第6章真直はりの曲げ応力

第6章真直はりの曲げ応力
6.1 真直はりの曲げ応力
6.2 各種物体の重心または図心
線，円板，板材，3次元物体
6.3 断面２次モーメントについて
平行軸の定理とその応用
6.4 極断面２次モーメントについて
6.５はりのまげ強さについて
各種はりの断面係数とはり針の強さ
第６章総合演習問題
2015/9/30
材料の力学
1
6.1 真直はりの曲げ応力
☆右図に示すように，集中荷重Pが支点A,Bか
ら距離a離れた点に作用する場合，両端支
持はりにかかるSFD,BMDはどのようになる
か。
☆解答
はりがせん断力を受けない条件は，
dM
0
dx
材料の力学
P
P
a
A
B
C
○○
SFD
である。この条件を満たすはりは，図に示す
ように左右対称に荷重を加えればよく，単
純曲げ（purebending）はりを作ればよい。
☆C-D間で曲げモーメントは一定，せん断力は
Fx  0 である。
2015/9/30
a
D
(+)
X
(-)
BMD
X
図単純曲げはり
2
中立面，中立軸とは？
☆中立面（neutral surface)：
曲げモーメントを受けても，
伸びも縮みもしない面。
☆中立軸(neutral axis)：
中立面とその垂直横断面
との交わる線(軸）
ｂ
ｎ
ｍ
ｍ０
n0
m'
n'
x
z
ｙ
dθ
M
M
ｒ
z
y
ｎ
ｍ
ｙ
ｎ１
m'
dy
dA
n0
ｍ０
ｍ１
y
n'
ｙ
演習問題：右図に示したはりおいて，中立面，中立軸はどこか？記号で答えよ。
2015/9/30
ｈ
材料の力学
3
6.1.1 はりの曲げひずみεと
曲率半径ｒの関係
☆図に示すように，中立面m0n0
から距離ｙ離れた円弧m1n1に生
じるｘ方向ひずみはεxは
ｂ
ｎ
ｍ
m n  m0 n0 (r  y)d  rd y
x  1 1


m0 n0
rd
r
☆材料のポアソン比をνとす
れば，ｚ方向のひずみεｚは
上の式から
ｍ０
n0
m'
n'
z
ｈ
ｙ
dθ
M
M
ｒ
z
y
ｎ
ｍ
y
 z   x  
r
2015/9/30
x
ｙ
ｎ１
ｍ１
m'
材料の力学
dA
n0
ｍ０
y
n'
ｙ
4
dy
6.1.1
はりの曲げひずみεと
曲率半径ｒの関係(続き）
☆真直はりの曲げ応力σx
について
y
 x  E x  E
r
ｂ
ｎ
ｍ
ｍ０
n0
m'
n'
x
z
ｈ
ｙ
（6.4）
dθ
M
M
ｒ
z
y
ｎ
ｍ
ｙ
応力分布の解答
は次のページ
ｎ１
ｍ１
m'
dA
n0
ｍ０
dy
y
n'
ｙ
Ｑ１：式(6.4)を使ってｙｚ断面における応力分布σｘを図示せよ。
Ｑ２：式(6.4)から応力σｘは，はりの曲率半径ｒ，ヤング率E，はりの中
立軸からの距離厚さｙに対してどのようになるか理解できたか。
2015/9/30
材料の力学
5
真直はりの上面，下面の応力は？
 Ee2 / r
M
b
上面圧縮
M
e2
x
y
下面引張
dy
Ee1 / r
h
z
e1
微小面積
dA  bdy
y
はりの上面y=-e2の応力：  x  y   e 2 
はりの下面y=＋e1の応力：  x  y e1
 Ee2

r
Ee1

r
なぜこの式になる？
 x  E x  E
だから。
y
r
したがって，真直はりにかかる曲げモーメントによって上面は圧縮応
力，下面は引張応力を受けることがわかる。
2015/9/30
材料の力学
6
はりの曲げ剛性と断面２次モーメント
 Ee2 / r
M
b
上面圧縮
M
e2
x
y
下面引張
Ee1 / r
dy
h
z
e1
微小面積
dA  bdy
y
このはりには，x方向に力が働いていない(外力＝０）から，ｘ方向の応力σｘをはり
の（ｙ，ｚ）断面内で積分した値は０となるはずである。そこで，次式が成立する。
Ey
E

dA

dA

ydA  0 ；
A x
A r

r A
EI Z
E 2
y
dA

 M （6.7）
A r
r
さて，はりの中立軸に関するモーメントの総和は，（モーメント＝力×距離＝応力×
面積×距離）曲げモーメントに等しいはずであるから，上の文章右の式が成立つ。
Iz   y 2 dA ：断面２次モーメント（ｍ４）;moment of inertia of area
A
7
はりの曲げ剛性と断面２次モーメント（その２）
 Ee2 / r
M
b
上面圧縮
M
e2
x
y
下面引張
dy
Ee1 / r
h
e1
z
EI Z
E 2
y
dA

M
A r
r
微小面積
dA  bdy
y
式（6.7）を書き換えれば，曲げモーメントMとはりの曲率半径ｒの関係：
1
M

r EI z
EIｚ：曲げこわさまたは曲げ剛性
（flexural rigidity）
Ey
EIzが大きいほど曲がりにくい。曲げ剛
性が大きいという。
☆最小圧縮応力と最大引張応力：
2015/9/30
MEy
Ey
任意のｙ位置の応力：  x  r  EI  I
z
z
 min
Me2
Me1 M
M

  ,  max 

Iz
Z2
Iz
Z1
材料の力学
8
真直はりの最大圧縮応力と最大引張応力と断面係数
の関係
☆真直はりの最大圧縮応力，引張り応力
 min  
Me2
Me1 M
M
  ,  max 

Iz
Z2
Iz
Z1
一定のモーメント M を
かけた場合，材料の断
面係数Zが大きいほど曲
げ応力は小さくなる。
Ⅰz:断面2次モーメント（ｍ４），
Z1，Z2:断面係数（ｍ３）
☆：断面係数（section modulus）の定義(重要）
IZ
断面２次モーメント
断面係数Z 

はり材料の図心から端までの距離
e
2015/9/30
材料の力学
9
6.2 各種物体の重心または図心
6.2.1 重心の定義
☆３次元直交座標系における
任意物体の各重心位置は，つ
ぎの定義式から求められる。
x, y, z  :座標系（ｚは重力方向）
y
ｚ
密度 
ｍ：物体の全質量
ρ:物体の密度
全体積 V
( xG , yG , zG )
ｘ
V:物体の全体積
ｄｖ：微小要素の体積
全質量 m
m   dm   dv
m
v
1
xG   xdm
m m
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1
y G   ydm
m m
1
z G   zdm
m m
10
6.2 各種物体の重心または図心
6.2.2 重心，図心および断面１次モーメントの求め方
☆まず物体の密度ρが一
定で，物体の形状が（ｘ，ｙ）
平面に限定され，重力方向
ｚ方向に厚さWが一定な平
面的な物体について，一例
として（ｘG)の位置を求める。
全体の質量ｍおよび区間dx
における微小質量ｄｍは，
密度   一定
幅 W  一定
y
z
xG , yG , zG 
yG
x
W
x
dx
dm  dV  Wb ( x)dx
m  V
xG
m   dm   dV  W  dA  WA
m
v
A
同様にｙGは
dm  dv  Wb(x)dx WdA
xG 
1
1
1
1
xdm


WxdA

xdA
y

G
m m
WA A
A A
m
2015/9/30

m
ydm 
1
1

WydA

ydA


A
A
WA
A
この形で求められる位置：図心という，
11
6.2.2 断面１次モーメント定義と図心
y
y
b( y )
☆断面１次モーメント(面積
モーメント）の定義；Jx，Jy
dA  b( y )dy
dx
ｘ
dy
dA  b( x)dx
単位：（ｍ３）
図全面積A
y
☆図心とは；
断面一次モーメントの
定義から求められる図形
の中心位置座標ｘG,yG
☆重心・図心ｘG,yGの求め方
単位：（ｍ）
図全面積A
x
J x   ydA   yb ( y )dy
A
yG 
A
Jx 1

ydA
A A A
b(x)
x
； J y  AxdA  A xb ( x)dx
；
xG 
Jy
A

1
xdA
A A
☆注意：図心は直交2次元座標系に描かれた図形の面積モーメント中心位置座標
12
1.2 断面１次モーメントの定義と図心
y
y
b( y )
☆断面１次モーメント(面積
モーメント）の定義；Jx，Jy
dA  b( y )dy
dx
ｘ
dy
dA  b( x)dx
単位：（ｍ３）
図全面積A
y
☆図心とは
断面1次モーメントの定義
から求められる図形の中
心位置座標ｘG,yG
☆重心・図心ｘG,yGの求め方
単位：（ｍ）
図全面積A
x
x
J x   ydA   yb ( y )dy ； J y  xdA 
A
A
A

yG 
Jx 1

ydA
A A A
；
xG 
Jy
A

b(x)

A
xb ( x)dx
1
xdA
A A
☆注意：図心とは直交2次元座標系に描かれた図形の面積モーメント（ｘｄAなど)
によって求められる図形の中心位置座標
13
6.2.2 断面１次モーメントの定義
物体の重心を原点とする場合の断面１次モーメントは？
y
y
重心  xG , yG 
y  yG
図全面積A
YG  0
y  yG
Y
重心（０，０）
図全面積A
x
x  xG
X
x
x  xG , X G  0
いま，上図左側の座標系 ( x, y ) における物体の重心（ｘG,ｙG)を，右側に示す
新しい座標系 ( X , Y ) の原点（０，０）に一致させ座標軸を平行移動させる。右
( X ,Y )
側の新しい座標系
におけるつぎの１次モーメントJxおよびJyはいくらか。
J X   YdA  AYG  0 ； J Y  AXdA  AX G  0
A
2015/9/30
材料の力学
14
例題：３次元物体の重心
密度ρ，板厚W，板幅ｔ,長さL＝一定の平板の場合
板厚W，板幅ｔ,長さL＝一定の平板の場合は
m   dm   dV  Wt  dx  WtL
m
v
ｚ
A
y
L
ｘ
ｄｘ
dm  Wtdx
xG 
L
1 L
1
L
xdm


wtxdx

m 0
wtL 0
2
∴重心ｘG；
xG 
1
L

L
0
xdx
t
x
ｗ
微小質量 dm  dV  wtdx
Q１:密度ρ，z方向の板厚W，y方向幅ｔが一定の場
1
 x  wtdx  L 2  L
合におけるｙ
Gを求める公式を作りなさい。
X  G，ｚ
xdm


m
wtL
L
2
Ans:
L
L
G
そこで，公式
が作れて
2
0
0
Q２:z方向の板厚がw=一定で，x方向の板厚が
t=to+axと直線的に厚くなり，ｘ＝Lでt=４toとなる台
形板の重心ｘ
2015/9/30
Gを求めなさい。Ans(ｘG=3L/5)
材料の力学
yG 
1
1 t
ydy
z

； G
t 0
W
W

0
zdz
15
6.2.3 各種物体の重心の例題
（１）細長い線要素（丸棒）の重心
（１）細長い線の丸棒
dm   d 2 dx 4
☆細長い線の密度をρ一定と仮定し，
線の直径をｄ，全長をLとし，微小線
要素ｄｘの質量をｄｍ，全質量ｍとす
れば，
dm 
d 2
dx ；
4
m
d
x
xG 
xG  L 2
L
4
1
1
d xdx
xdm

2
d L 0
m 0
4
4
L
2
dx
d 2 L
次の重心の定義式により
L
x

1
L
xdx

L 0
2
L
長い線，全長Lの重心が
L/2になることは自明だよ
ね。
☆こうして，細長い線の重心は線の1次モーメ
ント積分に置きかえられ，質量モーメントｘｄｍ
すなわち
ではなく，線モーメント(長さ×長さ）ｘｄｘで計算
2015/9/30
材料の力学
できるのだ。
1 L
xG   xdx
L 0
16
6.2.3 各種物体の重心または図心の例題（その2）
（2）細長い円弧形状をした線要素の重心
☆円弧の線の場合は図心を求めるのに，半
径ｒと角度θ座標で計算した方がより簡単で，（２）細長い円弧の線
r cos
分かりやすい。すなわち，右図において
dL  rd
；
x  r cos 
☆さて，線要素の重心は次に示すように，
線積分ｘｄLに置き換えられたので
1 2
1 2
X G    xdL 
 r cos  rd
L 2
r  2

2r

sin
dL
ｄθ
α
x
θ
ｒ

2
Q：α=π(180°）の細長い半円線の重心
XGを求めよ。Ans：XG=2r/π（約0.637ｒ）
2015/9/30
y
材料の力学
XG 
2r

sin

2
17
6.2.3 各種物体の重心または図心の例題（その3）
（３）平面・板要素の重心，ア）直角定規（スコヤ）の重心
y
☆板厚が一定な直角定規の重心
A1
この場合は，右図に示すように，直角定規を
構成する2つの要素の面積A1,A2とその個々
要素の重心位置1,2が事前に分かっている
から，モーメントの釣り合いの考え方を使う
ほうが簡単に重心が求められる。すなわち，
h1
面積 A1  h1b1
重心１  b1 , h1 
2 2
YG
スコヤ重心
 X G ,YG 
面積 A2  h2 b2
b h 

重心２  b1  2 , 2 
2 2

A2
h2
x
XG
b1
☆重要
全体の面積モーメント＝個々の面積モーメントの和
X
方
向
重
心
X G  A1  A2   X G1 A1  X G 2 A2
b1 A1 
b 
  b1  2  A2
2
2

XG 
 A1  A2 
Ｙ
方
向
重
心
b2
L
YG  A1  A2   YG1 A1  YG 2 A2
h1 A1 h2 A2

2
2  h1 A1  h2 A2
YG 
 A1  A2 
2 A1  A2 
18
6.2.3 各種物体の重心または図心の例題（その4）
イ)直角３角定規の重心
☆続いて，右図に示す厚さ一定の
直角３角定規の重心（図心）を求め
てみよう。この場合は，厚さが一定
であるから面積モーメントの定義を
忠実に実行すればよい。
1
1
YG  A ydA ； A  bh
A
2
ここで断面1次モーメントは

A
ydA   yb ( y )dy
y
x
(h  y )
dy
h
dA  b( y )dy
重心 ( xG , yG )
y
x
☆図の３角形の相似に着目して
∴
b( y )
h : b  (h  y) : b( y)
bh  y 
b( y ) 
dx
b
同様にして，
h
1
1 h ybh  y 
2 b  hy2 y 3  1
YG   ydA  
dy   
- ＝ h
A A
A 0
h
bh h  2
3 0 3
h
1
X
＝
b
G
；
3
19
6.2.3 各種物体の重心または図心の例題（その5）
ウ）板厚一定の半円板の重心
☆つぎに，右図に示す板厚一定の半円
板の重心を各自空欄を埋めながら導こ
う。微小扇形の面積dAは，扇を三角形
と近似すれば
dA 
1
1
r  rd  r 2 d
2
2
したがって，重心は定義どおり積分して
1
2
X G  AxdA  2
A
r


2
2
2
1
r cos  r 2 d
3
2
4r 3
4r
2



sin



3
6r 2
2
2015/9/30
微少扇面積の図心
ｙ
x
2
r cos 
3
円弧の長さ
rd
微少扇形の面積
d
dA 

1 2
r d
2
x
r
20
6.2.3 各種物体の重心または図心の例題（その6）
エ）円錐体の重心
☆右図に示される底面半径がRで，高さがｈ
である円錐体の重心を空欄を埋めながら各
自で求めよう。まず，円錐体の全体積およ
び微小な幅ｄｘの円板の体積ｄVは，それぞ
れ，1
V  R 2 h ； dV  r 2 dx
3
さらに，図に示す三角形の相似に着目して，
r:R  x:h ∴
r  Rx h
この関係をｄVに代入すれば
dV 
R 2
2
r
円錐体の全体積V
1
V = pR2 h
3
R
r
微小体積ｄV
d
d
= pr 2
V
微小質量
ｄｍ
x
x
x
d
x
h
x 2 dx
h
☆重要：立方体の重心は物体の密度が一定であれば体積モーメン
ト（ｘｄV）で求められるから，(証明は各自でしなさい）
1
XG 
V
2015/9/30
3 h R 2 3
3R 2 h 3
3  x4 
3
xdV 
x
dx

x
dx


h

2 3 0
3 
2 0
2
R h
h  4 0 4
R h h
h
h
0
材料の力学
21
6.2.3 各種物体の重心または図心の演習例題（その7）
オ）半球の重心（図心）
y
問：右図に示した半球の重心を以下の手順で
求めよ。
円弧長 ds  rd
2r 3
V
3
ア）半球の全体積Vは：
d
イ）重心の定義を密度一定の場合に使うと
1
XG 
V

3
xdV

xy 2 dx
3 V
V
2r
x
x  r cos
ウ）ここで，dx  ds sin   r sin d で与えられるから
3 2
XG 
 r cos r sin  r sind
2r 3 0
3 2 4
3r 2
3

r

cos

sin

d

 0 cos sin 3d
3 0
2r
2
2
ここで， sin   t とおくと， cos d  dt
y  r sin 
dx
微小要素の体積
dV  y 2 dx
r
半径ｒ
となるから，上の式が積分でき，
1
3r 1 3
3r  t 4 
3r
X G   t dt    
2 0
2  4 0 8
2015/9/30
材料の力学
22
重心と図心のまとめ
（密度は一定と仮定した場合）
重心の定義
xG 
1
xdm

m
m
yG 
1
ydm

m
m
zG 
1
zdm

m
m
重心・図心の求め方(平面物体，板厚も一定）
1
xG   xdA
A A
1
y G   ydA
A A
重心・図心の求め方（細長い線）
1 L
xG   xdx
L 0
2015/9/30
zG 
1
zdA

A
A
重心・図心の求め方（体積要素）
1
xG 
V
材料の力学

h
0
xdV
23
第6章2節重心の総合演習問題（その１）
ｙ
r=b
ｙ
c
x
ｘ
c
b
a
d
ｄ
a
問：図に示す複数の線要素からなる物体の重心を求めよ。ただし，細い
線で作られた円弧の重心は既に求めたように既知で以下に示す値が使
えるものとする。
円弧の重心：
2015/9/30
2r / 
材料の力学
24
第6章2節重心の総合演習問題（その2）
30
40
20
y
20
x
30
90
問：図に示す，板厚が一定な３角板と孔ありの長方形
板から構成される，平板の重心を求めよ。
2015/9/30
材料の力学
25
第6章2節重心の総合演習問題（その3）
y
半径ｒ
a
円錐
直径ｄ
円錐
円柱
x
半球
b
問：図に示す円錐体，円柱および半球から構成される物体の重心
を求めよ。また，特殊な例として，
a  b  r  h の場合の重心はいくらになるか。
2015/9/30
材料の力学
26
6.3 断面２次モーメント
☆すでに6.1節において，単純曲げを受けるはりの応力が，
はりの図心からの距離eと断面２次モーメントⅠｚによって影
響されることを学んだ。
復習：  min   Me2   M ,  max  Me1  M
Iz
Z2
Iz
Z1
この節の学習目的は
１）断面2次モーメントⅠｚの定義を覚えること。
２）断面係数Zの定義を覚えること。
３）任意断面形状を持ったはりの断面２次モーメントⅠｚを計
算できるようにすること。
である。
2015/9/30
材料の力学
27
6.3.1 長方形断面のはりにおける断面２次モーメント
平行軸の定理（parallel axis theorem）その1
y
y
b
d
Y
dy
dA  bdy
y
h
x
dx
x
x
G
G
I xG
I YG
dA  hdx
d
X
I XG
h
b
I yG
☆上図において，重心G（図心）を通る座標系ｘ-ｙにおいて，ｘ軸まわりの断面２次モー
メントⅠxGおよびｙ軸まわりの断面２次モーメントⅠｙGは
I x G   y 2 dA ； I yG   x 2 dA
A
A
h
2
0
I x G   y dA  2
2
A
2015/9/30
bh3
y bdy 
12
2
；
b
2
0
I yG   x dA  2
材料の力学
2
A
hb3
x hdx 
12
2
28
6.3.1 長方形断面形状のはりにおける断面２次モーメント
平行軸の定理（parallel axis theorem）その2
y
Y,y
dy
dA  bdy
h
2
y
h
x
G
h
2
I xG
dy
dA  bdy
h
2
y
h
h
2
Y
x
G
I xG
d
X
b
b
IX
☆一方，図の右側に示されるように，重心Gから距離ｄ離れた任意のX軸
まわりの断面２次モーメントIxは，定義に従って，
I X   Y 2 dA さらに，左のｘ-ｙ座標と右のX-Y座標を比較すれば Y  y  d
A
であるから，
I X   Y dA    y  d  dA   y 2 dA  2d  ydA  d 2  dA
2
2
A
2015/9/30
A
A
A
材料の力学
A
 I xG  d 2 A
29
6.3.2 平行軸の定理のまとめ
y
y
b
Y
dy
d
dA  bdy
y
h
x
dx
x
x
G
G
I xG
I YG
d
dA  hdx
X
I XG
h
b
I yG
2015/9/30
I X  I xG  d 2 A
IY  I yG  d 2 A
I xG  I X  d 2 A
I yG  IY  d 2 A
材料の力学
30
6.3.3 平行軸の定理の応用
（１）３角形断面のはり
・まず底辺ABに平行で，図心G
を通る断面２次モーメントIxGは
ｙ
I xG  I x  d A
2
C
・３角はりの場合，図心Gと底辺
までの距離ｄおよび面積Aは
d h 3
； A  bh 2
dy
h-y
ｄＡ＝ηｄｙ
h
y
・底辺ｘ軸まわりの断面2次モー
メントIxは
A
0
h
ＩＸ
x
b
h : b  (h  y ) : 
h
x
B
I x   y 2 dA   y 2dy
I x  0 y 2dy  0 y 2
ＩｘＧ
重心G
1
d h
3
h
A
（h-d）

η
；   bh  y  h
h
b(h  y)
b h
dy  b0 y 2 dy  0 y 3dy
h
h
bh3 bh4 4bh3  3bh3 bh3




3
4h
12
12
3
I xG
2
bh
h
bh bh3
 Ix  d A 


 31
12
9 ２
36
2
6.3.3 平行軸の定理の応用
（２）円形断面のはり
・断面形状が円形の場合は図に示すよう
に，円筒座標ｒ，θで断面２次モーメントを
求めた方が計算は簡単である。
ｙ
ｂ（ｙ）=２ｒｃｏｓθ
・任意点における幅ｂ（ｙ）とその微小面積
ｄAは
b( y)  2r cos
y  r sin 
ｄｙ
dA  b( y)dy  2r cosdy
dy
 r cos 
d
I yG
dA=b(y)ｄｙ
=2rcosθdy
ｙ=ｒｓｉｎθ
dy  r cosd
G
半径ｒ
θ
直径ｄ
x
I xG
・したがって，重心Gをとおるｘ軸周りの断面2
次モーメントは
I xG   y dA  2 
2
2
0
A
sin 2  

r sin  
1
1  cos 2 
2

2
2r cos r cos d  4r
cos 2  

4


2
0
sin 2  cos 2d
1
1  cos 2 
2
1
1 1
 1
1  cos2 2   1  1  cos4   1  cos4 
4
4 2
 8

4
4
4 
2015/9/30
材料の力学
4
 d
d
1
d
1
  2

 2 d 
I xG  4  0 1  cos4 d 
  sin4  
  0 
8
32 
4
32  2
2
0
 64
sin 2  cos2  
丸棒は軸対称だから
IxG=IyG
32
6.3.3 平行軸の定理の応用
（３）H形鋼断面のはり
y
H形鋼を図に示すように，面積A0
の長方形板材から２個の面積A1
 b  b1 
A1  2
h1
2


h2
h
の板材を引いたものと考える。
すなわち，重心Gをとおるｘ軸ま
わりの断面２次モーメントIxGは，
A
I xG
x
h2
Ix
＝
-
2
A0
A1
b  b1  2h1 bh3 b  b1 h1
bh3

2


12
12
12
12
3
2015/9/30
x
G
h1
b1
I xG   y dA   y dA  2 y dA
2
2
H形鋼の全面積A
b
面積A
IxG 
面積A0
I xG 
2(面積A 1） I xG
3
材料の力学
33
6.3.4 極断面２次モーメント
☆極断面２次モーメメントIpの紹介
• 円形断面のように軸対
称物体の断面２次モー
メントIxG,IyGなどは以下
に解説する極断面２次
モーメメントIpを用いた
ほうが容易に求められ
ることがある。

z
IP
y
r
x

面積ｄA
点（ｘ，ｙ）
Iｐの定義
I p  Ar dA  A x  y dA  I xG  I yG
2
2015/9/30
2
2
材料の力学
34
6.3.4 極断面２次モーメントを利用した丸棒の
断面２次モーメメントの求め方の紹介
・図に示した円形はりの断面２次モーメン
IｘG，IyGトを極断面２次モーメントIpの定
義式から求めなさい。

ｙ
I yG

I P   r 2 dA   x 2  y 2 dA  I xG  I yG
A
A
ｄｒ
r
ところで，円形断面では軸対称であるから
ｘ
G
I xG  I yG
直径d
極断面２次モーメントをといて
I xG
I xG
1 2
1 d2 2
 I P / 2   r dA   r 2rdr
2 A
2 0
d 2
2  r 4 
d 4

  
2  4 o
64
2015/9/30
微小面積ｄ
A
材料の力学
dA  2rdr
35
断面２次モーメントの演習問題
（１）銭型平次型断面
ｙ
（１）図に示す丸棒（円板）から長方形を
切り出した時の断面２次モーメントを求
める。(いわゆる，銭方平次の６文銭)
解答：
A0
I yG
A1
ｈ
直径ｄ
I xG  A y 2 dA  A y 2 dA  A y 2 dA
0
x
I xG
ｂ
1
d 4
bh3


64 12
=
-
面積A IxG= 面積A0 IxG - 面積A1IxG
2015/9/30
材料の力学
36
断面２次モーメントの演習問題
（２）三角・四角板+穴抜き円板
（２）図に示される孔抜き３角板と長方形板から構成さ
れる物体の軸（底辺），すなわち，底辺まわりの断面２
次モーメントを，以下の設問手順にしたがって求めよう。
Q1穴抜き合成板材の全面積はいくら？
h
Q2；底辺軸から測った，
１）板材の重心座標はいくらか？
２）３角板の重心座標は底辺からいくらか？
３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？。
４）板材のｘ軸からの断面2次モーメントはいくらか？ h
５）３角板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？
６）穴抜き円板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくら
か？
７）以上の結果を使って，Ixを求めよ。
８）この図形の重心座標ｙGはいくらか？
y
A3
2
D
h3
A2
1
A1
x
Ix
b
Ix
＝
Ix
面積A
2015/9/30
I yG
面積A1
Ix
＋
Ix
面積A2
面積A3
37
断面２次モーメントの演習問題
（４）家の側面図を描いてみました
（４）図に示すような家の側面図を書いてみました。こ
のような窓付き板材の軸まわりの断面２次モーメント
を以下の設問手順にしたがって求めよう。
Q1；合成板材の全面積はいくらか？
Q2；底辺軸から測った，
1）板材の重心座標はいくらか？
２）三角板の重心座標はいくらか？
３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？
さて，平行軸の定理，を使って，
４）板材の軸からの断面2次モーメントはいくらか？
５）三角板の軸からの断面２次モーメントはいくらか？
６）穴抜き円板のｘ軸からの断面２次モーメントはいく
らか？
７）穴抜き2枚の板材のｘ軸からの２次モーメントはい
くらか？
８）以上の結果を使って，この家のIxを求めよ。
９）この家の重心ｙGはいくらか？
y
h2
A4
1
h2
3
D
材料の力学
A3
全面積 A
h1
h4
A2
A2
h3
x
c
Ix
c
a
b
考え方
Ix
＝
A
2015/9/30
I yG
-2
A1
-
+
A2
A3
A4
38
6.4.1 各種形状の物体の断面２次モーメント
と断面係数(その１）
☆復習：断面係数の定義
Z
I
図心まわりの断面２次モーメント
 xG
図心から辺までの距離
e
ちなみに，右図に示す長方形断面のはりの断面２次モー
メントおよび断面係数Zは
b
h/2
Zh 2
I xG bh3 12 bh2



h2
h2
6
I xG
Z h 2
2015/9/30
h
 
I xG bh3 12 bh2 3



m
h2
h2
6
材料の力学
39
6.4.1各種形状の物体の断面２次モーメントと
断面係数（その２）
60
45
60
１．図(a)，(b)，
(c)に示す，長方
形はりの中立軸
に対称な断面の
断面係数を求め
なさい。
30
20
60
30
(a)長方形横置き
30
（ｂ）長方形縦置き
（ｃ）角パイプ
解答：
（ａ）の長方形が横置きの場合
（ｂ）の長方形が縦置きの場合
（ｃ）角パイプの場合
2015/9/30
I xG
Z e1  Z e 2 
I xG bh3 12 bh2 60  302



 9000 mm3
e1
h2
6
6
Z e1  Z e 2 


I xG bh3 12 bh2 30  602



 18000mm3
e1
h2
6
6

30 603 20 453


 388125m m4
12
12

材料の力学

Z e1  Z e 2 


I xG 388125

 12397.5 mm3
e1
30

40
6.4.1各種形状の物体の断面２次モーメントと
断面係数（その３）
２．図(a)，(b)に示す円形はりの断面係
数を求めなさい。
  40
  20
  40
解答：
(a)中実丸棒の断面係数
Z e1  Z e 2 
I xG d 4 64 d 3 3.14  403


 6283.18m m3 

32
32
e1
d 2
（ｂ）中空丸棒の断面係数
この場合の断面２次モ－メント
は，中実丸棒から中空丸棒の断
面２次モーメントを引けばよい。
すなわち，
2015/9/30
I xG  I xG1  I xG 2

(b)中空丸棒
（ａ）中実丸棒
d1 4  d 2 4 

 

 64  1  64  2
3.14  403 3.14  204 3.14 4


40  204  117809.6 m m4
64
64
64
Z e1  Z e 2 
材料の力学



I xG 117809.6

 5890.48 m m3
e1
20



41
6.4.2 各種はりの強さ（その１）
１．図に示したように，断面積が一定（質
量が同じ）中実丸棒と中空丸棒のは
りに，同じ曲げモーメントがかかる場
合，どちらがどれほど丈夫であるか。
ただし，中実丸棒の外径は中空丸
棒の内径と等しいものとする。
解答：
円形断面のはりの応力はで   M
あるから，断面係数Zを比べ
ればよい。断面積が一定の
関係から
d
4
2


 d1  d
2
4
2

 d
 d
Z
Z中実 
Z中空
Z中実
∴
d1  2d
Z中空
Z中実
つぎに，中実円，中空円の断面係
数はそれぞれ，
Z中空
Z中実
2015/9/30
材料の力学
d 3
，
32

Z中空 
  d1
d
32d

4
1
- d4

1
M  中空
M  中実

 中実
 中空

 中実
d 3 32
d3


4
 中空  d14 - d 4 32d1 
d1 - d 4 d1

 中実
d3
d3
2



4
4
4
4
 中空
d1 - d d1
4d - d  2 d 3



  
 
 

42
☆第6章総合演習問題（その１）
１．許容曲げ応力60MPaのはりが，1.2×106（N・ｍｍ）の最大曲げモーメント
を受ける，必要最小限の断面係数Zはいくらか。
（解答：2×104mm３）
２．図に示す長方形の断面を持った両端支持はりについて以下の設問に答え
よ。ただし，はりの断面形状は長方形とする。
2015/9/30
200N
100N
A
C
D
B
30
１）支点反力はそれぞれいくらか。
（解答：，）
２）最大曲げモーメントはいくらか
（解答：）
３）断面係数はいくらか
（解答：）
４）最大曲げ応力はいくらか
（解答：
500
300
1000
材料の力学
200
15
43
総合演習問題（その２）
３.図に示すような断面形状の形鋼において，その許容
曲げ応力をとするとき，片持ちはりの先端にかける
最大荷重はいくらま
で許されるか。
1000ｍｍ
2015/9/30
40
10
20
P
20
材料の力学
44
総合演習問題（その３）
４．右図に示すような直径ｄ一定の
丸棒から長方形断面（ｈ×ｂ）を持っ
たはりを切り出し，その断面係数Z
を最大としたい。ｈとｂの比はいくら
にすればよいか
５．同一断面積をもつ正方形と円
の断面係数を比較し，両者の比
を求めよ。
2015/9/30
材料の力学
直径ｄ
h
b
45
総合演習問題（その４）
６．右図に示すような片持ちはりがある。このはりの許
容曲げ応力σｂ＝60MPaとすれば，固定端に必要な
断面係数Zはどれほどか。またはりの断面を幅
b=50mmの長方形とした場合，高さはｈどれほどか。
(解答：Z=5.83×104mm３，h=83.6mm)
3000N
2000N
h
500
2015/9/30
500
材料の力学
50
46
総合演習問題（その5）
７．断面が右図に示すような
逆T字型はりに一様な曲
げモーメントが作用すると
き，このはりの最大応力が
最大圧縮応力の1/3になる
ためにはフランジ幅ｘはど
れだけあればよいか。
８．右図に示す段付の片持ち
はりにおいて，A，Bに生じ
る最大応力を等しくするに
は直径D1,D2にどのような
関係が必要か。
2015/9/30
材料の力学
ｔ
圧縮側
ｈ
ｔ
G
ｃ
ｘ
引張側
P
C
D1
D2
B
A
x
x
L1
L2
L
47

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