2章 確率 2.2 根元事象の数 ■順列(Permutation) 例1 数字 0, 1, 2,~,9 ⇒ 異なる2個 「整数」{ 01, 10, 23, 32, …} 総個数 10 P 2 = 10×9 = 90 例2 アルファベット26文字 ⇒ 異なる3文字 「単語( 意味不問)」 { eat, tea, ear, are, …} 総数 26 P 3 = 26×25×24 = 15,600 n ! P n n 1 n r 1 n ≧ 0 , r 0 , , n n r n r ! r 項の積 階乗(Factorial) n n n ! n 1 2 1 0! 1 ■組合せ(Combination) 例1 オリンピック決勝、10カ国、入賞国の組合せ数: 10 C 3 = 10 P 3 / 3 ! = (10×9×8) / (3×2×1) = 120 例2 52枚のトランプ札、5枚の手札の組合せ数: 52 C 5 = 52 P 5 / 5 ! = (52×51×50×49×48) / (5×4×3×2×1) = 2,598,960 (約260万通り) r項 nn 1 n r 1 n Pr n Cr r! r! n! r ! n r ! n ≧ 0, r 0, , n Pascal 三角形 1 1 1 1 1 1 1 6 2 3 4 5 1 3 6 10 15 左図の値はその左上と右上の和。 0C0 右図は対応する組合せ数: 1 1C0 1C1 n C r (r = 0, … ,n )。 1 4 10 20 2C0 2C1 2C2 3C0 3C1 3C2 3C3 1 5 15 4C0 4C1 4C2 4C3 4C4 1 6 5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5 1 6C0 6C1 6C2 6C3 6C4 6C5 6C6 組合せ数 nCr の性質 性質 1) 左右対称性: n Cr n Cnr 例: 5 C 4 = 5 C 1 = 5 性質 2) 同じ行の漸化式: n Cr n Cr 1 n r 1 / r n ≧1, 例 (n = 6): 6C0 = 1 6C1 = 6C0× 6 / 1 = 6 6 C 2 = 6 C 1 × 5 / 2 = 15 6 C 3 = 6 C 2 × 4 / 3 = 20 r 1,, n 性質 3) 二項定理: C x y y C xy C x n n n 1 n0 n1 n n nn C x y n r rn r r 0 性質 4) 行の和: n 上式で x = 1, y = 1 と置けば n C C C C 2 n rn 0 n 1 n n r 0 例:ポーカー, 5枚の手札が フラッシュ役(全て同種札)の確率 A 2 7 9 Q ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ 1. 標本空間 Ω : 52 C 5 = 2,598,960 個の根元事象の集合。 2. スペードのフラッシュ役の個数: 13 C 5 = 13 P 5 / 5! = (13×12×11×10×9) / (5×4×3×2×1) = 1287 個 3. 求める確率:(全4種) P(フラッシュ) = 4×13 C 5 / 52 C 5 = 4×1287 / 2598960 ≒ 0.002 (約500回に1回). 2.3 独立な事象と条件つき確率 Ω B A A and B 全体の中で B が起きる割合と A の中で B が起きる割合 条件: 同種4枚 異種1枚 の手札。 1枚交換し フラッシュ役になる確率は? P( B | A ) = (13 – 4) / (52 – 5) = 9 / 47 A ≒ 0.19 (約5回に1回) ♠ 2 ♠ 7 ♠ P( A ) = 4×13 C 4×39 C 1 / 52 C 5 = 4×715×39 / 2598960 ≒ 0.043 (約23回に1回) P( A and B ) = P( A ∩ B ) = P( B | A ) P(A) ≒ (9 / 47)×0.043 ≒ 0.0082 (約121回に1回) 9 ♠ J ♠ ↓ K ♥ 条件つき確率 (A の条件下で B が起きる): P A and B P A B P B |A P A P A (一般の)乗法定理: P A and B P A B P B |A P A 例:東京、2日間の昼間の天気 度数(相対度数) R N 計 52 (14%) 69 (19%) 121 (33%) 69 (19%) 174 (48%) 243 (67%) 121 (33%) 243 (67%) 364 (100%) ( R: 雨または雪あり、 N: なし ) 2006年 前日\当日 R N 計 A:「前日 R」 B:「当日 R」 P( B | A ) = P( A and B ) / P( A ) = P( RR ) / P( RR or RN ) = (52 / 364) / (121 / 364) = 52 / 121 ≒ 43 % P( B | not A ) = 69 / 243 ≒ 28 % P( B ) = P( RR or NR ) = 121 / 364 ≒ 33 %
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