弦の場の理論による不安定D

弦の場の理論による
不安定D-brane系の
動的記述
京都大学大学院
人間・環境学研究科人間・環境学専攻
阪上研究室博士課程
小林晋平
博士論文公聴会
2004年1月23日
目次
1.
2.
3.
4.
5.
6.
導入と動機
弦理論とは
HIKKO型閉弦の場の理論
ソース項を持つ閉弦の場の理論
結果とまとめ
今後の展望
１．導入と動機
宇宙の創生
宇宙はどうやって誕生したのか？
構造の形成
プランクスケールで何が起きたのか？
物質の構成
宇宙全体に存在する物質の10％しかわかっ
ていない
→超弦理論を用いて
これらの問題に取り組む
超弦理論とは？
弦という「ひも」状の1次元物体を基本構成要
素とする
cf.) 量子力学/場の理論の点粒子的描像
開いた弦（開弦）と閉じた弦（閉弦）の2種
弦の振動状態で各種粒子を表す
点粒子
閉弦
開弦
弦の長さのスケール
(string scale
 Planck scale(?) )
遠方（低エネルギー）から観測すれば、
弦も点粒子に見える
エネルギースケール
超弦理論
超重力理論
相対性理論
ニュートン力学
超弦理論の特徴
重力まで含めた統一理論の候補
4次元以上の高次元時空の存在を示唆
 ボゾン的弦理論では26次元
 超弦理論では10次元
 D-braneのような高次元オブジェクトを内包
時空の非可換性を示唆
 相対論的にも興味深い
超弦理論の問題点
摂動論しかわかっていない
 摂動的には無数の弦理論を定式化可能
それぞれいろいろな場・チャージを持つ
どれが「真の」理論なのかわからない
 弦同士の相互作用の仕方がわからない
不安定な系・時間依存する系が扱えない
 低エネルギー部分の効果しかわからない
完全な作用がないことが大きい
今のところ何も予言していない
数学的な整合性にのみ立脚
摂動的超弦理論のいろいろ
IIB型
超弦理論
E8E8
ヘテロ型
超弦理論
SO(32)
ヘテロ型
超弦理論
IIA型
超弦理論
I型
超弦理論
D-braneの発見
(Polchinski, ’94)
弦理論の非摂動的効果を表す物体




RRチャージを持つ
開弦の端点がくっつく領域
その上にゲージ場が住む
空間p次元に広がっているとき、Dp-braneという
IIA型超弦理論・・・D(2p)-braneが安定に存在
IIB型超弦理論・・・D(2p+1)-braneが安定に存在
各種摂動的超弦理論の間の双対性の発見に役
立った
開弦が励起
端点がくっつく
閉弦を放出
閉弦のソース
D-brane
T-dual, S-dual などの操作
→ 別の摂動論のD-braneへ
→ 別の摂動的超弦理論へ移行
IIB型
超弦理論
E8E8
ヘテロ型
超弦理論
T双対性
IIA型
超弦理論
M理論コンパクト化
？
T双対性
T双対性
SO(32)
ヘテロ型
超弦理論
I型
超弦理論
S双対性
D-braneの研究を通じ、
各種摂動的超弦理論の間に双対性を発見
→ 非摂動的弦理論の存在を示唆
D-braneからわかったこと
各種摂動的超弦理論の間に双対性
AdS/CFT対応
 D-brane上のゲージ場とD-brane周りの時空に対
応関係がある
これらの解析は全て
BPS状態の（安定な）D-brane
に限られている
D-braneと重力系
D-brane系は重力系への応用として面白い
D３-braneは4次元時空（空間3次元）
 我々の宇宙？
D-braneとblack p-brane
 D-braneを低エネルギー近似
→ブラックホールと同じ計量
→D-braneでブラックホールが記述出来る？
不安定なD-brane系
重力系はほとんどが不安定で動的
これまで理解されているのは安定なD-brane
系のみ
しかし、不安定で動的なD-brane系も存在
→重力系へ応用出来る
不安定なD-brane系
不安定なD-brane系の例 (1)
 非BPS状態D-brane
閉弦を放出
（チャージのないD-brane）
D-braneが崩壊
真空に遷移
不安定なD-brane系
不安定なD-brane系の例（２）
¯
 D/D-brane系
互いに逆符号のチャージをもつ2枚のD-brane
互いに引き合う
消滅
不安定なD-brane系の応用
相対論・宇宙論的観点
インフレーション
(Dvali et al., Alexander et al., …)
 Ekpyrotic 宇宙
(Khoury et al., …)
cf.) ブレーンワールド
(S.K. & Koyama, and too many authors!)
 タキオン宇宙論
(Gibbons, Mukohyama, …)
 (ブラックホールの蒸発)
 D-brane
不安定なD-brane系の応用
素粒子論的観点
 時間依存性のある時空上での弦理論の定式化
 タキオン凝縮
(A.Sen, …)
弦の相互作用の構造理解
非摂動的弦理論の構築
ここまでのまとめ
重力系で、高エネルギー領域を解析するには弦理
論が必要
弦理論は未完成（摂動論のみ完成）
D-braneは弦理論の重要な構成要素
不安定D-brane系の研究は弦理論の非摂動的効果
や相互作用の性質を明らかにすることにつながる
不安定・動的なD-braneは重力系に応用可
不安定D-brane系の記述・解析が重要
D-braneの崩壊過程や生成などの
ダイナミクスを記述することで
これらの問題を解明する
従来の（超）弦理論での
解析を超える目的のために・・・
閉弦の場の理論
（Closed String Field Theory）
を用いる
なぜならば・・・
相互作用が本質的な役割を果たすので、弦
の場の理論が必要になる
（弦理論は弦の一体系、
on-shellしか扱えない）
宇宙論、BHなどとの関連を見越し、重力子を
含む閉弦を考える
超重力理論に含まれていない、弦のmassive
modeの効果も取り入れたい
（低エネルギーに限らない解析を試みる）
戦術
閉弦の場の理論
 HIKKO型
(Hata,Itoh,Kugo,Kunitomo & Ogawa, ’86)
 Witten型など
相互作用が単純なことからHIKKO型を選ぶ
議論は型に依らないようにする
ソースを閉弦の場の理論に付け加える
・・・ソースがD-braneの一般化
宇宙論・相対論では馴染み深いテクニック
戦略
1.
2.
3.
4.
不安定D-braneを動的に記述する
方法の開発
弦理論の相互作用の理解
非摂動的弦理論の開発
弦理論による重力の理解
⇒超弦理論的宇宙論の構築
本研究のまとめと結果
動的なD-braneのような一般的なソースを、
閉弦の場の理論で扱うための形式を構築
理論の対称性から、ソースが従うべき拘束条
件を導いた
拘束条件が低エネルギー理論における「エネ
ルギー・運動量テンソルの共変保存則」に対
応することを発見
２．弦理論とは
1.
作用・対称性・臨界次元・場

2.
BRST量子化

3.
Polyakov作用・共形対称性・26次元・X,b,c
BRST不変性から物理的状態が決まる
D-brane

弦以外にも重要なオブジェクトがある
２．弦理論とは (1)
~ 作用・対称性・場 ~
1次元に広がった「ひも」状物体の古典的・量子
論的運動を考えたい
（背景時空は平坦）
cf.) 自由な相対論的点粒子の作用
S   m  ds ,
ds:微小な世界線
→粒子の世界線の長さが極値をとるように
運動が決まる
0
0
X
X
=0
=
=2
=2
=1
=1
=0
=0
 = -1
点粒子の
世界線
i
 = -1
X
i
X
開いた弦の
世界面
自由な相対論的「ひも」（弦）の作用
D次元の平坦な時空中を運動する弦
点粒子との類推
→弦の世界「面」が作用になる
→南部・後藤作用
1
1
2 ,


S NG  
d

d


det
h
ab

2 '
hab   a X   b X  , a, b   ,  
→これが極小をとるように運動が決まる
Polyakov作用
補助場として世界面の計量 ab を導入
→南部・後藤作用を書き直す
S X ,    
1
4 '
ab



d

d





X
b X 
a

1/ 2
Polyakov 作用の特徴
一般座標変換不変性
時空の各点で座標変換可能
Weyl変換不変性
時空の各点でスケール変換可能
上記２つを使ってゲージ固定した後も
共形変換不変性がある
ゲージ固定後の作用
座標をEuclideanにWick回転
 1   ,  2  i
複素座標を導入
w   1  i 2 , w   1  i 2 ,
1
1
   w  1  i 2 ,    w  1  i 2 ,
2
2
w
w
b  bww , b  bw w , c  c , c  c ,
ゲージ固定後の作用（つづき）
ゲージ固定することで、(b,c)-ghost が入る
1

2  1

S
d
z

X

X

b

c

b

c




2
'

これは共形対称性を持つ
運動方程式を解き、解をモード展開
→質量などの各スペクトルを調べる
共形対称性
(Conformal Symmetry)
一般座標変換・Weyl変換後でも残る対称性
z → z’ = f(z) という変換のもとで作用が不変
世界面をゴム膜のように自由に変形すること
が出来る
弦理論の計算に共形場の理論が使える
モード展開

~





'

'






n
X ( z )  i   n 1 , X ( z )  i   nn1 ,
 2 n   z
 2 n   z
~



bn
bn
b( z )   n  2 , b ( z )   n  2 ,
n   z
n   z


cn
c~n
c( z )   n 1 , c ( z )   n 1 ,
n   z
n   z
~


Ln ~
Ln
T ( z )  Tzz ( z )   n  2 , T ( z )  Tzz ( z )   n  2 ,
n   z
n   z
ここで、

z  exp iw  exp  i 1   2

弦理論に現れる状態
第1量子化



ˆ
ˆ
[ X ( ), P ( ' )]  i  (   ' )






ˆ
ˆ
 [ x , p ]  i , [ m ,  n ]    m n,0
重心の量子化
振動モードの量子化
 l ikxˆ
 state   ni , nl ; k  (i ) e
x0
弦の運動を表すのはPolyakov作用
いくつかの対称性をもつ
運動方程式を解く
→解をモード展開して量子化
→弦の状態を決めていく
２．弦理論とは (2)
～BRST量子化～
ゲージ固定した後の作用には、ゲージ不変性
の名残りのBRST不変性がある
→BRST変換

~
 B X  i (c  c  ) X ,
~
~X ~g
X
g
 B b  i (T  T ),  B b  i (T  T ),
 c  i (c  c~ )c,  c~  i (c  c~ )c~.

B
のもとで作用が不変
B
BRSTカレントとチャージ
BRSTカレント
3 2
jB  cT  : bcc :   c
2
X
BRSTチャージ
1
~

QB 
dz jB  dz jB 

2i


mn
  cn L n  
: cm cnb m  n :  
2
n  
m , n  
BRSTチャージの性質
冪零性 (nilpotency)
2
Q
BRSTチャージQBは、 B  0 を満たす
ただし、26次元のときのみ
（超弦理論では10次元）
物理的状態条件
物理的状態|はBRST不変
QB   0
物理的状態
BRST不変性を満たす閉弦の物理的状態の例
基底状態 (tachyon state)
0; k
4
4
2
k 
 m 
'
'
2
第1励起状態 (massless state)

~
e; k  e  1 1 0; k



k e  k e  0, k  0  m  0
2
2
閉弦と重力子
閉弦のmassless mode
→時空中では2階のテンソル
→重力子・B場・ディラトンに分解できる
e; k  [
1

hˆ (k )  1~1  ~1 1

2 2
1

B (k )  1~1  ~1 1
2 2
~
1 ˆ

D (k ) c1b1  c~1b1
2
~
1

S (k ) c1b1  c~1b1 ] c1c~1 k
2






重力子
B場
ディラトン
BRST不変であることから、弦の物理的状態
が決まる
閉じた弦（閉弦）のmassless modeには、
重力を媒介する粒子（重力子：graviton）が
含まれている
２．弦理論とは（３）
～D-brane～
開弦 (open string) の端点がくっつく領域
閉弦 (closed string) のソース
←これら２つの読み替えは共形対称性が
保証
空間p次元に広がっているとき、Dp-brane
開弦・閉弦と並ぶ、弦理論の代表的配位
開弦での見方
～D-brane～
D-brane
0
X





X


0
,
1
,

,
p
:

X
| 0  0


 i
i
i



X
i

p

1
,

,
25
:
X
|

x
 0

開弦
i

X
X
閉弦での見方
～境界状態～
閉弦


D-brane (境界状態)



 X   0,1,, p  :  X | 0 B  0
 i
i
i

 X i  p  1,,25 : X | 0 B  x B
2章のまとめ
平坦なD次元時空中を運動する弦の作用を
考えた（南部・後藤作用 or Polyakov作用）
弦が掃く世界面上の理論は、conformal対称
性を持ったD個のスカラー場の理論
ゲージ固定により、(b,c)-ghost という場も入
る
26次元（超弦理論なら10次元）のときのみ量
子異常がなくなる。このときBRSTチャージは
冪零性をもつ
２章のまとめ（つづき）
物理的状態はBRST不変 Q|=0
 閉弦のmassless
mode には重力子（graviton）
やディラトン(dilaton)が入る
D-braneと呼ばれる物体が存在
D-braneは弦と並ぶ代表的配位
理論の重要な構成要素
 開弦の端点がくっつく領域
 閉弦のソース（境界状態）
３．HIKKO型閉弦の場の理論
1.
記法
弦理論と弦の場の理論の違い
2.
HIKKO型閉弦の場の理論の作用
3.
HIKKO型閉弦の場の理論のBRST対称性
３．HIKKO型閉弦の場の理論（１）
～記法～
モード展開

n
n 1

X ( z )   i 
n   z


' 
' 1 
 X (z)  x  i p ln z  i 
2
2 n z


bn
cn
b( z )   n  2 , c( z )   n 1
n   z
n   z
μ
μ

n
n
 交換子
x


, p
  i , 


m



,  n m  m  n , 0
bm , cn    m n,0
 Ghost

0
c
b0
0-mode
1
~ , c   c  c
~,
 c0  c
0
0
0
0
2
~
~
1

 b0  b0 , b0 
b0  b0 ,
2
b0 , c0  1.




量子力学と場の理論の関係
～点粒子の場合～
第1量子化
[ xˆ, pˆ ]  i  state k  e
ikxˆ
x0
古典場の理論
第1量子化で現れる全ての状態を足し上げる
   dk ck k
 ( x)  x    dk ck x k
量子力学と場の理論の関係
～弦理論の場合～
第1量子化



ˆ
ˆ
[ X ( ), P ( ' )]  i  (   ' )






ˆ
ˆ
 [ x , p ]  i , [ m ,  n ]    m n,0
重心の量子化
 state
振動モードの量子化
 l ikxˆ
ni , nl ; k  (i ) e
x0
古典場の理論
第1量子化で現れる全ての状態を足し上げる
   dk   k ni , nl ; k
ni , nl
  dkT (k ) 0; k  A 1 0; k


 B (k ) 1 1 0; k  C (k ) 2  0; k


[ X ( )]  X ( ) 

閉弦の場
|の中にタキオン(tachyon)・重力子
(graviton)・ディラトン(dilaton)などのいろいろ
な場が入っている。
Massiveなものも含む。具体的には
  c  c c 

0
の下、
 
0 0
弦の場の物理的場による分解
d 26 k 
1
 ~
~  )
 
T
(
k
)

h
(
k
)(





1 1
1 1
26  
(2 ) 
2 2
~ ~
1
 
~
~

B (k )(    1 1 ) 
D(k )(c1b1  c1b1 )
2 2
2
~ ~
1

S (k )(c1b1  c1b1 )  ]c1c~1 k },
2
~ 
d 26 k
i

~
 
{[ 
b (k )(b1 1  b1 1 )
26
(2 )
2
~ 
i

~

e (k )(b1 1  b1 1 )  ]c1c~1 k }.
2
1
 
1 1
弦場には、弦のありとあらゆる物理的状態が
入っている
３．HIKKO型の閉弦の場の理論（２）
～作用～
1
g
S    Q      ,
2
3
ここで、  は|の汎関数表示
 X ( )

 dX
X X 
BRSTチャージ Q
Qは冪零性 Q 2  0 をみたす
Ghost 0－modeで分解する
Q  c0 L0  b0 M   Q '  ,
~

L0  L0  L0   2  m 2 ,
M


~ c
~ ),
   n ( c n cn  c
n n
n 1
Q' 
 (c
n0
n
(m)
n
L
~( m )
~
 c n Ln ),
作用の形について
運動項
1
S 0    Q
2
で変分
Q  0
On-shellでの、物理的状態であるための条件
低エネルギー有効作用との関連
1
S 0    Q
2
1
1
  
  c0 c0 L0    c0 c0 M     c0 c0 Q' 
2
2
1
26
  d x{ | T |2 2T 2
2
1
1
2
2

(  g R) ( 2 )  6 | D |  | H  | }
2
2
12
重力理論の運動項を再現
相互作用項
対応する
グラフ
相互作用
場の理論のグラフ
（4点相互作用が１つ）
相互作用
弦理論のグラフ
（3点相互作用が２つ）
内積
( 2) 
0
    R(1,2) b
Reflector
R(1,2) A 2 1 A
-積
     
21
-積の性質
(1)     (1)||| |   ,
(2) Q    (1)||   Q ,
(3)     (1)||| |   ,
(4) Q(   )  Q    (1)||   Q ,
(5) (1)||| | (   )    (1)|||| (   )    (1)||| | (   )    0,
(6)   (   )  (1)||(||||)   (  )  (1)||(| |||)   (   ).
HIKKO型閉弦の場の理論は３点相互作用を
持つ
グラフを書き下せば、全ての反応の様子がわ
かる
低エネルギー極限で、われわれがよく知って
いる重力理論を再現
３．HIKKO型閉弦の場の理論（３）
～BRST対称性～
BRST変換

 b 
S


B 0

 B   Q  g  .
BRST変換の冪零性
 0
2
B
弦場の理論の作用のBRST対称性
   0  BS  0
2
B
ゲージ対称性
BRST変換の冪零性
 0
作用のゲージ不変性
BS  0
2
B
ここでゲージ変換は
   Q  2 g  
HIKKO型閉弦の場の理論は、BRST対称性
を持つ
cf.) 世界面上の理論のBRST対称性
HIKKO型閉弦の場の理論は、ゲージ対称性
も持つ
４．ソース項を持つ弦の場の理論
HIKKO型の閉弦の場の理論に、ソース項J
を入れる
弦の場が従う運動方程式を導く
ソース項Jが従う拘束条件があることを示す
ソースとしては特に境界状態に注目
境界状態・・・D-braneを閉弦の見方で
あらわしたもの
４．ソース項を持つ閉弦の場の理論
1.
作用・運動方程式・ソースの拘束条件
2.
ソースとしての境界状態
3.
摂動展開
4-1.ソース項を持つ閉弦の場の理論
～作用・運動方程式・拘束条件～
1
g
S    Q          J
2
3
HIKKOの
閉弦の場の理論の作用
ソース項
Jが任意の物質カレントを表す
閉弦の場の運動方程式
Q  g    J  0
ソース項入りの
運動方程式
整合性条件
BRSTチャージQの冪零性
整合性条件が存在
0  Q (Q  g    J )
 Q ( J  g  )
 QJ  2 g  J .
BRST変換の冪零性と
整合性条件
0  
2
B
  Q B   2 g   B 
 QJ  2 g  J .
ここで以下を使った
 B  Q  g     J
BRST変換の定義と運動方程式
ソースが従う拘束条件
以下の拘束条件を得る
QJ  2 g  J  0
Jが従う運動方程式ともいえる
これは本研究により初めて定式化された
拘束条件の物理的意味（１）
～Chern-Simons理論との比較～
作用
1
g
S    Q          J
2
3
対
応
1
g
S   A dA  A  A  A  A  J
2
3
運動方程式と微分
   B  Q  g     J
対応
( F  DA ) dA  gA  A   J
BRST変換 B=Q+g が
共変微分 D=d+gA に対応
Bianchi恒等式と拘束条件
DF  D A  0  DJ  dJ  g ( A  J  J  A)  0
2
対応
 B      0   B J  QJ  2g  J  0
2
B
冪零性  B=0 は
Bianchi恒等式の存在と等価
2
拘束条件の物理的意味（２）
～低エネルギー理論との比較～
閉弦の場の理論
Einstein重力
G  T
Q  g    J  0
BRST変換の冪零性
QJ  2 g  J  0
Q ( J  g  )  0
Bianchi恒等式
対応

 T  0
 [(g ) (T  t )]  0
拘束条件の物理的意味（３）
これより、
 B J  QJ  2g  J  0
は、
閉弦の場の理論における
物質のエネルギー・運動量保存則
だとわかる
古典解の導出について
運動方程式だけでなく、ソースに対する拘束
条件（エネルギー・運動量保存則）も満たさな
ければならない
任意のソースに対して運動方程式の解が整
合的であるとは限らない
4-2.ソース項を持つ閉弦の場の理論
～ソースとしての境界状態～
ソースとして境界状態を考える
D-braneを
閉弦の見方で記述したもの
閉弦のソース
ghost modeまで含めた正しい境界条件

Q B p  0  Q ' B p  0, M B p  0
0
X
X
x
i

閉弦
閉弦のソースとしての
境界状態
境界状態の具体形
Bp 
Tp
2
 25 p ( x i )
   1 
~ ~
  ~

~
exp   n S   n  cnbn  cnbn c0 c1 c1 0

 n1  n
Tp : D-brane（境界状態）の張力
S  (, -ij)
Ghost number は３
物理的なセクターとカップルするソースにする

0
J 0  c Bp
すると
Q J0  0
 B J  QJ  2gJ    0 を満たさない
相互作用 g を考えたとき通常の境界状態は
閉弦のソースとして整合的ではない！
相互作用の効果で境界状態は変形される
今までの境界状態の捉え方
重力子を放出しても
境界状態は不変
本研究でわかった境界状態の様子
境界状態(D-brane)が閉弦を放出
閉弦との相互作用あり
→境界状態は変形したり、反跳して動いたりする
→崩壊して消滅したり、安定な別の境界状態へ
Senのタキオンマターについて
g 0
運動方程式
拘束条件
保存則
g0
Q  J  0 Q  g    J  0
QJ  0

 T  0
QJ  2 g  J  0

 T  0
整合的なソースとは？
bulkとD-braneの相互作用
back reaction
開弦がブレーン上に励起
我々の予想
gが０でないときの整合的なソースは
J  exp  Sb [ X ; g ] B p , s.t.  B J  0
4-3.ソース項を持つ閉弦の場の理論
～摂動展開～

   g n ,
n
n 0

J   g Jn
n
n 0
運動方程式と保存則の式に代入
n

Q n 1   J n 1    m   n  m

m 0

n
QJ  2 J  

m
nm
 n 1
m 0

0
ただし、 J 0  c B p
物理的なセクターのみに注目
 c  , M  0

0
n  c n ,

0

 
0 0
J n  c c jn
Ghost 0-mode による分解（１）
-
c0 ｜・・・ セクター

Q
'


0
,
n

1

 

M jn1  0.
はL0 |  =0 (on-shell condition) 以外の物理
的条件を満たす
+
jnはもともとj0がもつ性質M |j0 =0を保持
+
Ghost 0-mode による分解（２）
c0
c0+ ｜・・・ セクター
n
 
 
L


j

b
n 1
0 b0   m   n  m ,
 0 n 1

m 0

n
 
Q' j

2
b
n 1
0 b0  J m   n  m ,

m 0
|の式は運動方程式。右辺が０ならon-shell。右
辺はソースの効果と相互作用の効果によるon-shell
からのズレを表す。
conformal background からのズレを表す。
漸化式の物理的解釈（１）
Q' j0  0
我々がおいた仮定からすでに満たされている。
背景時空が conformal background であることを表
す。
漸化式の物理的解釈（２）
L 0  j0

0
ソースが off-shell 効果を表す。
ソースにより時空が歪むことを表す。
古典解のリーディングを担う。
ref.) Di Vecchia et al.
漸化式の物理的解釈（３）
 
0 0
Q' j1  2b b J 0  0
バルクの場による反作用で、ソースが変形すること
を表す式。
cf.) D-brane recoil
漸化式の物理的解釈（４）
L 1  j1  b b 0  0

0
 
0 0
変形されたソースと、バルクの場自身の相互作用に
より、バルクの場が受ける反作用を表す式。
D-braneの変化の様子(D-brane recoil)とバルクの
場の自己相互作用を確かに記述出来ている。
５．結論
閉弦の場の理論に、任意の物質を入れた系
を扱う方法を開発した。
閉弦の場の理論の作用のBRST不変性から、
ソースに対する拘束条件を発見した。
 これは低エネルギーでの物質のエネルギー・運
動量保存則に対応
 古典解を求めるには、運動方程式と拘束条件を
同時に解く必要がある。
結論（つづき）
バルクからの反作用を受けて、境界状態は
変化していく
 通常の（ボゾン的）境界状態は整合的なソースで
はない
 Senのrolling tachyon境界状態も変更が必要
 閉弦の放出は我々の方法で扱うべき
境界状態の変化は開弦の励起によって表さ
れると考えられる。
６．今後の展望
具体的な系に応用し、拘束条件を解く！
 時間依存解
(rolling tachyon revised,…)
 古典的に不安定な重力系
 D-brane inflation
 特異点回避？
開弦/閉弦の双対性
超弦場の理論への拡張
量子場への拡張

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