スライド 1

基礎電気理論 (1)
2008年作成
担当：本間聡
連絡先 Email: [email protected]
授業を始めるにあたって

約束事





連絡事項



開始５分前までに入室して下さい。遅刻は認めません。
途中退室は原則認めません。トイレは開始前に済ませておいて下さい。
飲食は一切禁止します。
携帯電話の電源は教室に入る前に必ず切ってください。
レポートの課題が出された場合，木曜日の10時までに， A1号館の3階
A1-309の部屋の前のレポートボックスへ提出する．
質問等があれば，[email protected]へメールを送る、またはA1
号館の3階 A1-309まで来る
テキストのアップロード
http://www.es.yamanashi:8080/~motoken/
１．実数、虚数、複素数
 虚数、複素平面、複素数の和と積をしっかり理解する。
虚数、複素平面、複素数の和と積をしっかり理解する。


 虚数、複素平面、複素数の和と積をしっかり理解する。
虚数、複素平面、複素数の和と積をしっかり理解する。
 実数とは？
実数とは？
二乗すると正になる数字

二乗すると正になる数字

 実数とは？
実数とは？二乗すると正になる数字
二乗すると正になる数字
2
222
 虚数とは？
虚数とは？二乗すると負になる数字
二乗すると負になる数字

二乗すると負になる数字

虚数とは？
 虚数とは？二乗すると負になる数字
11
11
jなどなど
などなど（（（ jjj2222111）））
jjj 111,,, 555jjなどなど
j  1 , 5 jなどなど（ j  1）

 複素数とは？虚数と実数の足し合わせ
複素数とは？虚数と実数の足し合わせ

複素数とは？虚数と実数の足し合わせ
 複素数とは？虚数と実数の足し合わせ
3j
3j
3j
3j

 位相共役（複素共役）とは？
位相共役（複素共役）とは？

位相共役（複素共役）とは？
 位相共役（複素共役）とは？
5+3j
5+3j
5+3j
5+3j
5
555
3j
3j
3j
3j
a
aaa
jb
jb
jb
jb
a+jb
a+jb
a+jb
a+jb
２．複素数の足し算・引き算

複素数の足し算、引き算は、
→実数、虚数にごとに計算する。
例
 (3+4j )+(2+8j )= (3+2)+j (4+8)=5+j 12
 (3+4j )－(2+8j )= (3 － 2)+j (4 － 8)=1 － 4 j
 (3a+bj)+(2a－2j)= 5a+(b-2)j
３．複素数の掛け算・割り算

複素数の掛け算は
j 2=－1ということに気をつけて。通常の実数と同じように計算
する。
 例題
 (3+4j

)・(2+8j ) =6＋24j +8j +32j 2
=－26＋32j
複素数の割り算は

分母の有理化をする
3 4 j 3 4 j 28 j


28 j 28 j 28 j

6  24 j  8 j  32
4  64
分母の値の位相共役を
分母、分子にかける。
値は1と等価
38  16 j

68
19  8 j

34
４．複素数の大きさ

複素数の大きさ

位相共役をかけて、平方根を計算する



ここで、位相共役とは、虚数の符号を反転させたもの
例）a+jbの位相共役はa－jb, 同様に3－4j の位相共役は3+4j
例） a  jb 
a  jb a  jb 
 a2  b2
53j 
34
53j 
34
8  6 j  100  10
5. 複素平面

複素数を複素平面に記述する

a+ jb を複素平面に記述する
虚部
Imaginary part
大きさを考えてみよう。
前のページの計算式より
a  jb 
a  jb a  jb
 a 2  b2
b

c  a 2  b2
実部
Real part
b
反時計回りに実部の軸からの角度 a
を偏角と呼ぶ
a
tan  = b / a
= (虚部の大きさ/ 実部の大きさ) ピタゴラスの定理より、大きさは矢印の長さを表す
5. 複素平面

複素平面を用いた複素数の足し算
3+j
1
5+3j
3
3
2+2j
3+j
2
2+2j
2
5
(3+j ) + (2+2j )=5+3j
ベクトルの足し算でも計算できる
5．複素平面

では，どれくらい大きさ，向きが変化したのか？
複素平面上での複素数の掛け算
大きさ
向きが変化している
3 j
1
4j
3
1 3 j
3 j
1 3 j
3
1


 
3  j 1 3 j 
4j

3  3  1 j  3 j 
5．複素平面
 3  j に 1
4j
ここに注目！

2

1 3 j
 90 

3
 60 
3 j
6
60と 2倍という値は
 30 
どこから来るのか？
1 

 
3  j 1 3 j 

3  3  1 j  3 j 
4j

3  j を 60回転させ、
大きさを 2倍にした値



3 j をかけると

3 j の大きさは



1 3 j＝ 1 3 j 1 3 j  2
60という値は、図より
横軸からの角度
6. 複素数と三角関数

A=a+ jbを三角関数を使って表すと
実部
虚部
Imaginary part
a  r cos
 a 2  b 2 cos
A
b
r
虚部
b  r sin 

a
実部
Real part
 a 2  b 2 sin 
A  r cos  jr sin 
6. 複素数と三角関数

もう一度、複素数の掛け算を考えてみよう
3 j
1

3
A1  2 cos30  j 2 sin 30
1 3 j
3
1
A2  2 cos60  j 2 sin 60

 

3  j  1  3 j  3  3  1  3 j
4j
 4 cos90  4 j sin 0
2 cos30  2 j sin 30  2 cos60  2 j sin 60
 4cos30 cos60  sin 30 sin 60
 4 j sin 30 cos60  sin 60 cos30
 4 cos30  60  4 j sin 30  60
 4 cos90  4 j sin 90
4j
6. 複素数と三角関数

数学的に整理すると
r1
1
A1  r1 cos1  jr1 sin 1
A1  A2 
r1 cos1  j sin 1  r2 cos2  j sin 2 
 r1r2 cos1  2   j sin1  2 
r2
2
A2  r2 cos2  jr2 sin 2
例題

以下のA1とA2の積を計算してみよう
1
3
A1  
j
2 2
3 1
A2 
 j
2 2
A1  A2  ?
前のスライドから
A1  A2  r1 cos1  j sin 1  r2 cos 2  j sin  2 
 r1r2 cos1   2   j sin 1   2 

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