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ベクトル空間
実数体
体:数の集合で四則がその中で行えるもの
例)有理数全体、実数全体、複素数全体
R:実数体
C:複素数体
ベクトル空間
(ベクトルの和)
(ベクトルのスカラー倍)
V:R上のベクトル空間
u+v (u,v∈V),
au (u∈V, a∈R)
ベクトル空間の性質
(u,v,w∈V, a,b∈R)
(1)u+v=v+u
(2)(u+v)+w=u+(v+w)
(3)u+0=0+u=u となるベクトル0が存在する
(4)a(bu)=(ab)u
(5)(a+b)u=au+bu
(6)a(u+v)=au+av
(7)1u=u
(8)0u=0
零ベクトル
u+0=0+u=u (u∈V)
ベクトル空間の例
(1)Rn:実数を成分とするn次の列ベクトル全体
(2)Rn:実数を成分とするn次の行ベクトル全体
(3)R[x]n:実数を係数とする高々n次の多項式全体
(4)C(a,b):区間(a,b)で連続な実数値関数全体
(1)Rn:実数を成分とするn次の列ベクトル全体
a1
・
R = a= ・
・
n
a1, ・・・ ,an∈R
an
(2)Rn:実数を成分とするn次の行ベクトル全体
Rn= {a=[ a1 a2 ・・・ an ] | a1, ・・・ ,an∈R}
(3)R[x]n:実数を係数とする高々n次の多項式全体
R[x]n= {a0xn+a1xn-1+ ・・・+ an | a0, ・・・ ,an∈R}
部分空間
W:ベクトル空間Vの部分集合(W⊆V)
WがVの和とスカラー倍を用いてベクトル空間となる
W:Vの部分空間
定理4.1.1
ベクトル空間Vの部分集合WがVの部分空間
となる必要十分条件。
(i) 0∈W
(ii) u,v∈W ならば u+v∈W
(iii) u∈W,c∈R ならば cu∈W
解空間
W={x∈Rn|Ax=0}
(A:m×n行列)
W:同次形の連立1次方程式 Ax=0
の解空間
1次独立と1次従属
1次結合
n
v=c1u1+c2u2+・・・+cnun=Σciui (ci ∈R)
i=1
1次関係
n
Σciui=c1u1+c2u2+・・・+cnun=0 (ci ∈R)
i=1
1次独立
u1,u2,・・・,un が自明でない1次関係を持たない
c1 = c2 = ・・・=cn=0 に限る
基本ベクトル
0
, ・・・ , en =
0
c1e1+c2e2+・・・+cnen=0 とすると
c1 = c2 = ・・・=cn=0
V=R[x]n とする。
1, x, ・・・,xn は一次独立
0
0
・・・
, e2 =
0
1
・・・
・・・
e1 =
1
0
1
定理4.2.1
Vのベクトルu1,u2,・・・,un が1次従属で
ある必要十分条件は、u1,u2,・・・,unのうち少
なくとも1個のベクトルが他のn-1個のベクトル
の1次結合で書けることである。
定理4.2.2
u1,u2,・・・,unが1次独立で、u,u1,u2,・・・
unが1次従属ならばuはu1,u2,・・・unの1次結
合で書ける。
定理4.2.3
Vのベクトルの2つの組v1,v2,・・・,vnとu1,
u2,・・・,um に対し
(1)v1,v2,・・・,vn の各ベクトルは、u1,u2,
・・・,umの1次結合で書ける。
(2)n>m
ならばv1,v2,・・・,vnは1次従属である。
定理4.2.4
u1,u2,・・・,umが1次独立なベクトルで、Aが
m×n行列のとき
(u1,u2,・・・um)A=(0,0,・・・,0)
ならば A=0.
定理4.2.5
u1,u2,・・・,umは1次独立なベクトルとする。
2つのm×n行列A,Bに対し
(u1,u2,・・・um)A= (u1,u2,・・・um)B
ならば A=Bである。
ベクトルの1次独立な最大個数
1次独立な最大個数
r個の1次独立な集合∈ベクトルの集合X
Xのどのr個のベクトルも1次従属
r:集合Xのベクトルの1次独立な最大個数
定理4.3.1
Vのベクトルの2つの組{v1,v2,・・・,vn},{u1,u2,
・・・,um} に対しv1,v2,・・・,vn の各ベクトルが、
u1,u2,・・・,umの1次結合で書けるならば、
{v1,v2,・・・,vn}の1次独立な最大個数≦
{u1,u2,・・・,um}の1次独立な最大個数.
定理4.3.2
u1,u2,・・・,umの1次独立な最大個数=r
⇔u1,u2,・・・,umのなかにr個の1次独立なベクト
ルがあり、他のm-r個のベクトルはこのr個のベ
クトルの1次結合で書ける.
定理4.3.3
rank(A)=Aの列ベクトルの1次独立な最大個数
=Aの行ベクトルの1次独立な最大個数.
定理4.3.4
n次正方行列について、次の3条件は同値である.
(1)Aは正則行列である.
(2)Aのn個の列ベクトルは1次独立である.
(3)Aのn個の行ベクトルは1次独立である.
定理4.3.5
行列の簡約化は唯一通り決まる.
定理4.3.6
Vのベクトルu1,u2,・・・,umは1次独立とする.
ベクトルv1,v2,・・・,vnがm×n行列Aを用いて
(v1,v2,・・・,vn)=(u1,u2,・・・,um)A
と書けているとする.
(1)v1,v2,・・・,vn と Aの列ベクトル a1,a2,・・・,an
には同じ1次関係が成り立つ.
(2) m=n のとき
v1,v2,・・・,vn が1次独立 ⇔ Aが正則行列.
ベクトル空間の基と次元
ベクトル空間のベクトルu1,u2,・・・,unがVを生成する
Vのすべてのベクトルがu1,u2,・・・,unの1次
結合で表される
ベクトル空間の基
ベクトル空間Vのベクトルの組{u1,u2,・・・,un}が次の
2つの条件をみたす。
(1)u1,u2,・・・,unは1次独立である。
(2)u1,u2,・・・,unはVを生成する
基本ベクトル
0
, ・・・ , en =
0
a1
a2
・・・
= a1e1+a2e2+・・・+anen
an
{e1, e2, ・・・, en}
Rn の標準基
{1, x, ・・・,xn }
R[x]nの標準基
0
0
・・・
, e2 =
0
1
・・・
・・・
e1 =
1
0
1
定理4.4.1
ベクトル空間Vの基に含まれるベクトルの個数
は、基の取り方によらず一定である。
ベクトル空間の次元
dim(V):Vの次元
Vの1組の基を構成するベクトルの個数
(Vが零空間ー>dim(V)=0)
定理4.4.2
ベクトル空間Vが有限次元である必要十分条
件はVのベクトルの1次独立な最大個数が有限
であることである。このとき
dim(V)=(Vのベクトルの1次独立な最大個数)
基本解
同次形の連立1次方程式の解空間の1組の基
解空間の次元
W:Ax=0の解空間
dim(W)=基本解の個数
=変数のうち任意に取れる個数
定理4.4.3
同次形の連立1次方程式 Ax=0 の解空間
W={x∈Rn|Ax=0}
A:m×n行列
の次元は次のように表される。
dim(W)=n-rank(A)
ベクトルの集合で生成される部分空間
ベクトル空間Vのベクトルで u1,u2,・・・,ut
の1次結合全体のなす集合
W={c1u1+c2u2+・・・+ctut|ci ∈R}
はVの部分空間である。
<u1,u2,・・・,ut>R: u1,u2,・・・,utで生成
されるVの部分空間
定理4.4.4
dim(<u1,u2,・・・,ut>R)=u1,u2,・・・,ut
の1次独立な最大個数
定理4.4.5
dim(V)=n とする。Vのn個のベクトルv1,v2,・・・,
vnについて次の3条件は同値である。
(1)v1,v2,・・・,vn はVの基である。
(2)v1,v2,・・・,vn は1次独立である。
(3)v1,v2,・・・,vn はVを生成する。