第 (3) 回 : 記述統計（散布図，相関，回帰，変数の変換と対称化・線形化

経済と経営のための統計学
2015 年度美添泰人
第 (3) 回 : 記述統計（散布図，相関，回帰，変数の変換と対称化・線形化，外れ値）
Reading Assignment : 統計入門 IV 章 1 節と 2 節，3 節は概観だけ
位置の尺度（補足）
(1) 加重（算術）平均：
∑
Wi xi ∑
=
wi xi
x̄w = x̄w = ∑
Wi
∑
∑
ただし Wi > 0, wi = Wi /( j Wj )．このとき i wi = 1 となる
以下の例は Laspeyres （ラスパイレス）価格指数，消費者物価指数の算式．0 時点と 1 時点の
比較．
p,q
p0
p1
q0
q1
A
20
24
3
3
B
30
27
4
5
支出額
C
40
32
3
6
0 時点
1 時点
A
60
72
B
120
135
C
120
192
計
300
399
p1 /p0
w
v
A
120
0.2
0.18
B
90
0.4
0.34
C
80
0.4
0.48
∑ 1 0
∑ 1 0
p i qi
(pi /pi ) · Wi ∑ p1i
i
=
wi 0
PL = ∑ 0 0 = i ∑
pi
i Wi
i p i qi
i
∑
ただし pti , qit は t 時点の価格と数量，Wi = p0i qi0 ， wi = Wi / i Wi とする．
(2) もう一つの物価指数：例は Paasche （パーシェ）価格指数，GDP 物価指数．0 時点と 1 時点
の比較．
{
}−1
∑ 1 1
∑
∑ ( p1 )−1
p i qi
Vi
i
i
i
PQ = ∑ 0 1 = ∑ 0 1
=
vi
p0i
i p i qi
i (pi /pi ) · Vi
i
∑
q q
ただし Vi = pi qi ， vi = Vi / i Vi とする．
（これは加重（調和）平均である）
√∏
∑
xi
(3) 幾何平均：成長率など，対数の平均 log G = ( log xi )/n，すなわち G = n
(∑
)/ ∑
加重平均は log Gw =
wi log xi
wi
(4) 幾何平均：物価指数の例（3 種類の飲料，下の表）で幾何平均と算術平均を比較する．
価格
0 時点
1 時点
2 時点
A
100
50
100
B
100
200
100
C
100
100
100
前期比
A
.5
2
1 時点
2 時点
B
2
.5
C
1
1
(5) 以下の例で平均時速を求めよ．
• 時速 x の算術平均 x̄ = (30 + 60 + 40)/3 = 43.3 は正しくない．
• 平均時速は距離/時間）
例1
1 区間
2 区間
3 区間
時速 x
距離 w
30
60
40
120
120
120
例2
時速 x
距離 w
30
60
40
60
120
80
1 区間
2 区間
3 区間
∑
例 1（同じ距離）
：(120 + 120 + 120)/(120/30 + 120/60 + 120/40) = n/ (1/xi )
∑
∑
例 2（異なる距離）
：(60 + 120 + 80)/(60/30 + 120/60 + 80/40) =
wi / wi (1/xi )
1
(6) 調和平均：逆数の平均．H −1 =
∑
(∑
)/ ∑
/
−1
−1
x−1
n
，加重平均は
H
=
w
x
wi
i
w
i
i
(7) 刈込み平均 (α-trimmed mean)：x̄α ，両端の α ずつを切落した，(1 − 2α)n 個の観測値の平均
(8) 線形変換 y = a + bx と平均，メディアンの関係：ȳ = a + bx̄, My = a + bMx , ȳα = a + bx̄α
ちらばりの尺度
(1) ちらばり：標準偏差 (s.d. : standard deviation) ．s =
∑
(2) ちらばり：平均偏差．d = n1
|xi − x̄|，
√ ∑
1
n
(xi − x̄)2
(3) 平均偏差と標準偏差の意味について，初等的解説
1∑
1 ∑
(4) 分散：s2 =
(xi − x̄)2 ．なお，一般に用いられる定義として s2 =
(xi − x̄)2 （不
n
n−1
√
√∑
偏分散）もある．その場合の標準偏差は s = s2 =
(xi − x̄)2 /(n − 1)
∑
∑
(5) 偏差平方和の別な表現： (xi − x̄)2 =
x2i − nx̄2
∑
∑ 2
(6) 分散の計算法： (xi − x̄)2 =
xi − nx̄2 , 仮平均の利用: {x1 , x2 , x3 } = {100, 100, 101} とし
∑
∑
て，仮平均 m = 100 を用いる．u = x − m について， u2i − ( u)2 /n を計算する例を学ぶ．
1 変数の分析手法（補足）
(1) x を 1 次式で y = a + bx と変換したときの平均，分散，標準偏差:
ȳ = a + bx̄,
s2y = b2 s2x ,
sy = |b|sx
(2) 仮平均の利用: {x1 , x2 , x3 } = {100, 100, 101} として，仮平均 m = 100 を用いる．u = x − m
∑
∑
について， u2i − ( u)2 /n を計算する例で有用性を確かめる．
(3) 標準化（基準化，standardization)：各観測値について z =
z̄ = 0, s2z = 1 を確かめる．
(4) 変動係数 (cv, coeﬃcient of variation)，cv =
x − x̄
と 1 次式で変換する．
s
s
．安定的な散らばりの尺度．品目別価格の変
x̄
動比較・全国物価統計調査の例
http://www.econ.aoyama.ac.jp/~yasuto_yoshizoe/econstat/stat200209.pdf
(5) モーメント， r 次のモーメント（積率）r = 1, 2, · · ·
∑ r/
x n．m′1 = x̄ は算術平均
原点まわりの積率：m′r =
/
∑ i
平均まわりの積率：mr = (xi − x̄)r n．m2 = s2 は分散
(6) 歪み：歪度, skewness：b1 = m3 /s3 （s =
√
m2 は標準偏差）
(7) 尖度, kurtosis ：b2 = m4 /s4 （b2 − 3 を尖度と呼ぶ流儀もあるので注意）
2 変数の分析手法
参考：教科書 IV.1-2，ips chap. 2
(1) 散布図の読み方：1 変数の視点と 2 変数の視点，関係の存在，線形性（非線形性）．
統計入門 IV p. 66–74, ips 2 章 p. 123–145，データの変換（放送大学教材）
http://www.yoshizoe-stat.jp/stat/textbook/transform.pdf
(2) 集計データの散布図とミクロデータの散布図：
「全国消費実態調査の意義と特長 (pdf) 」参照．
2
(3) 相関の概念：正の相関・負の相関，弱い相関・強い相関
∑
(4) 共分散の概念：sxy = (xi − x̄)(yi − ȳ)/n, (n − 1) で割る流儀もある．
(5) 分散と共分散の比較：s2x = sxx （x x の共分散は x の分散）
(6) 相関係数．簡単な定義の例：(n+ − n− )/n
(7) Pearson の相関係数： r = sxy /(sx sy )，線形性と単調性
(8) r の別な表現：x, y を基準化した変数を u = (x − x̄)/sx , v = (y − ȳ)/sy とするとき，u と v の
共分散が r = suv である．これを用いると (u ± v)2 /n = u2 /n ± 2uv/n + v 2 /n = 2(1 ± uv/n) =
2(1 ± r) ≥ 0, だから −1 ≤ r ≤ 1 が分かる．
(9) Spearman の順位相関係数： ρ （順位相関係数には Kendall の相関係数： τ もある．
）
(10) 注意点：(1) 因果関係，(2) 非線形性，(3) 偏った標本， (4) 方向がない， (5) 外れ値の影響
(11) 回帰分析の基本的な考え方．方向がある：説明変数と従属変数 x =⇒ y
∑
(12) 回帰直線のあてはめ：最小二乗法 (OLS)， (yi − a − bxi )2 = min!
∑
(13) 回帰直線のあてはめ：最小絶対値法 (L1 )， |yi − a − bxi | = min!
∑
(14) さらに一般的な手法： ρ(yi − a − bxi ) = min!，ρ(x) = x2 , ρ(x) = |x| など
(15) 外れ値の影響：対称な分布では比較的わかりやすい．歪んだ分布の場合は注意が必要．データ
の変換（放送大学教材）p. 114–122.
(16) 回帰の現象，回帰の錯誤：統計学基礎 4.6.2 (p.33–) 「参考資料（受講者のみ）」に下書きを掲
載．統計学基礎 (草稿) 第 4 章．
(17) 当てはまりの尺度：R, r
(18) 変数変換の手法（1 変数ヒストグラムの対象化，2 変数散布図の線形化）： Web 「その他の
教材」にある「変数の変換」
コンピュータによる演習
(1) ヒストグラムの描き方（R による）．cars.R で利用するデータ cars.txt
(2) ヒストグラム：階級の数，階級幅の設定
(3) 箱ヒゲ図の描き方（R による）
(4) 複数のデータセットを比較するためのヒストグラムと箱ヒゲ図
(5) ヒストグラムの情報を箱ヒゲ図が表現できない例:geyser (geyser.R, geyser.txt)
(6) 変数変換と対称性 : 経済変数（所得，資産など）
(7) 相関係数の計算と読み方 corr_and_normal.R
(8) 回帰直線のあてはめと解釈．外れ値についての注意
(9) 変数変換と線形性 : bacteria (bacteria.R, bacteria.txt ), cars など
3

Download Report