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大学アドレスからのメールの転送方法
方法
1) Tycoon WebMailにアクセスする。パスワードなど入力
https://zcs.toyaku.ac.jp/
2) 上の方のタブで「プレファレンス」を選ぶ。
3) 左のメニューから「メール」を選ぶ。
4) メイン画面の「メッセージの受信」の
「新着メッセージ着信時」の４行め、
「メッセージののコピーを以下に転送」の下に
転送先アドレス（スマホのアドレスなど）を書く。
1
三角関数の微分方程式
三角関数は、物理の「振動」で使います。
2
微分方程式を解くとは。
微分方程式：
例：
関数の微分を含む式
dy
 a(定数)
dx
y  ax  b
いろいろな関数の微分を知っていれば、
微分方程式を解くことができる（場合もある。）
問題
次の微分方程式を解け。
(1) dy  sin x
dx
2
(2)dy  cos x (3)d y
 sin x
2
dx
dx
2
2
d
y
d
y
(5)
  y (6) 2  Cy C  0
2
dx
dx
(4)
d2y
 cos x
2
dx
3
解答
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
dy
 sin x
dx
dy
 cos x
dx
2
d y
 sin x
2
dx
d2y
 cos x
2
dx
d2y
 y
2
dx
y   cos x  a
y  sin x  a
dy
  cos x  a y   sin x  ax  b
dx
dy
y   cos x  ax  b
 sin x  a
dx
y  a sin x  b cos x
4
2
d
y
解答(5)の補足
 y
2
dx
y  a sin x  b cos x


y  asin x  bcos x
 a cos x  b sin x




y  acos x  bsin x
(5)

sin x  cos x
cos x   sin x
・ちゃんとした導出
 a sin x  b cos x
は後のページ。興味
 a sin x  b cos x
のある方はどうぞ。
  y
y  a sin x  b cos x は微分方程式(5)の解になっている。
5
2
d
y
解答の補足
(5)
 y
2
dx
y  a sin x  b cos x  C は微分方程式(5)の解になっていない。
なぜなら


y  asin x  bcos x  0
 a cos x  b sin x




y  acos x  bsin x
 a sin x  b cos x
 a sin x  b cos x
 ( y  C)

sin x  cos x

cos x   sin x
(5)の解にならない。
6
d2y
  y y   y
2
dx
解答補足：導出
y' y   y' y
両辺にy’をかける。

このページは
試験に出ません。
y'   2 y' y' ' と y   2 yy' を使うと、


y'   y  C
y'   y 
2
2
2
2
2
2
C

a
C   y'  y  0 なので、
2
2
2
とおく。
dy
dy
 a2  y2   dx
  a2  y 2
dx
y  a sin  とおくと、
dy
cos
   x  定数

d


d




定数
 a2  y2  cos 
7
y  a sin x  定数  c sin(x α）
(6)の解答
d2y
 Cy
2
dx
C 0
変数変換
C x  x とおくと、
2
d y
 y
2
dx
(5)と同じ形になる。
y  a sin x  b cos x  a sin C x  b cos C x
8
(6)の補足
合成関数の微分
dy dy du

dx du dx
教科書p.369
y  sin ax の微分を求めたい時、
dy
y

sin
u
 cosu
u  ax とおくと、
例
du
du
a
dx
dy dy du
dy

 a  a cos ax
dx du dx
du
2
d y
2
2
 a sin ax  a y
2
dx
9
(6)の解答：
合成関数の微分を使う。
x  ax とおいてみる。
dy dy dx 1 dy


dx' dx dx' a dx
dy
とおくと、
z
dx'
d2y
 Cy
2
dx
1
x  x
a
より
C 0
dx 1

dx' a
d 2 y dz dz dx 1 dz 1 d  dy  1 d 2 y
C




  2 2  2 y
2
dx' dx' dx dx' a dx a dx  dx'  a dx
a
2
d2y
C
d
y
2
a  C とおけば、
 2 y
 y
2
2
dx'
a
dx'
10
微分方程式について詳しく勉強したい方は。
大きな書店に行くと理工系書の棚に
「微分方程式」という題名の本がたくさんあります。
数学科向けの本と、一般理系向けの本があります。
数学科向けの本は難しいので避けた方がいいです。
中をよく見てから買いましょう。
「常微分方程式」(物理数学シリーズ) 、
渋谷仙吉・内田伏一著、裳華房、
ISBN 978-4-7853-1515-3
「常微分方程式」(理工系の数学入門シリーズ）、
矢嶋信男著、岩波書店、ISBN 4-00-007774-0
「常」微分方程式とは、変数が１個だけの微分方程式です。
(例：xの関数を求める。）
「偏」微分方程式は、変数が２個以上の微分方程式です。
11
（例：x, y, zの関数f(x,y,z)を求める）
運動方程式の例１
ばね
12
バネの運動方程式
例１：強さkのバネに質量mのおもりがついている場合、
バネの、伸びxに比例した力F=-kxで
縮ませようとする力が働く。
壁
F   kx
k 0
x
したがって運動方程式は、
d 2x
m 2  kx
dt
(tは時間）
問題１上の微分方程式を解いて、運動を求めよ。
（意味：xをtの関数として求めよ。）
13
バネの運動方程式、補足
バネが物体に及ぼす力
F   kx
k 0
ｘ＞０の時、バネは伸びている。
壁
この時は、バネを縮ませようとする力が
マイナス方向に働く。
よってkxの前にマイナスがつく。
運動方程式は、
d 2x
m 2  kx
dt
x
(tは時間）
14
バネの問題の解答
d 2x
m 2  kx
(1)
dt
x
x(t )  Asin t  B cost とおく。
dx
 Acost  Bsin t
A,Bは初期条件で決まる。
dt
d 2x
2
2


A

sin

t

B

cos t
2
dt
 2  A sin t  B cos t   2 x
k
2
とおけば、確かに(1)を満たす。
 
m
あるいは微分方程式(6)の結果を使って、
k
k
x(t )  Asin
t  B cos
t
m
m
15
補足
x(t )  Asin t  B cost
k
 
m
2
x
発展問題
三角関数の合成を用いて、
x(t)  C sint  
と書けることを示せ。
と A, B の関係を書け。
また。 C, 
このような運動を「単振動」と呼ぶ。
ωを角振動数と呼ぶ。
-> 教科書p.17
16
単振動の角振動数と周期
x(t )  Asin t
k
 
m
2
k
 
m
sinφのφの部分を「位相」と呼ぶ。単位はrad(ラジアン）
ωは角速度または角振動数と呼ばれる。
単位はrad/s。単位時間当たりに何rad進むかを表す。
sin関数の周期は2π(=360°)。
1周するのに必要な時間を周期と呼ぶ。Ｔとおくと、
T  2
2
m
T
 2

k
17
補足
初期条件とは：
出発地点の位置rと速度vのこと。
18

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