意志決定の例

オイラーの公式に関する
教材とアルゴリズム
数学シミュレーションの活用
e-Learning に適した定義や論理
「厳密さ」より，「感覚的納得」を優先
高橋静昭
内容の要約
x
e
e
• 実数乗
の定義と説明
i
• 純虚数乗
の定義と説明
（オイラーの公式）
Ｅ＾ｘ
y 4 y e y2
y
x
x
x
y 1  x
2e4
２
1.4
１
0.7
0.5
０
１
１
x
Ｅ＾ｘ
x
e n 1
n
x
x




n
e   e   1  
   n
x
x
n
 x
e  lim1 
n
 n
x
n
n
x
Ｅ＾ｘの定義のための
シミュレーション
e
y
１
x
０
x
Ｅ＾ｘの定義のための
シミュレーション１
e
１
1 x
x
０
x
Ｅ＾ｘの定義のための
シミュレーション２
e
(1 x1)(1 x2 )
１ 1 x1
x1 x2
x  x1  x2
０
x
Ｅ＾ｘの定義のための
シミュレーション３
e
(1  x1 )(1  x2 )(1  x3 )
x
e
１
x1 x2 x3
x
０
x
Ｅ＾ｘの定義のための
シミュレーション４
e
e
１
x
x
０
x
eＥ＾ｘの定義の表現
e 
x
lim
(1  x1 )(1  x2 )(1  xn )
n,max{xi }0| x x1 x2 xn
ex 
lim
x x1 x2 xn
(1  x1 )(1  x2 )(1  xn )
y e
y 1  x
x
x
y
Ｅ＾ｘの定義
e
１
x  0　のとき，　e 1 x
x
x
０
1/  x
y  {(1 ) }
1/ 
{(1  ) }  e
y e
x
y 1  x
lim{(1 ) }  e
1/ 
0
１

０
1/  x
y  {(1 ) }
0  x   のとき，
(1  )x /   1  x  ex
y 1  x
x
y 1  x
(1  )
x / 
１

０
e
y e
x
x
y e
1/  x
y  {(1 ) }
  x  0 のとき，
y 1  x
(1  )x /   1  x  ex
１
０

x
x
0  xi   max{xi } に対して
xi
1/  xi
{(1 ) }  1 xi  e
1/  x1 x2 xn
1/  x
{(1  ) }  {(1 ) }
 (1 x1 )(1 x2 )(1  xn )
e
x1 x2 xn
e
x
lim(1  x1 )(1  x2 )(1  xn )  e
n
x
x
e
Ｅ＾ｘの性質
y
e

x y
lim
x yz1 zn
０
e
x y

x
x y
lim
xx1 xl , y y1 ym
(1 z1)(1 zn )
y
(1 x1 )(1 xl )  (1 y1 )(1 ym )
 e e
x
y
オイラーの公式の出発点
 x
e  lim1 
n
 n
n
x
 i 
e  lim1  
n
 n
i
n
1  i
Im
1 i
１

3
Re
０
1  i
Im
1 i
１

3
Re
０
1  i
Im


1 i 
3

3
1 i
１

3
Re
０
Im
1  i
１
Re
０
Im
1  i


lim1 i   cos  i sin 
n
n

n
０
１

１
Re
 i 
lim 1  
n
 n
n
 2 
 i 
lim 1    lim1  2 
n
 n  n  n 
n
n/ 2
  2 
 lim 1  2 
n
 n 
n2
1/( 2 n )



 
2
e
1/( 2 n )
1
多角形は円弧を描く
 i   i 
 i 
1  1    1      1  
 n  n
 n
2
2
n
n
2
2




 
  
  
1  1      1         1     1
n
n 
n 






2
偏角は

に収束する
 i n 
 i 
Arg1     limn  Arg1    
lim
 n   n
 n
n
n
 / n  tann
1
  
 n 
 n  lim  
  cosn  
limn n  lim
n
n 0  tann 
n 0
 sin n 
オイラーの公式


e  lim1  i 
n
n

i
Im
1  i
n
 cos  i sin 
０
１

Re
１
博士の愛した数式
Im
1 i


e  lim1 i   1
n
n

n
i
i
e  1 0
 
０
１
Re
１
終わり

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