計算の工夫をして平均と分散を求める コ ン ピ ュ ー タ を 使 う と ，数 値 が 大 き く て も 瞬 時 に 平 均 や 分 散 を 求 め ら れ る の で ，計 算 方 法 を 工 夫 し な い が ，コ ン ピ ュ ー タ を 使 わ ず に 計 算 す る 場 合 ，一 工 夫 す る こ と で 計 算 量 を 大 幅 に 減らすことができる。 そ の 方 法 と は ，す べ て の 数 値 か ら 一 定 の 値 を 引 い て ，数 値 の 絶 対 値 を で き る だ け 下 げ ，途 中の計算を簡単にして平均や分散を求める方法である。 数 値 を 下 げ て 計 算 し た 仮 平 均 に ，全 体 か ら 引 い た 一 定 値 を 後 で 加 え る こ と で 、求 め る 平 均 値が得られる※１。 分 散 は ，分 布 の 広 が り だ か ら ，本 来 の 状 態 で 求 め て も ，全 体 的 に 一 定 値 を 引 い て 求 め て も ， 分布の広がりは変わらないので，数値を下げて得られた分散がそのまま答えとなる※２。 次の例題を使って計算量を比較する。 ［ 例 題 ］ 次 の デ ー タ を 用 い て 平 均 ( m )と 分 散 (Ｖ )の 値 を 求 め よ 。 Ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 62 57 77 48 69 58 81 53 64 74 （平均） ＜一般的な方法＞ 平均＝ 62 57 77 53 64 74 643 ＝ ＝ 64.3 10 10 ＜数値を下げて求める方法＞ 数 値 を 見 て ， だ い た い 60 あ た り に 集 中 し て い る か ら ， 全 体 か ら 60 を 引 い て 平 均 を 求める。 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 2 -3 17 -12 9 -2 21 -7 4 14 Ｙ 仮平均＝ 2 (3) 17 (7) 4 14 43 ＝ ＝ 4.3 10 10 よ っ て ， 平 均 は ， 64.3 （注）・全体から引く数字は，データから推測すればよい。 ・一般的な方法に比べて，数値がかなり小さくなり，計算しやすい。 （分散） ＜ 一 般 的 な 方 法 ① ＞ ・ ・ ・ ( X i m) 2 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 Ｘ 62 57 77 48 69 58 81 53 64 74 ( X m) 2 5.29 53.29 161.29 265.69 22.09 39.69 278.89 127.69 0.09 94.09 分散＝ 5.29 53.29 161.29 127.69 0.09 94.09 1048.1 ＝ ＝ 104.81 10 10 （ 注 ）・各 デ ー タ か ら ，平 均 を 引 い て 小 数 の ２ 乗 を す る の で ，手 計 算 で は か な り 手 間 が かかる。 -1- ＜ 一 般 的 な 方 法 ② ＞ ・ ・ ・ E ( X 2 ) ( E ( X )) 2 Ｘ Ｘ 2 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 62 57 77 48 69 58 81 53 64 74 3844 3249 5929 2304 4761 3364 6561 2809 4096 5476 よって，Ｘ2 の平均は Ｘ2 の平均＝ 3844 3249 5929 2809 4096 5476 42393 ＝ ＝ 4239.3 10 10 分 散 ＝ 4239.3－ (64.3) 2 ＝ 104.81 （ 注 ）・ 小 数 の ２ 乗 計 算 が な く な っ た 分 ， 楽 に な っ た が ， Ｘ 2 の 平 均 を 求 め る の で ， 大 き な数字になってしまう。 ＜ 数 値 を 下 げ て 求 め る 方 法 ＞ ・ ・ ・ E (Y ) ( E (Y )) 2 Ｙ Ｙ2 １ 2 4 ２ -3 9 ３ 17 289 ４ -12 144 ５ 9 81 ６ -2 4 2 ７ 21 441 ８ -7 49 ９ 4 16 10 14 196 よって，Ｙ2 の平均は Ｙ2 の平均＝ 4 9 289 49 16 196 1233 ＝ ＝ 123.3 10 10 分 散 ＝ 123.3－ (4.3) 2 ＝ 104.81 （注）・扱う数値が小さいので，Ｙ2 の平均を求める時も比較的平易である。 ※１ 確 率 変 数 X i か ら ， 一 定 値 m を 引 い た 値 を Yi と す る 。 Yi X i m X i Yi m こ の と き ， X i の 平 均 E (X ) は 1 N Xk N k 1 1 N ＝ (Yk m) N k 1 1 N 1 N ＝ Y m k N N k 1 k 1 ＝ E (Y ) m し た が っ て ， X i の 平 均 を 求 め る と き ， 一 定 値 m を 引 い た 値 Yi の 平 均 を 求 め て お き ， 最 後 に 一 定 値 m 加 え て も よ い こ と が 分 か る 。 こ の と き の E (Y ) を 仮 平 均 と い う 。 ※ ２ 確 率 変 数 X i か ら ， 一 定 値 m を 引 い た 値 Yi の 分 散 V (Y ) は 。 E (X ) ＝ V (Y ) ＝ E (Y 2 ) E (Y ) 1 N 2 ＝ ( X i m) 2 E ( X ) m N k 1 1 N 2 N 1 N 2 2 2 ＝ X mX m E ( X ) 2m E ( X ) m 2 i i N k 1 N k 1 N k 1 2 ＝ E ( X ) 2m E ( X ) m E ( X ) 2m E ( X ) m 2 2 ＝ E ( X 2 ) E ( X ) ＝ V (X ) 2 -2- 2 2
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