【問題】差分方程式 ≹∨≮∩ ∽ ≡∰≸∨≮∩ ∫ ≡∱≸∨≮ ⊡ ∱∩ ∫ ⊢⊢⊢ ∫ ≡≍ ≸∨≮ ⊡ ≍∩ ∫ ≢∱≹∨≮ ⊡ ∱∩ ∫ ≢∲≹∨≮ ⊡ ∲∩ ∫ ⊢⊢⊢ ∫ ≢≎ ≹∨≮ ⊡ ≎∩∻≧ ≍ ≎ ≘ ≘ ∽ ≡≫ ≸∨≮ ⊡ ≫∩ ∫ ≢≫≹∨≮ ⊡ ≫∩ ≫∽∰ ≫∽∱ で記述される線形時不変システムのブロック図で表せ。 【解答】 x(n) a0 ＋ ≹∨≮∩ Z-1 Z-1 a1 x(n-1) b1 Z-1 Z-1 a2 b2 Z-1 x(n-M) … … x(n-2) y(n-1) y(n-2) Z-1 aM bN y(n-N) 【問題１】オイラーの公式を使って、以下の離散時間正弦波信 号のｚ変換を導出せよ。 ≣≯≳∨≡≮∩ ∨≮ ⊸ ∰∩ 【解答】オイラーの公式より ≺∨≺ ⊡ ≣≯≳≡∩ ≘∨≺∩ ∽ ≺∲ ⊡ ∲≺ ≣≯≳≡ ∫ ∱ ≪≡≮ ∫ ≥⊡≪≡≮ ≪≡≮ ⊡ ≥⊡≪≡≮ ≥ ≥ ≳≩≮∨≡≮∩ ∽ ∲≪ ≣≯≳∨≡≮∩ ∽ ∲ と表されるので ∱ ≥≪≡≮ ∫ ≥⊡≪≡≮ ∱⊩ ≘ ≘ ⊪ ∱ ⊡≮ ≪≡ ⊡∱ ≮ ⊡≪≡ ⊡∱ ≮ ≺ ≚≦≣≯≳∨≡≮∩≧ ∽ ∽ ≺ ∩ ∫ ∨≥ ≺ ∩ ∨≥ ∲ ∲ ≮∽∰ ≮∽∰ ⊩ ⊪ ∱ ∱ ∱ ∽ ∲ ∱ ⊡ ≥≪≡≺⊡∱ ∫ ∱ ⊡ ≥⊡≪≡≺⊡∱ ≪≡ ∫ ≥⊡≪≡ ∩≺ ⊡∱ ∲ ⊡ ∨≥ ∱ ≺∨≺ ⊡ ≣≯≳≡∩ ∽ ∲ ∱ ⊡ ∨≥≪≡ ∫ ≥⊡≪≡∩≺⊡∱ ∫ ≺⊡∲ ∽ ≺∲ ⊡ ∲≺ ≣≯≳≡ ∫ ∱ ∲ ⊡ ∱∰≺ ∷≺ ≘∨≺∩ ∽ ≺∲ ⊡ ∳≺ ∫ ∲ 【問題２】 の逆ｚ変換を、部分分数展開によって求めよ。 【解答】 ∲ ⊡ ∱∰≺ ⊡∱ ∷≺ ∷ ⊡ ∱∰≺ ⊮ ⊮ ∱ ≘∨≺∩ ∽ ≺∲ ⊡ ∳≺ ∫ ∲ ∽ ∨∱ ⊡ ≺⊡∱∩∨∱ ⊡ ∲≺⊡∱∩ ∽ ∱ ⊡ ≺⊡∱ ∫ ∱ ⊡ ∲≺∲ ⊡∱ ⊡∱ ∷ ⊡ ∱∰≺ ∷ ⊡ ∱∰ ⊡∱ ⊮∱ ∽ ∨∱ ⊡ ≺ ∩≘∨≺∩≪≺∽∱ ∽ ∨∱ ⊡ ∲≺⊡∱∩ ≪≺∽∱ ∽ ∱ ⊡ ∲ ∽ ∳ ∱ ⊡∱ ∷ ⊡ ∱∰ ⊣ ∷ ⊡ ∱∰≺ ⊮∲ ∽ ∨∱ ⊡ ∲≺⊡∱∩≘∨≺∩≪≺∽∲ ∽ ∨∱ ⊡ ≺⊡∱∩ ≪≺∽∲ ∽ ∱ ⊡ ∱ ∲ ∽ ∴ ∲ ≸∨≮∩ ∽ ∳ ⊣ ∱≮ ∫ ∴ ⊣ ∲≮ ∽ ∳ ∫ ∲≮∫∲ ∨≮ ⊸ ∰∩ 【問題１】次の差分方程式の伝達関数とそのインパルス応答を 求めよ。 ≹∨≮∩ ∽ ⊮≹∨≮ ⊡ ∱∩ ∫ ⊯≸∨≮∩ 【解答】両辺のｚ変換を求めると、 ≙ ∨≺∩ ∽ ⊮≺⊡∱≙ ∨≺∩ ∫ ⊯≘∨≺∩ であるから、伝達関数は ≙ ∨≺∩ ⊯ ≈∨≺∩ ∽ ≘∨≺∩ ∽ ∱ ⊡ ⊮≺⊡∱ インパルス応答は ≨∨≮∩ ∽ ⊯⊮≮ ∨≮ ⊸ ∰∩ 【問題２】問題１の伝達関数の周波数特性を求めよ。 ≺ ∽ ≥≪⊭ を代入すると、 ⊯ ⊯ ≈∨⊭∩ ∽ ∱ ⊡ ⊮≥⊡≪⊭ ∽ ∨∱ ⊡ ⊮≣≯≳⊭∩ ∫ ≪⊮≳≩≮⊭ ⊯ ∽ ≰∱ ⊡ ∲⊮≣≯≳⊭ ∫ ⊮∲ ≥≪⊵∨⊭∩ 【解答】 ⊵∨⊭∩ ∽ ⊡≴≡≮⊡∱ ⊮≳≩≮⊭ ∱ ⊡ ⊮≣≯≳⊭ ≈∨∡∩ ∽ ≒∨∡∩≣≯≳⊵∨∡∩ ∫ ≒∨∡∩≪ ≳≩≮⊵∨∡∩ ∽ ≒∨∡∩≥≪⊵∨∡∩ ここで ∲ ∲ ⊡ ∨∱ ≢≣≯≳∡∩ ∫ ∨≢≳≩≮∡∩ ≦≒∨∡∩≧∲ ≣≯≳∲ ⊵∨∡∩ ∫ ≦≒∨∡∩≧∲ ≳≩≮∲ ⊵∨∡∩ ∽ ≦∨∱ ⊡ ≢≣≯≳∡∩∲ ∫ ∨≢≳≩≮∡∩∲≧∲ ∱ ∲ ≦≒∨∡∩≧ ∽ ∨∱ ⊡ ≢≣≯≳∡∩∲ ∫ ∨≢≳≩≮∡∩∲ したがって、 ∱ ≪≈∨∡∩≪ ∽ ≒∨∡∩ ∽ ≰∨∱ ⊡ ≢≣≯≳∡∩∲ ∫ ∨≢≳≩≮∡∩∲ ⊡≢≳≩≮∡ ≴≡≮⊵∨∡∩ ∽ ∱ ⊡ ≢≣≯≳∡ より ⊡≢≳≩≮∡ ⊡∱ ⊵∨∡∩ ∽ ≴≡≮ ∨ ∱ ⊡ ≢≣≯≳∡ ∩ また、
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