スペクトル法による数値計算の原理 -一次元線形・非線形移流問題の場合地球流体力学研究室 荻原弘尭 0：目次 1: 目的 2: 離散化と差分近似 3: 1次元線形移流方程式の場合 4: スペクトル法の特徴 5: 1次元非線形移流方程式の場合 6:スペクトル法による数値計算の流れ 7: 今後の目標と参考文献 1：目的 ・大気大循環モデルなどで用いられるスペクト ル法の基礎を理解し, 実際にスペクトル法を 用い線形問題と非線形問題を解けるようにな る ・今回の発表の目的 -1次元移流問題を例にとり, スペクトル法の 特徴と原理を見る 2：離散化と差分近似 ・離散化 -連続した値を有限個の点での値で表現すること ・その分けた点を分点という. 区間 を等間隔に分点 ・差分近似 -微分を分点での値で表現する近似 例：中心差分の場合 で分けたとき 3-1：1次元線形移流方程式の場合 1次元線形移流方程式 初期条件： 境界条件： を考えてみる. 3-1-1： 1次元線形移流方程式の場合 ～差分法～ を差分法で解く. １：差分近似を行い 2： を解く に代入 3-1-2： 1次元線形移流方程式の場合 ～スペクトル法～ 1:境界条件を満たす滑らかな直交関数系を用 いて展開 -今回は展開関数は三角関数 2:偏微分方程式の残差 を算出 3-2-1：スペクトル法による線形問題 ～重みつき残差法～ 3:重みつき残差法 -残差 に重み関数 をかけて領域積分したもの が となるとみなして展開係数に関する常微分方 程式を得る方法. 今回は領域は で は . 三角関数の直交性から 3-2-2：スペクトル法による線形問題 ～性質～ 後はこの結果から が求められる. これは各モードが位相速度1で の正の方向に 動いていて厳密解 と同じ性質 である. 4：スペクトル法の特徴 •長所 例：1次元線形移流問題 -偏微分を差分近似することに伴う誤差がない -展開の収束が非常に速い場合がある -常微分方程式が非常に簡単になる場合がある •短所 例：1次元非線形移流問題 -展開関数系が簡単に構成できない場合がある -展開係数と分点上の物理量との変換コストがかか る -非線形問題を扱うとき別に工夫が必要 5-1：1次元非線形移流方程式の場合 1次元非線形移流方程式 境界条件と初期条件は線形の問題と同じとす る ・非線形の場合は線形問題と異なり変換法が 必要になる 5-2：1次元非線形移流方程式の場合 ～差分法とスペクトル法～ 線形問題と同様に行うと 差分法 スペクトル法 5-3： スペクトル法による非線形問題 ～計算量～ これを解けば良いがこのまま計算したら 項は が各 について 計算量が合計で の 個の総和があるので となってしまう. 変換法を用いると計算量を げることができる まで下 5-3： スペクトル法による非線形問題 ～変換法～ ・非線形項をそれぞれかけるのではなくまるごと変 換して計算する方法 ①展開係数から分点上での値への変換 ②分点上での非線形項の評価 ③数値積分による非線形項の展開係数の計算 6：スペクトル法による数値計算の流れ 線形問題 非線形問題 フーリエ逆変換 フーリエ逆変換 変換法 時間積分 時間積分 フーリエ変換 フーリエ変換 7:今後の目標と参考文献 •今後の目標 -スペクトル法を用いて計算コードを作ってみる 具体例として線形移流問題と非線形移流問 題を数値的に解いてみる -大気大循環モデルにおいてスペクトル法はどう使わ れているかを調べる •参考文献 ‣石岡圭一,2004:スペクトル法による数値計算入門, 東京大学出版会 232pp.
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