PowerPoint プレゼンテーション

数楽（微分方程式を使おう！）
～第４章他分野への応用（上級編）～
平成１９年９月２６日
技術１課佐藤強
第４章
他分野への応用（人口予測）
課題１：人口予測PartⅡ
１階線形微分方程式から１階非線形微分方程式で
人口の増加予測を調べてみよう！
dy
 ry
dt
←以前、この式を学びました。
dy
 sy 2
dt
←今度はこの式を解いてみましょう。
第４章
他分野への応用（人口予測）
dy
1
2
 sy  2 dy  sdt
dt
y
1
 y 2 dy  s  dt
1
  st  C0
y
おもむろに積分
1
y
st  C0
一般解の完成！
第４章
他分野への応用（人口予測）
初期条件を代入して
t  t0  y  y0
1
C0  st0 
y0
y0
y
1  y0 s(t  t0 )
これが求める特殊解！
第４章
他分野への応用（人口予測）
y0
y
1  y0 s(t  t0 )
y0 s(t  t0 )  1
t  t0 
1
y0 s
←ここに注目！
となるような
を漸近線として
yはとなります。
y0
t0
t0 
1
y0 s
第４章
他分野への応用（logistic）
課題２：ロジスティック微分方程式
より現実的なロジスティック微分方程式を解いてみよう！
dy
 ry
dt
実はこの式に従って、人口が増加すると
人口は∞になってしまいます。
そこで、人口が少ないとき目立たず、
人口が多くなってくると抑制できる項
ブレーキ項を付加する
dy
 ry  hy 2
dt
第４章
dy
 ry  hy 2
dt
他分野への応用（logistic）
ここで、 h  r
として
M
dy
r 2
 ry 
y ←これがロジスティック微分方程式
dt
M
↑↑↑↑↑
さあ、これを解いてください。変数分離法を使って！
第４章
他分野への応用（logistic）
1
r
dy 
dt
y(M  y)
M
ここでトリック！
ここまではOKですね。
変数が分離できました！
この式の変形のことを
部分分数分解といいます
1
M
1
1 
r
  y  M  y dy  M  dt
第４章
他分野への応用（logistic）
1
1
 y dy   M  y dy  r  dt
M  y  aとおく
OKですか？
ln y  ln(M  y)  rt  C
da d ( M  y )

 1
dy
dy
 dy  da
1
  da   ln a
a
 ln a   ln(M  y )
第４章
他分野への応用（logistic）
ln y  ln(M  y)  rt  C
y
ln
 rt  C 
My
y

 Ce rt
My
y  Cert (M  y)
CMe rt
y
1  Ce rt
これで一般解完成！
第４章
他分野への応用（logistic）
いつものように t  t0  y  y0 初期条件を代入して
y
M
M 
1    1e r (t t0 )
 y0 
←これがロジスティック方程式
の特殊解である
この答えに想いを馳せる♪
第４章
y
他分野への応用（logistic）
M
 M   r ( t t 0 )
1    1e
 y0 
t が十分小さいとき
r (t  t0 )  1･･･ e 0  1
y  y0er (t t0 )
t が十分大きいとき、分母の
yM
M

  1e  r ( t t0 )
 y0

がゼロになる
第４章
dy
r 2
 ry 
y
dt
M
他分野への応用（logistic）
y
M
 M   r ( t t 0 )
1    1e
 y0 
指数関数的な人口爆発がロジスティック方程式の
非線形項によるブレーキ効果によって抑制されて
一定値Mに飽和するということが判りました！
第４章
他分野への応用（logistic）
このような曲線をジクモイド曲線という。
y
120
100
80
60
y
40
20
0
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
2350
2400
2450
2500
人口の場合は
あまりこの曲線
に従わないが、
菌や昆虫の個
体数の増加は
よく説明できる
とのことである
第４章
他分野への応用（等加速度運動）
課題３：等加速度運動（空気抵抗考慮）
時刻 t=0 で静止している「十分小さな」物体を地球上
で落下させるとき、t 秒後の速度を求めましょう！
但し、空気抵抗を考慮します。
空気抵抗 -bv
重力 -mg
第４章
他分野への応用（等加速度運動）
dv
ma m
  m g  bv
dt
dv
b
 vg
dt
m
この式どっかで見たことない？
これは非斉次式の解法の形と同じです。
dy
k
rt
 ry  k
y  Ce 
dt
r
b
r
k  g
m
これは一般解
v  Ce
b
 t
m
mg

b
第４章
v  Ce
b
 t
m
他分野への応用（等加速度運動）
mg

b
初期条件ｔ＝０でｖ＝０を代入
mg
C
b
b
m g  mt
 e 1
v
b

これが空気抵抗を受けな
がら落下する物体の速度
第４章
mg
e
v
b
b
 0.1
m
b
 t
m
他分野への応用（等加速度運動）
1

9.8 0.1t
v
(e
 1)  98・ (e 0.1t  1)
0.1
Excelでグラフを書いてみてください！
第４章他分野への応用
（コンデンサー回路）
課題４：コンデンサー回路
図に示す電気回路に流れる電荷Qを求めてみよう！
S
C
スイッチSを入れたとき
V０
R
電荷 Q 又は電流 I を
求めてみましょう。
第４章他分野への応用
（コンデンサー回路）
Q
dQ
VC  、 VR  IR 
R
C
dt
VC  VR  V0
V0
dQ Q
dQ
1
R

 V0 

Q
dt
C
dt
RC
R
これも同じ
V0
1
y  Q, r  
,k 
RC
R
第４章他分野への応用
（コンデンサー回路）
t



Q  CV0 1  e RC 


dQ
I
dt
t

V0 RC
 e
R
ここで、時定数ＲＣを
１秒としてＥｘｃｅｌで
電流Ｉのグラフを
書いてください！
V0 t
I e
R

Download Report