第6章真直はりの曲げ応力

熱流体力学講義 (番外編）
1.１各種物体の重心の定義と図心
1.2 重心および断面１次モーメントの求め方
線，円板，板材，円錐，3次元物体
1.3 各種物体の重心
第1章重心の総合演習問題
2.1 断面２次モーメントについて
2.2 極断面２次モーメントの紹介
3.1 各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係
数
はりのまげ強さへの適用
４．番外編総合演習問題
2015/9/30
熱流体力学
1
1.1 重心の定義
☆３次元直交座標系における
任意物体の各重心位置は，つ
ぎの定義式から求められる。
y
ｚ
x, y, z  ：直交座標系（ｚは重力方向）
密度 
全体積 V
ｍ：物体の全質量
( xG , yG , zG )
ρ:物体の密度
ｘ
V:物体の全体積
ｄV：微小要素の体積
全質量 m
m   dm   dV
m
v
1
xG   xdm
m m
；
1
1
y G   ydm ； z G 
m
m 熱流体力学
m

m
zdm
2
1.２各種物体の重心または図心
1.2.1 重心，図心および断面１次モーメントの求め方
☆まず物体の密度ρが一定
で，物体の形状が（ｘ，ｙ）平
面に限定され，重力ｚ方向
の厚さWが一定な平面的な
物体について，一例として
（ｘG)の位置を求める。
全体の質量ｍおよび区間dx
における微小質量ｄｍは，
y
z
密度   一定
幅 W  一定
xG , yG , zG 
yG
x
W
x
dx
dm  dV  Wb ( x)dx
m  V
xG
m   dm   dv  W  dA  WA
m
v
A
dm  dV  Wb(x)dx  WdA
xG 
1
1
1
1
xdm


WxdA

xdA
y

G
m m
WA A
A A
m
この形で求められる座標位置を図心という
同様にｙGは

m
ydm 
1
1

WydA

ydA


A
A
WA
A
3
1.2 断面１次モーメントの定義と図心
y
y
b( y )
☆断面１次モーメント(面積
モーメント）の定義；Jx，Jy
dA  b( y )dy
dx
ｘ
dy
dA  b( x)dx
単位：（ｍ３）
図全面積A
y
☆図心とは；
断面１次モーメントの定
義から求められる図形の
中心位置座標ｘG,yG
☆重心・図心ｘG,yGの求め方
単位：（ｍ）
図全面積A
x
x
J x   ydA   yb ( y )dy ； J y  xdA 
A
A
A

yG 
Jx 1

ydA
A A A
；
xG 
Jy
A

b(x)

A
xb ( x)dx
1
xdA
A A
☆注意：図心は直交2次元座標系に描かれた図形の面積モーメントの中心位置座
標
4
1.2 断面１次モーメントの定義（続き）
物体の重心を原点とする場合の断面１次モーメントは？
y
y
重心  xG , yG 
y  yG
図全面積A
YG  0
y  yG
Y
重心（０，０）
図全面積A
x
x  xG
X
x
x  xG , X G  0
いま，上図左側の座標系 ( x, y ) における物体の重心（ｘG,ｙG)を，右側に示す
新しい座標系 ( X , Y ) の原点（０，０）に一致させ座標軸を平行移動させる。右
( X ,Y )
側の新しい座標系
におけるつぎの１次モーメントJxおよびJyはいくらか。
J X   YdA  AYG  0 ； J Y  AXdA  AX G  0
A
2015/9/30
熱流体力学
5
例題：３次元物体の重心
密度ρ，板厚W，板幅ｔ,長さL＝一定の平板の場合
板厚W，板幅ｔ,長さL＝一定の平板の場合は
ｚ
y
L
dm  Wtdx, m   Wtdx  WtL
L
ｘ
ｄｘ
0
L
1 L
1
L
xG   xdm 

wtxdx

m 0
wtL 0
2
xG 
∴重心ｘG；
1
L

L
0
t
x
ｗ
xdx
微小質量 dm  dV  wtdx
Q１:密度ρ，z方向の板厚W，y方向板幅ｔが一定の
1
 x  wtdx  L 2  L
X   Gxdm
Gを求める公式を作りなさい。
場合におけるｙ
，ｚ
m
wtL
L
2
Ans
L
L
G
そこで，公式
が作れて
2
0
0
Q２:z方向の奥行き幅がw=一定で，x方向の板厚
がt=to+axと直線的に厚くなり，ｘ＝Lでt=４toとなる
台形板の重心ｘ
=3L/5)
2015/9/30
Gを求めなさい。Ans(ｘG熱流体力学
yG 
1
1 t
ydy
z

； G
t 0
W
W

0
zdz
6
1.3 各種物体の重心の例題
（１）細長い線要素（丸棒）の重心
（１）細長い線の丸棒
dm   d 2 dx 4
☆細長い線の密度をρ一定と仮定し，
線の直径をｄ，全長をLとし，微小線
要素ｄｘの質量をｄｍ，全質量をｍと
すれば，
dm 
d 2
dx ；
m
xG 
x
dx
xG  L 2
L
4
1
1
d xdx
xdm

2
d L 0
m 0
4
4
L
d
d 2 L
4
次の重心の定義式により
L
x
2

1
L
xdx

L 0
2
L
長い線，全長Lの重心が
L/2になることは自明だよ
ね。
☆こうして，細長い線の重心は線の1次モーメ
ント積分に置きかえられ，質量モーメントｘｄｍ
すなわち
ではなく，線モーメント(長さ×長さ）ｘｄｘで計算
2015/9/30
熱流体力学
できるのだ。
1 L
xG   xdx
L 0
7
1.3 各種物体の重心の例題（その2）
（2）細長い円弧形状線要素の重心
☆円弧の線の場合は重心を求めるのに，半
径ｒと角度θ座標で計算した方がより簡単で，
分かりやすい。すなわち，右図において
dL  rd
；
x  r cos 
（２）細長い円弧の線
r cos 
y
ｄθ
☆さて，線要素の重心は次に示すように，
線積分ｘｄLに置き換えられたので
xG 



1 2
1 2
xdL


 r cos  rd




L 2
r 2
2r

sin
α
x
θ
ｒ

2
Q：α=π(180°）の細長い半円線の重心
XGを求めよ。Ans：XG=2r/π（約0.637ｒ）
2015/9/30
dL
熱流体力学
xG 
2r

sin
8

2
1.3 各種物体の重心の例題（その3）
（３）平面・板要素の重心，（ア）直角定規（スコヤ）の重心
y
☆板厚が一定な直角定規の重心
A1
この場合は，右図に示すように，直角定規を
構成する2つの要素の面積A1,A2とその個々
要素1，2の重心位置が事前に分かっている
から，モーメントの釣り合いの考え方を使うほ
うが簡単に重心が求められる。すなわち，
h1
面積 A1  h1b1
重心１  b1 , h1 
2 2
yG
スコヤ重心
 xG , y G 
A2
☆重要
全体の面積モーメント＝個々の面積モーメントの和
xG  A1  A2   xG1 A1  xG 2 A2
b1 A1 
b 
  b1  2  A2
2 
2
xG 
 A1  A2 
ｙ
方
向
重
心
h2
x
xG
b1
Ｘ
方
向
重
心
面積 A2  h 2 b2
b h 

重心２  b1 x 2 , 2 
2 2

b2
L
yG  A1  A2   yG1 A1  yG 2 A2
h1 A1 h2 A2

2
2  h1 A1  h2 A2
yG 
 A1  A2  2 A1  A2 
9
1.3 各種物体の重心の例題（その4）
（イ) 直角３角定規の重心
☆続いて，右図に示す厚さ一定の
直角３角定規の重心を求めてみよ
う。この場合も，厚さと密度が一定
であるから重心は面積ﾓｰﾒﾝﾄで求
められ，
1
1
yG   ydA ； A  bh
A A
2
ここで断面1次モーメントは

A
ydA  A yb ( y )dy
y
x
(h  y )
dy
h
dA  b( y )dy
重心 ( xG , yG )
y
x
☆図の３角形の相似に着目して
∴
b( y )
h : b  (h  y) : b( y)
bh  y 
b( y ) 
dx
b
同様にして，
h
1
1 h ybh  y 
2 b  hy2 y 3  1
yG   ydA  
dy   
- ＝ h
A A
A 0
h
bh h  2
3 0 3
h
；
1
xG＝ b
3
10
1.3 各種物体の重心の例題（その5）
（ウ）板厚一定の半円板の重心
☆つぎに，右図に示す板厚一定の半円
板の重心を各自空欄を埋めながら導こ
う。微小扇形の面積dAは，扇を三角形
と近似すれば
dA 
1
1
r  rd  r 2 d
2
2


2

2
2
1
r cos  r 2 d
3
2
x
2
r cos 
3
円弧の長さ
rd
微少扇形の面積
dA 

1 2
r d
2
x
r

4r 3
4r
2



sin



3
6r 2
2
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ｙ
d
したがって，重心は定義どおり積分して
1
2
xG   xdA  2
A A
r
微少扇面積の図心
熱流体力学
11
1.3 各種物体の重心の例題（その6）
（エ）円錐体の重心
☆右図に示される底面半径がRで，高さがｈ
である円錐体の重心を空欄を埋めながら各
自で求めよう。まず，円錐体の全体積およ
び微小な幅ｄｘの円板の体積ｄVは，それぞ
れ，1
2
V  R 2 h ； dV  r dx
3
さらに，図に示す三角形の相似に着目して，
r:R  x:h ∴
r  Rx h
r
円錐体の全体積V
1
V  R 2 h
3
R
r
微小体積ｄV
dV  r 2 dx
微小質量
ｄｍ
x
x
dx
R 2
2
h
dV

x
dx
2
この関係をｄVに代入すれば
h
☆重要：立方体の重心は物体の密度が一定であれば体積モーメント
（ｘｄV）で求められるから，(証明は各自でしなさい）
1
xG 
V
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
h
0
3 h R 2 3
3R 2 h 3
3  x4 
3
xdV  2  2 x dx  2 3 0 x dx  3    h
R h
h  4 0 4
R h 0 h
h
熱流体力学
12
1.3 各種物体の重心の演習例題（その7）
（オ）半球の重心
問：右図に示した半球の重心を以下の手順で
求めよ。
y
円弧長 ds  rd
2r 3
V
3
ア）半球の全体積Vは：
d
イ）重心の定義を密度一定の場合に使うと
1
xG 
V

3
xdV

xy 2 dx
3 V
V
2r


3

2r 3
2
0
2
0


dx
微小要素の体積
dV  y 2 dx
r
半径ｒ
2
r cos r sin   r sin d
r 4 cos sin 3 d 
x
x  r cos
ウ）ここで，dx  ds sin   r sin d で与えられるから
3
xG 
2r 3
y  r sin 
3r 2
3
cos

sin
d

2 0
ここで， sin   t とおくと， cos d  dt
となるから，上の式が積分でき，
1
3r 1 3
3r  t 4 
3r
xG   t dt    
2 0
2  4 0 8
熱流体力学
13
☆重心と図心のまとめ
（密度は一定と仮定した場合）
重心の定義
xG 
1
1
y

ydm ；
xdm
；
G


m
m
m
m
；
1
zdm

m
m
zG 
重心・図心の求め方(平面物体，奥行き幅は一定の場合）
；
xG 
1
xdA

A
A
；
yG 
1
ydA ；

A
A
重心・図心の求め方（細長い線）
1 L
xG   xdx
L 0
2015/9/30
；
zG 
1
zdA

A
A
重心・図心の求め方（体積要素）
1
xG 
V
熱流体力学

h
0
xdV
14
第1章重心の総合演習問題（その１）
ｙ
r=b
ｙ
c
x
ｘ
c
b
a
d
ｄ
a
問：図に示す複数の線要素からなる物体の重心を求めよ。ただし，細い
線で作られた円弧の重心は既に求めたように既知で以下に示す値が使
えるものとする。
円弧の重心：
2015/9/30
2r / 
熱流体力学
15
第1章重心の総合演習問題（その2）
30
40
20
y
20
x
30
90
問：上図に示す，板厚が一定な３角板と
孔ありの長方形板から構成される，平板
の重心ｘG,yGを求めよ。
2015/9/30
熱流体力学
16
第1章重心の総合演習問題（その3）
y
半径ｒ
a
円錐
直径ｄ
円錐
円柱
x
半球
b
問：図に示す円錐体，円柱および半球から構成される物体の重心
を求めよ。また，特殊な例として，
a  b  r  h の場合の重心はいくらになるか。
2015/9/30
熱流体力学
17
第2章断面２次モーメント
☆すでに3年・4年の「材料の力学」において，単純曲げを受けるはりの応
力が，はりの重心からの距離eと断面２次モーメント I z によって影響さ
れることを学んだと思う。
復習：
 min
Me2
Me1 M
M

  ,  max 

Iz
Z2
Iz
Z1
☆この章の学習目的は
Iz
I z の定義を理解し，覚えること。
１）断面2次モーメント
２）断面係数Zの定義を覚えること。
３）任意断面形状を持ったはりの断面２次モーメントを
計算できるようにすること。
18
2.1 長方形断面形状のはりにおける断面２次モーメント
平行軸の定理（parallel axis theorem）その1
y
y
b
Y
dy
d
dA  bdy
y
h
x
dx
x
x
G
G
I xG
I YG
dA  hdx
d
X
I XG
h
b
I yG
☆上図において，重心G（図心）を通る座標系（ｘ，ｙ）において，ｘ軸まわりの断面２次
モーメントⅠxGおよびｙ軸まわりの断面２次モーメントⅠｙGは
図の長方形
の場合は
I x G   y dA ； I yG   x dA
A
2
2
A
h
2
0
I x G   y dA  2
2
A
2015/9/30
bh3
y bdy 
12
2
；
b
2
0
I yG   x dA  2
熱流体力学
2
A
hb3
x hdx 
12
2
19
2.1 長方形断面形状のはりにおける断面２次モーメント
平行軸の定理（parallel axis theorem）その2
y
Y,y
dy
dA  bdy
h
2
y
h
x
h
2
dA  bdy
h
2
y
h
G
I xG
dy
Y
h
2
x
G
I xG
d
X
b
b
IX
☆一方，図の右側に示されるように，重心Gから距離ｄ離れた任意のX軸
まわりの断面２次モーメントIxは，定義に従って，
I X   Y 2 dA である。さらに，左のｘ-ｙ座標と右のX-Y座標を比較すれば
A
Y  y  d であるから，
I X   Y dA    y  d  dA   y 2 dA  2d  ydA  d 2  dA 
2
2
A
2015/9/30
A
A
A
熱流体力学
A
I xG  d 2 A
20
2.1 平行軸の定理のまとめ
y
y
b
Y
dy
d
dA  bdy
y
h
x
dx
x
x
G
G
I xG
I YG
d
dA  hdx
X
I XG
h
b
I yG
2015/9/30
I X  I xG  d 2 A ；
IY  I yG  d 2 A
I xG  I X  d 2 A
I yG  IY  d 2 A
；
熱流体力学
21
2.2 平行軸の定理の応用
（１）３角形断面のはり
☆まず底辺ABに平行で，重心G
を通る断面２次モーメントIxGは
ｙ
C
I xG  I x  d 2 A
☆３角はりの場合，重心Gと底辺
までの距離ｄおよび面積Aは
d h 3
；
dy
h-y
ｄＡ＝ηｄｙ
η
h
A  bh 2
☆AB軸まわりの断面2次モーメ
ントIxは
y
A
0
h
ＩＸ
x
b
h : b  (h  y ) : 
h
x
B
I x   y 2 dA   y 2dy
I x  0 y 2dy  0 y 2
ＩｘＧ
重心G
1
d h
3
h
A
（h-d）

；   bh  y  h
h
b(h  y)
b h
dy  b0 y 2 dy  0 y 3dy
h
h
bh3 bh4 4bh3  3bh3 bh3




3
4h
12
12
3
I xG
2
bh
h
bh bh3
 Ix  d A 


 22
12
9 ２
36
2
2.2 平行軸の定理の応用
（２）円形断面のはり
ｙ
☆断面形状が円形の場合は図に示すよ
うに，円筒座標ｒ，θで断面２次モーメン
トを求めた方が計算は簡単である。
ｂ（ｙ）=２ｒｃｏｓθ
ｄｙ
☆任意点における幅ｂ（ｙ）とその微小面
積ｄAは
dA=b(y)ｄｙ
=2rcosθdy
b( y)  2r cos dA  b( y)dy  2r cosdy
dy
 r cos 
d
y  r sin 
I yG
ｙ=ｒｓｉｎθ
dy  r cosd
G
半径ｒ
θ
直径ｄ
x
I xG
☆したがって，重心Gをとおるｘ軸周りの断面2
次モーメントIxGは
I xG   y dA  2 
2
2
0
A
sin 2  

r sin  
1
1  cos 2 
2

2
2r cos r cos d  4r
cos 2  

4


2
0
sin 2  cos 2d
1
1  cos 2 
2
1
1 1
 1
sin  cos   1  cos2 2   1  1  cos4   1  cos4 
4
4 2
 8

4
4
4 
2015/9/30
熱流体力学
4
 d
d
1
d
1
  2

 2 d 
I xG  4  0 1  cos4 d 
  sin4  
  0 
8
32 
4
32  2
2
0
 64
2
2
丸棒は軸対称だから
IxG=IyG
23
2.2 平行軸の定理の応用
（３）H形鋼断面のはり
☆右図に示すH形鋼を，断面積A0の
y
長方形板材から２個の断面積A1
 b  b1 
A1  2
h1
 2 
h2
h
の板材を引いたものと考える。すな
わち，重心Gをとおるｘ軸まわりの
断面２次モーメントIxGは，
A0
x
h2
2015/9/30
Ix
H形鋼の全面積A
＝
面積A
3
I xG
b1
A1
b  b1  2h1 bh3 b  b1 h1
bh3

2


12
12
12
12
x
G
h1
I xG   y 2 dA   y 2 dA  2 y 2 dA
A
b
IxG 
-
面積A0
I xG 
2(面積A 1） I xG
3
熱流体力学
24
2.3 極断面２次モーメント
極断面２次モーメメントIpの紹介
☆円形断面のように軸対称
z
物体の断面２次モーメント
IxG,IyGなどは以下に解説す
る極断面２次モーメメントIp
を用いたほうが容易に求め
られる。

IP
y
r
x

面積ｄA
点（ｘ，ｙ）
I P   r 2 dA   x 2  y 2 dA  I xG  I yG
A
2015/9/30
A
熱流体力学
Iｐの定義
25
2.3 極断面２次モーメントを利用した丸棒の断面２次
モーメメントの求め方の紹介
☆図に示した円形はりの断面２次モーメ
ンIｘG，IyGトを極断面２次モーメントIpの
定義式から求めなさい。

ｙ
I yG

I P   r 2 dA   x 2  y 2 dA  I xG  I yG
A
A
ｄｒ
r
I xG
ところで，円形断面では軸対称であるから
G
I xG  I yG
直径d
極断面２次モーメントをといて
I xG  I p / 2 
d 2
1 2
1 d2 2
r
dA

r 2rdr
2 A
2 0
2  r 4 
d 4

  
2  4 o
64
微小面積ｄ
Aは？
熱流体力学
dA  2rdr
26
ｘ
2.4 断面２次モーメントの演習問題
（１）銭形平次の6文銭
（１）図に示す丸棒（円板）から長方形を
切り出し，穴抜きにした時の断面２次
モーメントを求めよ。(いわゆる，銭方平
次の６文銭)
ｙ
A0
I yG
A1
ｈ
解答：
直径ｄ
x
I xG
ｂ
I xG  A y 2 dA  A y 2 dA  A y 2 dA
0
1
d 4
bh3


64 12
=
-
面積A IxG= 面積A0 IxG - 面積A1IxG
2015/9/30
熱流体力学
27
2.4 断面２次モーメントの演習問題
（２）三角・四角板+穴抜き円板
（２）右図に示される孔抜き３角板と長方形板から構成
される物体の底辺まわりの断面２次モーメントを，以下
の設問手順にしたがって求めよう。
Q1穴抜き合成板材の全面積Aはいくら？
Q2；底辺軸から測った，
１）四角板材の重心座標はいくらか？
２）３角板の重心座標は底辺からいくらか？
３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？。
４）板材のｘ軸からの断面2次モーメントはいくらか？
５）３角板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？
６）穴抜き円板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくら
か？
７）以上の結果を使って，Ixを求めよ。
８）この図形の重心座標ｙGはいくらか？
y
A3
h2
D
h3
A2
h1
A1
Ix
Ix
＝
面積A
熱流体力学
x
b
Ix
2015/9/30
I yG
面積A1
Ix
＋
Ix
面積A2
面積A3
28
2.4 断面２次モーメントの演習問題
（３）家の側面図を描いてみました
（３）図に示すような家の側面図を書いてみました。こ
のような窓付き板材の軸まわりの断面２次モーメント
を以下の設問手順にしたがって求めよう。
Q1；合成板材の全面積はいくらか？
Q2；底辺軸から測った，
1）板材の重心座標はいくらか？
２）三角板の重心座標はいくらか？
３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？
さて，平行軸の定理，を使って，
４）板材の軸からの断面2次モーメントはいくらか？
５）三角板の軸からの断面２次モーメントはいくらか？
６）穴抜き円板のｘ軸からの断面２次モーメントはいく
らか？
７）穴抜き2枚の板材のｘ軸からの２次モーメントはい
くらか？
８）以上の結果を使って，この家のIxを求めよ。
９）この家の重心ｙGはいくらか？
y
h2
A4
1
h2
3
D
熱流体力学
A3
全面積 A
h1
h4
A2
A2
h3
x
c
Ix
c
a
b
考え方
Ix
＝
A
2015/9/30
I yG
-2
A1
-
+
A2
A3
A4
29
3.1 各種形状の物体の断面２次モーメントと
断面係数（その１）
☆復習：断面係数の定義
Z
I
図心まわりの断面２次モーメント
 xG
図心から辺までの距離
e
ちなみに，右図に示す長方形断面のはりの断面２次モー
メントおよび断面係数Zは
b
h/2
Zh 2
I xG bh3 12 bh2



h2
h2
6
I xG
Z h 2
2015/9/30
h
 
I xG bh3 12 bh2 3



m
h2
h2
6
熱流体力学
30
3.1 各種形状の物体の断面２次モーメントと
断面係数（その２）
60
45
30
１．図(a)，(b)，
(c)に示す，長方
形はりの中立軸
に対称な断面の
断面係数を求め
なさい。
60
20
60
30
(a)長方形横置き
30
（ｂ）長方形縦置き
（ｃ）角パイプ
解答：
（ａ）の長方形が横置きの場合
（ｂ）の長方形が縦置きの場合
（ｃ）角パイプの場合
2015/9/30
I xG
Z e1  Z e 2 
I xG bh3 12 bh2 60  302



 9000 mm3
e1
h2
6
6
Z e1  Z e 2 


I xG bh3 12 bh2 30  602



 18000mm3
e1
h2
6
6

30 603 20 453


 388125m m4
12
12

熱流体力学

Z e1  Z e 2 


I xG 388125

 12397.5 mm3
e1
30

31
3.1各種形状の物体の断面２次モーメントと
断面係数（その３）
２．図(a)，(b)に示す円形はりの断面係
数を求めなさい。
  40
  20
  40
解答：
(a)中実丸棒の断面係数
Z e1  Z e 2 
I xG d 4 64 d 3 3.14  403


 6283.18m m3 

32
32
e1
d 2
（ｂ）中空丸棒の断面係数
この場合の断面２次モ－メント
は，中実丸棒から中空丸棒の断
面２次モーメントを引けばよい。
すなわち，
2015/9/30
I xG  I xG1  I xG 2

(b)中空丸棒
（ａ）中実丸棒
d1 4  d 2 4 

 

 64  1  64  2
3.14  403 3.14  204 3.14 4


40  204  117809.6 m m4
64
64
64
Z e1  Z e 2 
熱流体力学



I xG 117809.6

 5890.48 m m3
e1
20



32
☆総合演習問題
１．右図に示すような直径ｄ一定の
丸棒から長方形断面（ｈ×ｂ）を持っ
たはりを切り出し，その断面係数Z
を最大としたい。ｈとｂの比はいくら
にすればよいか
直径ｄ
h
b
2．断面が右図に示すような逆T
字型はりに一様な曲げモーメント
が作用するとき，このはりの最大
応力が最大圧縮応力の1/3にな
るためにはフランジ幅ｘはどれだ
けあればよいか。
ｔ
圧縮側
ｈ
ｃ
ｘ
2015/9/30
ｔ
G
引張側
33

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