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数楽（微分方程式を使おう！）
～第３章他分野への応用（基礎編）～
平成１９年９月１２日
技術１課佐藤強
第３章
他分野への応用（年代測定法）
課題１：放射性物質の崩壊と半減期
放射性物質である炭素同位元素14による年代測定法
の原理を微分方程式を使って、調べてみよう！
「時刻 t で崩壊する放射性物質の割合は、その時刻で
のその物質の量 M に比例する」
dM
  sM
dt
どっかで見たような！？
第３章
他分野への応用（年代測定法）
式が同じなら解も同じ
M  M 0es (t t0 )
t
t  t0  M  M 0
M/M0
M/M0
1.2
-10000
1
-8000
0.785056
-6000
0.616313
-4000
0.48384
-2000
0.379842
0
0.298197
0.4
2000
0.234102
0.2
1
0.8
0.6
M/M0
0
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
第３章
他分野への応用（年代測定法）
放射性物質に関連して、よく耳にする半減期を求める
M0
 M 0 e  s (T  t 0 )
2
M0
t  T  M 
2
答えは
log e 2 0.693
T  t0 

s
s
【プチトレビア】
プルトニウム239 24000年
ウラン235 7億年
第３章
他分野への応用（年代測定法）
炭素同位元素14による年代測定法
半減期 5730年
崩壊率 1.210ⅹ10＾‐4/年
生体は空気中から絶えず炭素同位元素を体内に取り込むため、
生きている動植物に含まれる炭素同位元素の量は一定である。
しかし、生体が死ぬと炭素同位元素は新規に吸収されなくなる
ため指数関数的に減少し始めます。
たとえば、縄文土器が作られた年代を測定するには、その土器
にこびりついた食物の化石（どんぐりなど）を利用します。
第３章
他分野への応用（年代測定法）
現在残っている同位元素の量（測定可能）
↓
M (t )  M 0e
 st
← S はすでに
分かっている
↑
最初の同位元素の量（今、現存するどんぐりで測定可能）
第３章
他分野への応用（年代測定法）
1
M (0)
t  loge
s
M (t )
現在のどんぐりの炭素同位元素量と
化石の炭素同位元素量を測定し、
炭素同位元素の崩壊率から、時間 t が求まるわけです。
下記に炭素同位元素14の年代測定法の詳細が記載されてます。
http://www.uraken.net/rekishi/reki-kodai07.html
第３章
他分野への応用（ＲＣ回路）
課題２：コンデンサーを含む電気回路
満充電されたコンデンサーに抵抗をつなぎ、電荷
である電流を抵抗で消費させます。
このときの電荷を時間の関数として表してみよう！
S
満充電のコンデンサー C
R
第３章
他分野への応用（ＲＣ回路）
コンデンサーと抵抗が閉じた回路を形成するとき、
両者の電圧の和はゼロになる。（時間が経ったとき）
VC  VR  0
Q
Q  CVCより、 VC 
C
dQ
dQ
VR  IR 、 I 
 VR  R
dt
dt
第３章
他分野への応用（ＲＣ回路）
Q
dQ
R
0
C
dt
dQ
1

Q
dt
RC
こういう式ができますね。
どっかで見たような！？
式が同じなら解も同じ→
Q  Q0e

t t 0
RC
第３章
Q  Q0e

他分野への応用（ＲＣ回路）
t t 0
RC
 t0  0

Q
e
Q0

t
RC
時定数RCを可変として
コンデンサーの「放電」の様子を
Excelに書かせてみよう！
第３章
他分野への応用（ロケット）
課題３：ロケットが飛んでゆく
燃料を消費しながら加速して飛んでゆくロケット
燃料をすべて消費したとき、どのくらいの速度に
なっているか調べてみよう！
・ロケットの総重量 M
・燃料以外の質量 m （宇宙なので空気抵抗、重力を無視）
第３章
他分野への応用（ロケット）
運動方程式 F  ma これは質量が一定の場合のみ
質量が変化するときは？？？？
こんなときは p  mv 運動量の式を利用して
dP d (mv )
F

dt
dt
時刻 t の運動量
mv
時刻 t ＋⊿t の運動量 (m  ⊿m)(v  ⊿v)  u⊿m
第３章
他分野への応用（ロケット）
運動量の保存則より mv  (m  ⊿m)(v  ⊿v)  u⊿m
第３章
他分野への応用（ロケット）
まとめると、
m⊿v  (v  u )⊿m  0　となり、
m⊿v  V⊿m
v  u  Vとすると
この Vはロケットから見た燃
であり、常に一定と考
える。（常時一定の速
料の相対速度
度で燃料を燃やす）
m ⊿m
dm
m

⊿v  0

V
⊿v
dv
V
1
1
dm   dv
Vは定数と見なせる
m
V
1
1
dm


dv
m
V 
1
loge m   v  C
V

m  ce

1
v
V
第３章
m  ce
cM
1
 v
V
他分野への応用（ロケット）
という一般解に
すなわち、特殊解は
M  eln M
と書けるので
両辺の対数をとれば、
v0mM
m  Me
me
1
 v
V
1
 v  ln M
V
1
ln m   v  ln M
V
第３章
他分野への応用（ロケット）
1
ln m   v  ln M
V
v  V (ln M  ln m)
M
 v  V ln
m
v について解けば、
M：最初の質量
m：ある時点の質量
V：噴射速度
v：ある時点の速度
↑ ツイオルコフスキーの公式
第３章
他分野への応用（ロケット）
M
v  V ln
m0
一般的に噴射速度V＝3km/s
人工衛星を軌道にのせるためには
v＝7.8km/s
7.8  3 ln
M
M
 ln
 2.6
m0
m0
m0  0.074M･･･燃料以外に使える質量は 7.4％程度
Ｈ‐Ⅱロケットでは、４ｔの人工衛星を打ち上げるの
に２１９ｔの燃料を使用しているということです。

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