数理統計学(第七回）線形模型とは？

数理統計学(第七回）
線形模型とは？
浜田知久馬
数理統計学第７回
1
•例：上皿天秤での重量測定
•重さ(α，β)が未知の二
つの物体AとBがあると
する.
•計3回の重量測定
A単独
Y1
B単独
Y2
AとB一緒に
Y3
•これらの測定値と
α， βの関係は？
数理統計学第７回
2
例の問題の定式化
• 次のモデルを想定する．
Y1 =α+ U1
Y2 = b + U2
Y3 =α+ b+U3
• ただし，U1, U2, U3 は互いに独立で，
• E[Ui]= 0, V[Ui]= s2 をみたす確率変数と仮
定する．
• 仮定より
•
•
E[Y1]= α, E[Y2] = b, E[Y3] =α+ b
V[Y1] = s2 ,V[Y2] = s2 , V[Y3] = s2
数理統計学第７回
3
最良な推定量の求め方
• 推定量を線形推定量に限定すると
αの推定量として
t(Y) = c1 Y1 + c2 Y2 + c3 Y3
という形のものを使うことになる．
• 不偏性：E[t(Y)] =α
• 分散最小性：V[t(Y)] が最小
数理統計学第７回
4
期待値についての公式
• 期待値は線形演算である．
c1, c2 を定数， Y1, Y2 を確率変数とする
と，次式が成り立つ．これを「期待値の
線形性」という．
E[c1Y1 + c2 Y2] = c1E[Y1] + c2E[ Y2]
期待値の線形性より次の式も導ける．
E[c1Y1 + …+ cn Yn]= c1E[Y1]+ …+ cnE[Yn]
数理統計学第７回
5
線形性と不偏性の条件
• 不偏性：E[t(Y)] = α
左辺＝c1E[Y1] + c2E[Y2] + c3E[Y3]
c1 a+ c2 b + c3 ( + b)
= (c1 + c3 )α+ (c2 + c3) b
これが恒等的に  に等しいためには？
c1+ c3 = 1, c2 + c3 = 0
数理統計学第７回
6
分散についての公式
標本 (Y1, Y2, … , Yn) が互いに独立な確率変
数であり，統計量 T がその線形式，すなわち，
T = c1Y1 + c2Y2 + … + cnYn
であるとき，次の公式が成り立つ．
V[T]= c12V[Y1]+ c22V[Y2]+ … + cn2V[Yn]
これを分散の加法性(加成性)という．
数理統計学第７回
7
不偏性のもとでの分散最小
• 不偏性＝＞c1 + c3 = 1, c2 + c3 = 0 （条
件）
• 分散： V[t(Y)] = V[c1 Y1 + c2 Y2 + c3 Y3 ]
= c12 V[Y1] + c22 V[Y2] + c32 V[Y3}
= c12 s2 + c22 s2 + c32 s2
= (c12 + c22 + c32) s2
• これを最小にするには？
数理統計学第７回
8
力づくの解答
V[t(Y)] =(c12 + c22 + c32) s2
c1 + c3 = 1, c2 + c3 = 0
⇒ c1=(1- c3)， c2= -c3
V[t(Y)] =[(1- c3)2 +(-c3) 2 +c32]s2
=(1-2c3+c32 +c32 + c32)s2 =(1-2c3+3c32)s2
=[3(c3 -1/3) 2 +1-1/3]s2
c3= 1/3(c1=2/3，c2=-1/3）⇒V[t(Y)]最小
数理統計学第７回
9
Lagrange の未定乗数法
• p 次元ベクトル x について，等式制約：g(x) = 0
の下で，ある目的関数：f(x) の最大（小）値を求
める問題の一つの解法に，ラグランジュの未定
乗数法がある．
Q  f ( x)  g ( x) とおき，連立方程式
dQ
dQ
 0, i  1,2,...p;
0
dxi
d
を解くと，この連立方程式の解の中に求める解が
ある．
数理統計学第７回
10
ラグランジュの未定乗数法
Q = c12 + c22 + c32   (c1 + c3  1)  m (c2 +
c3 )
とおき，微分して 0 とおくことで，
 2c1   = 0, 2c2  m =0, 2c3   m = 0
 c1 + c3 = /2 + /2 + m/2 = 1
 c2 + c3 = m/2 + /2 + m/2 = 0
=>   4/3，m=-2/3
 c1=2/3, c2=1/3, c3=1/3
t(Y) = (2/3) Y1 +数理統計学第７回
(1/3) (Y3  Y2)
11
t(Y) = (2/3) Y1 + (1/3) (Y3  Y2)の意味
自然なαの推定量
T2= Y1 ， T3=Y3  Y2
V[T2]= s2 ， V[T3]=2s2
T2，T3の重みつき平均ＷＭを考える．
ＷＭ＝（w2T2+w3T3)/(w2+w3)
w2：w3を2：1とすると
ＷＭ＝ (2/3) Y1 + (1/3) (Y3  Y2) ＝ t(Y)
数理統計学第７回
12
本当に分散が最小？
T = 2/3Y1 －1/3Y2 +1/3Y3
E[T]=2/3α－1/3β+1/3(α+β)=α
V[T]= (4/9+ 1/9+1/9) s2 =6/9s2 =2/3s2
自然なαの推定量として， T2= Y1を考える.
E[T2]=αなので， T2は不偏推定量となるが，
V[T2]= s2＞V[T]=2/3s2
と分散はV[T]より大きくなる.
数理統計学第７回
13
演習問題1
βの最良線形不偏推定量を求めよ.
1)不偏性を満たすための条件は.
2)分散が最小になるように係数を決定せ
よ
3）そのときの分散の大きさを評価せよ.
数理統計学第７回
14
まとめ：重量推定の例
• 線形で不偏な推定量の中で，分散が最小な
ものはどのような推定量か？
• 線形性の条件は t(Y) = c1 Y1 + c2 Y2 +c3
Y3
• 不偏性の条件は c1+ c3 = 1, c2 + c3 = 0
• これと分散最小性から，
c1 = 2/3, c2 = -1/3, c3 = 1/3
＝＞ t(Y) = (2/3) Y1 + (1/3) (Y3  Y2)
数理統計学第７回
15
不偏推定量の中で分散最小なもの
＝＞最良不偏推定量
線形でかつ不偏な推定量の中で分散が最小
なもの＝＞最良線形不偏推定量
最良線形不偏推定量を求めるのは厄介
もっと一般的に簡単に求める方法はないの
か？
線形模型の場合，ある条件の下で，
最良線形不偏推定量は最小二乗法で求め
られる．
数理統計学第７回
16
最小二乗法とは
観測変数とその期待値の差の二乗和を
最小とする母数の値を，母数の真の値と断
定する母数推定法
• 線形模型の場合，
• Q = Σ(Yi  XiTb)2
の b に関する最小値は，Y の関数となる．この関数を b の推
定量とする方法
＝＞
最小二乗推定量
数理統計学第７回
17
最小二乗法の模式図
数理統計学第７回
18
記号表記
Yi
Y1
Y2
Y3
XiT
[1
[0
[1
0]
1]
1]
b
α
β
数理統計学第７回
XiTb
α
β
α+β
19
最小二乗推定量の計算
• Q = (Y1  )2 + (Y2  b)2 + (Y3  b)2
Q を最小にする α，βをa, bとおくと，
• Q をα，βで偏微分して 0 とおくことで，次
の連立方程式の解として求められる．
•  2(Y1  a)  2(Y3  a  b) = 0
•  2(Y2  b)  2(Y3  a  b ) = 0
 a = [2Y1 + (Y3 Y2)] /3
 b = [2Y2 + (Y3 Y
)]
/3
1
数理統計学第７回
20
最小二乗法の良さを示す定理
• 定理１ (線形推定論の基本定理)
線形模型で誤差の３条件が成り立つとき，
未知母数の最小二乗推定量は最良線形
不偏推定量である．
• 定理２ (正規推定論の基本定理)
線形模型で誤差の４条件が成り立つとき，
未知母数の最小二乗推定量は最良不
偏推定量である．
数理統計学第７回
21
誤差の４条件
• 条件１：独立性＝＞誤差は独立
独立の定義に第４回で説明
• 条件２：不偏性＝＞誤差の期待値が 0
E[Ui] = 0 ; i = 1, 2, …, n
• 条件３：等分散性＝＞誤差の大きさは同じ
V[Ui] = s2 ; i = 1, 2, …, n
• 条件４：正規性：誤差の分布は正規分布
数理統計学第７回
22
記号表記
Y
3×1
X
3×2
b
2×1
Xb
3×1
Y1  1 0
 a 
Y  0 1  a   b 
 2    b  



Y3  1 1 
a＋b 
数理統計学第７回
23
最小二乗法を行列表現すると？
• Q = (Y  Xb) T(Y  Xb）)
dQ
T
 0  (2 X )(Y  Xb)  0
db b b
 ( X X )b  X Y  b  ( X X ) X Y
T
T
数理統計学第７回
T
1
T
24
単回帰分析の場合
Q＝Σ（ｙiーｘiβ)2
ｄQ/ｄβ＝ー２Σｘi（ｙiーｘiβ)=0より
Σｘi（ｙiーｘiｂ)=０
Σｘiｙi=ｂΣｘiｘi =ｂΣｘi2
ｂ=(Σｘiｙi)/Σｘi2
数理統計学第７回
25
補足説明
• スカラーをベクトルで微分
＝＞ベクトルの各要素で微分してベクトルと同
じ形の行列にしたもの
Q=bTa
⇒ ｄQ／ｄｂ=a
Q=bTb
⇒ ｄQ／ｄｂ=2b
Q=bTCb ⇒ ｄQ／ｄｂ=2Cb
（Cは対称行列）
最小二乗法で解を求めるための方程式を正規方
程式 normal equation という．
• 正規方程式の解が最小二乗推定量である．
数理統計学第７回
26
スカラーをベクトルで微分
要素が３つの場合
Q=bTa＝b1a1+ b2a2 + b3a3
ｄQ/ｄb1＝ a1 ｄQ/ｄb2＝ a2 ｄQ/ｄb3＝ a3
ｄQ／ｄｂ＝[ a1 a2 a3]
Q=bTb＝b12+ b22+ b32
ｄQ/ｄb1＝2b1 ｄQ/ｄb2＝2b2 ｄQ/ｄb3＝2b3
ｄQ／ｄｂ＝[2b1 2b2 2b3] ＝2[b1 b2 b3]
数理統計学第７回
27
行列について参考にすべきこと
１．1×1 の行列，つまりスカラーは転置
しても変わらない．3T=3
２．横ベクトル・行列・縦ベクトル
= スカラー
⇒ cT V[Y] d = dT V[Y] c
３．（AB）T = BTAT
４．XTX は対称行列，
すなわち (XTX)T = XTX
数理統計学第７回
28
Ｑの微分
Q = (Y  Xb) T(Y  Xb）)
= Y TY  (Xb) TY Y T Xb＋(Xb) TXb
= Y TY  bTXTY  Y TXb ＋bTXTXb
（Y TXb )T = bTXTY なので
Q = Y TY ２bTXTY ＋bTXTXb
ｄQ／ｄb= ２XTY ＋２XTXb
ｂ＝(X TX)-1X TY
数理統計学第７回
29
行列の計算
X T X＝ 1 0 1
0 1 1
1 0 ＝ 2 1
0 1
1 2
1 1
(X TX)-1＝
1
2 -1 ＝ 2/3 –1/3
2×2-1×1 -1 2
–1/3 2/3
X T Y＝ 1 0 1
Y1 ＝ Y1+Y3
0 1 1 Y2
Y2+Y3
Y3
数理統計学第７回
30
行列の計算(続き）
(X TX)-1 X TY＝ 2/3 –1/3
Y1+Y3
–1/3 2/3
Y2+Y3
＝ 2/3(Y1+Y3）1/3(Y2+Y3 )
-1/3(Y1+Y3）+2/3(Y2+Y3 )
＝ 2/3Y11/3Y2 +1/3Y3
1/3Y1+2/3Y2 +1/3Y3
数理統計学第７回
31
ガウスマルコフの定理：
線形推定論の基本定理
• 線形模型で誤差の３条件が成り立つとき，
未知母数の最小二乗推定量は最良線形
不偏推定量である．
• 証明は？
• 最小二乗推定量が線形不偏であることは証
明が容易．分散最小性の証明は少し面倒
数理統計学第７回
32
誤差の条件の行列表現
線形モデル，Y = X b + U において，
U1, U2, …, Un が互いに独立，不偏，等分
散であれば，
＝＞E[U]=0
V[U]= s2 I （I はn×ｎ単位行列）
＝＞Y1, Y2, …Yn は独立，等分散
＝＞E[Y] = Xb, V[Y]=s2 I
数理統計学第７回
33
線形性
ｂ＝(X T
p×ｎ
X )-1
XT
ｎ×p
p×ｎｎ×1
Y
ｂはY1, Y2, …, Ynの線型結合で表現できる.
先の例では
ｂ＝ 2/3Y11/3Y2 +1/3Y3
1/3Y1+2/3Y2 +1/3Y3
数理統計学第７回
34
不偏性
E[Y] = Xb
b=(X TX)1 XT Y
E[b] = E[(X TX)1 XT Y ]
= (X TX)1 XT E[Y]
= (X TX)1 XT X b
=b
数理統計学第７回
35
定理１の特別な場合として，b が１次元の
場合の証明を行う．
Y ＝ X
b ＋Ｕ
ｎ×1 ｎ×1 1×1
ｎ×1とかく
最小二乗推定量を b = (XＴX)1 XＴYとかく
• 任意の線形不偏推定量をｂu= dＴY とすると，
• E[ｂu ] = dＴE[Y] = dＴXb
• 不偏性より，dＴX = I (単位行列，今は１)
数理統計学第７回
36
共分散の計算
ｐ＝３の場合
Ｚ1＝α1X1+α2X2+α3X3＝αTｘ
Ｚ2＝β1X1+β2X2+β3X3＝βTｘ
Cov[Ｚ1,Ｚ2]＝αT Vβ
＝α1β1V[X1]+ α1β2Cov[X1,X2]+ α1β3Cov[X1,X3]
+α2β1Cov[X2,X１]+ α2β2V[X2]+α2β3Cov[X2,X3]
+α3β1Cov[X3,X1]+ α3β2Cov[X3,X2]+α3β3V[X3]
Cov[Ｚ1,Ｚ1]＝V [Ｚ1] ＝αT Vα
Cov[Ｚ2,Ｚ2]＝V [Ｚ2] ＝βT Vβ
数理統計学第７回
37
共分散の行列表現
Cov[Ｚ1,Ｚ2]＝αT Vβ
α1 α2 α3
V[X1]
Cov[X1, X2] Cov[X1, X3]
Cov[X2, X1] V[X2]
Cov[X2, X3]
Cov[X3, X1] Cov[X3, X2]
V[X3]
β1
β2
β3
X1,X2,X3が独立なときは
Cov[Ｚ1,Ｚ2]＝α1β1V[X1]+α2β2V[X2]+α3β3V[X3]
数理統計学第７回
38
最小二乗推定量の分散
V[b]= V[(X TX)1 XT Y ]
ａT=[a1，a2，・・・， aｎ] ａ：ｎ行のベクトル
YT=[Ｙ1，Ｙ2，・・・，Ｙｎ] Y：ｎ行のベクトル
V：分散・共分散行列(ｎ×ｎ)
Z＝ａTY のとき V[Ｚ]＝ａT V[Y] ａ
ａ= [(X TX)1 XT ] T ＝X (X TX)1 とおくと
V[b]=(X TX)1 XT V[Y] X (X TX)1 と
仮定よりV[Y]＝ s2 I
Iはｎ×ｎの単位行列
V[b]= s2 (X TX)1 XT X (X TX)1 = s2 (X TX)1
数理統計学第７回
39
TX)1 XT V[Y] X (X TX)1
V[b]=(X
V[b]=σ2(X TX)1
σ2
T
X
X TX
σ2
X
σ2
σ2
(X TX)1
(X TX)1
数理統計学第７回
40
ガウスマルコフの定理の証明
V[ｂu] = V[ｂu b + b]
= V[ｂu  b] + V[b]+ 2 Cov[ｂu b, b]
ところが， Cov[ｂu b, b]
= Cov [dＴY  (XＴX)1XＴY, (XＴX)1XＴY ]
= Cov [（dＴ (XＴX)1XＴ) Y, (XＴX)1XＴY ]
= (dＴ  (XＴX)1XＴ) V[Y] X (XＴX)1
 (dＴX  (XＴX)1XＴX) (XＴX)1 s2 I
= (I  I) (XＴX)1 s2 = 0
ゆえに V[ｂu] = V[ｂ数理統計学第７回
u b] +V[b]≧V[b]
41
共分散の計算
Ｚ1＝α1X1+α2X2+ ・・・+αpXp＝αTｘ
Ｚ2＝β1X1+β2X2+ ・・・+βpXp＝βTｘ
のとき
Cov[Ｚ1,Ｚ2]＝ Cov[αTｘ, βTｘ]
＝ΣαiβjCov［Xi,Xｊ]
＝αT Vβ
ｂ＝ (X TX)1 XTY ＝[X(X TX)1 ]T Y
ｂu ｂ＝[dーX(X TX)1 ]T Y
数理統計学第７回
42
先の例での確認
αの最小二乗推定量：ｂ＝ 2/3Y11/3Y2 +1/3Y3
自然なαの不偏推定量：ｂu ＝Y1
Cov[ｂu b, b]
＝ Cov[1/3Y1+1/3Y2 1/3Y3 , 2/3Y11/3Y2
+1/3Y3 ]
＝ 1/3 2/3V[Y1]-1/3 1/3V[Y2] -1/3 1/3V[Y3]
＝ (2/9-1/9-1/9） s2= 0
ｂu bとbは無相関⇒ｂu bはｂに対して情報を持た
ない.
43
数理統計学第７回
まとめ
最良線形不偏推定量
• t(Y) = c1 Y1 + c2 Y2 + c3 Y3
• 不偏性：E[t(Y)] =真値
• 分散最小性：V[t(Y)] が最小
誤差の３条件（独立性，不偏性，等分散性）
が成り立てば，最小２乗推定量に一致
分散最小性の証明：ガウスマルコフの定理
数理統計学第７回
44
演習問題
• Y1, Y2, …, Yn が互いに独立で
• E[Yi] = m, V[Yi] = s2 を満たす確率変数のとき，
問１：Y1 + Y2 の期待値と分散はいくらか．
問２：Y1  Y2 の期待値と分散はいくらか．
問３： m の線形不偏推定量(c1Y1+c2Y2+ … + cnYn）
はどのような条件を満たさなければならないか．
問４：その中で分散が最小なもの，つまり最良線
形不偏推定量は？
数理統計学第７回
45

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