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ベクトル空間
実数体
体：数の集合で四則がその中で行えるもの
例）有理数全体、実数全体、複素数全体
Ｒ：実数体
Ｃ：複素数体
ベクトル空間
（ベクトルの和）
（ベクトルのスカラー倍）
Ｖ：Ｒ上のベクトル空間
ｕ＋ｖ（ｕ，ｖ∈Ｖ），
ａｕ（ｕ∈Ｖ，ａ∈Ｒ）
ベクトル空間の性質
（ｕ，ｖ，ｗ∈Ｖ，ａ，ｂ∈Ｒ）
（１）ｕ＋ｖ＝ｖ＋ｕ
（２）（ｕ＋ｖ）＋ｗ＝ｕ＋（ｖ＋ｗ）
（３）ｕ＋０＝０＋ｕ＝ｕとなるベクトル０が存在する
（４）ａ（ｂｕ）＝（ａｂ）ｕ
（５）（ａ＋ｂ）ｕ＝ａｕ＋ｂｕ
（６）ａ（ｕ＋ｖ）＝ａｕ＋ａｖ
（７）１ｕ＝ｕ
（８）０ｕ＝０
零ベクトル
ｕ＋０＝０＋ｕ＝ｕ（ｕ∈Ｖ）
ベクトル空間の例
（１）Ｒｎ：実数を成分とするｎ次の列ベクトル全体
（２）Ｒｎ：実数を成分とするｎ次の行ベクトル全体
（３）Ｒ［ｘ］ｎ：実数を係数とする高々ｎ次の多項式全体
（４）Ｃ（ａ，ｂ）：区間（ａ，ｂ）で連続な実数値関数全体
（１）Ｒｎ：実数を成分とするｎ次の列ベクトル全体
ａ1
・
Ｒ＝ａ＝・
・
ｎ
ａ1, ・・・ ,ａn∈Ｒ
ａn
（２）Ｒｎ：実数を成分とするｎ次の行ベクトル全体
Ｒｎ＝ {ａ＝[ ａ1 ａ2 ・・・ａn ] | ａ1, ・・・ ,ａn∈Ｒ}
（３）Ｒ［ｘ］ｎ：実数を係数とする高々ｎ次の多項式全体
Ｒ［ｘ］ｎ＝ {ａ0xn+ａ1xn-1+ ・・・+ ａn | ａ0, ・・・ ,ａn∈Ｒ}
部分空間
Ｗ：ベクトル空間Ｖの部分集合（Ｗ⊆Ｖ）
ＷがＶの和とスカラー倍を用いてベクトル空間となる
Ｗ：Ｖの部分空間
定理４.１.１
ベクトル空間Ｖの部分集合ＷがＶの部分空間
となる必要十分条件。
(i) 0∈Ｗ
(ii) ｕ，ｖ∈Ｗならばｕ＋ｖ∈Ｗ
(iii) ｕ∈Ｗ，ｃ∈Ｒならばｃｕ∈Ｗ
解空間
Ｗ＝｛ｘ∈Ｒｎ｜Ａｘ＝０｝
（Ａ：ｍ×ｎ行列）
Ｗ：同次形の連立１次方程式Ａｘ＝０
の解空間
１次独立と１次従属
１次結合
n
ｖ＝ｃ1ｕ1＋ｃ2ｕ2＋・・・＋ｃnｕn＝Σｃiｕi （ｃi ∈Ｒ）
i=1
１次関係
n
Σｃiｕi＝ｃ1ｕ1＋ｃ2ｕ2＋・・・＋ｃnｕn＝０（ｃi ∈Ｒ）
i=1
１次独立
ｕ1，ｕ2，・・・，ｕn が自明でない１次関係を持たない
ｃ1 ＝ｃ2 ＝・・・＝ｃn＝０に限る
基本ベクトル
0
, ・・・ , en =
0
ｃ1e1＋ｃ2e2＋・・・＋ｃnen＝０とすると
ｃ1 ＝ｃ2 ＝・・・＝ｃn＝０
Ｖ＝Ｒ［ｘ］ｎとする。
1, x, ・・・,xn は一次独立
0
0
･･･
, e2 =
0
1
･･･
･･･
e1 =
1
0
1
定理４.２.１
Ｖのベクトルｕ1，ｕ2，・・・，ｕn が１次従属で
ある必要十分条件は、ｕ1，ｕ2，・・・，ｕnのうち少
なくとも１個のベクトルが他のｎ－１個のベクトル
の１次結合で書けることである。
定理４.２.２
ｕ1，ｕ2，・・・，ｕnが１次独立で、ｕ，ｕ1，ｕ2，・・・
ｕnが１次従属ならばｕはｕ1，ｕ2，・・・ｕnの１次結
合で書ける。
定理４.２.３
Ｖのベクトルの２つの組ｖ1，ｖ2，・・・，ｖnとｕ1，
ｕ2，・・・，ｕm に対し
（１）ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn の各ベクトルは、ｕ1，ｕ2，
・・・，ｕmの１次結合で書ける。
（２）ｎ＞ｍ
ならばｖ1，ｖ2，・・・，ｖnは１次従属である。
定理４.２.４
ｕ1，ｕ2，・・・，ｕmが１次独立なベクトルで、Ａが
ｍ×ｎ行列のとき
（ｕ1，ｕ2，・・・ｕm）Ａ＝（０，０，・・・，０）
ならばＡ＝０．
定理４.２.５
ｕ1，ｕ2，・・・，ｕmは１次独立なベクトルとする。
２つのｍ×ｎ行列Ａ，Ｂに対し
（ｕ1，ｕ2，・・・ｕm）Ａ＝（ｕ1，ｕ2，・・・ｕm）Ｂ
ならばＡ＝Ｂである。
ベクトルの１次独立な最大個数
１次独立な最大個数
ｒ個の１次独立な集合∈ベクトルの集合Ｘ
Ｘのどのｒ個のベクトルも１次従属
ｒ：集合Ｘのベクトルの１次独立な最大個数
定理４.３.１
Ｖのベクトルの２つの組｛ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn｝，｛ｕ1,ｕ2，
・・・，ｕm｝に対しｖ1，ｖ2，・・・，ｖn の各ベクトルが、
ｕ1，ｕ2，・・・，ｕmの１次結合で書けるならば、
｛ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn｝の１次独立な最大個数≦
｛ｕ1，ｕ2，・・・，ｕm｝の１次独立な最大個数．
定理４.３.２
ｕ1，ｕ2，・・・，ｕmの１次独立な最大個数＝ｒ
⇔ｕ1，ｕ2，・・・，ｕmのなかにｒ個の１次独立なベクト
ルがあり、他のｍ－ｒ個のベクトルはこのｒ個のベ
クトルの１次結合で書ける．
定理４.３.３
ｒａｎｋ（Ａ）＝Ａの列ベクトルの１次独立な最大個数
＝Ａの行ベクトルの１次独立な最大個数．
定理４.３.４
ｎ次正方行列について、次の３条件は同値である．
（１）Ａは正則行列である．
（２）Ａのｎ個の列ベクトルは１次独立である．
（３）Ａのｎ個の行ベクトルは１次独立である．
定理４.３.５
行列の簡約化は唯一通り決まる．
定理４.３.６
Ｖのベクトルｕ1，ｕ2，・・・，ｕmは１次独立とする．
ベクトルｖ1，ｖ2，・・・，ｖnがｍ×ｎ行列Ａを用いて
（ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn）＝（ｕ1，ｕ2，・・・，ｕm）Ａ
と書けているとする．
（１）ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn とＡの列ベクトルａ1,ａ2,・・・,ａn
には同じ１次関係が成り立つ．
（２）ｍ＝ｎのとき
ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn が１次独立 ⇔ Ａが正則行列．
ベクトル空間の基と次元
ベクトル空間のベクトルｕ1，ｕ2，・・・，ｕnがＶを生成する
Ｖのすべてのベクトルがｕ1，ｕ2，・・・，ｕnの１次
結合で表される
ベクトル空間の基
ベクトル空間Ｖのベクトルの組｛ｕ1，ｕ2，・・・，ｕn｝が次の
２つの条件をみたす。
（１）ｕ1，ｕ2，・・・，ｕnは１次独立である。
（２）ｕ1，ｕ2，・・・，ｕnはＶを生成する
基本ベクトル
0
, ・・・ , en =
0
a1
a2
･･･
＝ a1e1＋a2e2＋・・・＋anen
an
{e1, e2, ・・・, en}
Ｒｎの標準基
{1, x, ・・・,xn }
Ｒ［ｘ］ｎの標準基
0
0
･･･
, e2 =
0
1
･･･
･･･
e1 =
1
0
1
定理４.４.１
ベクトル空間Ｖの基に含まれるベクトルの個数
は、基の取り方によらず一定である。
ベクトル空間の次元
ｄｉｍ（Ｖ）：Ｖの次元
Ｖの１組の基を構成するベクトルの個数
（Ｖが零空間ー＞ｄｉｍ（Ｖ）＝０）
定理４.４.２
ベクトル空間Ｖが有限次元である必要十分条
件はＶのベクトルの１次独立な最大個数が有限
であることである。このとき
ｄｉｍ（Ｖ）＝（Ｖのベクトルの１次独立な最大個数）
基本解
同次形の連立１次方程式の解空間の１組の基
解空間の次元
Ｗ：Ａｘ＝０の解空間
ｄｉｍ（Ｗ）＝基本解の個数
＝変数のうち任意に取れる個数
定理４.４.３
同次形の連立１次方程式Ａｘ＝０の解空間
Ｗ＝｛ｘ∈Ｒn｜Ａｘ＝０｝
Ａ：ｍ×ｎ行列
の次元は次のように表される。
ｄｉｍ（Ｗ）＝ｎ－ｒａｎｋ（Ａ）
ベクトルの集合で生成される部分空間
ベクトル空間Ｖのベクトルでｕ1，ｕ2，・・・，ｕt
の１次結合全体のなす集合
Ｗ＝｛ｃ1ｕ1＋ｃ2ｕ2＋・・・＋ｃtｕt｜ｃi ∈Ｒ｝
はＶの部分空間である。
＜ｕ1，ｕ2，・・・，ｕt＞R：ｕ1，ｕ2，・・・，ｕtで生成
されるＶの部分空間
定理４.４.４
ｄｉｍ（＜ｕ1，ｕ2，・・・，ｕt＞R）＝ｕ1，ｕ2，・・・，ｕt
の１次独立な最大個数
定理４.４.５
ｄｉｍ（Ｖ）＝ｎとする。Ｖのｎ個のベクトルｖ1，ｖ2，・・・，
ｖnについて次の３条件は同値である。
（１）ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn はＶの基である。
（２）ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn は１次独立である。
（３）ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn はＶを生成する。

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