超対称Yang-Mills理論における非BPS状態とWilson

Non-equilibrium thermodynamics
near the horizon
and holography
The stretched
horizon
The membrane paradigm
・entropy, viscosity, etc.
on the stretched horizon
The boundary at
the infinity
Mitsutoshi Fujita


Theoretical Particle Physics Group
Department of Physics, Kyoto University
[M. Fujita arXiv:0712.2289]
Non-equilibrium thermodynamics
near the horizon
and holography
・The determination of S, Q, L： they are
determined by the Ward identity (the
conservation law) and by the decomposition
kk
of P     2 by the rotational symmetry.
[M. Fujita, arXiv:0712.2289 ]
Motivation
○We can analyze the QGP physics (the
states of the high temperature and the
high density in the dual Yang-Mills
theory) using the strong-weak coupling
duality (the AdS/CFT correspondence).
・Example
k  (,0,0, q)
G01,01 (k ) 
The transverse
momentum
1 q2
G1 (, q)
2  2  q2
G00,00 (k ) 
1
q4
(2G2 ),
3 ( 2  q 2 ) 2
The longitudinal
momentum
G12,12 (k ) 
1
G3
2
N 2T 3 ( 2  q 2 )
,
4(i  q 2 / 4T )
2
2
4
2
 N T q
G2 ( , q ) 
.
(3 2  q 2 )
Membrane paradigm approach
○The thermal equilibrium breaks the Lorentz
invariance into the rotation symmetry:
The
stretched
horizon
・So far, the review part of
the usual AdS/CFT
correspondence.
○The approach of
the AdS/CFT
correspondence
The
transverse
stress
tensor

○The gauge theory side：
 ( x1 ) ( x2 )... ( xn )
 e HT   e I ( ( x))
○We calculate the dissipative part of
the energy momentum tensor:
T   ( E  P)   Pu u   

○α and β run the spatial coordinate.


 
,  
EP
E  P show the shear and
the bulk viscosity 、v s is the sound
velocity.
i is equal to the momentum density T. 0 i
○
The determination of the viscosity coefficient
○The deformed stress tensor relates to
the energy momentum tensor as follows:
○The perturbation from the on-shell
action ⇔The small deviation from the
thermal equilibrium:

g (t, z, r)  ei(t qz ) h (r), (t, z, r)  ei (t qz )(r)
Our paper
T(iG ) j   jk T(ikYM )
Kovtun, Son, Starinets(2003)
Our work
○The gauge fixing conditon (hr  0)
○Our solution satisfies the incoming wave
boundary conditon at the horizon and the
Dirichlet boundary condition at the infinity.
The boundary
at the infinity
2
T tt  E
○The solution:
Sound mode
m
1  i 2
2
H tz 
 f (r )(im( p-1) f (r )  O(q ))  e  df (r )
2qm 

Incoming wave solution
Gauge dependent
terms
○Brown and York’s Quasi-local stress
tensor on the stretched horizon:
T  

1

(       )
8G p  2
: the extrinsic curvature
○We substitute above the solutions for
this stress tensor.

○Moreover, we must deform T
to
satisfy the conservation law in the flat
space:
1
2(3  p) 2
,  
 ,
4T
p(9  p)
5 p

9 p
These results are
 
○ ｒ is the radial coordinate of the spacetime.
○The SUGRA side： the partition function
of the SUGRA with the boundary value:
The
longitudin
al
momentum

T     vs 2                             
p



G1 ( , q ) 
G , ( x  y)  i ( x0  y0 )  [T ( x),T ( y)] 
The
transverse
momentum
○The dissipative part of the stress tensor in
the gauge theory side:
○We need to deform the on-shell action
of the SUGRA smally to calculate the
dissipative part of the energy
momentum tensor   .
・The calculation by the method of the AdS/CFT
correspondence:
○The retarded Green’s function of the
energy momentum tensor:



G , (k )  S , G1 (k0 , k 2 )  Q , G2 (k0 , k 2 )  L , G3 (k0 , k 2 )
The constitutive relation in the hydrodynamics
These tensor is orthogonal to each other.
○In this presentation, we apply ‘’the
membrane paradigm’’ to the AdS/CFT
correspondence. We determine the
viscosity coefficients of the Yang-Mills
theory corresponding to the black pbrane geometry.
Yang-Mills side: ｔhe behavior of the
Green’s function of the Lorentz invariant
theory in the hydrodynamic limit.
i, j runs the coordinates of the dual
Yang-Mills theory.
k
Mitsutoshi Fujita
Theoretical Particle Physics Group
Department of Physics, Kyoto
University
DiT i j  0   i T(iG ) j  0
○The gauged SUGRA action (φis the
dilaton）:
vs
2
Our work
consistent with the quasinormal mode analysis.
Problem: we can’t reproduce the perfect fluid
part of the stress tensor.
Conclusion
○We deformed Brown and York’s stress
tensor so that it satisfies the conservation
law of the flat space.
○We deduced the viscosity coefficient in
the dual Yang-Mills theory corresponding
to the black p-brane geometry using the
membrane paradigm.
○the experimental result of the shear
viscosity is slightly different from our
result.

今回の発表では修士論文の後半部分のMembrane
paradigmを用いたグルーオン・プラズマの流体力学的な解
析を
[M. Fujita , `` Non-equilibrium thermodynamics near the
horizon and holography, ’’ arXiv:0712.2289 ]
の論文に基づき発表します。
動機
・AdS/CFT対応（強弱結合の双対性）を用いると超重力の古典解
を用いて双対な超対称Yang-Mills 理論の高温高密度の状態、
すなわちQGP(クォーク・グルーオン・プラズマ)を比較的容易に
解析することができる。
・AdS/CFT対応を用いていくつかのゲージ理論のQGPにおける
粘性係数を計算したい。
・今回用いるのはMembrane paradigmという考え方をAdS/CFT
対応へ適用した手法である。ブラックpブレーンに対し、
membrane paradigmを用いて双対なゲージ理論のQGPにお
ける粘性係数を決定する。
The behavior of the Green’s function of the Lorentz
invariant theory in the hydrodynamic limit.
・The retarded Green’s function of the energy momentum
tensor.
G
( x  y)  i ( x0  y0 )  [T ( x),T ( y)] 
 ,


2
2
2
G , (k )  S , G1 (k0 , k )  Q , G2 (k0 , k )  L , G3 (k0 , k )
・The thermal equilibrium breaks the Lorentz invariance into
the rotation symmetry.
横運動量
縦運動量
横応力
P    
k  k
k2
・The determination of S, Q, L： they are determined by the
Ward identity（保存則） and
の回転対
k  (,0,0, q)
横運動量
1 q2
G01,01 (k ) 
G1 (, q)
2
2
2  q
縦運動量
・具体例
1
q4
G00,00 (k ) 
(2G2 ),
2
2 2
3 (  q )
1
G12,12 (k )  G3
2
・AdS/CFT対応を用いた計算
→低エネルギーの極限で G ,Gは流体力学の分散関係
1
2
式の極をもつ。
[P. K. Kovtun, A. O. Starinets, 2005]
・今回の取り組み：エネルギー運動量テンソルの真空期待値
も流体力学で支配されている。その散逸部分σの粘性係数
を決定したい。
T

 ( E  P) g

 Pu u  
 

Membrane paradigm approach
・ここまでは、通常のAdS/CFT対応のレビュー
Horizon近傍
のP+1次元膜
・エネルギー運動量テンソルの散逸部分
をどうやって計算するか。
・通常のAdS/CFT対応によるapproach
無限遠の境界
ゲージ理論側：場の期待値、相関関数

超重力側
：超重力が住むAnti-de Sitter空間の無限遠の
境界で超重力の古典解を評価する。
・今回は少し違ってhorizonで超重力の古典解を評価する。
Membrane paradigm approach
・超重力の古典解を用いてhorizonで
ゲージ理論の流体力学を記述する
保存量の対応物をつくることができる。
保存する応力テ
ンソルが存在
無限遠の境界
・エネルギー運動量テンソルの散逸部分を計算するには超重力解を
ちょっとゆがめる必要がある。
→摂動を考える。
双対のゲージ理論側、熱平衡からのずれ
・超重力の有効作用：φはディラトン、P(φ)はディラトンのポテンシャ
ル
重力の摂動の線型方程式の解
g (t, z, r)  ei (t qz ) h (r), (t, z, r)  ei (t qz )(r)
我々の論文
Kovtun, Son,
Starinets(2003)
・ゲージ自由度を落とす。(hr  0)
ｒはブラックホールの半径方向の座標
・古典解はhorizonでincoming wave境界条件を満たす。
・全ての摂動に無限遠で消えるディリクレ境界条件を課す。
Shear mode
・我々の解は以前の論文で得られたquasi-normal modeの解
とコンシステントであるはずであり、分散関係式を満たす。

5 p
2
q2
qi
 ...
9 p
9  p 2T
Sound mode
Quasi-local stress tensor
応力テンソル
・horizonで定義された保存する応力
テンソルが存在
(BrownとYorkのQuasi-local stress tensor)
・さっきの重力解を代入
→双対なゲージ理論の応力テンソル
の散逸部分を再現する。
無限遠の境界
・曲がった時空ではlocalにはエネルギーを定義できない。
→時空の境界またはhorizonなら可能(quasi-local)
・我々のquasi-local stress tensorは平坦な保存則を満たす。
は双対なゲージ理論の時空を走る。
i, j
i T
i
j
0
流体力学の関係式
・平坦なゲージ理論側の応力テンソルの散逸部分＋圧力の変分は
次の形


 ij

 i j
2 ij
2
ij
k
i
j
k 

T   P  v s      k              k   
p



ij
・i, j は時間を除いた空間の足を走る。


・  
はずり粘性率と体積粘性率、 v s は音速
,  
EP
EP
・  は運動量密度 T 0 i に等しい。
・我々が作ったQuasi-local stress tensorはこの形をしていると予
想し、同じものだとみて粘性係数を比べた。
i
流体力学定数の決定
・ブラックpブレーンと双対な理論の粘性係数、音速は
次のように求まった。
我々の
work
我々の
work
1
2(3  p) 2
 
,  
 ,
4T
p(9  p)
5 p
2
vs 
AdS/CFTを用いた他の論文での
9 p
計算結果とコンシステント！
問題点
・但し、エネルギー運動量テンソルの期待値の主要項は再現できなかっ
た。
・p=3のとき全ての摂動量が無限遠で収束するわけではない。
結論
・我々はブラックpブレーンと双対なゲージ理論の粘性係数、
特に体積粘性係数をmembrane paradigmを用いて初め
て導出した。ずり粘性係数の実験結果はこの値から少し
ずれることが知られている。
・我々はBrownとYorkの応力テンソルを平坦な空間の保存
則を満たすように変形して、ゲージ理論側の応力テンソル
と比べることでブラックp-ブレーンと双対な理論のエネル
ギー運動量テンソルの期待値の散逸部分をhorizonに見出
した。
今後の展望
・QGPにおける物理からAdS/CFT対応の検証や超対称粒
子の証拠が得られるかもしれない。

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