２章 確率
2.2 根元事象の数
■順列(Permutation)
例1 数字 0, 1, 2,～,9 ⇒ 異なる2個
「整数」{ 01, 10, 23, 32, …}
総個数 10 P 2 = 10×9 = 90
例2 アルファベット26文字 ⇒ 異なる3文字
「単語( 意味不問)」 { eat, tea, ear, are, …}
総数 26 P 3 = 26×25×24 = 15,600
n
!
P
n
n
1
n
r
1
n
≧
0
,
r
0
,
,
n
n
r
n
r
!
r
項の積
階乗(Factorial)
n
n
n
!
n
1
2
1 0! 1
■組合せ(Combination)
例1 オリンピック決勝、10カ国、入賞国の組合せ数：
10 C 3 = 10 P 3 / 3 ! = (10×9×8) / (3×2×1) = 120
例2 52枚のトランプ札、5枚の手札の組合せ数：
52 C 5 = 52 P 5 / 5 ! = (52×51×50×49×48) /
(5×4×3×2×1) = 2,598,960 （約260万通り）
r項
nn 1 n r 1
n Pr
n Cr
r!
r!
n!
r ! n r !
n ≧ 0, r 0, , n
Pascal 三角形
1
1
1
1
1
1
1
6
2
3
4
5
1
3
6
10
15
左図の値はその左上と右上の和。 0C0
右図は対応する組合せ数：
1
1C0 1C1
n C r (r = 0, … ,n )。
1
4
10
20
2C0 2C1 2C2
3C0 3C1 3C2 3C3
1
5
15
4C0 4C1 4C2 4C3 4C4
1
6
5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5
1
6C0 6C1 6C2 6C3 6C4 6C5 6C6
組合せ数 nCr の性質
性質 1) 左右対称性： n Cr n Cnr 例: 5 C 4 = 5 C 1 = 5
性質 2) 同じ行の漸化式：
n
Cr n Cr 1 n r 1 / r
n ≧1,
例 (n = 6)：
6C0 = 1
6C1 = 6C0× 6 / 1 = 6
6 C 2 = 6 C 1 × 5 / 2 = 15
6 C 3 = 6 C 2 × 4 / 3 = 20
r 1,, n
性質 3)
二項定理：
C
x
y
y
C
xy
C
x
n
n
n
1
n0
n1
n
n
nn
C
x
y
n
r
rn
r
r
0
性質 4)
行の和：
n
上式で x = 1, y = 1 と置けば
n
C
C
C
C
2
n
rn
0
n
1
n
n
r
0
例：ポーカー, 5枚の手札が
フラッシュ役（全て同種札）の確率
A
2
7
9
Q
♠
♠
♠
♠
♠
1. 標本空間 Ω ： 52 C 5 = 2,598,960 個の根元事象の集合。
2. スペードのフラッシュ役の個数：
13 C 5 = 13 P 5
/ 5!
= (13×12×11×10×9) / (5×4×3×2×1)
= 1287 個
3. 求める確率：（全４種）
P(フラッシュ) = 4×13 C 5 / 52 C 5 = 4×1287 / 2598960
≒ 0.002 （約500回に1回）.
2.3 独立な事象と条件つき確率
Ω
Ｂ
Ａ
Ａ and B
全体の中で B が起きる割合と
A の中で B が起きる割合
条件： 同種４枚 異種１枚 の手札。
１枚交換し フラッシュ役になる確率は？
P( B | A ) = (13 – 4) / (52 – 5)
= 9 / 47
A
≒ 0.19 （約5回に1回） ♠
2
♠
7
♠
P( A ) = 4×13 C 4×39 C 1 / 52 C 5
= 4×715×39 / 2598960
≒ 0.043 （約23回に1回）
P( A and B ) = P( A ∩ B ) = P( B | A ) P(A)
≒ (9 / 47)×0.043
≒ 0.0082 （約121回に1回）
9
♠
J
♠
↓
K
♥
条件つき確率 (A の条件下で B が起きる)：
P
A
and
B
P
A
B
P
B
|A
P
A
P
A
（一般の）乗法定理：
P
A
and
B
P
A
B
P
B
|A
P
A
例：東京、2日間の昼間の天気
度数（相対度数）
R
N
計
52 (14%)
69 (19%)
121 (33%)
69 (19%)
174 (48%)
243 (67%)
121 (33%)
243 (67%)
364 (100%)
( R: 雨または雪あり、 N: なし )
2006年
前日＼当日
R
N
計
A:「前日 R」 B:「当日 R」
P( B | A ) = P( A and B ) / P( A )
= P( RR ) / P( RR or RN )
= (52 / 364) / (121 / 364) = 52 / 121
≒ 43 %
P( B | not A ) = 69 / 243 ≒ 28 %
P( B ) = P( RR or NR ) = 121 / 364 ≒ 33 %
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