T. Sameshima, TUAT members 鮫島俊之（さめしまとしゆき） 名古屋大学・静岡大学・工学博士・ソニー・Max Plank Institute・東京農工大学・教授 講義担当 蓮見真彦（はすみまさひこ） 東京大学・理学博士・理化学研究所・東京農工大学・ 学習支援室長 演習担当 蛯名涼子（えびなりょうこ） 東京農工大学４年生・鮫島研究室・大学院入試合格 工学府鮫島研究室へ進学予定・TA担当 Introduction １．教科書 タイトル：理工学系の基礎教育 物理学 出版社：学術図書出版社 ISBN：4-87361-938-6 ２．講義ノートはホームページからダウンロード １）http://www.tuat.ac.jp/~sameken/ ２）講義ノートのメニューバーをクリック ３）2012年 物理学及び演習 (1年次後期) のコーナー の物理 (ppt)をクリック Introduction ３．演習と宿題は学習支援室蓮見室長が担当する。 学習支援室ホームページからダウンロード １） http://www.tuat.ac.jp/~gakusyu/ ２）演習問題 及び 宿題 をクリック Introduction ４．必修科目 ５．成績評価： 絶対評価 S：100〜90，A：89〜80，B：79〜70，C：69〜60， D：59〜0 Ｓ〜Ｃは単位認定される。E1クラスと同一評価、 演習30点 宿題20点 中間試験＋期末試験 50点 Introduction ６．物理授業用ノートを用意すること ７．講義・演習・宿題の流れ 講義：毎回所定のテーマの解説をする。 演習：前回答案返却→前回問題解説→ 今回問題配布・実施→今回答案回収 宿題：講義前に前回答案回収→ 演習後今回問題配布 Introduction ８．物理は大学院入試の必修科目である。 本講義・演習をマスターすれば必ず合格する。 某大学平成23年度大学院入試物理問題抜粋 壁に掛けてあった気に入りの絵が 図1-1のように傾いていた．何かの 拍子に右肩を止めていたピンが外 れ，左肩のピンを支点にして回転 し傾いたのだろう．図1-1のように 絵が傾いて運動して止まるまでの 運動の過程を調べよう．簡単化の ために絵は図1-2に示すように辺 の長さがaとbの長方形であり，質 量Ｍの一様な密度の剛体板とする． この剛体板を図1-1と区別してPeintureと呼ぼう．最初辺O-Pの辺は水 平に静止していたとする．Pにあったピンがはずれ，鉛直下方に重力 加速度 gが働き点O回りにPeintureが回転して落下する．図1-2のよう に重心を通る線OQと鉛直線の挟む角をθとする．時間微分係数の記 2 号は d , d のように書くことにする．以下の問いに答えよ． dt dt 2 某大学平成23年度大学院入試物理問題抜粋 [1] まず摩擦などの抵抗が無いとしよう．最初Peintureは静止してい たから，運動エネルギーKはゼロであった．Peintureの重心は落下に より低下し，その際位置エネルギーが運動エネルギー K に変わる． コーナーの位置Qが最下点に達した時，Peintureが獲得するKをM, a, b, gを用いて表せ． [2] Peintureは最初静止していたからそのときの角運動量L もゼロで dL あった．一般に L は力のモーメント N が働くことにより dt N の関係に よって発生する．Peintureが図1-2に示す位置にあるときPeintureに は重力によりNが働く．Nは負の値である．NをM, a, b, g, θを用いて 表せ． 某大学平成23年度大学院入試物理問題抜粋 [1] [2] Mg K 2 a 2 b2 b a 2 b2 N Mg sin 2 某大学平成23年度電気電子工学科E2 物理 学基礎・物理学基礎演習 期末テスト問題 問1 F君は漫研のスーパー絵描きであり、 彼は自信作を私にプレゼントした。私の部 屋の壁に彼の絵が掛けてある。ある日その 絵が図1-1のように傾いていた。何かの拍 子に右肩を止めていたピンが外れ、左肩の ピンを支点にして回転し傾いたのだろう。 絵が傾く運動の過程を調べよう。簡単化の ために絵は図1-2に示すように辺の長さがa とbの長方形であり、質量Mの一様な密度の 剛体板とする。この剛体板を図1-1と区別して Peintureと呼ぼう。最初、辺OPは水平に静止していたとする。点Pにあったピンがは ずれ、鉛直下方に重力加速度 gが働き、点O回りにPeintureが回転して落下する。 図1-2のように重心を通る線OQと鉛直線の挟む角をθとする．時間微分係数の記 2 号は d , d 2 のように書くことにする。摩擦などの抵抗は無いものとして、 dt dt 以下の問いに答えよ。 1-1. 力のつり合い ・力は向きがある。だからベクトル量である。 ・力の大きさはもちろんスカラー量である。 ・力の大きさの単位はN（ニュートン）である。 ・力は運動量ベクトルの時間微分で与えられる。 dp F dt ・力は足し算できる。 F1 F2 F3 F1 F2 0 ・力を足してゼロになる状態をつり合いという。 1-1. 力のつり合い いろいろな種類の力が知られている。 重力（gravity) mg , 電気力（electrical force） 磁気力（magnetic force) 摩擦力(friction) B r , ローレンツ力 eE ev B N 弾性力(elastic force) k x , 粘性力(viscosity) 応力(stress) Cv 1-1. 力のつり合い いろいろな力が質量ｍの物体に作用したとき、以下の式 が成り立つ。 F ma 即ち、力(force)に比例し、質量(mass)に反比例した加速 度a(acceleration)が生じる。 例えば、質量ｍ電荷量eの物体が電界強度Eの場に置か れたら、 eE の力が物体に作用する。 eE よって電界強度の方向に加速度 a m が生じる。 1-1. 力のつり合い ちから F はベクトルだから、 こんな風に書いても良い。 F F1 F2 このとき、おのおのの成分は一致していなければならない。 F , F , F F x y z Fx Fx1 Fx 2 Fy Fy1 Fy 2 Fz Fz1 Fz 2 x1 , Fy1 , Fz1 Fx 2 , Fy 2 , Fz 2 1-1. 力のつり合い F mg 0, 0, mg 問 以下は可か？ F F1 F2 F1 mg , mg , mg F2 mg , mg , 2mg とする。 1-1. 力のつり合い F mg 0, 0, mg 問 以下は可か？ F F1 F2 F1 0, mg , 0 F2 0, mg , 0 とする。 1-1. 力のつり合い F mg 0, 0, 1 とする。 問 以下は可か？ F F1 F2 F1 0,1 106 , 0 F2 0, 1 10 , 0 6 答えは「否」だが、5桁の有効桁の範囲では「是」でもある。 物理学は有効桁が非常に重要である。 事例を考えてみよう。 1-1. 力のつり合い 力を足してゼロになる状態をつり合いという。 F F1 F2 0 問 以下は可か？ F1 F1 , F1 , F1 F2 F1 , F1 , F1 1-1. 力のつり合い 不思議だが、異なる種類の力であっても力の合成とつり 合いがなりたつ。 問 以下の場合の釣り合いの条件は何か？ F1 0, 0, mg 重力 F2 0, 0, Cv 粘性抵抗 Cv ( mg ) 0 速度ベクトルは、 mg 終端速度 v C v 0, 0, v 1-1. 力のつり合い 問 以下の場合の釣り合いの条件は何か？ F1 0, 0, mg 重力 F2 0, 0, Cv 粘性抵抗 F3 0, 0, eE 電気力 mg eE Cv eE ( mg ) 0 終端速度 v C ミリカンはこの性質を使って電気素量を決定した。 1924年 ノーベル物理学賞 電子について勉強しよう 電子の電荷の決定 電荷がとびとびの値をとることの直接の証明と．個々の粒子の電 荷を見出す方法による電子の電荷の大きさの最初の精密な決定 が，1911年にミリカン Milikan によって行なわれた． ついで光の作用で放出される（光電効果）電子の電荷を，ミリカン の方法と似た方法で決定することが，1912年に A. F. ヨッフェ Joffe によって行なわれた． 電子について勉強しよう ミリカンの実験方法：極めて小さい油の滴の電荷を直接測定 水平におかれた畜電器の両極のあいだにある小滴を考えよう． ①畜電器の極板に電圧がかかっていないと，滴は自由に落下する であろう．滴の寸法が小さいために，それは等速で落下する．なぜ なら，それの重さmgは空気の抵抗の力とつりあうからである． 空気の抵抗の力は物理で学ぶストークス Stokes の法則によると F 6avg （３） に等しい．ここでvgは落下速度，ηは空気の内部摩擦係数，aは滴 の半径である． 電子について勉強しよう mg 6avg 重力との釣り合いとの式 （４） から滴の半径を計算で出すことができる．ここで、滴の物質の密度 をσ，空気の密度をρであらわすとしよう．そうすると，空気中を落下 4 3 m a g 3 （５） 4 3 a ( ) g 6 avg 3 （６） する小球の実効的重さは となるから、力の釣り合いの式は となる。即ち、 1/ 2 1/ 2 vg 3 a 1/ 2 1/ 2 2 ( ) g が得られる。 （７） 電子について勉強しよう ②今度は，畜電器の極板に電位差が与えられ， 電場の作用で滴が上昇するようにその電位差 の大きさと向きがえらばれたとしよう．滴は電荷 Ｑが帯電しているとする。この上昇もまた落下 と同じように等速運動であるが，その速度をvE であらわす. QE mg 6avE -V +Q 0V （８） ここでEは畜電器の内部の電場の強さである．（４）と（８）から 6a Q (vg vE ), E （９） 電子について勉強しよう 直接測定にかからない滴の半径aの代わりに，vgを使ってaをあら わした式（７）を入れて vg1/ 2 3/ 2 Q9 2 (vg vE ) （１０） を得る． 1/ 2 1/ 2 E ( ) g 畜電器の極板のあいだの空気を電離させる（たとえばX線を使っ て）ことにより，滴の電荷を変化させることができる． 電場の強さがもとのままだとすると，滴の速度は変化してv’Eになり vg1/ 2 3/ 2 Q' 9 2 ( vg v ' E ) 1/ 2 1/ 2 E ( ) g が得られる． （１１） 電子について勉強しよう （１１）と（１０）とを組合わせると vg1/ 2 3/ 2 Q Q Q ' 9 2 ( vE v ' E ) 1/ 2 1/ 2 E ( ) g （１２） が見出される．帯電条件を変えつつ多数回の実験を行い、電荷量 の差を測定する。 （１２）によれば，帯電変更のさいの電荷の大きさの変化は，速度 の差vE－vE’ に比例するはずである．もしこの差がある1つの大きさ の整数倍であるならば，電荷の変化は連続的にではなく，有限の 分量ずつ行なわれると断定することができる． 電子について勉強しよう 実際にそうなっていた． 式（１０）は，滴の電荷の絶対値が和 vg＋vE に比例しなくてはなら ないことを示している．もしこの和が，同一の大きさの整数倍であ るならば，それは電荷がつぶつぶな単位から成るものであることを 意味する． 実際にそうなっていた． ミリカンの実験は力学的運動論と電気力学の単純な組み合わせと 慎重な実験手法を駆使することにより、電荷がとびとびの値を取る 原子論の完全かつ直接的な証明を与えた． ミリカンの実験例 帯電変更 帯電変更 落下時間 電荷の単 電場内の 帯電変更 電荷の単 電場内の 前後の上 の単位の と上昇時*位の何倍 上昇時間 の単位の 位の相対 上昇時間 昇時間の 何倍かを 間の逆数 かを示す の逆数 相対値 値 逆数の差 示す数 の和 数 tE (sec) 1 tE 80.708 0.01236 1 1 t E tE 0.09655 0.03234 22.375 n 1 11 1 1 t n t E t E g t E 6 79.600 3 0.005375 +1 0.09673 0.01616 17 0.005348 0.01254 0.005371 -7 0.09138 1 24 0.005358 140.565 0.00719 0.005348 0.005366 +6 0.12887 7 18 0.005390 0.04470 0.03751 n n 1 1 1 n tg tE 18 0.005387 34.785 0.02870 0.11289 *平均tg=11.880，ここでtgは重力場内の落下時間． 0.005374 +3 21 0.005376 １－２ 速度と加速度 時間によって位置を変える質量ｍの物体がある。時刻 ゼロでは物体は原点にある。 位置ベクトルは： r t rx t , ry t , rz t Y このとき、 rx 0 0 0 ｍ ry 0 0 rz 0 0 Z X １－２ 速度と加速度 位置の時間微分は速度である。 d v t r t dt 速度の時間微分は加速度である。 d a t v t dt １－２ 速度と加速度 位置ベクトル r t rx t , ry t , rz t 速度ベクトル d d d v t rx t , ry t , rz t dt dt dt 加速度ベクトル d2 d2 d2 a t 2 rx t , 2 ry t , 2 rz t dt dt dt １－２ 速度と加速度 問．位置ベクトル r t t , t 2 , t ・の軌跡をとる物体の速度と加速度ベクトルを求めよ。 ・物体の運動を説明せよ。 ・上記、位置ベクトル、速度ベクトル、加速度ベクトルの 時刻ゼロでの、お互いのなす角度を求めよ。 １－２ 速度と加速度 問． a t 0, 2,0 cos cos r t v t r t v t v t a t v t a t r t t , t 2 , t v t 1, 2t,1 2 t t 3 t 2t 2 1 2t 2 4t 2 4t 2 2 2 2 1 t 2 2 t 2 2 1 2t 2 2t 2 1 2t 2 t=0のとき:位置ベクトルと速度ベクトルの角度はゼロ。 速度ベクトルと加速度ベクトルの角度は９０度。 １－２ 速度と加速度 t<<小の時、 r t ~ t,0, t である。物体はX-Z面にありX-Z方向に動く。 t>>大の時、 r t ~ 0, t 2 ,0 である。物体は-Y方向に動く。 最初X-Z方向に動くものが‐Y方向に転換するのだから、 速度と加速度の向きは90度異なっている。 １－２ 速度と加速度 問 半径rの円周上を角速度ωで運動する質量mの 物体の座標ベクトルの成分を r t r cos t, r sin t と書くとき、 物体の線速度ベクトルの成分を求めよ。 物体の加速度ベクトルの成分を求めよ。 (P30 練習問題３） １－２ 速度と加速度 問 r t r cos t, r sin t d r t v t r sin t, r cos t dt d v t a t r 2 cos t , r 2 sin t dt １－２ 速度と加速度 複素指数関数あるいはフェイザーという考え方がある。 問 半径rの円周上を角速度ωで運動する質量mの 物体の座標ベクトルの成分を r t re 物体の速度を求めよ。 物体の加速度を求めよ。 it と書くとき、 １－２ 速度と加速度 問 r t re it d r t it v t ire i r t dt d v t a t 2 r t dt 数学の勉強：複素指数関数 指数関数を使って三角関数trigonometric functionを制覇しよう。 p q e e e p q pq である。Multiplication rule e e pq である。Power rule de px pe pxである。ordinary differential equation dx p, q はどんな数でも成り立つ。 定義： eia cos a i sin a Euler's formula aは実数 数学の勉強：指数関数 e cos a i sin a ia 定義： e i 2 i imaginary unit である。 i ならば、 aは実数 i2 e 2 e 問．それでは i 2 ei cos i sin 1 i 1 2 はいくらか。 i i 2 1 i 4 i e e cos i sin 4 4 2 数学の勉強：指数関数 （１） ei ei ei cos i sin cos i sin cos i sin cos cos sin sin i cos sin sin cos これらの式を見比べて the sum formulas cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos i i （２） e e ei 0 cos 0 i sin 0 1 cos i sin cos i sin cos 2 sin 2 これらの式を見比べて cos 2 sin 2 1 数学の勉強：指数関数 （３） i x de d d cos x i sin x dx dx dx i x i e i cos x sin x これらの式を見比べて d cos x sin x dx d sin x cos x dx x n （４） e an x と書く n d x e an nx n1 dx n e x an x n n 上下を見比べれば an n an1 an1 an n 1 an n! 数学の勉強：指数関数 ex n xn n! ix である。 定義を使って、 n m m n 1 n i x i x ix e i n! n! n even m! odd cos x i sin x またもや見比べて im xm x2 x4 cos x 1 2! 4! even m ! i n 1 x n x3 x5 sin x x n! 3! 5! odd (see →p261) 数学の勉強：指数関数 de x x n 1 x n 1 n ex dx n! n n 1 n 1! px px de pn dx n! n! n n px deix ieix dx dei x iei x dx n n 1 x n 1 p pe px n 1 n 1! １－２ 速度と加速度 i e 2 i を考える。 再び i は 角度回転したと考えることができる。（フェイザー） 2 即ちｘ軸を 2 回転するとｙ軸になる。 reit r cos t ir sin t だから、 はｘ成分とｙ成分を表す複素数と考えることが出来る。 時刻ｔにおける角速度ωの等角速度円運動の位置に対して、速度 は it dre v dt ireit と書くことができる。速度は位置に i をかけた形である。 だから、速度ベクトルは位置ベクトルより＋90度角度が進んでいる。 １－２ 速度と加速度 問 dy ay dx のとき ｙは指数関数型の解をもつ。 皆さんにとって最も重要で価値のある数式である。 上式で説明できる現象を考えてみよう。 １－２ 速度と加速度 問 Eさんは１００万円持っていると気持ちが大きくなり一日あたり 5万円使う。持金が１万円の時は気持が萎み、一日あたり5００円 で過ごす。Eさんの持金が１００万円から１万円なるのは何日後 か？ dy 0.05 y dt y 100e0.05t 1 100e0.05t t 20ln 0.01 ~ 約92日後 １－２ 速度と加速度 問 Eさん:先生は、力は運動量ベクトルの時間微分で与えられる。 と解説されました。 dp F dt 先生：その通り。 Eさん:そして、物体の速度に比例して逆方向に抵抗として働く粘 性抵抗があると言われました。 F Cv 先生：その通り。 Eさん:私は p mv と勉強しました。 dv Cv だから粘性抵抗は、速度ベクトルに対して、 m dt となり、先生出題の dy ay 型の微分式となります。 dx 先生：その通り。 ax y y e Eさん:そして、解は です。 0 １－２ 速度と加速度 問 先生：はあ。 Eさん:だから、粘性抵抗があるときの速度は、時刻ゼロをv0とす C れば、 t v v0e m となります。 先生：ほう。 Eさん:時間が十分経つと速度はゼロになります。 先生：なるほど。 mg Eさん:でも先週、先生は粘性抵抗下の終端速度 v C を解説されました。 先生：その通り。 Eさん:でも微分式を解けば速度はゼロになります。 終端速度は何処に行ったの？ １－２ 速度と加速度 問 A君：Eさんは間違っています。 それは・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・だからです。 この場合、微分式は・・・・・・・・・・・・・・・・・・・となります。 そして、解は指数関数型ですが、・・・・・・・・となります。 Bさん：いえEさんは正しいです。 でも・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・の場合に正しいのです。 例えば・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・のような場合です。 １－３ 運動の３法則 １．慣性の法則 F 0 dp 0 the principle of inertia dt dp F ２．運動の法則 dt Equation of motion ma F ３．作用反作用の法則（運動量保存則） Law of action and reaction (Principle of Momentum Conservation) 問．上記3法則について皆さんの体験を述べよ。 １－３ 運動の３法則 P31 光にも運動量とエネルギーがあるそうだ。 p h n Eh c h 問 運動量ｐの原子が右から走ってくる。左から原子に吸収される 波長をもつ、原子と同じ運動量の光1個が飛んでくる。両者正面衝 突したらどうなるか？ 原子 光 Eさん：それは簡単です。両者の運動量の合計はゼロだから、 衝突後原子は光を吸って止まります。 原子 p=0 p(光) p( 原子) 0 １－３ 運動の３法則 先生：空中の原子や分子を光で止めることができるだろうか？ Eさん：それは上手い事原子や分子や光の種類を選べば可でしょ うね。 先生：原子や分子が止まった状態とは？ Eさん：それは・・・・・・・凄く温度が低い状態ですね。高校で気体の 分子の運動と温度の関係を勉強しました。PV=ｎRTです。 先生：その通り、良くできました。光で原子、分子を冷却する技術 は実際に広く行われている。 レーザー冷却：スティーブン・チュー、クロード・コーエン＝タヌージ、 ウィリアム・ダニエル・フィリップス、 1997年度ノーベル物理学賞 Eさん：運動量保存則は素晴らしい！ でも、光を吸った原子はエネルギーが増えて熱くなるのでは？ 先生：良い質問です。皆さんEさんの疑問を考えてみよう。 １－３ 運動の３法則 質量Mの太陽の周りを等速円運動する、質量mの地球を考えよう。 地球の位置と運動量ベクトルを M=2.0x1030kg Ｙ m=5.9x1024kg it it p imre r re r=1.5x1011m と書こう。練習のために複素指数関数を使おう。 地球と太陽間以外に力が働かないなら、 運動量の総和は絶対に不変である。 ー運動量保存の法則ー m ｒ O θ M Ｘ 文句：しかし、 p imre は時間に対して変化するから保存していない。 太陽と地球の運動量総量が保存するためにはどのようにしたらよい か？ it １－３ 運動の３法則 M=2.0x1030kg m=5.9x1024kg Ｙ r=1.5x1011m 太陽の位置と運動量ベクトルを i t R Re i t P iMRe と書こう。地球と太陽の重心が動かず 運動量の総和が不変であるためには、 O P p0 この条件が常に満たされるには MR mr よって、 mr it R e M it P imre m ｒ θ M Ｘ １－３ 運動の３法則 問：実は太陽も地球に付き合って位相差πで 回転していることがわかった。 M=2.0x1030kg 太陽の回転半径Ｒは何kmか。 Ｙ m=5.9x1024kg r=1.5x1011m mr R 442500 442.5km M m ｒ O θ M Ｘ １－３ 運動の３法則 次に、物体ｍとMの運動エネルギーkinetic Ｙ 2 energyを考えよう。 2 2 p mr mの運動エネルギー Em 2m 2 2 m ｒ 2 2 Mの運動エネルギー P MR EM O θ 2M 22 mrR M 2 二つの物体の運動エネルギーの和は、 mr( r R) 2 mr E ( r R)2 2 2 2( r R) mM ( r R)2 2 2(m M ) Ｘ １－３ 運動の３法則 Ｙ 太陽Mと地球ｍの場合、M>>ｍ、 r>>Rだから、 mr 2 2 E~ 2 m ｒ である。 O θ 即ち、重たい太陽の運動エネルギーは Ｘ M 全く小さい。 系全体の運動エネルギーは軽い物体の 運動エネルギーが支配している。 だから、重い物体の回りを回る軽い物体の運動を考えるとき、軽 い物体の運動だけを考えても重大な問題を生じないのである。 しかし、軽い物体と重い物体の運動量の大きさは同じである。 １－３ 運動の３法則 Ｙ 面白いこと； mM K (m M ) のような質量Kを考えると K r R E 2 2 m ｒ 2 O θ M となる。これは質量Kの物体が速さ r R で移動すると きの運動エネルギーの形をしている。実際は２つの物質の運 動だが、お互いに一体になって動いているような形をしてい る。Kを換算質量reduced massと呼ぶ。 Ｘ １－３ 運動の３法則 問：質量がともにｍである小さな物質１と物質２が お互いに距離Ｒだけ離れて引力を及ぼしな がら、角速度ωで回転している。物質１の座標が r1 r1e it ２ m Ｒ m １ のとき、 １）物質２の座標 r2 を求めよ。 ２）Ｒを求めよ。 ３）２つの物質の運動エネルギーの総和をRを使って表せ。 ４）換算質量Ｋを求めよ。 ５）２つの物質の運動エネルギーの総和をRとKを使って表せ １－３ 運動の３法則 問 ：質量がともにｍである物質１と物質２が お互いの重心間距離がＲ離れて引力を及ぼしな がら、角速度ωで回転している。物質１の座標が r1 r1e it Ｒ m のとき、 d r2 it m i mr e 1 １）物質２の座標を求めよ。 dt r2 r1eit ２）Ｒを求めよ。 R 2 r1 ３）２つの物質の運動エネルギーの総和をRを使って表せ。 2 2 mR 2 2 mr1 4 m １－３ 運動の３法則 問 ：質量がともにｍである物質１と物質２が お互いの重心間距離がＲ離れて引力を及ぼしな がら、角速度ωで回転している。物質１の座標が r1 r1e it Ｒ m のとき、 1 ４）換算質量Ｋを求めよ。 K m 2 ５）２つの物質の運動エネルギーの総和をRとKを使って表せ mR 2 2 KR 2 2 4 2 m １－３ 運動の３法則 問 ：外力なして自励振動している右図 のばね常数kのバネの運動を考えよう。 １）換算質量Ｋを求めよ。 ２）角振動数ωを求めよ。 ３）Mがmに比べて非常に大きくなったときの 角振動数ωはいくらか？ M k m １－３ 運動の３法則 問 ：外力なして自励振動している右図 のばね常数kのバネの運動を考えよう。 M mM １）換算質量Ｋを求めよ。 K mM ２）角振動数ωを求めよ。 k K m M k ３）Mがmに比べて非常に大きくなったときの 角振動数ωはいくらか？ k m 例：壁に固定されたバネの角振動数 k mM m Eさんの憂鬱 Eさん：先生、電気回路で jL が出てきました。 これって先の im に似てませんか？ 先生：おお、たまには良い事に気がつく！ Eさん：いや、それほどでも。ところで jL て何ですか？ 先生：は？ インダクタンスLを持つコイル（集中常数回路）に流れる 電流の時間変化とコイル端に発生する電位の関係は？ dI V です。 Eさん：それは簡単です。 L dt Eさんの憂鬱 先生：微分式を解く得意技は？ Eさん：解をでっちあげて知らんふりする。 先生：これこれ、もっと丁寧に答えよ。 Eさん：解を仮定して、式を満足するかを確認する。 jt 先生：OK、 I I 0e のときのV は？ j LI です。 Eさん： V j LI 0e お、 jL が出てきた。 jt je j 2 だったから V LI 0e j t 2 コイルに掛る電圧は電流よりも位相がπ/2進んで いるんですね。 Eさんの憂鬱 先生：そうだね。 一般に、VとIが単一角周波数を持つ時、 オームの法則を発展させて、 V= Z×Iと書く。このとき、位相差分はZに押し込める。 Eさん：解をでっちあげて知らんふりする。 先生：いや違う。位相差を含んだZを複素インピーダンスという。 コイルの場合のZは？ Eさん：それは簡単です。 Z jL です。 先生：コイルのZの特長は？ Eさん：・位相π/2進む。 ・角周波数が大きくなると大きくなる。 ・Lが大きいと大きい。 先生：良くできました。くねくね曲がっている電線に高周波の 大電流を流すには大きな電圧が必要であることが分かる。 Eさんの憂鬱 t I I e Eさん：ところで先週学んだジリ貧関数 の場合は 0 どうなるんでしょう？ 先生：指数減衰関数だ。考えてみたまえ。 Eさん： L dI V だから、 V LI 0e t LI dt あれ？ jL がないぞ。 jL は万能ではないの？ 先生：便利だが、万能ではない。 単一角周波数のときは大いに便利だ。活用しよう。 Eさん：う～ん、わからんな～。 dI dv V は m F に似てますね。 ところで、 L dt dt Eさんの憂鬱 先生：そうね、単位も意味も違うが、数式が同じなら同様の解が 得られる。 Eさん：そうなんですか？じゃあ、便利じゃないですか！ v v0eit なら、 F imv0eit imv v v0e t なら、 F mv0e t mv 上が、等角速度円運動の場合、下が粘性抵抗運動の場合か、 なるほどね。 力学でも im だけ丸暗記は無駄ってことか・・じゃ、まさか全 部の場合に丸暗記？ 面倒くさいな、 jL と L らをサクッ とまとめて暗記できる方法なないの？ 先生：暗記にこだわらず、少しは考えてみれば？ Eさん：え～ １－４ 質点の放物運動 parabolic movement Z方向のみに一定の加速度がある場合を考えよう。 時刻ゼロで質点は原点にある。時刻ゼロで、質点はＸ方向 にのみ速度ｖ0を持つとしよう。 加速度は a t 0,0, a 速度は 位置は だから、 v t v0 ,0, at 1 2 r t v0t,0, at 2 1 2 x v0t z at 2 １－４ 質点の放物運動 parabolic movement 2 1 2 1 x 1 a 2 z at a x 2 2 2 v0 2 v0 これは放物線運動である。 ・位置の大きさはどうなる？ 2 1 1 a r r t r t v 02t 2 a 2t 4 v 0 t 1 t 2 4 4 v0 位置は始めはｔに比例して大きくなる。 そのうち、ｔ2に比例して急激に大きくなる。 ・位置の大きさの変化がｔ的からｔ２的に切り替わる時刻はいつ？ １－４ 質点の放物運動 parabolic movement ・位置の大きさの変化がｔからｔ２に切り替わる時刻はいつか？ 2 1 a 2 t ~ 1 だろう。 4 v0 t0 ~ 2 v0 である。 a 物体はt0までは概ね等速度運動、t0を超えると等加速度運動と言える。 ・ＸとZの角度はどうなる？ z 1 a 1 a tan x t 2 x 2 v0 2 v0 タンジェントは時間に比例して大きくなる。 タンジェントはＸ成分に比例して大きくなる。 そして遂に無限大になり、角度は90度になる。 １－４ 質点の放物運動 parabolic movement ・タンジェントが１の時刻はいつか？ 1 a t 1 それは、 2 v0 2v0 t0 a 物体の運動が等速度的運動から等加速度的運動に切り替わる 時刻である。 １－４ 空気抵抗の中の物体の運動 Ｐ４５～ 空気の粘性抵抗下でt＝０でz＝０、ｚ方向に速度 -v0をもつ質量mの物体の運動を考えよう。 粘性抵抗力は 運動の式は v F Cv v maz mg Cvz d 2z dz m 2 mg C dt dt を解こう １－４ 空気抵抗の中の物体の運動 dz v と置く。 dt dv m mg Cv dt mg V v C dV m CV dt と置く。 dV C 割り算と掛け算をする。 dt V m 積分をする。 整理する。 vは・・・・・・・・ C ln V t a m V e C t a m v Ae C t m Ae mg C C t m １－４ 空気抵抗の中の物体の運動 vはt=0で-v0だから、 mg v0 A C よってvは mg v v0 e C 従ってzは C t m mg C C t m mg mg m z v0 1 e t C C C １－４ 空気抵抗の中の物体の運動 問：-v0=0のとき、落下のごく初期t<<小のとき、 v gt 1 2 z gt 2 と、近似できることを示せ。 -v0がゼロでない時どうなるか考えよ。 C mg m t mg v v0 e C C C t m mg mg m z v0 1 e t C C C １－４ 空気抵抗の中の物体の運動 問：-v0=0のとき、落下のごく初期t<<小のとき、 C C t t mg mg mg mg mg C mg m m v v0 e e ~ gt 1 t C C C C m C C C t m mg mg m z v0 1 e t C C C 2 C t m mg mg m mg C 1 C mg m t~ t t t 1 e C C C C m 2m C C 1 2 gt 2 １－４ 質点の放物運動 parabolic movement 問：本日の授業で空気抵抗中の物体の速度v と位置z は 次の式で書けることを学んだ。（ｐ５１） mg m t mg v v0 e C C C t m mg mg m z v0 1 e t C C C C この運動はC→0 のとき、通常の自由落下運動の速度、 位置と一致することを示せ。 １－４ 質点の放物運動 parabolic movement C mg m t mg mg C mg v v0 e ~ v0 1 t C C C m C v0 gt C t m mg mg m z v0 1 e t C C C 2 m mg 1 C mg C ~ v0 t t t C C 2m C m 1 v0t gt 2 2 １－４ 質点の放物運動 parabolic movement 問：-Z 方向に重力加速度を受けて落下運動する質量m の物体が速さv で運動するとき、v及びv 2 に比例する抵 抗力F =-Cv +D v 2 を受けるとする。十分時間がたった 後、この物体の速度がどうなるか考えよ。 F mg Cv Dv 2 0 C C 4mgD v 2D 2 １－４ 質点の放物運動 parabolic movement C→0なら C C 2 4mgD mg v 2D D 慣性抵抗（ｐ５０） １－４ 質点の放物運動 parabolic movement P51 問3：ストークス則 F Cv 6rv 終端条件 mg Cv 6rv 球形条件 4 3 mg r g 3 2 g 2 v r 9 お話：オームの法則 電界強度中の電荷の運動以下の式で表される。 d 2 x m dx m 2 eE dt t dt ここでｍは電荷の質量、tは運動のライフタイム、Eは電界強度である。 電荷の位置ｘが時間ｔ=0でゼロ、速度ゼロのとき電界強度によって 生じる電荷の運動は上式を解くことによって与えられる。 問 上式は空気粘性抵抗下での物体の落下の式 d 2z dz m m 2 mg C について、 C dt dt t mg eE とした場合に相当する。時刻tでの電荷の速度を求めよ。 お話：オームの法則 速度は t dx et E t v 1 e dt m i env 単位面積当たりの電流は だから電流値は、 t e2nt E t i env 1 e m となる。ここで取り扱う時間ｔが電荷の運動のライフタイムτよりずっと 長い場合を考えよう。このとき、 であるから、電流と速度は、 e 2nt E i~ m となり、時間に依存しない量となる。 お話：オームの法則 よって面積Ｓを通過する電流Ｉは e 2nt E I S m であり、電界強度が一定なら、距離Ｌで電位降下はＶ＝ＥＬ となるから、 S e2nt I V L m 電流は電圧に比例する。 これがオームの法則である。 e2nt 係数 を物質の電気伝導率という。 m 1 m r 係数 を物質の電気抵抗率という。 2 e nt L L m 抵抗は R r である。 2 S S e nt お話：オームの法則 N君：結局電子の速さはいくらだろう？ レールガンより速いのかな？ Eさん：先生の解説によると、固体中の電子の速さは et E v m です。Eは電界強度です。 N君：電界強度は電位Vを長さLで割ったものだ。 Eさんのスマホに使われているシリコン トランジスタ の長さLはいくらですか？ Eさん：・・・・・・・・・・ 確か、本によると、約50nmです。 N君：え、小さいね。電位は？ Eさん：・・・・・・・・・・ 確か、本によると、0.5Vです。 N君：ならば電界強度は、1.0x107 V/mになります。 大きいな。 お話：オームの法則 Eさん：シリコンのτとmはいくらなんですか？ N君：大学院で、 τ~1x10-13 s, m~3x10-31 kg と教わった。 Eさん：え、小さすぎませんか？ N君：でも教わった。信じましょう。 Eさん：じゃ、信じましょう。 et E 1.6 10191 10131 107 5 v ~ ~ 5.3 10 m/s 31 m 3 10 N君：530 km/s!!凄い、レールガンよりスマホの電子の方が速い！ スマホの電子は東京～大阪間1秒程度で行く速さで仕事をして るんですね。電子はいい子です。 Eさん：いい子です。 １－５ 単振動と円運動 振り子の運動はおなじみである。（ｐ５３） でも単純ではない。 円弧接線方向の力成分は F mg sin d 線運動量は p ml dt θ l 運動の式は、 dp d 2 ml mg sin 2 dt dt d 2 g sin 2 dt l g とおく。 l mg １－５ 単振動と円運動 d 2 2 sin 2 dt d を両辺に掛けて積分しよう。 dt 1 d 2 cos C 2 dt 2 θ l 最下点θ=0の角速度をω0とおくと 1 2 C 0 2 2 2 d 2 2 2 cos 1 0 dt mg N君の回答 d 2 2 sin 2 dt d d 2 d 2 sin 2 dt dt dt = = 1 d 2 cos C 2 dt 2 d を両辺に掛け dt て dt で積分しよう。 １－５ 単振動と円運動 d dt 2 2 cos 1 02 もし、最下点から見て高さHから振られたとすると、 l0 2 gH θ l H 0 2 l d dt H 2 cos 1 l 微分方程式を解くのは難しい・・・・・・ mg １－５ 単振動と円運動 l H から振り子を振り出すとしよう。 2 初期角度は 0 d dt 3 1 2 cos 2 cos 1 2 θ l さらにg=9.8, l=1としよう。有効桁2桁まで取ると、 g ~ 3.13 l d 3.13 2 cos 1 dt mg １－５ 単振動と円運動 初期角度 0 からの変化を差分的に 数値計算しよう。 3 3.13 2 cos 1t i i 1 3.13 2 cos i 1 1t θ l mg １－５ 単振動と円運動 l 計算結果： H , g=9.8, l=1のとき、 2 g 0 ~ 3.13 であり、θの時間変化は、 3 l θ l mg １－５ 単振動と円運動 １周期は2.16 sである。 d 2 これを、θ<<小 2 ~ 2 の場合の解 dt 0 cos t 3 cos 3.13t と比べてみよう。（破線） θ l mg １－５ 単振動と円運動 再び。Ｘ-Ｙ平面において半径ｒを一定角速度ωで回転している質量 ｍの物体を考えよう。 位置ベクトルは Ｙ r r cos t, r sin t であるから、 運動量ベクトルは m p mr sin t, mr cos t 力ベクトルは F mr2 cos t, mr2 sin t 運動エネルギーは 1 mr 2 2 E p p 2m 2 θ Ｘ １－５ 等角速度円運動 2 2 F mr cos t , mr sin t ・物体には の中心向きの力が常に働いている。大きさは F mr 2 である。 ・力によって運動の向きは刻々と変わる。 よって運動量は時間によって変化する。 p mr sin t, mr cos t ・しかし物体の速さは変わらない。 運動量の大きさも変わらない。 v r p mr 2 mr ・よって運動エネルギーは時間一定である。 2 2 １－５ 等角速度円運動 これらはベクトルは時間変化するが、その絶対値は一定である 性質を持っている。 では、ベクトルそのものが時間不変であるベクトルはあるか？ L t r t mv t という外積ベクトルを考えよう。 (２－１で再度勉強する） このベクトルの成分はなんと、 L t r t p t 0,0, mr 2 となる。大きさは L mr 2 である。 Lベクトルを角運動量という。これは常に時間一定ベクトル。 不思議ではないか (p80に登場する） １－５ 等角速度円運動 円運動のX成分だけ取り出してみよう。 x r cos t Ｙ p x mr sin t m Fx mr 2 cos t θ Fx m x 2 Fx kx Ｘ k m 2 即ち等角速度円運動のひとつの成分は、単振動の運動をする。 周期は 2 m T 2 k 角振動数は k m １－５ 単振動 運動方程式は、 d 2x m 2 kx dt で、このような形の方程式の解は k x a cos(t ), m の形になる。このような形の一つの角振動数の三角関数で表される ような運動を、単振動(調和振動)という。 例えば、右図のような、ばね定数ｋ、質量ｍ m のおもりがついたばねの運動は単振動周期 k 運動である。 単振動は、半径aの円周上を定角速度ωで回転する点の正射影と 同じ運動である。 １－５ 単振動 N君の文句：ばねの自励運動は典型的な相対運動だ、と先生は解 説された。下図の場合、重心はばねの真ん中にあり、それは物体m の二分の一の変位で動いているのではないですか？重心が動くな らこれは純粋相対運動ではないと思う。 m k Eさんの応え：大変良い指摘です。しかし、・・・・・・・・ ばねをとめている壁は大変重い。しかし運動量を保存するため に物体ｍの運動とは逆位相で少しは動いていると考えるのが自然 だろう。重心は壁に限りなく近く、そしてそこは不動である。よってこ のばねは純粋相対運動である。では質問、上図の場合の換算質量 を求めよ。 １－５ バネの難問 P57 ２つの質量ｍの物体がそれぞれバネ常数ｋに繋がれて振 動している。さらに物体同士が新たなバネで繋がれている場合 の運動を調べよう。 2 1 k m k* m k Ｎ君の予想：１と２の運動は、以下の2つの場合に分けられるだ ろう。即ち同位相と逆位相場合である。 １－５ バネの難問 同位相運動は、 2 1 k m m k* k 逆位相運動は、 2 1 k m k* m k 同位相で動く時k*には力が働かないから、角振動数２ｍの球が２ｋ のばねに繋がって動いている場合と同じである。だから変位x1, x2 は 2k k x1 x2 a cos(t ), = 2m m １－５ バネの難問 逆位相運動は、 2 1 k m k* m k m k*の相対運動が加わる。換算質量は K だから、 2 2k * * m k 2k * 加速度及び力の加算性を使うと、同位相角振動数は * m だろう。よって、 k 2k * x1 x2 b cos(t ), m １－５ バネの難問 N君の答え： k k 2k * x1 a cos t b cos t m m k k 2k * x2 a cos t b cos t m m １－５ バネの難問 Eさん：私はN君のようないい加減な事はしないで真面目に計算 します。物体１と２の運動の式はそれぞれの変位をx1,x2とすると、 x1 x2 d 2 x1 * 2 m 2 kx1 k x1 x2 1 dt d 2 x2 m m k k m 2 kx2 k * x1 x2 k* dt となる。上式は X= x1+x2, Y= x1-x2 とおいて解くように教わっ た。 d2X m 2 kX dt d 2Y m 2 k 2k * Y dt １－５ バネの難問 X及びYは振動数、 k m * と k 2k m で振動する単振動である。 k X X 0 cos t m とおけば、 k 2k * Y Y0 cos t m X Y X0 k Y0 k 2k * x1 cos t cos t 2 2 m 2 m X Y X0 k Y0 k 2k * x2 cos t cos t 2 2 m 2 m ふたつのバネを新たなバネでつなぐことにより、2つの異なる振 動が生じた。不思議！ １－５ バネの簡単な問題 問 変位に比例する力が働く質量mの物体の運動方程式を と書く。 d 2x m 2 kx dt (1) k/m とする時、 (a)(ⅰ) x A cos t (ⅱ) x A sin t (ⅲ) x B sin t B cos t は、いずれも式（１）の解である事を示せ。但し、A,B,δ、εは任意 定数である。 １－５ バネの簡単な問題 問 変位に比例する引力が働くとき、質量mの物体の運動方程 式は d 2x m 2 kx (1) dt で表される。 k/m とする時、 (b)次の初期条件が与えられた時の解を x A cos t の形に書いてみよ。 (ⅰ)t=0でx=a,v=0 (ⅱ)t=0でx=0,v=v0 (ⅲ)t=0でx=a,v=v0ただし、a,v0>0 １－５ バネの簡単な問題 問 変位に比例する力を受けて運動する質量mの質点の運動方程 式 (a) d 2x m 2 kx dt k/m (1) とする時 がある。ただしk>0とする。 x Aeit Beit が(1)の解である事を示せ。但しA,Bは任意定数である。 (b)問(a)の解で初期条件がt=0でx=0,v=v0である時の解を求め よ。 (c)質点に更に一定の力Fが加わった時の運動方程式は d 2x m 2 kx F dt である。この方程式の一般解を求めよ。 (d)問(c)の解で初期条件がt=0でx=0,v=v0である場合の解を求めよ。 １－５ バネの簡単な問題 ｐ５９ 問 角振動数 ω0 （固有振動数という）で単振動するば ねに外力を加える。外力は A1, A2, ω1, ω2 を任意の 定数として F = A1sinω1t + A2sinω2t の形に書けるという。ω1 または ω2 がω0 に近いとき、 どのようなことが起こるか？ １－５ 円運動と単振動 地球の重力により、図の矢印の方向に 運動する２つのシャトルを考えよう 。 シャトルAは北極から南極に貫くトンネ ルを通る。シャトルBは地表すれすれを 一定速度で周回する。地球は真球であ り、半径R、密度は均質な質量Mである。 シャトルは質量ｍであり、十分小さい。 トンネルも十分小さい。地球中心を原 点Oにとる。トンネルを貫く軸をY軸にと り、図のようなX-Y平面をシャトルは運 動する。Z軸は紙面鉛直上向きが正で ある。空気の抵抗は考えないとする。 地球は自転していないとする。 時間ゼロでシャトルは北極点におり、 右回りとする。 ｍ 地球 北極点 Ｙ (0,R,0) B(x,y,0) A θ O Ｘ １－５ 円運動と単振動 地球とシャトルの間に働く力は、 F G GM F mg だから、 g 2 R mM GM m 2 2 R R である。 M= 5.974x1024 kg R= 6.37x106 m 計算すると ｇ =9.81 m/s2 である。 重力加速度は地表いたるところで一定であり、地球の中心方向を 向いているから、X-Y平面上では a g cos , g sin ,0 の形をしている。 GM 2 加速度の大きさ a R g 2 R 角速度は 周期は GM R3 ケプラーの第三法則(p74) R3 R R T 2 2 R 2 =5060 s ! GM GM g １－５ 円運動と単振動 2 R GM gR =7.9x103 m/s ! 速度の大きさは v R T R 運動量の大きさは P mv mR m gR 運動エネルギーは P 2 mGM mgR E 2m 2R 2 もしシャトルの重さが１０トンだとすると、 E=3.1x1010 J ! 最後にシャトルの位置は、時刻ゼロで北極点、右回りだから r t R cos t , R sin t ,0 2 2 １－５ 円運動と単振動 地球トンネルを動くシャトルの場合を考えよう。 (0,y,0)にいるシャトルに働くY方向の力は、(x,y,0)にいる周回シャ トルが受ける力のy成分に等しい。 d2y 2 Fy ma y m 2 m R sin t m 2 R cos t dt 2 m 2 y だから、運動の式は 加速度は Fy m 2 y d2y a 2 2 y dt となる。これはバネの問題と同じである。 １－５ 円運動と単振動 式を解くまでもなく答えは求められて、 シャトルの位置は（y軸上） y R sin t R cos t 2 dy 3 v t R sin t gR sin t 7.9 10 sin t 速度は dt 運動量は P t mv m gR sin t 運動エネルギーは 周期は 2 mgR 2 E sin t 2 R T 2 5060s ! g １－５ 円運動と単振動 地球トンネルを動くシャトルの運動のまとめ １．北極にいるときの 速度はゼロ、加速度の大きさは 2 R g ２．地球の中心で速度最大＝7.9x103m/s,これは周回シャトルの 速度と同じ。加速度はゼロ。 mgR ３．運動エネルギーは北極でゼロ、地球中心で最大 2 これは周回シャトルの運動エネルギーと同じ。 ４．北極から南極まで行って帰ってくるのに5060秒かかる。 これは周回シャトルの１周期と同じ。 ５．運動は往復周期振動運動。バネの運動と同じ。 １－５ 円運動と単振動 GM 万有引力を見直してみよう。 F m 2 R 地球の密度をρとすれば、 だから 地表での重力加速度は 4 M R 3 3 4G F m R 3 4G ag R 3 地球トンネルのシャトルが感じる加速度の大きさは、 4G a y y 3 2 このことは、地球の中心から距離ｙにあるシャトルが受ける重力的 力は地球と同じ密度を持つ半径ｙの球状物体から受ける力と同じ であることを示している。 １－５ 円運動と単振動 重力の大きさ 問： 前ページの議論を参考にして、あなたが地球から受ける重 力の大きさを中心からの距離の関数として下のグラフに描け。 ０ R （半径） 距離 １－５ 円運動と単振動 問： 半径Rの球が一様に帯電している場合を考える。 電荷総量はQである。球の中心からrの距離の電界強度 Eを求めよ。 Q rR E rR Q E r 3 4 R 4 r 2 １－６仕事とエネルギーとポテンシャルの問題 質量ｍの静止していた物体が力Ｆを受けてΔｔ秒間にΔｒだけ 移動したとしよう。 物体が受ける仕事はＷ＝ＦΔｒである。 Δｔ秒間にΔｒだけ移動したのだから r その間の平均速度は vav である。 t しかし最初はv＝０であった。ということは、 Δｔ秒後は v final r 2 になる。 t Δｒ Δｔ １－６仕事とエネルギーとポテンシャルの問題 仕事mechanical workは、 W F r Fvav t Fv final t 2 Δｒ Δｔ と書くことができる。 力積(impact)はＦΔｔであり、これは運動量の変化量である。 静止していた物体は、力を及ぼされたことにより運動量を獲 得する。 mv final F t 仕事によって物体は力学的運動エネルギーを獲得する。 K W Fv final t 1 2 mv final t 2 2 １－６仕事とエネルギーとポテンシャルの問題 位置ｒ１からｒnまでに物体に与えた（損した）総仕事量を 求めたい。力の向きを考慮して n W F j r j 1 r j j 1 もし、仕事が始めと終わりの点のみで決まり、途中の経 路によらないとする。このとき力と仕事の関係を U r F (r) d r r r1 と書くことができる。微分形式で書くと U U U F (r ) gradU r , , x y z Uを位置のエネルギー、ポテンシャルエネルギーという。 １－６仕事とエネルギーとポテンシャルの問題 与えた仕事により物体は運動エネルギーを獲得するので、 ポテンシャルエネルギーの変化量＋運動エネルギーの 変化量＝０となる。 即ち、位置ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの 和はいつも一定である。 F ( r ) gradU r 力が のような位置の関数で表 されるとき、この力を保存力 Conservative force という。 このとき、 位置ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和はい つも一定である。 １－６仕事とエネルギーとポテンシャルの問題 もし、物体が保存力の力によりある地点から移動して、再 び元に戻ったとする。このときポテンシャルエネルギーは 出発時点ともとに戻った時点では変わらない。よって運動 エネルギーも元に戻る。仕事ゼロ。エネルギーはもちろん 保存する。 １－６仕事とエネルギーとポテンシャルの問題 問： 以下の力は保存力か？ １） Fx kx Fy ky ２） kx Fx 2 x y 2 c2 ３） Fx 4kx 3ky 保存力 ky Fy 2 x y 2 c2 Fy 2kx 保存力 保存力ではない １－６仕事とエネルギーとポテンシャルの問題 問 スカラー関数Ａは gradA 0 が常に成り立つこと を示せ。 A A A gradA(r ) , , x y z gradA x gradA z gradA y y z A A0 y z z y １－６仕事とエネルギーとポテンシャルの問題 １） もし Fx kx Fy ky は保存力か？ U U U F gradU (r ) , , ならば、 y z x Fy Fx Fx 2U Fy 0 y yx x x y Fy 2U Fz z zy y Fz Fy 0 y z Fz 2U Fx x xz z Fx Fz 0 z x F 0 kx ky 0 y x ならば、Fは保存力である。 保存力＆一回りで仕事ゼロ １－６仕事とエネルギーとポテンシャルの問題 ２） kx Fx 2 x y 2 c2 ky Fy 2 x y 2 c2 Fx kx 2kxy 2 2 2 2 2 2 2 y y x y c x y c Fy ky 2kxy 2 2 2 2 2 2 2 x y x y c x y c 保存力＆仕事ゼロ １－６仕事とエネルギーとポテンシャルの問題 Fx 4kx 3ky ３） Fy 2kx Fx 4kx 3ky 3k C(0,b) y y B(a,b) Fy 2kx 2k x x O A(a,0) 保存力ではない。一周した場合 仕事あり。 もし、 Fx 4kx 2ky なら保存力だった。だから、余るのは kyである。OA,BCについて力kyの仕事が、一周したときの仕事。 A O A Fx dx kydx 0 仕事は-kba O C B C Fx dx kydx kba B 簡単な問題 重力がなく、空気抵抗もない空間で、図のように バネにつながれた質量ｍの物体を、自然長を 原点として、原点からx0だけ引き伸ばし、時刻 k ゼロで手を離した。 １）時刻tでの物体の位置x(t)を求めよ。 m x ２）物体に働く力、F(t)を求めよ。 ３） 力のF(t)のポテンシャルエネルギーを求めよ。 ４） x0から0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ５） 0から-x0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ６） -x0から0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ７） 0からx0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 簡単な問題 k t m １） x x0 cos ２） F t kx kx0 cos ３） ４） F gradU W 0 x0 U k t m 1 kx 2 2 k F dx x0 2 2 x0 k 2 x0 2 ５） W ６） k 2 W F dx x0 x0 2 x0 k 2 W F dx x0 0 2 ７） 0 0 F dx k m x 簡単な問題 以下の力は保存力か？ １． F kx,0 保存力 ２． F kx, kx 保存力ではない ３． 万有引力 ４． 粘性抵抗力 Mm F G 3 r 保存力 r 保存力ではない 簡単な問題 力 F ( x, y ) は保存力であり、力の 方向を右図の上に書くと放射状の矢印 になる。以下の力は保存力か否か、を 答え、力の方向を右図にならって描け。 １） F ( y, x) ２） F x, x Y O X 簡単な問題 Y 力 F ( x, y ) は保存力であり、力の 方向を右図の上に書くと放射状の矢印 になる。以下の力は保存力か否か、を 答え、力の方向を右図にならって描け。 １） F ( y, x) ２） Y O O X F x, x Y X O X 簡単な問題 問：平面内で運動する質点に働く力 ｆ の直角座 標成分がfx=axy, fy=ax2/2(aは定数）と書けたとす る。fが保存力であるかどうか調べよ。もし保存力な らポテンシャルエネルギーを求めよ。 問：平面内で運動する質点に働く力 ｆ の直角座 標成分が fx=axy, fy=by2 (a,bは定数）と書けたと する。fが保存力であるかどうか調べよ。 X軸上の点A(r,0)からy軸上の点C(0,r)まで、半径r の円周に沿って動く場合と、弦ACに沿って動く場合 のfのする仕事を求めよ 簡単な問題 問：平面内で運動する質点に働く力 ｆ の直角座標成分が fx=axy, fy=ax2/2(aは定数）と書けたとする。fが保存力であ るかどうか調べよ。もし保存力ならポテンシャルエネルギー を求めよ。 1 U ax 2 y C 2 問：X軸上の点A(r,0)からy軸上の点C(0,r)まで、半径rの円 周に沿って動く場合と、弦ACに沿って動く場合のfのする仕 事を求めよ。 円周： 弦： 1 W f x dx f y dy b a r 3 3 1 a 3 W b r 3 2 Uさんの疑問 Uさん：保存力がよくわかないんです N君：そうですか？ Uさん：たとえば、以下のような2次元の力を考えます。 F kx, kx 先生の解説によるとこれは保存力ではありません。 N君：そうでしたね。 Uさん：しかし、ｘ成分はばねの力です。ばねの力は保存力だった んじゃないですか？ N君：そうでしたね。 Uさん：例えば、x0→0 →-x 0 → 0 → x 0 の経路を考えた時、Ｆの する仕事の合計はゼロじゃないですか？だったらＦは保存力じゃ ないのかな？ Uさんの疑問 N君：あらゆる経路を考えたとき仕事の合計がゼロにならなけれ ばならないのです。一つでも例外があればダメなんだよ。 Uさん：つまり部分点なし？ N君：無し！ （0,0) → （x1,0) → （x1,y1) → （0,y1) → 0 の経路でのＦのする合計の仕事を求めてみましょう。 Uさん：それは簡単です。 1 2 1 2 W k x1 x1 y問 1 題x1 0 kx1 y1 2 2 Uさん：やや！なんと合計はゼロにならないじゃないですか？ おかしいな？ N君：少しもおかしくないよ、次の問題を考えてみよう。 Uさんの憂鬱 y ジェット気流が図の矢印方向に B(0,q) 吹き、A点(p,q)にいる飛行機は水平 右方向の力を受ける。ジェット気流は 上空程強く力は高さに比例するとする。 A F jet (ay,0) もちろん重力の力も下向きに飛行機 に働く。 O F gr (0, mg ) （１）これらの力の合計の力は保存力かどうかを、Ａ→Ｂ→ＯとＡ→Ｏ との経路で飛行機がもらう仕事を求めて考察してみよう。 （２）飛行機がO点に到達するのにもっとも消費エネルギー少なく到 達する経路はどのような経路でしょうか？ x Uさんの憂鬱 Ａ→Ｂ→Ｏでもらう仕事： WABO aydx mg dy aqp mgq 0 0 p q Ａ→Ｏでもらう仕事： WAO O A 0 q F dr aydx mg dy a xdx mg dy q q q q p 0 aqp mgq 2 0 0 Uさんの憂鬱 Uさん：なるほど、ジェット気流の仕事は経路によって違いますね。 これに対して重力は同じ・・・・わかったかも！ 重力は保存力、ジェット気流力は非保存力、合計の力は非保存力 ということですか？ N君：その通りです。 Uさん：保存力は一回りして元に戻っても損得なし、 非保存力は損か得かあり、ということですか？ N君：その通りです。 Uさん：それじゃ私が解説してあげましょう！ 先の問題 F kx, kx は、 F kx,0 が保存力、 F 0, kx が非保存力ですね。合計は非保存力。 N君：その通りです。 Uさんの憂鬱 Uさん：非保存力がぱっとわかる方法はないんでしょうか？ N君：ここいらが、Uさんの限界だね。 Uさん：・・・・・・・・・・ N君： F 0 Uさん：・・・・数式は苦手・・・・・ N君：文句いっちゃだめだよ。 Uさん：そこをなんとか、タダでもう少し教えてください、お願いします。 N君：力ベクトルＦが、 F gradU の形をしているとき、必ず F 0 なんです。 Uさん：ふ～んそんなもんか？ N君：ふ～んじゃないよ、既に勉強したことです。 Uさん：じゃあ、ばねの力はどうやればできるんですか？ N君：既に勉強しました。 U 1 2 kx C 2 F gradU kx, 0, 0 Uさんの憂鬱 Uさん：じゃあ、これはどうかな？ U 1 kx 2 1 ky 2 2 2 N君： F gradU kx, ky, 0 Uさん：２次元バネですね。 N君：そうだね、しかし、決して F kx, kx,0 にはならない。 Uさん：なるほど、なんか名案ないかな？ 1 U kxy で勝負！ 2 N君：名案だが、残念でした。 F gradU ky, kx, 0 Uさん：惜しい・・ N君：ちょっとも惜しくない。 Uさん： F kx,0,0 F kx, ky, 0 F ky, kx, 0 は保存力で、 F kx, kx, 0 は保存力ではない・・・・・不思議・・・・ Uさんの憂鬱 Uさん：納得いかないので、 F ky, kx, 0 について、（0,0) → （x1,0) → （x1,y1) → （0,y1) → 0 の経路でのＦのする合計の仕事を求めさせて下さい。 N君：どうそどうぞ、 Uさん： 題 W k 0 x問 1 y1 x1 y1 0 0 なるほど、2経路目と3経路目が打ち消し合うんですね。 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ N君、大発見しました！ Uさんの憂鬱 Uさん： U ax by cz F a, b, c です。 すなわち、場所によらず一定の力は必ず保存力です！ N君：なるほど。 Uさん：たとえば、重力は F mg , 0, 0 これは自信をもって保存力です。 N君：Eさんにしてはよくできました。 ではいじわる問題。 「垂直抗力により生じる摩擦力は保存力か？」 Uさん：私に任せなさい、 垂直抗力により生じる摩擦力は Ｎμ です。一定です。 よって保存力です。 でも摩擦でエネルギーは必ず失われるな？おかしいな？ どうも引っかかったようです。
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![平成 27 年度 解析力学 講義ノート [9]（担当：井元信之）](http://s1.expydoc.com/store/data/005823531_1-6dfc5651ee541caabda1dd6b2980db5d-250x500.png)