基礎電気理論 (1) 2008年作成 担当:本間 聡 連絡先 Email: [email protected] 授業を始めるにあたって 約束事 連絡事項 開始5分前までに入室して下さい。遅刻は認めません。 途中退室は原則認めません。トイレは開始前に済ませておいて下さい。 飲食は一切禁止します。 携帯電話の電源は教室に入る前に必ず切ってください。 レポートの課題が出された場合,木曜日の10時までに, A1号館の3階 A1-309の部屋の前のレポートボックスへ提出する. 質問等があれば,[email protected]へメールを送る、またはA1 号館の3階 A1-309まで来る テキストのアップロード http://www.es.yamanashi:8080/~motoken/ 1.実数、虚数、複素数 虚数、複素平面、複素数の和と積をしっかり理解する。 虚数、複素平面、複素数の和と積をしっかり理解する。 虚数、複素平面、複素数の和と積をしっかり理解する。 虚数、複素平面、複素数の和と積をしっかり理解する。 実数とは? 実数とは? 二乗すると正になる数字 二乗すると正になる数字 実数とは? 実数とは? 二乗すると正になる数字 二乗すると正になる数字 2 222 虚数とは? 虚数とは? 二乗すると負になる数字 二乗すると負になる数字 二乗すると負になる数字 虚数とは? 虚数とは? 二乗すると負になる数字 11 11 jなどなど などなど ((( jjj2222111))) jjj 111,,, 555jjなどなど j 1 , 5 jなどなど ( j 1) 複素数とは?虚数と実数の足し合わせ 複素数とは?虚数と実数の足し合わせ 複素数とは?虚数と実数の足し合わせ 複素数とは?虚数と実数の足し合わせ 3j 3j 3j 3j 位相共役(複素共役)とは? 位相共役(複素共役)とは? 位相共役(複素共役)とは? 位相共役(複素共役)とは? 5+3j 5+3j 5+3j 5+3j 5 555 3j 3j 3j 3j a aaa jb jb jb jb a+jb a+jb a+jb a+jb 2.複素数の足し算・引き算 複素数の足し算、引き算は、 →実数、虚数にごとに計算する。 例 (3+4j )+(2+8j )= (3+2)+j (4+8)=5+j 12 (3+4j )-(2+8j )= (3 - 2)+j (4 - 8)=1 - 4 j (3a+bj)+(2a-2j)= 5a+(b-2)j 3.複素数の掛け算・割り算 複素数の掛け算は j 2=-1ということに気をつけて。通常の実数と同じように計算 する。 例題 (3+4j )・(2+8j ) =6+24j +8j +32j 2 =-26+32j 複素数の割り算は 分母の有理化をする 3 4 j 3 4 j 28 j 28 j 28 j 28 j 6 24 j 8 j 32 4 64 分母の値の位相共役を 分母、分子にかける。 値は1と等価 38 16 j 68 19 8 j 34 4.複素数の大きさ 複素数の大きさ 位相共役をかけて、平方根を計算する ここで、位相共役とは、虚数の符号を反転させたもの 例)a+jbの位相共役はa-jb, 同様に3-4j の位相共役は3+4j 例) a jb a jb a jb a2 b2 53j 34 53j 34 8 6 j 100 10 5. 複素平面 複素数を複素平面に記述する a+ jb を複素平面に記述する 虚部 Imaginary part 大きさを考えてみよう。 前のページの計算式より a jb a jb a jb a 2 b2 b c a 2 b2 実部 Real part b 反時計回りに実部の軸からの角度 a を偏角と呼ぶ a tan = b / a = (虚部の大きさ/ 実部の大きさ) ピタゴラスの定理より、大きさは矢印の長さを表す 5. 複素平面 複素平面を用いた複素数の足し算 3+j 1 5+3j 3 3 2+2j 3+j 2 2+2j 2 5 (3+j ) + (2+2j )=5+3j ベクトルの足し算でも計算できる 5.複素平面 では,どれくらい大きさ,向きが変化したのか? 複素平面上での複素数の掛け算 大きさ 向きが変化している 3 j 1 4j 3 1 3 j 3 j 1 3 j 3 1 3 j 1 3 j 4j 3 3 1 j 3 j 5.複素平面 3 j に 1 4j ここに注目! 2 1 3 j 90 3 60 3 j 6 60と 2倍という値は 30 どこから来るのか? 1 3 j 1 3 j 3 3 1 j 3 j 4j 3 j を 60回転させ、 大きさを 2倍にした値 3 j をかけると 3 j の大きさは 1 3 j= 1 3 j 1 3 j 2 60という値は、図より 横軸からの角度 6. 複素数と三角関数 A=a+ jbを三角関数を使って表すと 実部 虚部 Imaginary part a r cos a 2 b 2 cos A b r 虚部 b r sin a 実部 Real part a 2 b 2 sin A r cos jr sin 6. 複素数と三角関数 もう一度、複素数の掛け算を考えてみよう 3 j 1 3 A1 2 cos30 j 2 sin 30 1 3 j 3 1 A2 2 cos60 j 2 sin 60 3 j 1 3 j 3 3 1 3 j 4j 4 cos90 4 j sin 0 2 cos30 2 j sin 30 2 cos60 2 j sin 60 4cos30 cos60 sin 30 sin 60 4 j sin 30 cos60 sin 60 cos30 4 cos30 60 4 j sin 30 60 4 cos90 4 j sin 90 4j 6. 複素数と三角関数 数学的に整理すると r1 1 A1 r1 cos1 jr1 sin 1 A1 A2 r1 cos1 j sin 1 r2 cos2 j sin 2 r1r2 cos1 2 j sin1 2 r2 2 A2 r2 cos2 jr2 sin 2 例題 以下のA1とA2の積を計算してみよう 1 3 A1 j 2 2 3 1 A2 j 2 2 A1 A2 ? 前のスライドから A1 A2 r1 cos1 j sin 1 r2 cos 2 j sin 2 r1r2 cos1 2 j sin 1 2
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