Document

線形写像
線形写像
Ｕ，Ｖ：Ｒ上のベクトル空間
Ｔ：ＵからＶへの写像
（１）Ｔ（ｕ＋ｖ）＝Ｔ（ｕ）＋Ｔ（ｖ）
（ｕ，ｖ∈Ｕ），
（２）Ｔ（ｃｕ）＝ｃＴ（ｕ）（ｕ∈Ｕ，ｃ∈Ｒ）
Ｔ：線形写像
Ｔ（０U）＝Ｔ（０・０U）＝０・Ｔ（０U）＝０V
Ｕの零ベクトルをＶの零ベクトルにうつす
Ｕ
u
Ｖ
v
T(u)
T(v )
写像Ｔ
u+v
T(u + v )
ＲｎからＲｍへの写像TA
TA(x)=Ax
(x∈Ｒｎ)
Ａ：m×n行列
TA(x＋ｙ)=A(x＋ｙ)= A(x)＋A(ｙ)= TA(x)＋TA(ｙ)
(x，ｙ∈Ｒｎ)
TA(cx)=A(cx)= cA(x)= cTA(x) (x∈Ｒｎ，c ∈Ｒ)
線形写像の像と核
Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像
Ｉm（Ｔ）：Ｔの像（Ｔ（Ｕ）とも書く）
Ｉm（Ｔ）＝｛Ｔ（ｕ）｜ｕ∈Ｕ｝
Ｋer（Ｔ）：Ｔの核
Ｋer（Ｔ）＝｛ｕ∈Ｕ｜Ｔ（ｕ）＝０v ｝
定理５.１.１
Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像
（１）Ｔの像Ｉm（Ｔ）はＶの部分空間である。
（２）Ｔの核Ｋer（Ｔ）はＵの部分空間である。
Ｕ
Ｖ
Ｉm（Ｔ）
写像Ｔ
Ｕ
Ker（Ｔ）
Ｖ
写像Ｔ
0
線形写像の階数と退化次数
Ｔ：ＵからＶへの線形写像
ｒａｎｋ（Ｔ）：Ｔの階数
ｒａｎｋ（Ｔ）＝ｄｉｍ（Ｉm（Ｔ））
ｎｕｌｌ（Ｔ）：Ｔの退化次数
ｎｕｌｌ（Ｔ）＝ｄｉｍ（Ｋer（Ｔ））
定理５.１.２
Ｕ，Ｖ：ベクトル空間
Ｔ：ＵからＶへの線形写像
ｎｕｌｌ（Ｔ）＋ｒａｎｋ（Ｔ）＝ｄｉｍ（Ｕ）．
ＲｎからＲｍへの写像TA
TA(x)=Ax
(x∈Ｒｎ)
Ａ：m×n行列
Ｋer（TA）＝｛x ∈Ｒｎ｜ Ax ＝０｝
解空間
A＝[
ａ1 ａ2 ・・・ａn ]
Ｉm（ TA ）＝｛ Ax｜ x ∈Ｒｎ｝
＝｛ x1ａ1＋x2ａ2＋・・・＋xnａn｜x1, ・・・,xn ∈Ｒ｝
列ベクトルで生成されるＲｍの部分空間
線形写像の表現行列
表現行列
Ｔ：ＵからＶへの線形写像
｛ｕ1，・・・，ｕn｝：Ｕの基
｛ｖ1，・・・，ｖm｝：Ｖの基
（Ｔ（ｕ1），・・・，Ｔ（ｕn））＝（ｖ1，・・・，ｖm）Ａ
（Ａ：ｍ×ｎ行列）
行列Ａ：Ｕの基｛ｕ1，・・・，ｕn｝，Ｖの基｛ｖ1，・・・，ｖm｝
に関するＴの表現行列
Ｕ
u1 u
i
un
Ｖ
写像Ｔ
v1
vm
T(u1)
vi
T(ui)
T(un)
（Ｔ（ u1），・・・，Ｔ（un））＝（ v1，・・・， vm）Ａ
例）
Ｔ：Ｕ＝Ｒ２からＶ＝Ｒ３への線形写像
2 1
Ｔ（ｘ）＝ 1 0 ｘ
4 3
標準基
1
0
0
ｅ１＝ 1 ，ｅ２＝ 0
ｅ’１＝ 0 , ｅ’２＝ 1 , ｅ’3＝ 0
0
1
0
0
1
2 1
(Ｔ(ｅ1)，Ｔ(ｅ2))＝(ｅ’1，ｅ’2，ｅ’3) 1 0
4 3
2 1
標準基に関するＴの表現行列
Ａ＝ 1 0
4 3
表現行列と基の変換行列
Ｔ：ＵからＶへの線形写像
｛ｕ1，・・・，ｕn｝，｛ｕ’1，・・・，ｕ’n｝：Ｕの基
｛ｖ1，・・・，ｖm｝，｛ｖ’1，・・・，ｖ’m｝：Ｖの基
（ｕ’1，・・・，ｕ’n）＝（ｕ1，・・・，ｕn）Ｐ
（ｖ’1，・・・，ｖ’m）＝（ｖ1，・・・，ｖm）Ｑ
（Ｐ，Ｑ：正則行列）
行列Ｐ，Ｑ：基の変換行列
Ｕ
e1 e
i
en
Ｖ
写像Ｔ
表現行列Ａ
e’1
e’m
T(e1)
e’i T(ei)
T(en)
変換行列Ｐ
Ｕ
u1 u
i
un
写像Ｔ
変換行列Ｑ
Ｖ
v1
vm
表現行列Ｂ
T(u1)
vi
T(ui)
T(un)
定理５.２.１
Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像
Ａ：{ｕ1，・・・，ｕn},{ｖ1，・・・，ｖm}に関する表現行列
Ｂ：{ｕ’1，・・・，ｕ’n},{ｖ’1，・・・，ｖ’m}に関する表現行列
Ｂ＝Ｑ－１ＡＰ．
線形変換：ベクトル空間から自分自身への線形写像
定理５.２.２
｛ｕ1，・・・，ｕn｝，｛ｕ’1，・・・，ｕ’n｝：Ｕの基
（ｕ’1，・・・，ｕ’n）＝（ｕ1，・・・，ｕn）Ｐ（Ｐ：変換行列）
Ａ：{ｕ1，・・・，ｕn}に関する表現行列
Ｂ：{ｕ’1，・・・，ｕ’n}に関する表現行列
Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ．
Ｐ＝［ｐij］nxn
（Ｔ（ｕ’1），・・・，Ｔ（ｕ’n））
＝（Ｔ（ｐ11ｕ1＋・・・＋ｐn1ｕn ），・・・，Ｔ（ｐ1nｕ1＋・・・＋ｐnnｕn））
＝(ｐ11Ｔ(ｕ1)＋・・・＋ｐn1Ｔ(ｕn)，・・・，ｐ1nＴ(ｕ1)＋・・・＋ｐnnＴ(ｕn））
＝(Ｔ(ｕ1),・・・,Ｔ(ｕn))Ｐ
＝(ｖ1，・・・，ｖm)ＡＰ
(Ｔ(ｕ’1),・・・,Ｔ(ｕ’n))Ｐ＝ (ｖ’1,・・・,ｖ’m)Ｂ＝(ｖ1,・・・,ｖm)ＱＢ
(ｖ1,・・・,ｖm)ＡＰ＝(ｖ1,・・・,ｖm)ＱＢ
Ｂ＝Ｑ－１ＡＰ
Ｔ（ｘ）＝
3 0
0 1
ｘ
（ｘ∈R２）
T(e2)=e2
e2
Ｔ
e1
T(e1)=3e1
固有値と固有ベクトル
固有値と固有ベクトル
Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換
Ｔ（ｕ）＝λｕ
（ｕ∈Ｖ，ｕ≠０， λ∈Ｒ）
λ：Ｔの固有値
ｕ：（固有値λに属する）Ｔの固有ベクトル
例）
Ｔ（ｘ）＝
7 -6
3 -2
2
ｕ＝
とすると
1
ｘ
（ｘ∈R２）
Ｔ（ｕ）＝
8
4
2
＝4
＝４ｕ
1
固有空間
Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換
Ｗ（λ；Ｔ）＝｛ｕ∈Ｖ｜Ｔ（ｕ）＝λｕ｝
固有多項式
ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜
Ａ：正方行列
行列Ａの固有値：ｇA(ｔ)＝０の根（複素根も含む）
ＴA（ｘ）＝Ａｘ
Ａｘ＝λｘ
Ａｘ＝λＥｘ
（λＥ－Ａ）ｘ＝０
ｘ（≠０）が存在する必要十分条件：
λＥ－Ａが正則行列でない
定理５.３.１
λがＴAの固有値

ｇA(λ)＝０
一般に多項式
ｆ（ｔ）＝ａmｔm＋ａm-1ｔm-1＋・・・＋ａ1ｔ＋ａ0
と正方行列Ａに対して
ｆ（Ａ）＝ａmＡm＋ａm-1Ａm-1＋・・・＋ａ1Ａ＋ａ0Ｅ
と定義する。
定理５.３.２（ケーレー・ハミルトンの定理）
ｇA(ｔ)が正方行列Ａの固有多項式ならば
ｇA(Ａ)＝０
一般の場合の固有値と固有空間の計算
Ｔ：ｎ次元のベクトル空間Ｖの線形変換
｛ｕ1，・・・，ｕn｝：Ｖの１組の基
Ａ：Ｔの｛ｕ1，・・・，ｕn｝に関する表現行列
ｇT（ｔ）：Ｔの固有多項式（＝Ａの固有多項式）
ｇT（ｔ）＝ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜
ｇB(ｔ)＝｜ｔＥ－Ｂ｜＝｜ｔＰ－１ＥＰ－Ｐ－１ＡＰ｜
＝｜Ｐ－１（ｔＥ－Ａ）Ｐ｜＝｜ｔＥ－Ａ｜＝ｇA(ｔ)
定理５.３.3
Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換
λがＴの固有値  ｇT(λ)＝０
行列の対角化
同値な行列
Ａ，Ｂ：ｎ次正方行列
Ｂ＝Ｐ－１ＡＰとなる正則行列Ｐが存在する
Ａ，Ｂは同値である。
行列の対角化
Ａ：正方行列
Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ：対角行列
行列Ａの対角化：正則行列Ｐと対角行列Ｂを求める
定理５.４.１
Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換
λ1, ・・・λr：Ｔの相異なる固有値
r
Σｄｉｍ（Ｗ（λi；Ｔ））≦ｄｉｍ（Ｖ）
i=1
定理５.４.２
Ａ：ｎ次実正方行列
λ1, ・・・λr：Ａの相異なる実固有値の全体
ＡがＲ上対角化される必要十分条件
r
Σｄｉｍ（Ｗ（λi；ＴA））＝ｎ．
i=1
ｕｉ１,・・・ｕｉｎi：Ｗ（λi；ＴA）の基
Ｐ＝［ｕ１１・・ｕ１ｎ1・・・ｕｒ１・・ｕｒｎr］
Ｔ（ｕｉｋ）＝Ａｕｉｋ＝λｉｕｉｋ
λ１
・
ＡＰ＝ＰＢ，
Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ
Ｂ＝
ｎ1
・
λ１
・
０
・
０
λｒ
ｎr
・
・
λｒ
内積空間
内積
ｕ，ｖ：Ｒ上のベクトル空間Ｖのベクトル
２つのベクトルｕ，ｖに対して実数（ｕ，ｖ）を対
応させる対応（，）が次の４条件を満たす
（１）（ｕ＋ｕ’，ｖ）＝（ｕ，ｖ）＋（ｕ’，ｖ）
（２）（ｃｕ，ｖ）＝ｃ（ｕ，ｖ）
（３）（ｖ，ｕ）＝（ｕ，ｖ）
（４）ｕ≠０ならば（ｕ，ｕ）＞０
例）
ａ1
・
ａ＝・，ｂ＝
ａn
ｂ1
・
・
ｂn
ａ，ｂ∈Ｖ（＝Ｒｎ）
（ａ，ｂ）＝ｔａｂ＝ａ１ｂ１＋・・・＋ａｎｂｎ
Ｒｎの標準的な内積
（１）（ａ＋ａ’，ｂ）＝ｔ（ａ＋ａ’）ｂ＝ｔａｂ＋ｔａ’ｂ
＝（ａ，ｂ）＋（ａ’，ｂ）
（２）（ｃａ，ｂ）＝ｔ（ｃａ）ｂ＝ｃｔａｂ＝ｃ（ａ，ｂ）
（３）（ａ，ｂ）＝ｔａｂ＝ｔ（ｔａｂ）＝ｔｂａ＝（ｂ，ａ）
（４）ａ≠０ならば（ａ，ａ）＝ｔａａ＞０
ベクトルのノルム
∥ｕ∥＝ √（ｕ，ｕ）
ｕのノルムまたは長さ
例）
Ｖ＝Ｒｎ，
ｕ＝ 3
-2
∥ｕ∥＝ √32 + (-2)2 ＝ √
13
定理６.１.１
内積空間Ｖのノルムについて次が成り立つ
（ｕ，ｖ∈Ｖ，ｃ∈Ｒ）
（１） ∥ｃｕ∥＝ｃ∥ｕ∥
（２）｜（ｕ，ｖ）｜≦ ∥ｕ∥ ・∥ｖ∥
（シュヴァルツの不等式）
（３） ∥ｕ＋ｖ∥ ≦ ∥ｕ∥ ＋∥ｖ∥
ｎ
（三角不等式）
ｎ
ｎ
（２）（Σｕｉｖｉ）２ ≦ （Σｕｉ２）（Σｖｉ２）
ｉ＝１
ｉ＝１
ｉ＝１
ベクトルの直交
（ｕ，ｖ）＝０
定理６.１.２
零ベクトルでないベクトルｕ１，・・・，ｕｒが互いに
直交すれば１次独立である。
ｃ１ｕ１＋・・・＋ｃｒｕｒ＝０
とおく。
ｒ
０＝（ｕｉ，ｃ１ｕ１＋・・・＋ｃｒｕｒ）＝ Σ ｃｊ（ｕｉ，ｕｊ）＝ｃｉ（ｕｉ，ｕｉ）
ｊ＝１
（ｕｉ，ｕｉ） ≠０だから
ｃｉ＝０
（１≦ｉ≦ｒ）
正規直交基と直交行列
正規直交基
｛ｕ1，・・・，ｕn｝：Ｖの基
（ｕｉ，ｕｊ）＝δｉｊ
（１ ≦ｉ，ｊ≦ｎ）
定理６.２.１（シュミットの直交化）
｛ｖ1，・・・，ｖn｝：Ｖの１組の基
＜ｕ1，・・・，ｕr＞R ＝＜ｖ1，・・・，ｖr＞R
（１≦ｒ≦ｎ）
となる、正規直交基｛ｕ1，・・・，ｕn｝が存在する。
ｕ１＝ｖ１／ ∥ｖ１ ∥
∥ｕ１ ∥＝１
ｖ’２＝ｖ２－（ｖ２，ｕ１）ｕ１，
（ｕ１，ｕ２）＝０，
ｕ２＝ｖ’２／ ∥ｖ２ ∥
∥ｕ２ ∥＝１
＜ｕ1，ｕ2＞R＝＜ｕ1，ｖ2＞R＝＜ｖ1，ｖ2＞R
ｒ
ｖ’ｒ＋１＝ｖｒ＋１－ Σ （ｖｒ＋１，ｕｉ）ｕｉ，
ｉ＝１
ｕｒ＋１＝ｖ’ｒ＋１／ ∥ｖｒ＋１ ∥
（ｖ’ｒ＋１，ｕｉ）＝０（１≦ｉ≦ｒ）だから
（ｕｒ＋１，ｕｉ）＝０
＜ｕ1，・・・，ｕr，ｕr+1 ＞R＝＜ｕ1，・・・，ｕr，ｖr+1 ＞R
＝＜ｖ1，・・・，ｖr，ｖr+1 ＞R
1
v１＝ 1 , v ２＝
0
1
1
1
u１＝
||v１ ||
0
1
2
3 , v 3＝ -1
1
1
1
1
1
＝
正規化
√2 0
1
-1
4 1 1
v’２＝v２－（v２，u１）u１＝ 3 －
1 ＝ 1
√ 2 √2
0
1
1
直交化
1
1 -1
u２＝
v’２＝
正規化
1
|| v’２ ||
√3
1
5 1
v’3＝v3－（v3，u１）u１－（v3，u2）u2 ＝
-1
6
2
直交化
定理６.２.２
｛ｕ1，・・・，ｕn｝：内積空間Ｖの正規直交基
ｕ＝ａ１ｕ1＋・・・＋ａnｕn ，ｖ＝ｂ１ｕ1＋・・・＋ｂnｕn
と書くと
（ｕ，ｖ）＝ａ１ｂ１＋・・・＋ａnｂn
ｎ
ｎ
（ｕ，ｖ）＝ Σ Σａｉｂｊ（ｕｉ，ｖｊ）＝ａ１ｂ１＋・・・＋ａnｂn
ｉ＝１ｊ＝１
直交変換
（Ｔ（ｕ），Ｔ（ｖ））＝（ｕ，ｖ）
（ｕ，ｖ∈Ｖ）
定理６.２.３
｛ｕ1，・・・，ｕn｝：内積空間Ｖの正規直交基
Ｔは直交変換  （Ｔ（ｕ1），・・・，Ｔ（ｕn ））
はＶの正規直交基
直交行列
ｔＰＰ＝Ｅｎ
（Ｐ：ｎ次の実正方行列）
定理６.２.４
Ａ：ｎ次の実正方行列
ＴＡ（ｘ）＝Ａｘ
（ＴＡ：Ｒｎ→Ｒｎ）と定義する。
Ａが直交行列  ＴＡが直交変換
定理６.２.５
Ａ：ｎ次の実正方行列
Ａ＝｛ａ１，・・・，ａｎ｝
Ａは直交行列  ｛ａ１，・・・，ａｎ｝はＲｎ
の正規直交基
複素共役
複素数α＝ａ＋bi （ｉ＝√－１）
α＝ａ－bi ： αの複素共役
定理６.３.１
実対称行列の固有値は全て実数である。
行列の（上）三角化
Ａ：正方行列
Ｐ－１ＡＰ：上三角行列
行列Ａの（上）三角化：正則行列Ｐと上三角行列
Ｐ－１ＡＰを求める
定理６.３.２
ｎ次実正方行列Ａの固有値が全て実数ならばＡ
は直交行列を用いて上三角化できる。
λ１＊
Ｐ－１ＡＰ＝・・
０ λｎ
，
ｄｅｔ（Ｐ）＝１
定理６.３.３
Ａがｎ次実対称行列ならば、次の直交行列Ｐが存
在する。
λ１０
Ｐ－１ＡＰ＝・・
，ｄｅｔ（Ｐ）＝１
０ λｎ
１ 2 -1
Ａ＝２ -2 2
-1 2 1
t-１ -2 1
ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜＝ -２ t+2 -2 ＝(t-1)2(t+2)+8
1 -2 t-1
－ {(t+2)+8(t-1)}
＝(t-1)2(t+2)-9t+14 ＝t3-12t+16 ＝(t-2)2(t+4)
λ＝2,-4
（λＥ－Ａ）ｘ＝０
λ＝2のとき
１ -2 1
-２ 4 -2 ｘ＝０簡約化
1 -2 1
１ -2 1
0 0 0
0 0 0
ｘ＝０
1.
2 x1 - 3x 2 - x 3 = 0
x1 + 2 x 2 - 3x3= 0
Ａ＝
2 -3 -1
1 2 -3
x1
x = x2
x3
Ｗ＝｛ x ∈Ｒ3｜Ａx ＝０｝
(i) x ＝０を代入。Ａ０＝０
だから０ ∈Ｗ
(ii) x ，y ∈Ｗとすると
Ａ( x ＋ y ) ＝Ａx ＋Ａy ＝０＋０＝０
だから x ＋ y ∈Ｗ
(iii) x ∈Ｗ，ｃ∈Ｒとすると
Ａ(ｃx) ＝ｃ(Ａx) ＝ｃ０＝０だからｃx ∈Ｗ
2.
3
2
5
c１ 1 +c ２ 3 + c 3 -3 ＝ 0
2
1
4
3 2 5
1 3 -3
2 1 4
c1
c2 ＝ 0
c3
解が一意に定まらない。
c１＝ c ２＝ c 3 ＝ 0 以外の解
を持つから１次従属
3
1
2
1
3
2
1
0
0
1
0
0
1
0
0
2 5
3 -3
1 4
3 -3
2 5
1 4
3 -3
-7 14
-5 10
3 -3
1 -2
1 -2
0 3
1 -2
0 0
3.
x4 = c１
x5 = c2
x1+3c2 = 0
x2+5c1ー7c2 = 0
x3ー3c1 +2c2 = 0
0
-5
x ＝ c１ 3 +c ２
1
0
-3
7
-2
0
1
とする。
x1 =ー3c2
x2 = ー5c1 + 7c2
x3 =3c1 ー2c2
x4 = c１
x5 = c2
２次元
１組の基
0
-3
-5
7
3
-2
1
0
0 ， 1
x1 x2 x3 x4 x5
1
2
3
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
2
0
1
2
-4
-5
2
1
-4
0
1
0
0
1
0
3 1 -5
-1 3 4
4 -7 10
3 1 -5
-7 1 14
-5 -10 25
3 1 -5
1 2 -5
-7 1 14
1 -3 5
1 2 -5
-3 9 -6
0 0 3
0 5 -7
1 -3 2
c１ c2
4.
x2 = c１
x4 = c2
x1+2c1ーc2 = 0
x1 =ー2c1+c2
x2 = c１
x3+c2 = 0
-2
1
x ＝ c１ +c ２
0
0
(i) null(T)=２
Ker(T)の
１組の基
とする。
1
0
-1
1
x3 =ーc2
x4 = c2
-2 1
1
0
0
-1
0 ，1
x1 x2 x3 x 4
1
0
2
1
0
0
1
0
0
2
0
4
2
0
0
2
0
0
c１
1
1
3
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
-1
1
0
c2
(ii) rank(T)=２
Im(T)の
１組の基
2 3
0 1
1 ，1
5.
Ａ＝
13 -30
5
-12
(i) ｇT(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜＝
-5
(ii) λ＝3,-2
(iii)
λ＝3のとき
λ＝-2のとき
P＝
t-１3 30
＝ t2-t-6 ＝(t-3)(t+2)
t+12
（λＥ－Ａ）ｘ＝０
-10 30 ｘ＝０
-5 15
3
Ｗ（3；Ｔ）＝｛c 1
c∈Ｒ｝
-15 30 ｘ＝０
-5 10
2
Ｗ（-2；Ｔ）＝｛c 1
c∈Ｒ｝
3
2
1
1
B＝P-1AP
＝
3
0
0 -2

Download Report