有限要素法とその誤差解析入門目標：微分方程式に対する代表的な数値解法である有限要素法(finite element method) について、その原理と誤差解析の最新成果を理解することを目標とします。概要：21 世紀の科学技術を支える大きな柱の一つは、現象を記述し解析する微分方程式論とそれに対する数値解法です。微分方程式に対する有力な数値解法としては、有限差分法、有限要素法、境界要素法、有限体積法などがあります。この講義では、特に楕円型境界値問題に対する有限要素法とその誤差解析について解説します。有限要素法は、Lebesgue 積分、関数解析を駆使した現代的な微分方程式論と相性がよく、電子計算機の爆発的な発展とともに 1970 年代から盛んに研究され、現在では、少なくとも数学的な基礎部分については、しっかりした体系がほぼ完成されているとされてきました。しかし最近、有限要素法の数学的基礎理論の核心となる部分で、新たな発見がありました。この講義では有限要素法の誤差解析について、入門から最新の成果までを詳しく説明します。講義の流れとしては、以下の通りです。 • まず、1 次元、2 次元の簡単な楕円型境界値問題に対して、区分的 k 次有限要素法を定義します。 • 次に、有限要素法により得られた数値解 (有限要素解 (finite element solution) とよばれます) の真の解との誤差を上から評価する C´ea の補題を紹介します。 C´ea の補題より、有限要素解の誤差は有限要素よばれる有界領域 (主に三角形、四辺形、四面体など) 上の関数補間の誤差に帰着されることがわかります。 • 1 次元の区間上、あるいは 2 次元の三角形上での関数補間の誤差の評価について解説します。特に、三角形上の Lagrange 補間の誤差について、最近得られた三角形の外接円の半径を使う誤差評価の導出を詳しく説明します。評価方法：提出されたレポートの内容で、成績を評価します。 1