(1  x ) x·x
log 1  (cos x  1)
log 1  (cos x  1) cos x  1
log(cos x )
5 lim
= lim
 lim
·
2
2
x 0
x

0
x

0
x
x
cos x  1
x2
ここで， t  cos x  1　とおくと，「 x  0のとき t  0」だから，
log 1  (cos x  1)
log(1  t )
lim
 lim
 1,
x 0
t

0
cos x  1
t
cos x  1
( cos x  1)( cos x  1)
 sin 2 x
1
1
lim
= lim
= lim
·
=
2
2
2
x 0
x

0
x

0
x
x ( cos x  1)
x
cos x  1
2
1
 1
よって (与式)=1·   = 
2
 2
1 2
[直感的説明] x  0 のとき , log(1  x )  x, cos x  1  x だから，
2
1 2
x  0 のとき , log(cos x )  log 1  (cos x  1)  cos x  1   x
2
log(cos x )


2
x

1
2
x2
x2
1

2
2-1. ちょっといいe の話
n
 1
an   1   ( n  1, 2,3,
 n
)とおくと，
3
2
2
4
4
 1  3 9
a2   1        2.25
4
 2 2
1
a1  1   2,
1
3
 1   4  64
a2   1      
 2.37
 3   3  27
625
 1 5
a4   1      
 2.44
256
 4 4
このように an は単調増加する．これを直感的に理解してみましょう .
ちょっといいeの話(Text p7)
演習2-2
 1
1 lim  1  
n 
 n
n
2
 2
3 lim 1  
n
 n
n
 1
2 lim 1  
n
 n
2n
演習2-2 解答
1
2
n
2
n
1


 1
 1
1 lim  1   = lim   1     e 2  e
n 
 n  n   n  
1年金利が100%の銀行に ,
瞬間複利法で半年預けると
 1 
 1
2 lim  1   = lim   1  
n 
n 
 n
 n 
2n
e倍になる
n
2

2

e


1年金利が100%の銀行に ,
瞬間複利法で 2年預けると e2倍になる
2


 

n

1  
 2
2

3 lim  1   = lim  1 

e
 
n 
n  
n
n


 
 
2  


金利200%の銀行に ,
n
2
瞬間複利法で1年預けると e2倍になる
3. 主要部分に注目
必須公式は以上で終わった．
極限でもっとも大切なことは「主要部分に注目すること」
即ち「近似して考えること」．
答は見ただけで求まり，後で真偽を確認する事も多い．
．
[例1] lim ( x 2  3x  x )を求めよ
x 
[直感的解答]
2
3 9

2
x  3x   x    だから , xが非常に大きい時，
2 4

3
2
9

 x   に比べるとは非常に小さいから
2
4

2
即ち
2
3 9
3
3
3


 x      x   = x  =x 
2 4
2
2
2


3
3

2
x  3x  x   x    x 
2
2

3
 lim ( x 2  3x  x )=
x 
2
[例1] lim ( x 2  3x  x )を求めよ
x 
[解答]
lim ( x 2  3x  x )= lim
x 
( x 2  3x  x )( x 2  3x + x )
x 2  3x + x
x 
= lim
3x
x  3x + x
3
3
= lim
=
x 
2
3
1 + 1
x
x 
[Technic] 有理化して,
無限大
無限大
2
無限大
無限大
(＊)
の不定形に直す．　の不定形は，主要部分で分母と分子を割る .
[例1の類題] lim ( x 2  4x + x )を求めよ
x 
[直感的解答]
x  4x 
2
 x  2
2
 4 だから , xが非常に小さい時，
 x  2  に比べると 4 は非常に小さいから
2
 x  2
即ち
2
4 
 x  2
2
= x  2 =  ( x  2)
x 2  4 x  x  ( x  2)  x  2
 lim ( x 2  4x + x )=  2
x 
2 x2  x  4
[例2] lim 2
を求めよ
x  3x  3x  1
[直感的解答]
x  1 のとき， x 2 に比べると x や定数は非常に小さいから
2 x2  x  4 2 x2 2
 2=
2
3x  3x  1 3x 3
[解答]
1 4
 2
2 x2  x  4
2
x
x
lim 2
= lim

x  3 x  3 x  1 x 
3 1
3  2 3
x x
2
x3  2 x2  x
[例3] lim 3
を求めよ
2
x 0 2 x  3x  3 x
[直感的解答]
x  0 のとき， x に比べると x 2 , x 3 は非常に小さいから
x3  2 x2  x
x
1

=

2 x 3  3x 2  3x 3x
3
[解答]
x3  2 x2  x
x( x 2  2 x  1)
x2  2x  1
1
lim 3

lim

l
im


x0 2 x  3x 2  3x
x0 x (2 x 2  3x  3)
x0 2 x 2  3x  3
3
3n 1  2n  1
[例4] lim
を求めよ
n
n
n
3 2
[直感的解答]
n  1 のとき， 3n に比べると 2nや定数は非常に小さいから
3n 1  2n  1 3n 1
 n =3
n
n
3 2
3
[解答]
n
 2 1
3  2 1
3+
+ 
n 1
n


n
3  2 1
 3  3
3
lim

lim
=
li
m
n
n 
n 
n 
3n  2n
3n  2n
2
1  
n
3
 3
n 1
n
n
=3
n 1
1
1
  +3  
3
2


[例5] lim
n
n
n 
1  1
   
 3  2 
[直感的解答]
1
n
n
を求めよ
1
n
n  1 の時，   に比べると   は非常に小さいから
2
 3
n 1
n
n
1
1
1
+3
3
 
 
 
 3
2  2 =3
n
n
n
1
1
1
   
 


   
 
3
2
   
2
[解答]
n 1
n
n
1 2
1
1
·  +3
  +3  
3
2
3 3
lim   n  n  lim  n
=3
n 
n
1  1
2

   
  1
 3  2 
 3
[例6] lim n 3n  2 n を求めよ
n
[直感的解答]
n  1 の時， 3nに比べると 2nは非常に小さいから
n
3n  2n  n 3n =3
[解答]
n
3n  2 n = n
n


2


n
3  1+    =3
  3 


n
2
1+  
 3
n
ここで
2
1< 1+   < 2 だから， n 1=1 <
 3
lim n 2=1 だから , ハサミウチより
n 
n
2
lim n 1+   =1
n 
 3
 lim n 3n +2n =3
n
n
n
n
2
1+   <
 3
n
2
[例7] y  log x と直線x  e, x軸で囲まれた領域を
y軸に平行な直線 x  x1 , x  x2 ,
, x  xn 1 (1  x1  x2 
 xn 1  e)
によって分割し面積を n 等分する． bn
an  x1  1, bn  e  xn 1　とするとき， lim 2 を求めよ．
n  a
n
A(1,0),B( e,0),P( x1 ,0),Q( xn 1 ,0). Aにおける接線は y  x  1.
図の△APP'の面積を S, 長方形QBCQ'の面積を Tとすると，
1 2
練習3-7.geo
S= an , T=bn ①
2
n   のとき，Sは y  log xと x軸, x  x1で囲まれる面積S'と，
Tは y  log xと x軸, x  xn-1 , x  e で囲まれる面積T'に限りなく近づき，
仮定より S'=T'だから ,
T
T S' T'
= lim · · =1.
n  S
n  T' S S'
b
 lim n  1
n  1
an 2
2
b
1
 lim n2 
n  a
2
n
lim
4. ロピタルの定理（2つの無限小の比較)
f ( x ), g ( x ) が x  a を含むある区間で微分可能で, かつ f (a )  g (a )  0 のとき，
lim
xa
無限小
無限小
g ( x)
g '( x )
 lim
f ( x ) xa f '( x )
の比較が，微分を使って出来ると言う定理です．
f '( a )  0　の時は簡単に証明できます．
【証明】 [f '(a )  0のとき ]
g ( x )  g (a )
g ( x)
g ( x )  g (a )
g '(a )
x

a
lim
 lim
 lim

xa f ( x )
xa f ( x )  f ( a )
xa f ( x )  f ( a )
f '( a )
xa
x 1
(1) lim
を求めよ
x 1 log x
1
1
f ( x )  log x, g ( x )  x  1 とおくと , f '( x )  , g '( x ) 
x
2 x
f (1)  g (1)  0 だから，
g ( x )  g (1)
1
x 1
g ( x )  g (1)
g (1) 2 1
x

1
lim
 lim
 lim

 
x 1 log x
x 1 f ( x )  f (1)
x 1 f ( x )  f (1)
f (1) 1 2
x 1
【別解】 x  1  t ( x  t  1) とおくと，「 x  1のとき t  0」
lim
x 1
x 1
1 t 1
 lim
t 0 log(1  t )
log x
 lim
t 0
1 t 1 1 t 1
t
1
1
·
 lim
·

log(1  t ) 1  t  1 t 0 log(1  t ) 1  t  1 2
(2) lim
 0
f ( )   2 ,
1  cos

2
を求めよ
g ( )  1  cos  とおくと , f '( )  2 , g '( )  sin 
f (0)  g (0)  0 だから，ロピタルの定理より
1  cos 
(1  cos  )'
1 sin  1
lim
=
lim
=
lim
·
=
2
2
 0


0


0

( )'
2 
2
  sin 
(3) lim
を求めよ
3
 0

0
の不定形だから , ロピタルの定理より ,
0
  sin 
(  sin  )'
1  cos 
lim
= lim
= lim
3
3
 0


0
 0

( )'
3 2
(1  cos  )'
1 sin  1
= lim
= lim ·
=
2
 0


0
(3 )'
6 
6
lim
 0
1  cos
2
sin 
=lim
の証明
 0 2
ロピタルの定理.geo
x  t2

で表される曲線K上に点P( 2 ,1- cos  )(  0)をとると，
 y  1- cos t
平均値の定理より，
直線OP // 点Cに於ける接線
(*)
となる点C( c 2 ,1- cos c ) (但し c は 0と  の間)が，K上に存在する．
dy
dy dt sin t
=
=
だから (*)より，
dx dx 2t
dt
1  cos  sin c
=
(**)
2

2c
「   0のとき c  0」だから，
1  cos 
sin c
lim
 lim
2
 0
c 0 2 c

演習4. ロピタルの定理
e  (1  x )
(1) lim
x 0
x2
x
e x +e  x  2
(2) lim
x 0
x2
e  (1  x )
(1) lim
 lim
2
x 0
x 0
x
x
x
e
  (1  x)'
( x2 ) '
1 ex  1
 lim ·
x 0 2
x
1

2
e x  (1  x ) 1
[注 ] lim
 だから，
2
x 0
x
2
e x  (1  x ) 1
x  0 のとき

2
x
2
即ち
1
x  0 のとき e x  1  x + x 2 ( e xの２次の近似式)
2
e x  1  x
( e xの 1次の近似式)
e x +e  x  2
(e x +e  x  2)'
(2) lim
 lim
2
x 0
x 0
x
( x2 ) '
e x  e x
 lim
x 0
2x
(e x  e x ) '
 lim
x 0
(2 x ) '
e x  e x
 lim
1
x 0
2
2
 e 1 1 2
e + e 2
e + 1  2e
【別解】 lim
= lim
lim 
· x =1  1

2
2 x
x 0
x

0
x

0
x
xe
 x  e
x
x
2x
x
x
[注意]　x  0 のとき e x  1  x だから，
e x + e  x  2 (1  x )  (1  x )  2 0

 2  0　[誤り ]
2
2
x
x
x
分母は x 2 と同じ程度の無限小なので，
分子も 2次式で近似しないといけない．
1 2
x  0 のとき e  1  x + x だから，
2
1 2 
1

2
1  x  x   1  x  ( x)   2
x
x
2

e + e 2 
x
2  
2


= 2 1
2
2
x
x
x
x
５. n次近似式(Taylor展開)
[1次近似] f ( x )  f ( a )  f '( a )( x  a )
f ' '( a )
[2次近似] f ( x )  f ( a )  f '( a )( x  a )+
( x  a)2
2!
f ' '( a )
f ' ''(a )
[3次近似] f ( x )  f ( a )  f '( a )( x  a )+
( x  a)2 +
( x  a)3
2!
3!
f ' '( a )
[n次近似] f ( x )  f ( a )  f '( a )( x  a )+
( x  a)2 +
2!
f ( n ) (a )

( x  a )n
n!
[但し， f ( n ) ( x )は f ( x )を n 回微分した式 ]
特に a  0 のときは，次のようになります．
[1次近似] f ( x )  f (0)  f '(0) x
f ' '(0) 2
x
2!
f ' '(0) 2 f ' ''(0) 3
[3次近似] f ( x )  f (0)  f '(0) x +
x +
x
2!
3!
f '(0) 2 f '''(0) 3
[n次近似] f ( x )  f (0)  f '(0) x 
x 
x 
2!
3!
f ( n ) (0)

n!
[2次近似] f ( x )  f (0)  f '(0) x +
5-1．1次近似は接線
f ( x )が x  a で微分可能 –
故に x  a のとき，
f '( a )  lim
x a
f ( x )  f (a )
が存在する
xa
f ( x )  f (a )
 f '( a )
xa
即ち x  a のとき， f ( x )  f (a )  f '( a )( x  a ) 1次近似式は
y  f ( x )上の点(a, f (a ))における接線
y  f (a )  f '(a )( x  a ) (*)
の式と一致する．
微分は, 1次近似(直線近似)
 x ( x  0 のとき )
f ( x ) | x | 
とすると，
  x ( x  0 のとき )
f ( h )  f (0)
|h|
h

 lim
 lim  1,
 hlim
0
h

0
h
h h0 h

 lim f ( h )  f (0)  lim | h |  lim h  1
h 0 h
h 0 h
 h0
h
f ( h )  f (0)
f '(0)  lim
が存在しないので　x  0 で微分可能でない．
h 0
h
図形的には,
「 x  0 の近くでは, グラフをどんなに拡大しても，
一定の直線に近づかない」
Taylor.mn
5-2．n次近似の例(原点の周りの展開)
f '(0) 2 f '''(0) 3
f ( x)  f (0)  f '(0) x 
x 
x 
2!
3!
f ( n ) (0)

n!
[例1] f ( x )  e x のとき，f '( x )  f ''( x )  f '''( x )  e x だから，
f (0)  f '(0)  f ''(0)  f '''(0)  1
故に
1 2 1 3
x  0 のとき， e  1  x  x  x 
2!
3!
x
【証明】 e xの1次近似は y  1  x. 故に「 e x  (1  x )」は x 2と同程度
(またはより小さい )微小量となるから，x 2との比を取ってみると，
e  (1  x )
lim
 lim
2
x 0
x 0
x
x
x
e
  (1  x)'
( x2 ) '
1 ex  1 1
 lim ·

x 0 2
x
2
2
e x  (1  x ) 1
x
x
ゆえに　x  0のとき，

–
e
1 x 
[2次近似]
2
x
2
2
x2 

x
よって e   1  x + は x 3と同程度以下の微小量となるから ,
2 

x 3との比を取ってみると，
x2 

e  1  x+ 
2 
e x  (1  x )
1 ex  1 1

lim
 lim
 lim ·

3
2
x 0
x

0
x

0
x
3x
6 x
6
2
x


x
e  1  x+ 
2
3
2
1
x
x

  – ex  1  x  +
ゆえに x  0のとき，
x2
6
2 6
x
taylor.mn
f '(0) 2 f '''(0) 3
f ( x)  f (0)  f '(0) x 
x 
x 
2!
3!

f
(n)
(0)
n!
[例2] f ( x )  sin x のとき，
f '( x )  cos x, f ''( x )   sin x , f '''( x )   cos x だから ,
f (0)  0, f '(0)  1, f ''(0)  0, f '''(0)  1
0 2 1 3
故に x  0 のとき， sin x  0  1·x  x 
x 
2!
3!
1 3
x  0 のとき， sin x  x  x 
6
taylor.mn
[証明] ロピタルの定理より
sin x  x
(sin x  x ) '
1 cos x  1 1  1 
1
lim
 lim
 lim ·
 ·     だから，
3
3
2
x 0
x

0
x

0
x
(x )'
3
x
3 2
6
sin x  x
1
1
x  0 のとき , 3
  – sin x  x  x 3
x
6
6
f '(0) 2 f '''(0) 3
f ( x)  f (0)  f '(0) x 
x 
x 
2!
3!

[例3] f ( x )  cos x のとき，
f '( x )   sin x , f ''( x )   cos x だから ,
f (0)  1, f '(0)  0, f ''(0)  1
1 2
故に x  0 のとき， cos x  1  0x 
x 
2!
1 2
x  0 のとき， cos x  1  x 
2
f
(n)
(0)
n!
5-3 定理の証明
【2次の近似式の証明】ロピタルの定理より
f ( x )   f (a )  f '(a )( x  a )
f ( x )  f (a )  f '(a )( x  a ) '

lim
 lim
2
2
x a
x a
( x  a)
(
x

a
)

'
1 f '( x )  f '(a )
 lim ·
x a 2
xa
1
 f (a )
2
よって x  a のとき，
f ( x )   f ( a )  f '( a )( x  a )
f ' '(a )

2
( x  a)
2!
f ' '( a )
 f ( x )  f ( a )  f '( a )( x  a )+
( x  a)2
2!
【３次の近似式の証明】ロピタルの定理より
f ''( a )


f ( x )   f ( a )  f '( a )( x  a ) 
( x  a )2 
2!


lim
x a
( x  a )3
f '( x )   f '( a )  f ''( a )( x  a )
 lim
x a
3( x  a ) 2
1 f ''( x )  f ''( a ) 1
 lim ·
 f '''( a )
x a 6
xa
6
よって x  a のとき，
f ''( a )


f ( x )   f ( a )  f '( a )( x  a ) 
( x  a )2 
2!

  f ' ''( a )
( x  a )3
3!
f ' '( a )
f ' ''(a )
2
 f ( x )  f ( a )  f '( a )( x  a )+
( x  a) +
( x  a)3
2!
3!
おつかれさま．
ここで使ったソフトは Geogebra と言う幾何ソフトと
MuPADという汎用数学ソフトです．
Geogebraの方は無料なのでダウンロードして
遊ぶことも出来ます．
数学を面白いと思うことが上達の早道です．
皆さんも自分なりに少しは楽しみながら数学を勉強していって
下さい．
もしこの授業がその助けになったとしたら幸いです．
生越茂樹

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