有限差分法

計算流体力学（第２回資料）
離散化解析手法の比較
2014年10月3日
有限差分法
各種離散化解析手法
1) 有限要素法（Finite Element Method; FEM）
2) 有限差分法（Finite Difference Method; FDM）
3) 有限体積法（Finite Volume Method; FVM）
4) その他の手法
境界要素法，個別要素法，粒子法，格子ボルツマン法等
支配方程式
（偏微分方程式）
連立一次方程式
差分近似
有限体積法
支配方程式
（偏微分方程式）
支配方程式の積分形
コントロール
ボリュームで積分
FDM,FVM,FEM等
連立一次方程式
離散化近似（積分、微分、補間）
有限要素法
直接法，反復法
FDMが一般的
有限差分法
特徴：
微分方程式の各微分項を差分近似を用いて離散化する．
格子点で微分方程式を満足する．
支配方程式
（偏微分方程式）
重み付き残差式
（仮想仕事の原理式）
重み付き残差法
連立一次方程式
離散化近似（補間、積分）
有限差分法
構造格子を基本としているため，複雑形状への適用は困難
→一般化座標に基づく方法
非構造格子の物理空間を，構造格子をもつ計算空間に写像し，
計算空間上で一般化座標に変換された支配方程式を差分近似
する方法
格子点に関する連立一次方程式を構成して解く
有限要素法
6
有限体積法
1960年代にLos Alamos研究所において，非構造格子に基づく
流体解析手法として開発
多くの商用流体解析コードに採用されている
節点中心またはセル中心に
コントロールボリュームをとる
節点値を未知数とする近似多項式を用いて，離散化された
重み付き残差式を導き，節点値に関する連立一次方程式を
構成して解く
積分式を離散化（差分近似，中点公式）し，セル節点に関する
連立一次方程式を構成して解く
重み付き残差法
重み関数のとり方
有限差分法では， w   ( x,  )


wL(u )d  L(u )  0 at　x   (格子点)
有限体積法では， w  1


wL(u )d   L(u )d  0

有限要素法では， w 


w
wL(u )d  0
8
各種手法の長所・短所
離散化手法
長所
短所
有限差分法・精度が明確
・高次精度化が容易
・物理量は必ずしも保存されない
・複雑形状への適用がやや難
有限体積法・物理量は保存される
・複雑形状への適用が容易
・高次精度化がやや難
有限要素法・複雑形状への適用が容易
・高次精度化が比較的容易
・物理量は必ずしも保存されない
・計算時間が比較的かかる
いずれの手法も，領域型の解法で離散化により得られる連立一次方程式の
係数行列は疎（sparse）で三重対角性(tridiagonal)を有する
・
・
0   u1  ・
    ・
 ・
・
   

0
・
・
・ u j   ・
0
   

・     ・
 ・
 0
・
・ u n  ・
差分法の基礎
差分法の基礎
テーラー展開
u
x
u
u j 1  u j  x
x
u j 1  u j  x
１階微分の公式
u
x
j

j

u j 1  u j 1
2x
中心差分
 2u
x 2
（１）＋（２）より
（２）
j
ｊ－１
ｊ
Δｘ
ｊ＋１
uj
x
n 1
Δｘ
uj
 O((x) 2 )
n
j

uj
uj
 O ( t )
前進差分
（４）より
u
t
n
j
1次精度
u j  u j 1

 O(t )
t
n
j

uj
n－１
n 1
Δt
1次精度
uj
1
 2u
 (t ) 2 2
2
t
n
j
1
 3u
 (t ) 3 3
6
t
n
j
 O((t ) 4 ) （３）
n 1
u
 u j  t
t
n
j
2
1
2  u
 (t )
2
t 2
n
j
3
1
3  u
 (t )
6
t 3
n
j
 O((t ) 4 ) （４）
n
 O((t ) 2 )
2t
中心差分
t
n＋１
n 1
Δt
 2u
x 2
t
i, j

 2u
y 2
ラプラス方程式
i, j

ui 1, j  2ui , j  ui 1, j
( x )
2

2次精度
 2u j  u j
n
t
2
n 1
 O((t ) 2 )
ui , j 1  2ui , j  ui , j 1
( y ) 2
if　x  y  h
1
(ui 1, j  ui 1, j  ui , j 1  ui , j 1  4ui , j )  0
h2
n 1
2階微分の公式
2
（３）＋（４）より  u2 nj  u j
n
n 1
後退差分
u
（３）－（４）より
t
２次精度
n
j
n
 2u  2u

0
x 2 y 2
n
t
n
 O((x) 2 )
差分法の基礎
u
u
t
x 2
２次精度
1階微分の公式
（３）より
u j 1  2u j  u j 1
u
t
 u j  t
差分法の基礎
n 1

時間の離散化に対してもTaylor展開を適用する
u j 1  u j
u
x
（１）－（２）より
（１）
u
 O(x)
x
１次精度
前進差分
u j  u j 1
u
（２）より
 O ( x )
j 
x
x
１次精度
後退差分
（１）より
２階微分の公式
1
 2u
1
 3u
(x) 2 2 j  (x) 3 3 j  O((x) 4 )
j 
2
x
6
x
3
2
1

u
1
4
3  u
2

(

x
)

(

x
)
j
j
j  O (( x ) )
2
x 2
6
x 3
j+1
j
j-1
i-1
i
i+1
0
例題（1）
棒の格子点の温度を中心差分により求めなさい。
d 2u
 0　(1)
dx 2
厳密解
１）基本問題
u=1
u=0
1
d 2u
dx 2
2
2
 0 :
境界条件より
c2  1
3
u3  2u2  u1
0
(x) 2
0  c1  1　 c1  1
となるので、
u ( x)   x  1
0  2u2  1
0
(0.5) 2
u2  0.5
式 (1)をxについて2回積分
du
 c1
dx
u  c1 x  c2
u=1
1
u=0
2
3

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