第2章熱と流れの基礎

第２章熱と流れの基礎
2.1 熱の移動 26
2.1.1 熱流束と総伝熱量 26
2.1.2 熱伝導（heat conduction） 26
2.1.3 対流伝熱（heat convection） 28
2.1.4 ふく射伝熱(radiation) 28
2.2 流れの状態を表す量 29
2.2.1 速度と流量 29
2.2.2 圧力とせん断応力 30
2.3 流体の変形と回転 31
2.4 流れの状態の観察と分類 35
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熱流体力学
1
2.1.1 熱流束と総伝熱量
伝熱面積
A （ｍ２）
総伝熱量
Q =qA（W)
温度変化
熱流束
面積
2
ｑ（W/m
１ｍ２)
流体
固
体
dT
q  
dx
流体
熱流束ｑ（Ｗ／ｍ２），総伝熱量
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熱流体力学
Q  qA
Q  qA
(W )
2
2.1.2 熱伝導（heat conduction）
★熱伝導とは，固体内部を高温側から低温側へ熱が
★移動する熱量について
移動する現象である。
・熱流束ｑ（Ｗ／ｍ２）は
Ｔａ１
熱伝達率ｈａ
dT
q  
dx
温度　Ｔ
Ｔ１
流体Ｂ
Ｔ１
dT
＜０
dx
Ｔ２
流体Ａ
固体壁
熱伝達率ｈｂ
Ｔ２
Ｔｂ２
固体壁
厚さδ
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λ：熱伝導率：
W / m  K 
・したがって，伝導によって
移動する総伝熱量Ｑは
Q  qA  
dT
A
dx
固体壁　X
熱流体力学
3
2.1.3 対流伝熱（heat convection）
★対流伝熱とは，熱エネルギを持った流体が移動する
ことによって，流体と共に熱も移動する現象をいう。
★特に固体壁と流体間での熱移動を熱伝達（heat
transfer）といい，熱伝達によって移動する熱流束ｑ
は次式で与えられる。
q  hdT(W / m2 )
ここで温度差ｄＴは,前の図を参照して
dT  Ta1  T1 または dT  T2  Tb2


ｈは熱伝達率（heat transfer coefficient）：
W / m2  K
q  hdT  hTa1  T1 または hT2  Tb1 
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熱流体力学


4
2.1.4 ふく射伝熱
★ふく射伝熱(radiation) σ：ステファンボルツマン定数
8


5
.
67

10
W /(m 2  K 4 )
とは，熱が電磁波の形
で物体から物体へ伝わＴ：絶対温度（Ｋ）
る現象である。物体から一般の物体の放射エネルギはこれより小
さく，をふく射率をεとするとき
放出されるふく射の量は，

その絶対温度Ｔの４乗に
4
E


T
比例する。温度Ｔの黒体
ただし，0＜ε＜１
が放射するエネルギＥ
は，
ふく射による総伝熱量Ｑは，ふく射に
よる伝熱面積をＡとするとき，
E  T 4 (W / m2 )
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Q  EA  T 4 A(W )
5
熱伝導の演習問題
問：右図に示すような
単一平板および複
合平板における熱
伝導問題について，
配布したプリントに
沿って，熱流束ｑを
板の厚さδおよび温
度差，熱伝導率λの
関数として求めよ。
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熱流体力学
6
★2.1 熱の移動の総合演習問題
１．長さ１ｍ，断面積100ｍｍ２，の金属棒の側面を断熱し，一端を100℃，他端を0℃に保ったところ，この
棒を通して，3.7Wの熱が流れていた。この金属の熱伝導率を求めよ。
（解答：370w/（ｍ・K)
２．厚さ10ｍｍ，熱伝導率λ＝0.1W/（ｍ・K)の壁がある。この壁の内側の表面温度が20℃，外側の表面
温度が10℃のとき，壁の熱流束ｑはいくらとなるか。また伝熱面積が20ｍ２であれば，外部に逃げる熱
量はどれだけになるか。
（解答：100W/m2；2000W)
３．内壁面温度が100℃に保たれている円管の中に，温度20℃の空気を流す。熱伝達率が
h=100(w/（ｍ２・K)）であるとき，管から空気に伝わる熱量は単位時間，単位面積あたりいくらか。
（解答：8000w/ｍ２）
４．単位長さあたり100W/ｍの発熱がある直径10ｍｍの長い丸棒を，温度20℃の水中に置いた。熱伝達
率がｈ＝100W/(m２・K)であるとき，丸棒の表面温度はいくらとなるか。
（解答：51.8℃）
５．直径5mmの黒体の球が真空中にあり，その表面温度が1500Kに保たれている。この球が外部へ放
出するエネルギはいくらか。
（解答：22.5
Ｗ）
６．100Ｗの電球のフィラメント形状を，仮に直径5ｍｍの球で近似して考える。これが真空中にあるとき，
その表面温度はどれほどになるか。ただし，フィラメントは黒体で，フィラメント以外の物体が出す放射
エネルギは無視できるものとする。
（解答：2177K)
７．熱の移動形式について，代表的なものを３つ述べ，その英語を記せ。
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熱流体力学
7
2.2 流れの状態を表す量
2.2.1 速度と流量
速度（velocity）：単位時間あたりの流体の移動距離
流量（flow rate）：ある断面を単位時間に通過する流体の量
１）質量流量：単位時間に通過する流体の質量 (kg/s）
２）重量流量：単位時間に通過する流体の重量 (kgf/s）
３）体積流量：単位時間に通過する流体の体積（m3/s）
問題
１），２），３）を速度U，密
度ρ，比重量γ，断面積A
の記号を用いて表せ。
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8
2.2.2 圧力とせん断応力
垂直圧縮力△F
面平行力△F
面積△A
面積△A
面積△A
面積△A
圧力
F
p
A
；
せん断応力
F

A
いずれも単位面積に働く力を意味するが,面積（ΔA)の
採り方に注意すること。
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熱流体力学
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2.3 流体の変形と回転
★流体は形を変えやすい。変形の種類は以下
の3通である。
★伸び変形（縮み変形）；★せん断変形；
★回転
伸び変形
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せん断変形
熱流体力学
回転
10
2.3.1 伸び変形または圧縮変形
★流れの中に隔たった２点A，Bを考え，点Aにおけるｘ方向の速度をuとすれば，点
Ｂの速度は u  u dx
x
である。微小時間ｄｔ経過したとき，A点にあった流体はudt移動し，B点の流体は
ｙ
u 

dxdt
u 
x 

点A
u
u
u  dx
x
点B
u
u  dx
x
へ移動するから，２点間の伸びは差し引き
u 
点B u
dxdt  udt  u dxdt
u 
u x dx
u x 
x
点A
ｙ
ｄｘ
ｘ
となる。ここで，材料力学におけるひずみの考え方を，流体の変形に応用して，伸び
ｄｘ
ひずみ速度はひずみの単位時間当りの変化量として定義され
u
ｘ
dxdt
2点間の伸び
u

x
x方向伸びひずみ速度ａ 


元の距離  時間
dxdt
x
となる。同様にして，方向，方向の速度成分をおよびとすれば
y方向伸びひずみ速度b 
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v
y ；
z方向伸びひずみ速度 c 
熱流体力学
w
z
11
2.3.2 せん断変形
★図の微小な長方形ABCDにおいて，ｘ軸およびｙ軸方向の速度成分u,v
が一定（一様）でないとき，この微小要素ABCDにせん断変形が生じる。
y
u
速度 u  dy
y
D
C
θ２
dy
速度ｕ
この図と記号
わすれないでね。
次の説明で使う
から！
θ１
A
B
dx
速度 v 
v
dx
x
速度ｖ
x
12
せんだん変形（続き）
★微小時間における線分ABの角度変化量は（反時計回りを正とする）材料力学のせん
断ひずみが   tan で与えられたことを思い出して（線分ADは反時計を正にとる）


v 
v

dx
dt

vdt




x 
せん断変位
v



せん断ひずみ( A  B) 
 tan1 
 dt
元の寸法
dx
x


u 
 u  dy dt  udt
y 
せん断変位


  u dt
せん断ひずみ( A  D) 
 tan 2 
元の寸法
dy
y
☆これらの２つの関係式を合計することによって∠DABの変化量が求められる。さら
に，求められた角度変化量を時間で割ると単位時間当たりの角度変化，つまりせん
断ひずみ速度が次の式のように求まる。
tan1  tan 2 v u
せん断ひずみ速度h 


dt
x y
せん断ひずみ速度f 
（x-y平面）
w v
u w

（y-z平面）せん断ひずみ速度g 

y z
z x
（ｚ-x平面）
13
2.3.3 回転
★回転とは任意空間中に考えた微小な流体要素がそ
の形を保持しつつ剛体回転をする運動と定義され
る。
y
速度 u 
u
dy
y
C
D
θ２
この図も次に
使うから忘れ
ないでね。
dy
θ１
速度ｕ
A
dx
B
速度 v 
v
dx
x
速度ｖ
x
14
★まず，線分ABの角度変化量，
tan1 は，反時計まわりを正にとって，


v 
 v  x dxdt  vdt
せん断変位


  v dt
せん断ひずみ( A  B) 
 tan1  
元の寸法
dx
x
★同様にして，線分ADの角度変化量
tan 2
は，時計回りを正にとって，


u 
dy dt  udt
 u 

y
せん断変位


   u dt
せん断ひずみ( A  D) 
 tan 2   
元の寸法
dy
y
★両者のせん断変形ひずみを合計し，単位時間あたりの変化量に変えた値は，
うず度  と呼ばれ
v u
z軸まわりのうず度  

x y
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熱流体力学
これがうず度の
定義，重要！
15
★うず度ξ，η，ζのまとめ
w v
x軸まわりのうず度  

y z
y軸まわりのうず度
u w


z x
v u
z軸まわりのうず度  

x y
左の式において，
回転軸と回転平
面を理解すること
だよ。

はZ軸周りの回転角
速度ωの2倍になる。
証明できるかな。
☆コーヒーブレイク：回転運動のみが起こる条件は
θ１＝θ２のときのみであり，θ１≠θ２の時は回転運動
とせん断変形が起きるから,注意してね。
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★2.3 伸びひずみ，せん断ひずみ
および回転の研究課題
１．速度成分が次式１）～６）のような分布をもつ
場合について，２次元流れにおける伸びひず
み速度，せん断ひずみ速度および回転のうず
度を求めよ。ただし，r 2  x 2  y 2 でA,Bはそれ
ぞれ正の定数とする。
１） u  A  By, v  0 ；２） u  Ay, v  Ax
３） u  Ax, v   Ay ；４） u  Ay, v   Ax
2
2
2
2
u

Ay
r
,
v


Ax
r
u

Ax
r
,
v

Ay
r
５）
；６）
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熱流体力学
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2.4 流れの状態の観察と分類
★定常流（steady flow）：物理量φが時間ｔに依存して変化し
ない流れ。∂φ/∂ｔ＝０
★非定常流（un steady flow）：物理量φが時間ｔに依存して変
化する流れ。∂φ/∂ｔ≠０
具体例を考え
よう？
速度　ｖ
定常部分
非定常部分
速度　ｖ
非定常流れ
v
0
t
v
≠０
t
v
≠０
t
時間　ｔ
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熱流体力学
時間　ｔ
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2.4.2 一様流と非一様流
（研究課題）
★一様流（uniform flow）：
流体の速度ベクトルが3次元空間(x,y,z)の位置およ
び時間に関わらず常に一定となっている流れ。
★非一様流（non-uniform flow）：空間の位置や時間
によって速度ベクトルが変化する流れ。
（研究課題）
１．一様流は，地球上の重力場における自然現象ある
いは人工的に作られた流れも加味して，実際に存在
または実現することは可能な流れか。
２．重力が働かない宇宙船内部の空間では一様な流れ
を実現できると考えるか。
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熱流体力学
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★2.4.1 定常流・非定常流の研究課題
１．電気分野における定常，
非定常問題の一例として，
過渡現象を考えてみる。つ
まり，抵抗ＲとコンデンサＣ
からなる，右図のRC回路
において時間ｔ＝０で電源
スィッチを入れたとき，電圧
Ｅ，は時間ｔに対してどのよ
うに変化すると考えられる
か。この過渡応答曲線をグ
ラフ化し，定常，非定常状
態を理解せよ。（縦軸に電
圧Ｅ，および電流Ｉをとり，横
軸に時間ｔをとること。）
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電圧E1
抵抗　R
スイッチ
電源電圧
E0
熱流体力学
電流　I
コンデンサC
電圧E2
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2.4.3 旋回流
V 
1
r
Vkr
r
r
★旋回流（vortex flow）は，２つの特徴的なうず運動に分類できる。
１）自由うず(free vortex)：周速度Ｖ∝1/r
２）強制うず(forced vortex)：周速度V∝ｒ
１）の自由うずは，周速度Vが流体の回転中心からの半径ｒに反比例する。したがって，中
心付近で周速度は極めて大きい。一方，２）の強制うず周速度Vが流体の回転中心から
の半径ｒに比例して増加するので，いわゆる剛体回転流れとなる。
21
★2.4.3 旋回流の研究課題
１．台風はいずれに属するうずか。強制うず，自由うず？，
または他のうず？
２．自動洗濯機の中の水の流れ（ただし，回転方向が一定
で変化しないとき）はいずれのうずに相当するか。
３．自由うず，強制うずを実現するにはどのような装置を設
計すればよいか。それぞれについて提案せよ。
４．宇宙のブラックホールは星の墓場と呼ばれ，ブラック
ホールの強烈な重力場は相手の星に異変を引き起こす。
その成り立ちはどのようなものか。（各自調査せよ。）
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熱流体力学
22
2.4.4 層流と乱流
代表速度Ｖ
代表速度Ｖ
代表長さＤ
代表長さＤ
★層流(laminar flow) ：粘性係数が大きいかまたは速度や流路寸法が小さく，流れが
層状になる流れ。
★乱流(turbulent flow)：粘性係数が小さいかまたは速度や流路寸法が大きく，流れが
乱れた状態となる流れ。
★レイノルズ数Re（Reynolds number）の定義（重要）
Re=U×D/ν（無次元）
ここで，U:代表速度，D:代表直径，ν：動粘度を表す。
流れが層流となるか乱流となるかは，このレイノルズ数Reで整理でき，Reynolds（レイ
ノルズ）の膨大な実験から
Re＜2300 で流れは層流，
Re＞4000 で流れは乱流
Re＝2300 臨界レイノルズ数（critical Reynolds number）
2300＜Re＜4000 遷移領域（transition region）
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熱流体力学
23
2.4.4 層流と乱流
☆等価直径 De（Equivalent Diameter)
4 A
De 
Wp
Re 
U  De
D=De

A:流路の断面積（ｍ２）
b
Wp:濡れ縁長さ（流体と接している断面の周辺長さ）（ｍ）
a
(Weted Perimeter）
☆長方形流路
De 
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4  A 4  a  b 2ab


Wp
2a  b a  b
☆２等辺三角形流路
De 
4  A ah cos
 ？
Wp
2a  2h 
熱流体力学
h
h
ϴ
a
24
★2.4.4 層流と乱流の練習問題
１．内径50ｍｍの円管内を水が流れている。水の動粘度νはν=1.004×10-6
ｍ2/sとして，流れを層流とするためには，断面の平均流速はいくら以下とすれば
よいか。
２．自然界の現象は乱れた乱流現象が多い。このような現象の振る舞いをカオスと
いう。では，次の関数がカオス的な振る舞いを起こすことを考察し，その結果をレ
ポートにて提出せよ。
与式： X (t  1)  4  X (t )  1.0  X (t ) ， t  0,1,2,3      29,30      n
ただし，初期値X(t=0)は、0＜X(t=0)＜1.0の範囲で計算・解析しなさい。
課題：
１．与式X(t+1)をｔ＝0からｔ＝30（任意）まで解きなさい。
２．計算結果を，横軸ｔに，縦軸X(t＋１)をとりプロットせよ。
３．計算結果を，横軸ｘ（ｔ）に，縦軸X(t+1)をとりプロットせよ。
４．プロットされたグラフやデ－タからカオス現象について考察せよ。
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熱流体力学
25
カオス現象解析（一例）
X(0)=0.1
X(0)=0.1
X(0)=0.1
1.2
X(0)=0.1
1.2
1
1
0.8
0.6
X(t+1)
関数値
0.8
0.4
0.6
0.4
0.2
0.2
0
-0.2 0
-0.2
10
20
30
40
0
-0.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.8
1
1.2
X(t)
時間
X(0)=0.3
X(0)=0.2
X(0)=0.3
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2 0
1.2
1
0.8
0.6
X(t+1)
関数値
X(0)=0.2
0.4
0.2
10
20
30
40
0
-0.2
時間
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-0.2
0
0.2
0.4
0.6
X(t)
熱流体力学
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2.4.5 流線
★流線（stream line）：下記に示すように，流れの速
度ベクトルVの接線をつないだ包絡線をいう。
速度ベクトルV
ｙ
V
速度ベクトルの方向
ｄｓ
v
θ
点（ｘ，ｙ）
ｄｘ
u
結論は
dx dy

u
v
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ｄｙ
ここが
大事
ｘ
dy v

dx u
熱流体力学
★2次元流線方程式
流体中の任意点の位置にお
ける流体の速度ベクトルをＶ，
Ｖのｘ，ｙ方向速度成分をu，ｖ
時間をｔとする。
このように定義すると，左図
の流線に示されるように，速
度ベクトルVをｘ，ｙ方向に分
解した速度三角形と流れの中
にとった速度ベクトルVのS方
向線要素が作る微小三角形
は相似である。したがって，左
に示した関係が成立する。こ
の式を変形して，2次元流線
方程式は結局，左の緑黄色
27
の枠で表される。
★2.4.5 流線の研究課題
１．２次元流れにおいて速度成分が次式で与え
られるとき，その流線を求めよ。
１）u=Ax；v=-Ay ；２）u=Ay:ｖ＝Bｘ
ただし，A,Bはそれぞれ正の定数とする。
２．非圧縮性２次元流れにおいて，速度成分が
次式で与えられるとき，流れは理論上可能か。
１）u=－2x+3y；ｖ=ｘ＋２ｙ
２）u＝５ｘｙ＋ｙ２；ｖ=ｘｙ＋４ｘ
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熱流体力学
28
★第2章総合演習問題（その１）
１．クエット流れにおける伸びひずみ速度，せん断ひ
ずみ速度およびうず度を求めよ。ただし，平板間の
距離をH，平板の移動速度をUとする。
２．強制うずにおける伸びひずみ速度，せん断ひずみ
速度およびうず度を求めよ。ただし，V=rω（V：周速
度，ｒ：半径，ω：角速度）で与えられる。
３．自由うずにおけるうず度を求めよ。ただし，周速度
はV=k/r（V：周速度，ｋ：定数，ｒ：半径）で与えられる。
2015/9/30
熱流体力学
29
★第２章総合演習問題（その２）
４．内径10ｍｍの円管内を20℃，圧力１気圧の空気が平均流
速u=20m/sで流れている。管内の流れは層流か乱流か。た
だし，空気の粘性係数をμ=1.81×10-６（Pa・s)，密度を
ρ=1.205（ｋｇ/ｍ３）とする。
５．速度成分が次式のような分布をもつ場合について，２次元
流れにおける速度場の様子を平面上に模型的に図示せよ。
ただし，ｒ２＝ｘ２＋ｙ２ではそれぞれ正の定数とする。
１）u＝A+By,v=0 ；２）u＝Ay，ｖ＝Ax
３）u=Ay/r2,v=-Ax/r2
６．問５の流れの様子を（ｘ，ｙ）座標上に流線として描き，どのよ
うな流れの問題を解いたか理解せよ。
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熱流体力学
30

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