D-brane

Three-parameter Solution,
Tachyon Condensation and
Boundary State
東京大学ビッグバンセンター
小林晋平
２００４年８月６日
於油壺セミナー
0. String Theory

開弦、閉弦を物質の基本要素とする理論
超対称性から10次元時空を示唆
 量子重力理論として無矛盾


D-brane (boundary state)という高次元オブジェ
クトも存在
開弦
閉弦
D-brane

D/anti D-brane系のような非ＢＰＳ状態の
D-brane系を記述したい

弦理論の相互作用・非摂動的理解に役立つ

重力系への応用という観点からも重要
例えばSchwarzschild BHは非ＢＰＳ状態
→一般に、相対論的オブジェクトは弦理論ではどん
なものか？

⇒弦理論をＢＨ系・宇宙論へ応用する
D-brane



開弦の端点がくっつく超曲面、閉弦のソース
弦理論の重要な構成要素
低エネルギーではblack p-brane解で表現
D-brane
0
X
X
α





X


0
,
1
,

,
p
:

X
| 0  0


 i
i
i



X
i

p

1
,

,
25
:
X
|

x
 0

X
i
開弦
Boundary State
(D-brane via closed string channel)

弦の境界条件
X0


 X | 0 B  0,   0,1,, p 
 i
i
X
|
B

x
B , (i  p  1,,9)

  0
'
X ( z )  i 
2
1/ 2


(9 p )

X

n
z
n  
  
 
~
B  
( x ) exp     n S  n  0
2
 n 0

S   ( ,   ij ).
Tp

i

Xi
n 1
0
~
p  0 ghost ,
Black p-brane (10次元, BPS )


D-brane周囲の時空を表す低エネルギー解
対称性は SO(1,p)×SO(9-p)
以下の作用から運動方程式を求め、この対
称性の下で解く
5 p


1
1
2
10
2
2
S  2  d x  g  R    
e
| Fp  2 | 
2
2
2( p  2)!


1
ds 2  H

e H

7 p
8
3 p
4
 dx dx   H
1
p 1
8
 ij dx i dx j ,
, A01 p  H , H  1 
2Tp
(7  p ) ( 8  p ) r 7  p
Black p-brane from boundary state

Black p-brane解の遠方での振る舞いを見る
→Boundary stateから出るgraviton, dilatonな
どで表現されるはず
M
重力場
M
gravitonの伝播
e
 2
e
 2 2ˆ
H (r )  1 
 2
 H (r )
2Tp
(7  p ) 8  p r
p 3
2
7 p
,
 1  2Tp G (r )
3 p
3 p 2
ˆ
 (r ) 
Tp G (r ) 
Tp G(r ) 2  
2 2
2 2
( )
 (1) (k )  0; k 11 D B  
<B|
|φ>
3 p
1

TpV p 1 2
ki
2 2
boundary stateからblack p-brane解の
リーディング（無限遠での振舞い）を再現出来る

安定な（ＢＰＳ状態の）D-brane
弦理論ではboundary state
 重力理論ではblack p-brane解として表現


一般的な非ＢＰＳ状態のD-brane
D/anti D-brane系には開弦のタキオンモード有り
 任意のタキオン期待値に対し、boundary stateは
わかっている
 重力理論ではThree-parameter解で表現される？


動的な解は弦理論・重力理論のどちらでもほとん
どわかっていない
D/anti D-brane system ( N  N )
N 枚のD-brane と
N 枚のanti D-brane
が引き合う
重なった不安定状態
開弦が不安定性を表す
安定な ( N  N )枚の
D-braneが残る
Boundary state for D/anti D-brane
system


開弦タキオンの期待値Tが入る
D-brane, anti D-braneが N, N 枚ずつ
 T=0で張力 T ( N  N )
p

T=∞で張力
Bp ; N , N ,T 
where, S 
Tp ( N  N )

( N  N )  2 N e 
2
Tp
T 2
(9 p )
  
 
~
 exp      n S   n  0
 n 0

 ( ,   ij ) ( for N  N )
( xi )

0
~
p  0 ghost ,

これを表す古典解だと考えられているThreeparameter解について、boundary stateの観点
から調べる

結果、今までタキオンの期待値を表すと考え
られてきたパラメーターが、dilaton chargeに対
応し、タキオン期待値を表していないことを示
せた

相対論的な非ＢＰＳオブジェクトは境界相互
作用入りのboundary stateで表せる可能性が
高いことがわかった
2. Three-parameter solution

対称性 SO(1,p)×SO(9-p) を持つ一般解
（D/anti D-braneのboundary stateと同じ）
ds  e
2

 (r )
e e


  dx dx  e
2 A( r )
i
j
,
Fp  2  dAp 1 , Ap 1  e

 ij dx dx ,
2B(r )
(r )
dx    dx .
0
p
作用はblack p-braneに使ったのと同じもの
5 p


1
1
1
2
10
2
2
S  2  d x  g  R    
e
| Fp  2 | 
2
2
2( p  2)!


(7  p )(3  p )c1
7 p
h( r ) 
ln cosh( kh(r ))  c2 sinh( kh(r )) ,
64
16
1
B(r ) 
ln( f  f  )
7 p
( p  1)(3  p )c1
p 1

h( r ) 
ln cosh( kh(r ))  c2 sinh( kh(r )) ,
64
16
(7  p )( p  1)c1
3 p
 (r ) 
h( r ) 
ln cosh( kh(r ))  c2 sinh( kh(r )) ,
16
4
sinh( kh(r ))
(r )
2
1/ 2
e
 (c2  1)
,
cosh( kh(r ))  c2 sinh( kh(r ))
A(r ) 
 r0 
f  (r )  1   
r
7 p
,
 f  (r ) 
h(r )  ln 
,
 f  (r ) 
2(8  p ) ( p  1)(7  p ) 2
k 

c1 .
7 p
16
TP解の特徴



4次元、p=0で RN black hole に一致
black p-brane解も含む
c1 , c2 , r0 という３つのパラメータがある

D-braneの枚数、anti D-braneの枚数、タキオンの
期待値に対応していると言われていた
特に c1 がタキオンの期待値を表すと言われて
いた
←これは誤りであることを示した
3. Three-parameter solution from
modified boundary state

black p-brane のときと同様に、boundary state
とTP解の十分遠方での振舞いとを比較する
7 p
→TP解を 1 / r で展開し、リーディングを見
る
 

7  p (7  p)(3  p)c1  r07  p
g  (r )  1   c2 k

   ,
7 p

4
16
r
 

7 p
r
1
7

p
(
7

p
)(
3

p
)
c

1 0
 hˆ (r ) 

c
k


2
7  p  ,


2 
4
16
r
B 

( N  N )  2 N e 
2
Tp
T 2
(9 p )
  
 
~
  n  0
 exp      n S 
 n 1


( xi )
0
~
p  0 ghost ,
  (7  p)c1 
 ( p  1)c1  
   1 
 ,  1 
 ij .
S 


4
c
k
4
c
k
2
2


 

~
h (k )  J  (k ) 
~
Tp
( )
J  (k )  


( )
 
 
1  7  p (7  p)(3  p)c1 
  V p 1 2 

 
2
ki  4
16c2 k

S の変形でＴＰ解のリーディングを再現
これは境界相互作用として理解できる


boundary stateの形状から、タキオンの期待値
はbraneの張力として効く
→古典解としてはmassの働き
c1 はboundary stateの S  を変える
→逆に S  を変えると古典解が再現できる

boundary stateに境界相互作用を付け加えた
ものになっている

BRST条件を満たしていないと思われる
その意味を理解する必要あり
４． c1 as a dilaton charge

4次元、p=0、RR chargeなしのＴＰ解
→Schwarzschild BH＋free scalar
→Wyman解（Janis-Newmann-Winicour解）

Wyman解はdilaton chargeを持つ
→ c1 とdilaton chargeが関係を持つはず
Wyman 解 (Schwarzschild gauge)

フリーのスカラー場のみ入れた静的球対称解
1

2
S   d x  g  R    ,
2


2
2 A( r )
2
2B(r )
2
2C ( r ) 2
2
ds  e
dt  e
dr  e
r d ( 2) .
4
ds 2   F  (r )dt 2  F  (r )dr 2  F 1 (r )r 2 d (22) ,
q
 (r )   ln F (r ),
m
2m / 
m
F (r )  1 
, 
.
2
2
r
m q
2
Wyman解 (isotropic gauge)

ｒ→Ｒへ変数変換して、isotropic gaugeへ
1
m
2m / 

R   r   r 1
2

r

,


2
ＴＰ解と比較可能
 F ( R) 
 dt 2  F2 ( R) F2 ( R)( dR 2  R 2 d (22) ),
ds  
 F ( R) 
2
q  F ( R) 
,
 (r )  2 ln 
m  F ( R) 
2m / 
m2
F ( R)  1 
, 
R
m2  q 2
TP解
D  4, p  0, c2  1 （chargeなし）
~
k
~
~
 f  2
2 k
2k
2
2
2


ds    dt  f  f  (dr  r d ( 2 ) ),
 f 
 f 
 (r )  c1 ln  ,
 f 
2
~
r0
f  (r )  1  , k  4  c12
r
2
4q
c  2
2
m q
2
1
c1はdilaton charge qと対応
massを変えるように見える
→タキオンと誤解
これから
boundary interaction としてopen string
excitationを付け加えることで、一般の古典解
をboundary state（D-brane）として表現できる可
能性が高い
→Schwarzschild BHなどの相対論的オブ
ジェクトを弦理論で表現
 boundary stateで書ければ、BH entropyも原理
的に計算可能
→Hawkingと勝負！


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