核力に基づく軽い核の研究
ー Brueckner-AMD ー
富樫 智章 、 村上 貴臣
and
加藤幾芳
北海道大学 宇宙理学専攻
KEK「原子核・ハドロン物理：横断研究会」、2007.11.19-217
最近の原子核の理論研究の発展のひとつとして、
現実的核力を用いた ab initio (第一原理計算）研究
がある。
例えば
R.B.Wiringa et al., PRC62 (00)
Green’s function Monte Carlo (GFMC)
no-core shell model (NCSM)
coupled-cluster (CC) method
unitary-model operator approach
(UMOA)
Fermionic molecular dynamics
(FMD) + unitary correlation
operator method (UCOM)
etc.
Pandharipande Schock!!
日本でも、現実的核力に基づく原子核研究 について多くの歴
史と伝統を持つ。
核力研究 (核力研究グループ）
１９５９-６４ ｢核力による核構造の研究」 (基研長期研究会）
Ref. 「核力による核構造の研究」計画中間報告：
(1960)
高木修二、 安野 愈、(基研）
素粒子論研究vol.21 No3
丸森寿夫、 永田 忍 (京大）
亘 和太郎、 末包昌太（大阪市大）
田中 一、 玉垣良三、 庄野 義之、 樋浦
順 (北大）
「核子間の相互作用の性質が次第に明らかになり、一方では多体問題の処理法の知
識が増して来た現在、原子核の諸性質を、相互作用のある多数核子集団として理解する
試みは、早すぎることはないといえよう。」
Ref. 「基研長期研究計画『核力による核構造」の評価について」： 素粒子論研究
vol.111 No5 (2005)
田中 一、 高木 修二
「例の長期研究は失敗だった。失敗の理由は戦略と戦術の混同にあった。・・・・基本的
課題と個別課題とが同列に議論されることが多く、この結果として戦略と戦術の混同を招
ATMS（Amalgamation of Two-body correlation functions
into Multiple Scattering process)法による３, ４核子系の研究
Ref. 「テンソル核力と永田さん」 赤石義紀、 原子核研究 vol.50 No5 (2006)
「Brueckner 理論で永田さんと得たテンソル力の特性を田中さんたちが培ってきた変
分という枠組みに取り組んで作り上げたのがATMS法である。ATMSは、現実的相互
作用を模型関数空間で扱うBrueckner理論から、現実的相互作用を現実的関数空
間で扱い方法への脱皮であった。」
Ref. “Development of the Nuclear Theory Based on the Realistic Force” :
Prog. Theor. Phys. Suppl. 56 (1974)
A=3, 4 and nuclear matter
Tensor force の役割
ATMS法は１０年早すぎた (田中）
４He
：クラスターの重要な構成要素
“internally strong but externally weak”
核力とクラスター研究 ref. Prog. Theor. Phys. Suppl. 52 (1972)
北大における α-α の研究(１９６０年代初め）
α
α
“Nuclear force posses many characteristic features such as the one-pionexchange tail, a repulsive core with surrounding attraction, strong noncentral
forces and non-simple exchange property.” (多くの特徴を持った核力）
“each light nucleus has strong individual character, and the investigations on
light nuclei reveal various important aspects of nuclei yet unknown.”
（豊かな個性を持った軽い核の研究）
“The triplet-even tensor force plays a special role in realizing the ‘overall s
aturation’.” Y.Akaishi and S. Nagata, Prog. Theor. Phys. 48 (1972), 133.
(テンサー力の重要性）
“Clusterization is strongly influenced by the tensor force. As the clustering
aspect grows up in the nucleus, the attractive contribution by the tensor force
becomes increased, as if a ‘clustering-induced’ attraction is generated due
to the clusterization.” H. Bando, S. Nagata and Y. Yamamoto, Prog. Thor.
Phys. 44 (1970), 646; 45 (1971), 1515.
π中間子核子結合を含む平均場理論 （池田：2001.1.17-19)
Ref. H. Toki, S. Sugimoto and K. Ikeda, Prog. Theor. Phys. 108 (2002),
903.
S. Sugimoto, K. Ikeda and H. Toki, Nucl. Phys. A 740 (2004), 77.
OPEP の主要成分としてのテンソル力
有効相互作用として中心力に繰り込む
テンソル力のもたらす相関を状態空間の拡張で記述する
パイオン： 擬スカラー、アイソベクター、
対称性の破れた平均場：単一粒子軌道のパリティ対称性の破れ、
単一粒子軌道の荷電対称性の破れ
Tensor-optimized shell model (TOSM)
T. Myo, K. Kato and K. Ikeda, Prog. Theor. Phys. 113, 763 (2005).
T. Myo, S. Sugimoto, K. Kato, H. Toki and K. Ikeda, Prog. Theor. Phys. 117, 257 (2007).
アルファ・クラス
ターは(0s)4では
ない!!
原子核の多様な構造と構造変化を研究する上で、
テンソル力を陽に取り扱う研究が必要となっている!!
現実的核力に基づいたクラスター研究
核力の singular nature と strong tensor component を取り使う
方法として、
1. Brueckner theory
2. variational method by use of correlation functions
3. expansion of the model space
があり、我々は、はじめに２の方法としてATMSの拡張を試みた。
そこでの問題を解決するため、1の方法にもどり、新たなアプロー
チBrueckner-AMDを考える。
Brueckner-AMD
- We develop a new ab initio calculation framework based
on the antisymmetrized molecular dynamics (AMD) and
the Brueckner theory.
T.Togashi and K.Kato; Prog. Theor. Phys. 117 (2007) 189
AMD：
－アルファ核以外に非アルファー核も扱える
－Slater determinant で波動関数が書けている
－shell model 状態、cluster model 状態、いずれも取り扱い可能
－配位を仮定しない
－Ab initio計算が可能
Framework of the Brueckner-AMD
2
i (r ) exp( (r Zi ) )
( Gaussian
wave packet )
ｎ
P ｎ
ｎ ｎ
P
P ｎ
t
t
ｎ
P
t
P
ｎ
P
A.Dote, H.Horiuchi, PTP 103 (2000) 91
A.Dote, Y.Kanada-En’yo, H.Horiuchi, PRC56 (1997) 1844
1. AMD
wave
function
(Z1, Z2 Z A ) Α{1, 2 A} ( Slater determinant )
2. Single particle orbits are constructed with the AMD-HF
1
~
Bij i j
Ci i
Bij C j Ci
i
ij
( diagonalization
( B-matrix )
single particle orbit
)
3. G-matrix is calculated with the single particle orbits
Q
Gˆ Vˆ Vˆ
Gˆ ( Bethe-Goldstone
1 2 (tˆ1 tˆ2 ) equation
H.Bando, Y.Yamamoto , S.Nagata ,
)
self-consistent
PTP 44 (1970) 646
~ tˆ ~ ~~ Gˆ {~~ } Q operator : Q 1 P , P
~~ ~~
ｎ
The energyminimum state
4. The frictional
cooling method
dZ i
H
Z i
dt
dZ i H
dt
Z i
Intrinsic Density (４
He)
Brueckner-AMD Results
*In the case of 8Be and 12C, the Gaussian width parameter is the same
value as the case of 4He.
Intrinsic Density (8Be)
Ｙ
Ｘ
Ｙ
ρ(r)
Ｘ
Intrinsic Density (12C)
ρ(r)
Ｙ
Ｘ
ρ(r)
Parity-projection in the Brueckner-AMD
Ex) Parity Projection
Parity-projected state :
parity
Space inversion operator
⇒ the liner combination of two Slater determinants
The G-matrix between the different Slater determinants ⇒
is necessary.
Bethe-Goldstone Equation
(ij ) ( 1
Fˆij
Q
G (ij ) ) (ij )
e
( v(ij ) (ij ) G(ij ) (ij ) )
a Gˆ b
a b
Correlation function
Fˆij (ij ) / (ij )
Model (AMD)
wave function
Y. Akaishi, H. Bando, and S. Nagata,
PTP. Suppl. No.52 (1972), 339.
The G-matrix is constructed with the correlation functions.
a a
i j
1 a a ˆ ( a )
b b
(b ) b b
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
G k l i j Fij v v Fkl k l
2
Results of 4He with variation after projection (VAP)
Argonne v8’
（ｎｏ Ｃｏｕｌｏｍｂ ｆｏｒｃ
ｅ）
A. Variation (cooling) with no projection
Binding Energy
(4He)：
4He
-22.5(MeV)
(Parity +)
Ｙ
ρ(r)
B. Variation after projection (VAP): parity+
Binding Energy (4He: +)： -23.6(MeV)
+
Ｘ
Projection after variation (PAV): J=0
Binding Energy (4He: 0+)： -24.7(MeV)
The result is comparable with
that of few-body calculations
Few-body calculations† : -25.9(MeV)
†Ref:
H. Kamada et al. , PRC64 (2001) 044001
Jπ-projection in the Brueckner-AMD
Interactions
As a realistic nuclear force, we use Argonne v8’ (AV8’);
P.R.Wringa and
S.C.Pieper, PRL89 (2002), 182501.
( wiyhout Coulomb and 3-body interactions )
Projection
Parity ( ) : variation (cooling) after projection (VAP)
Spin (J ) : projection after variation (PAV)
J
ΦM K
PMJ K Φ
( PMJ K : Spin projection operator)
Parity eigenstate obtained by VAP
( to choose K giving a minimum energy for every spin state )
・ Comparison of the results with
Green’s function Monte Carlo(GFMC)† ;
P.R.Wringa and S.C.Pieper, PRL89 (2002), 182501.
S.C.Pieper, K.Varga, and P.R.Wringa, PRC66 (2002), 044310.
S.C.Pieper, K.Varga, and P.R.Wringa, PRC66 (2002), 044310.
No-core shell model(NCSM)# ;
P.Navratil and W.E.Ormand, PRC68 (2003), 034305. C.Forssen,
P.Navratil, W.E.Ormand, and E.Caurier, PRC71 (2005), 044312.
Level Scheme of 8Be
[ -56.5 ]
[ -42.9 ]
[ -47.9 ]
α α cluster
( B-AMD : preliminary results)
[ -48.5 ]
Level Scheme of 7Li
[ -39.2 ]
(proton
)
[ -29.3 ]
[ -33.5 ]
(neutron)
t α cluster
( B-AMD : preliminary results)
[ -33.0 ]
Level Scheme of 9Be (parity -)
[ -58.2 ]
(proton
)
[ -40.9 ]
(neutron)
[ -49.9 ]
( B-AMD :
preliminary results)
[ -50.2 ]
The spin-orbit splitting isn’t reproduced
orbit
The expectation value of LS forces may be small
because the imaginary part of wave packets almost
disappears in this result.
Level Scheme of 9Be (parity +)
( B-AMD :
preliminary results)
†
(proton
)
(neutron)
orbit
†http://www.phy.anl.gov/theory/poster.pdf
Level Scheme of 10Be
( B-AMD : preliminary results)
~ 2.5 MeV
[ -65.0 ]
(proton
)
(neutron)
[ -44.7 ]
[ -56.1 ]
[ -55.9 ]
Level Scheme of 12C
( B-AMD : preliminary results)
~ 3 MeV
[ -92.2 ]
[ -69.8 ]
[ -80 ]
3α cluster
[ -86.0 ]
Summary & Future works
Summary
・ We constructed the framework of AMD with realistic interactions
based on the Brueckner theory.
・ In addition, we proposed the projection method in the Brueckner-AMD
with the correlation functions based on Bethe-Goldstone equation.
・ With the Brueckner-AMD and the variation(cooling) after projection,
we obtained the reasonable results in light nuclei starting with the
realistic interaction.
Future works
・ More systematic calculations in light
nuclei
: Calculated
: Calculating
・Generator coordinate calculations
・ Introduction of genuine three-body
force
http://wwwndc.tokai-sc.jaea.go.jp/CN04/CN001.html
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