弦の場の理論による不安定D

Closed String Field Theory
with Dynamical D-branes
京都大学大学院
人間・環境学研究科人間・環境学専攻
阪上研究室博士課程
小林晋平
JHEP0310 (2003) 023
共同研究者
浅川嗣彦 (京大基研)
松浦壮 (理研)
於東工大
2004年2月3日
目次
1.
2.
3.
4.
5.
6.
導入と動機
弦理論とは
HIKKO型閉弦の場の理論
ソース項を持つ閉弦の場の理論
結果とまとめ
今後の展望
１．導入と動機
宇宙の創生
宇宙はどうやって誕生したのか？
構造の形成
プランクスケールで何が起きたのか？
物質の構成
宇宙全体に存在する物質の10％しかわかっ
ていない
→超弦理論を用いて
これらの問題に取り組む
超弦理論とは？
弦という「ひも」状の1次元物体を基本構成要
素とする理論
cf.) 量子力学/場の理論の点粒子的描像
開いた弦（open string）と閉じた弦(closed
string) の2種
弦の振動状態で各種粒子を表す
点粒子
閉弦
開弦
弦の長さのスケール
(string scale
 Planck scale(?) )
遠方（低エネルギー）から観測すれば、
弦も点粒子に見える
エネルギースケール
超弦理論
超重力理論
相対性理論
ニュートン力学
超弦理論の特徴
重力まで含めた統一理論の候補
4次元以上の高次元時空の存在を示唆
 ボゾン的弦理論では26次元
 超弦理論では10次元
 D-braneのような高次元オブジェクトを内包
時空の非可換性を示唆
 相対論的にも興味深い
開弦が励起
端点がくっつく
閉弦を放出
閉弦のソース
D-brane
T-dual, S-dual などの操作
→ 別の摂動論のD-braneへ
→ 別の摂動的超弦理論へ移行
超弦理論の問題点
摂動論しかわかっていない
 摂動的には無数の弦理論を定式化可能
それぞれいろいろな場・チャージを持つ
どれが「真の」理論なのかわからない
 弦同士の相互作用の仕方がわからない
不安定な系・時間依存する系が扱えない
 低エネルギー部分の効果しかわからない
今のところ何も予言していない
数学的な整合性にのみ立脚
摂動的超弦理論のいろいろ
IIB型
超弦理論
E8E8
ヘテロ型
超弦理論
SO(32)
ヘテロ型
超弦理論
IIA型
超弦理論
I型
超弦理論
各種摂動論
「完全な」弦理論の
ポテンシャル
本当の真空にいるのはどの理論か？
D-braneの発見
(Polchinski, ’94)
弦理論の非摂動的効果を表す物体




RRチャージを持つ
開弦の端点がくっつく領域
その上にゲージ場が住む
空間p次元に広がっているとき、Dp-braneという
IIA型超弦理論・・・D(2p)-braneが安定に存在
IIB型超弦理論・・・D(2p+1)-braneが安定に存在
各種摂動的超弦理論の間の双対性の発見に役
立った
IIB型
超弦理論
E8E8
ヘテロ型
超弦理論
T双対性
IIA型
超弦理論
M理論コンパクト化
？
T双対性
T双対性
SO(32)
ヘテロ型
超弦理論
I型
超弦理論
S双対性
D-braneの研究を通じ、
各種摂動的超弦理論の間に双対性を発見
→ 非摂動的弦理論の存在を示唆
D-braneからわかったこと
各種摂動的超弦理論の間に双対性
AdS/CFT対応
 D-brane上のゲージ場とD-brane周りの時空に対
応関係がある
これらの解析は全て
BPS状態の（安定な）D-brane
に限られている
D-braneと重力系
D-brane系は重力系への応用として面白い
D３-braneは4次元時空（空間3次元）
 我々の宇宙？
D-braneとblack p-brane
 D-braneを低エネルギー近似
→ブラックホールと同じ計量
→D-braneでブラックホールが記述出来る？
不安定なD-brane系
重力系はほとんどが不安定で動的
これまで理解されているのは安定なD-brane
系のみ
しかし、不安定で動的なD-brane系も存在
→重力系へ応用出来る
不安定なD-brane系
不安定なD-brane系の例 (1)
 非BPS状態D-brane
閉弦を放出
（チャージのないD-brane）
D-braneが崩壊
真空に遷移
不安定なD-brane系
不安定なD-brane系の例（２）
¯
 D/D-brane系
互いに逆符号のチャージをもつ2枚のD-brane
互いに引き合う
消滅
不安定なD-brane系の応用
相対論・宇宙論的観点
インフレーション
(Dvali et al., Alexander et al., …)
cf.) Ekpyrotic 宇宙
(Khoury et al., …)
cf.) ブレーンワールド
(S.K. & Koyama, and too many authors!)
 タキオン宇宙論
(Gibbons, Mukohyama, …)
 (ブラックホールの蒸発)
 D-brane
不安定なD-brane系の応用
素粒子論的観点
 時間依存性のある時空上での弦理論の定式化
 タキオン凝縮
(A.Sen, …)
弦の相互作用の構造理解
非摂動的弦理論の構築
タキオン凝縮
不安定なD-braneの崩壊は、D-brane上のタ
キオン場の凝縮過程によるもの
崩壊（または変形）後の時空にはタキオンは
存在しない
タキオン凝縮後には「真の」真空が選択され
る
Sen の予想
1.
非BPS D-brane上のタキオン場が凝縮する
と、D-braneは崩壊して閉弦の真空へ移行
2.
タキオン場のポテンシャルの高さがもともと
のD-braneの張力に一致
3.
タキオン場に非等方性があると、低い次元
のD-braneに移行することもある
真空の遷移
不安定D-braneの
ある真空
遷移
遷移
安定D-braneの
ある真空
閉弦の真空
（D-braneのない真空）
タキオンポテンシャルの高さがもとも
とのD-braneの張力に一致
Tachyon potential
V(T)
Tension of
non-BPS D-brane
T
非等方性のあるタキオン場
Non-BPS D(2p+1)-brane
in type IIA string
BPS D(2p)-brane
in type IIA string
ここまでのまとめ
重力系で、高エネルギー領域を解析するには弦理
論が必要
弦理論は未完成（摂動論のみ完成）
D-braneは弦理論の重要な構成要素
不安定D-brane系の研究は弦理論の非摂動的効果
や相互作用の性質を明らかにすることにつながる
不安定・動的なD-braneは重力系に応用可
不安定D-brane系の記述・解析が重要
D-braneの崩壊過程や生成などの
ダイナミクスを記述することで
これらの問題を解明する
従来の（超）弦理論での
解析を超える目的のために・・・
閉弦の場の理論
（Closed String Field Theory）
を用いる
なぜならば・・・
相互作用が本質的な役割を果たすので、弦
の場の理論が必要になる
（弦理論は弦の一体系、
on-shellしか扱えない）
宇宙論、BHなどとの関連を見越し、重力子を
含む閉弦を考える
超重力理論に含まれていない、弦のmassive
modeの効果も取り入れたい
（低エネルギーに限らない解析を試みる）
閉弦の場の理論
古典解
D-brane
EOMを解く
h, B,
massless
超重力理論
massless(?)
古典解
Black p-brane解
EOMを解く
h
h
戦術
閉弦の場の理論
 HIKKO型
(Hata,Itoh,Kugo,Kunitomo & Ogawa, ’86)
 Witten型など
相互作用が単純なことからHIKKO型を選ぶ
議論は型に依らないようにする
ソースを閉弦の場の理論に付け加える
・・・ソースがD-braneの一般化
宇宙論・相対論では馴染み深いテクニック
本研究のまとめと結果
動的なD-braneのような一般的なソースを、
閉弦の場の理論で扱うための形式を構築
理論の対称性から、ソースが従うべき拘束条
件を導いた
拘束条件が低エネルギー理論における「エネ
ルギー・運動量テンソルの共変保存則」に対
応することを発見
２．弦理論とは
1.
作用・対称性・臨界次元・場

2.
BRST量子化

3.
Polyakov作用・共形対称性・26次元・X,b,c
BRST不変性から物理的状態が決まる
D-brane

弦以外にも重要なオブジェクトがある
２．弦理論とは (1)
~ 作用・対称性・場 ~
1次元に広がった「ひも」状物体の古典的・量子
論的運動を考えたい
（背景時空は平坦）
cf.) 自由な相対論的点粒子の作用
S   m  ds ,
ds:微小な世界線
→粒子の世界線の長さが極値をとるように
運動が決まる
0
0
X
X
=0
=
=2
=2
=1
=1
=0
=0
 = -1
点粒子の
世界線
i
 = -1
X
i
X
開いた弦の
世界面
自由な相対論的「ひも」（弦）の作用
D次元の平坦な時空中を運動する弦
点粒子との類推
→弦の世界「面」が作用になる
→南部・後藤作用
1
1
2 ,


S NG  
d

d


det
h
ab

2 '
hab   a X   b X  , a, b   ,  
→これが極小をとるように運動が決まる
Polyakov作用
補助場として世界面の計量 ab を導入
→南部・後藤作用を書き直す
S X ,    
1
4 '
ab



d

d





X
b X 
a

1/ 2
Polyakov 作用の特徴
一般座標変換不変性
時空の各点で座標変換可能
Weyl変換不変性
時空の各点でスケール変換可能
上記２つを使ってゲージ固定した後も
共形変換不変性がある
エネルギー・運動量テンソル
作用の対称性より、エネルギー・運動量テン
ソルが特定の条件式を満たす。
4

T ( ,  )  
S
1/ 2
    ab
ab
1 a  b
1 ab c 

    X  X     X c X  
' 
2

エネルギー・運動量共変保存則
一般座標変換不変性より、エネルギー・運動
量テンソルの共変保存則が得られる
 ab   a;b   b;a
aT
ab
0
臨界次元
Weyl不変性より、エネルギー・運動量テンソルは
tracelessになる。
 ab  2 ab
T
a
a
0
量子論でもこれが成立するために、ボゾン的弦理論
なら26次元、超弦理論なら１０次元が必要
ゲージ固定後の作用
座標をEuclideanにWick回転
 1   ,  2  i
複素座標を導入
w   1  i 2 , w   1  i 2 ,
1
1
   w  1  i 2 ,    w  1  i 2 ,
2
2
w
w
b  bww , b  bw w , c  c , c  c ,
ゲージ固定後の作用（つづき）
ゲージ固定することで、(b,c)-ghost が入る
2
 ab  e  ab : conformalgauge
1

2  1

S
d z  X X   bc  b c 

2
'

ゲージ固定後も共形対称性を持つ
運動方程式を解き、解をモード展開
→質量などの各スペクトルを調べる
モード展開

~





'

'






n
X ( z )  i   n 1 , X ( z )  i   nn1 ,
 2 n   z
 2 n   z
~



bn
bn
b( z )   n  2 , b ( z )   n  2 ,
n   z
n   z


cn
c~n
c( z )   n 1 , c ( z )   n 1 ,
n   z
n   z
~


Ln ~
Ln
T ( z )  Tzz ( z )   n  2 , T ( z )  Tzz ( z )   n  2 ,
n   z
n   z
ここで、

z  exp iw  exp  i 1   2

共形対称性
(Conformal Symmetry)
一般座標変換・Weyl変換を使って、計量を固定した
後でも残る対称性
w → w’ = f(w) という変換のもとで作用が不変

Holomorphicなものをholomorphicに移す変換
世界面をゴム膜のように自由に変形することが出来
る
弦理論の計算に共形場の理論が使える
弦理論に現れる状態
第1量子化



ˆ
ˆ
[ X ( ), P ( ' )]  i  (   ' )






ˆ
ˆ
 [ x , p ]  i , [ m ,  n ]    m n,0
重心の量子化
振動モードの量子化
 l ikxˆ
 state   ni , nl ; k  (i ) e
x0
弦の運動を表すのは南部・後藤作用もしくは
Polyakov作用
作用はいくつかの対称性をもつ
運動方程式を解く
→解をモード展開して量子化
→弦の状態を決めていく
２．弦理論とは (2)
～BRST量子化～
ゲージ固定した後の作用には、ゲージ不変性
の名残りのBRST不変性がある
→BRST変換

~
 B X  i (c  c  ) X ,
~
~X ~g
X
g
 B b  i (T  T ),  B b  i (T  T ),
 c  i (c  c~ )c,  c~  i (c  c~ )c~.

B
のもとで作用が不変
B
BRSTカレントとチャージ
BRSTカレント
3 2
jB  cT  : bcc :   c
2
X
BRSTチャージ
1
~

QB 
dz jB  dz jB 

2i


mn
  cn L n  
: cm cnb m  n :  
2
n  
m , n  
BRSTチャージの性質
冪零性 (nilpotency)
2
Q
BRSTチャージQBは、 B  0 を満たす
ただし、26次元のときのみ
（超弦理論では10次元）
物理的状態条件
物理的状態|はBRST不変
QB   0
物理的状態
BRST不変性を満たす閉弦の物理的状態の例
基底状態 (tachyon state)
0; k
4
4
2
k 
 m 
'
'
2
第1励起状態 (massless state)
e; k  e   ~ 0; k

1
1
k  e  k e  0, k 2  0  m 2  0
閉弦と重力子
閉弦のmassless mode
→時空中では2階のテンソル
→重力子・B場・ディラトンに分解できる
e; k  [
1

hˆ (k )  1~1  ~1 1

2 2
1

B (k )  1~1  ~1 1
2 2
~
1 ˆ

D (k ) c1b1  c~1b1
2
~
1

S (k ) c1b1  c~1b1 ] c1c~1 k
2






重力子
B場
ディラトン
BRST不変であることから、弦の物理的状態
が決まる
閉じた弦（閉弦）のmassless modeには、
重力を媒介する粒子（重力子：graviton）が
含まれている
２．弦理論とは（３）
～D-brane～
開弦 (open string) の端点がくっつく領域
閉弦 (closed string) のソース
←これら２つの読み替えは共形対称性が
保証
空間p次元に広がっているとき、Dp-brane
開弦・閉弦と並ぶ、弦理論の代表的配位
超弦理論では、RRチャージを持つ
 IIA型ではD(2p)-braneが安定に存在
 IIB型ではD(2p+1)-braneが安定に存在
開弦での見方
～D-brane～
D-brane
0
X





X


0
,
1
,

,
p
:

X
| 0  0


 i
i
i



X
i

p

1
,

,
25
:
X
|

x
 0

開弦
i

X
X
Open string channel
& Closed string channel
開弦
閉弦




D-brane
境界状態
w    i  w'  iw    i &   
 ( , )  ( ,  )
閉弦での見方
～境界状態～
閉弦


D-brane (境界状態)



 X   0,1,, p  :  X | 0 B  0
 i
i
i

 X i  p  1,,25 : X | 0 B  x B
Black p-brane 解
超重力理論の古典解
D-braneと同じ対称性を課して超重力理論の
運動方程式を解く
質量・チャージを持つ
D-braneの低エネルギー表現だと考えられて
いる
Black p-braneの具体的な形

1
1
1
2
D
 a
2
S  2  d x  g  R    
e ( Fn1 ) ,
2
2
2(n  1)!


ds  H (r )  dx dx  H (r )  ij dxi dx j ,
2
e
 ( r )

2A

2B
 H (r ) , C01 p (r )  H (r ) ,
a/2
1
D  p 3
p 1
H ( r )  1  D  p 3 , A  
,B
,
r
2( D  2)
2( D  2)
Qp
2章のまとめ
平坦なD次元時空中を運動する弦の作用を
考えた（南部・後藤作用 or Polyakov作用）
弦が掃く世界面上の理論は、conformal対称
性を持ったD個のスカラー場の理論
ゲージ固定により、(b,c)-ghost という場も入
る
26次元（超弦理論なら10次元）のときのみ量
子異常がなくなる。このときBRSTチャージは
冪零性をもつ
２章のまとめ（つづき）
物理的状態はBRST不変 Q|=0
 閉弦のmassless
mode には重力子（graviton）
やディラトン(dilaton)が入る
D-braneと呼ばれる物体が存在
D-braneは弦と並ぶ代表的配位
理論の重要な構成要素
 開弦の端点がくっつく領域
 閉弦のソース（境界状態）
 低エネルギーでblack
いる
p-brane解だと考えられて
３．HIKKO型閉弦の場の理論
1.
記法
弦理論と弦の場の理論の違い
2.
HIKKO型閉弦の場の理論の作用
3.
HIKKO型閉弦の場の理論のBRST対称性
３．HIKKO型閉弦の場の理論（１）
～記法～
モード展開

n
n 1

X ( z )   i 
n   z


' 
' 1 
 X (z)  x  i p ln z  i 
2
2 n z


bn
cn
b( z )   n  2 , c( z )   n 1
n   z
n   z
μ
μ

n
n
 交換子
x


, p
  i , 


m



,  n m  m  n , 0
bm , cn    m n,0
 Ghost

0
c
b0
0-mode
1
~ , c   c  c
~,
 c0  c
0
0
0
0
2
~
~
1

 b0  b0 , b0 
b0  b0 ,
2
b0 , c0  1.




量子力学と場の理論の関係
～点粒子の場合～
第1量子化
[ xˆ, pˆ ]  i  state k  e
ikxˆ
x0
古典場の理論
第1量子化で現れる全ての状態を足し上げる
   dk ck k
 ( x)  x    dk ck x k
量子力学と場の理論の関係
～弦理論の場合～
第1量子化



ˆ
ˆ
[ X ( ), P ( ' )]  i  (   ' )






ˆ
ˆ
 [ x , p ]  i , [ m ,  n ]    m n,0
重心の量子化
 state
振動モードの量子化
 l ikxˆ
ni , nl ; k  (i ) e
x0
古典場の理論
第1量子化で現れる全ての状態を足し上げる
   dk   k ni , nl ; k
ni , nl
  dkT (k ) 0; k  A 1 0; k


 B (k ) 1 1 0; k  C (k ) 2  0; k


[ X ( )]  X ( ) 

閉弦の場
|の中にタキオン(tachyon)・重力子
(graviton)・ディラトン(dilaton)などのいろいろ
な場が入っている。
Massiveなものも含む。具体的には
  c  c c 

0
の下、
 
0 0
弦の場の物理的場による分解
d 26 k 
1
 ~
~  )
 
T
(
k
)

h
(
k
)(





1 1
1 1
26  
(2 ) 
2 2
~ ~
1
 
~
~

B (k )(    1 1 ) 
D(k )(c1b1  c1b1 )
2 2
2
~ ~
1

S (k )(c1b1  c1b1 )  ]c1c~1 k },
2
~ 
d 26 k
i

~
 
{[ 
b (k )(b1 1  b1 1 )
26
(2 )
2
~ 
i

~

e (k )(b1 1  b1 1 )  ]c1c~1 k }.
2
1
 
1 1
閉弦の場が満たす条件
1.
Level matching condition
閉弦の対称性から決まる条件

0
L
2.
 0
Reality condition
場が実であるための条件
hc
 
弦場には、弦のありとあらゆる物理的状態が
入っている
３．HIKKO型の閉弦の場の理論（２）
～作用～
1
g
S    Q      ,
2
3
ここで、  は|の汎関数表示
 X ( )

 dX
X X 
BRSTチャージ Q
Qは冪零性 Q 2  0 をみたす
Ghost 0－modeで分解する
Q  c0 L0  b0 M   Q '  ,
~

L0  L0  L0   2  m 2 ,
M


~ c
~ ),
   n ( c n cn  c
n n
n 1
Q' 
 (c
n0
n
(m)
n
L
~( m )
~
 c n Ln ),
作用の形について
運動項
1
S 0    Q
2
で変分
Q  0
On-shellでの、物理的状態であるための条件
低エネルギー有効作用との関連
1
S 0    Q
2
1
1
  
  c0 c0 L0    c0 c0 M     c0 c0 Q' 
2
2
1
26
  d x{ | T |2 2T 2
2
1
1
2
2

(  g R) ( 2 )  6 | D |  | H  | }
2
2
12
重力理論の運動項を再現
相互作用項
対応する
グラフ
相互作用
場の理論のグラフ
（4点相互作用が１つ）
相互作用
弦理論のグラフ
（3点相互作用が２つ）
弦の相互作用の一般論
(Le Clair, Peskin and Preitschopf)
3 disks
sphere
h3
h1
h2
v123
LPP 3
3
2
2
1 1  h3[3 ](z3 )h2 [2 ](z 2 )h1[1 ](z1 )
d
 dzi 
  ( zi ), hi ( wi )  zi
hi i wi   
 dwi 
S2
LPP’s 3-point vertex
v
( 3)
LPP
~
 
1
2
~

3
~
  d D p1d D p2 d D p3 (2 ) D  D ( p1  p2  p3 )
 1
( r ) ~ rs ( s ) 
(s)
rs
(r )
 exp     n N nm m    cn N nm bm 
r , s n  2 , m  1

 2 r , s n ,m0

r (r ) 
    M imbm ,
i 1, 0 , 1  m  1 r

r , s  1,2,3:labels of strings
（例） bc-ghostの2点相関関数
b( z ) c ( z ' )
CFT
1

z  z'
これを満たすようにNeumann係数を決める
dws  n  2 ( s )'
dwr  n 1 ( r )'
~ rs
2
1
N nm  
wr (h ( wr )) 
ws (h ( ws ))
2i
2i
1
 (r )
.
(s)
h ( wr )  h ( ws )
HIKKOの3点相関関数
<0
w1
w3
0
>0
1
3
gr
ρ

2
3
2
1
w2
fM
hr  fM  gr
  0, 0 |  | 1
1 ln w1 ,

   2 ln w2  i 2 ,
  0, 0 |  | (1   2 )
 ln w  i (   ) ,   0, 0 |  | (   )
3
1
2
1
2
 3
  1 ln(z  z1 )   2 ln(z  z 2 )   3 ln(z  z3 )
z
,
z3
z2
z1
積の定義
内積
( 2) 
0
    R(1,2) b
Reflector
R(1,2) A 2 1 A
-積
     
21
-積の性質
(1)     (1)||| |   ,
(2) Q    (1)||   Q ,
(3)     (1)||| |   ,
(4) Q(   )  Q    (1)||   Q ,
(5) (1)||| | (   )    (1)|||| (   )    (1)||| | (   )    0,
(6)   (   )  (1)||(||||)   (  )  (1)||(| |||)   (   ).
HIKKO型閉弦の場の理論は３点相互作用を
持つ
グラフを書き下せば、全ての反応の様子がわ
かる
低エネルギー極限で、われわれがよく知って
いる重力理論を再現
３．HIKKO型閉弦の場の理論（３）
～BRST対称性～
BRST変換

 b 
S


B 0

 B   Q  g  .
BRST変換の冪零性
 0
2
B
弦場の理論の作用のBRST対称性
   0  BS  0
2
B
ゲージ対称性
BRST変換の冪零性
 0
作用のゲージ不変性
BS  0
2
B
ここでゲージ変換は
   Q  2 g  
HIKKO型閉弦の場の理論は、BRST対称性
を持つ
cf.) 世界面上の理論のBRST対称性
HIKKO型閉弦の場の理論は、ゲージ対称性
も持つ
４．ソース項を持つ弦の場の理論
HIKKO型の閉弦の場の理論に、ソース項J
を入れる
弦の場が従う運動方程式を導く
ソース項Jが従う拘束条件があることを示す
ソースとしては特に境界状態に注目
境界状態・・・D-braneを閉弦の見方で
あらわしたもの
４．ソース項を持つ閉弦の場の理論
1.
作用・運動方程式・ソースの拘束条件
2.
ソースとしての境界状態
3.
摂動展開
4-1.ソース項を持つ閉弦の場の理論
～作用・運動方程式・拘束条件～
1
g
S    Q          J
2
3
HIKKOの
閉弦の場の理論の作用
ソース項
Jが任意の物質カレントを表す
閉弦の場の運動方程式
Q  g    J  0
ソース項入りの
運動方程式
整合性条件
BRSTチャージQの冪零性
整合性条件が存在
0  Q (Q  g    J )
 Q ( J  g  )
 QJ  2 g  J .
BRST変換の冪零性と
整合性条件
0  
2
B
  Q B   2 g   B 
 QJ  2 g  J .
ここで以下を使った
 B  Q  g     J
BRST変換の定義と運動方程式
ソースが従う拘束条件
以下の拘束条件を得る
QJ  2 g  J  0
Jが従う運動方程式ともいえる
これは本研究により初めて定式化された
拘束条件の物理的意味（１）
～Chern-Simons理論との比較～
作用
1
g
S    Q          J
2
3
対
応
1
g
S   A dA  A  A  A  A  J
2
3
運動方程式と微分
   B  Q  g     J
対応
( F  DA ) dA  gA  A   J
BRST変換 B=Q+g が
共変微分 D=d+gA に対応
Bianchi恒等式と拘束条件
DF  D2 A  0  DJ  dJ  g ( A  J  J  A)  0
対応
 B      0   B J  QJ  2g  J  0
2
B
冪零性  B=0 は
Bianchi恒等式の存在と等価
2
拘束条件の物理的意味（２）
～低エネルギー理論との比較～
閉弦の場の理論
Einstein重力
G  T
Q  g    J  0
BRST変換の冪零性
QJ  2 g  J  0
Q ( J  g  )  0
Bianchi恒等式
対応

 T  0
 [(g ) (T  t )]  0
拘束条件の物理的意味（３）
これより、
 B J  QJ  2g  J  0
は、
閉弦の場の理論における
物質のエネルギー・運動量保存則
だとわかる
→実際、展開した形は低エネルギーのものと
一致
古典解の導出について
運動方程式だけでなく、ソースに対する拘束
条件（エネルギー・運動量保存則）も満たさな
ければならない
任意のソースに対して運動方程式の解が整
合的であるとは限らない
4-2.ソース項を持つ閉弦の場の理論
～ソースとしての境界状態～
ソースとして境界状態を考える
D-braneを
閉弦の見方で記述したもの
閉弦のソース
ghost modeまで含めた正しい境界条件

Q B p  0  Q ' B p  0, M B p  0
0
X
X
x
i

閉弦
閉弦のソースとしての
境界状態
境界状態の具体形
Bp 
Tp
2
 25 p ( x i )
   1 
~ ~
  ~

~
exp   n S   n  cnbn  cnbn c0 c1 c1 0

 n1  n
Tp : D-brane（境界状態）の張力
S  (, -ij)
Ghost number は３
物理的なセクターとカップルするソースにする

0
J 0  c Bp
すると
Q J0  0
 B J  QJ  2gJ    0 を満たさない
相互作用 g を考えたとき通常の境界状態は
閉弦のソースとして整合的ではない！
相互作用の効果で境界状態は変形される
今までの境界状態の捉え方
重力子を放出しても
境界状態は不変
本研究でわかった境界状態の様子
境界状態(D-brane)が閉弦を放出
閉弦との相互作用あり
→境界状態は変形したり、反跳して動いたりする
→崩壊して消滅したり、安定な別の境界状態へ
Senのタキオンマターについて
g 0
運動方程式
拘束条件
保存則
g0
Q  J  0 Q  g    J  0
QJ  0

 T  0
QJ  2 g  J  0

 T  0
整合的なソースとは？
bulkとD-braneの相互作用
back reaction
開弦がブレーン上に励起
我々の予想
gが０でないときの整合的なソースは
J  exp  Sb [ X ; g ] B p , s.t.  B J  0
4-3.ソース項を持つ閉弦の場の理論
～摂動展開～

   g n ,
n
n 0

J   g Jn
n
n 0
運動方程式と保存則の式に代入
n

Q n 1   J n 1    m   n  m

m 0

n
QJ  2 J  

m
nm
 n 1
m 0

0
ただし、 J 0  c B p
物理的なセクターのみに注目
 c  , M  0

0
n  c n ,

0

 
0 0
J n  c c jn
Ghost 0-mode による分解（１）
-
c0 ｜・・・ セクター

Q
'


0
,
n

1

 

M jn1  0.
はL0 |  =0 (on-shell condition) 以外の物理
的条件を満たす
+
jnはもともとj0がもつ性質M |j0 =0を保持
+
Ghost 0-mode による分解（２）
c0
c0+ ｜・・・ セクター
n
 
 
L


j

b
n 1
0 b0   m   n  m ,
 0 n 1

m 0

n
 
Q' j

2
b
n 1
0 b0  J m   n  m ,

m 0
|の式は運動方程式。右辺が０ならon-shell。右
辺はソースの効果と相互作用の効果によるon-shell
からのズレを表す。
conformal background からのズレを表す。
漸化式の物理的解釈（１）
Q' j0  0
我々がおいた仮定からすでに満たされている。
背景時空が conformal background であることを表
す。
漸化式の物理的解釈（２）
L 0  j0

0
ソースが off-shell 効果を表す。
ソースにより時空が歪むことを表す。
古典解のリーディングを担う。
ref.) Di Vecchia et al.
漸化式の物理的解釈（３）
 
0 0
Q' j1  2b b J 0  0
バルクの場による反作用で、ソースが変形すること
を表す式。
cf.) D-brane recoil
漸化式の物理的解釈（４）
L 1  j1  b b 0  0

0
 
0 0
変形されたソースと、バルクの場自身の相互作用に
より、バルクの場が受ける反作用を表す式。
D-braneの変化の様子(D-brane recoil)とバルクの
場の自己相互作用を確かに記述出来ている。
５．結論
閉弦の場の理論に、任意の物質を入れた系
を扱う方法を開発した。
閉弦の場の理論の作用のBRST不変性から、
ソースに対する拘束条件を発見した。
 これは低エネルギーでの物質のエネルギー・運
動量保存則に対応
 古典解を求めるには、運動方程式と拘束条件を
同時に解く必要がある。
結論（つづき）
バルクからの反作用を受けて、境界状態は
変化していく
 通常の（ボゾン的）境界状態は整合的なソースで
はない
 Senのrolling tachyon境界状態も変更が必要
 閉弦の放出は我々の方法で扱うべき
境界状態の変化は開弦の励起によって表さ
れると考えられる。
６．今後の展望
具体的な系に応用し、拘束条件を解く！
 時間依存解
(rolling tachyon revised,…)
 古典的に不安定な重力系
 D-brane inflation
 特異点回避？
開弦/閉弦の双対性
超弦場の理論への拡張
量子場への拡張

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