電子物性第1スライド9-1 電子物性第1 第9回 ー粒子の統計ー 目次 ２ はじめに ３ 圧力 ４ 温度はエネルギー ５ 分子の速度 ６ マクスウェル-ボルツマン分布 ７ パウリの排他律 ８ エネルギーの組み合わせ ９ フェルミ-ディラック統計 10 まとめ 圧力 電子物性第1 第9回 －粒子の統計－ nNvx 個と、 2V それぞれの加える力積 2mvxを nNvx 個 掛けて、壁に加わる圧力は、 2V nN m vx2 となる。これは、 p= V 衝突する分子の数 で示す 速度の平均値による。 はじめに 2mvx 壁 nNvx 2V ×2mvx 電子物性第1スライド9-2 今回は多数ある電子の振る舞いを考える基礎を学びます。 簡単な粒子、 気体（理想気体）分子では、 pV = nRT なる圧力から、 温度がエネルギーに対応します。 この解析から、粒子の速度の分布（指数関数）がわかる。 電子は、ー同じ状態の電子は１つのみーで、異なる分布。 ① 気体分子から電子までのエネルギーについて考える。 はじめに 今回は多数ある電子の振る舞いを考える基礎を学びます。 温度はエネルギー この解析から、粒子の速度の分布（指数関数）がわかる。 1 2 となるが、 pV = nRT と nN m v 圧力は、 p = 3 V 温度 T 3 比較し、 kBT = E 。 2 R エネルギー EE = 32 k T k N = （ボルツマン定数）、 電子は、ー同じ状態の電子は１つのみーで、異なる分布。 右辺は平均エネルギー E 。 簡単な粒子、 気体（理想気体）分子では、 なる圧力から、 pV = nRT 温度がエネルギーに対応します。 B 電子物性第1スライド9-3 圧力 nNvx 個と、 衝突する分子の数 2V それぞれの加える力積 2mvxを nNvx 個 掛けて、壁に加わる圧力は、 2V nN 2 m vx となる。これは、 p= V のではなく、 で示す速度の平均値による。 ① 圧力は、速度の二乗の平均で表される。 分子の運動 2mvx 壁 nNvx ×2mvx 2V 圧力 nNvx 個と、 2V それぞれの加える力積 2mvxを nNvx 個 掛けて、壁に加わる圧力は、 2V nN m vx2 となる。これは、 p= V 衝突する分子の数 で示す 速度の平均値による。 2mvx 壁 nNvx 2V ×2mvx 温度はエネルギー 分子の速度 3k T 2 個々の分子の速度を考えよう。 二乗平均は、 v = B 。 m しかし、それぞれは自由な速度。実は、速さの二乗の関数 F(v2) でv2となる確率を表す。 x、y、zの対称性から、 F(v2) = F(vx2 +vy2 +vz2 ) = 定数×F(v2x ) F(v2y ) F(v2z )と足した 2 ものが掛けたものとなる。 実は、 F(v2) = Ae －Bv となる。 電子物性第1スライド9-4 圧力は、 p = nN m 1 v2 となるが、 pV = nRT と 3 V 1 22 温度 T 3 R nNm 1 比較し、 nRT kB =T = E3m 。v 2 N 3 2 エネルギー E = 2 R 1 2 k v RT = Nm N = B（ボルツマン定数）、 3 分子の運動 RT 1 2 右辺は平均エネルギー m v E 。より、 = N 3 ① (3/2)×kTと「温度はエネルギー｣。 k BT マクスウェル－ボルツマン分布 温度はエネルギー 1 2 となるが、 pV = nRT と nN m v 圧力は、 p = 3 V 温度 T 3 比較し、 kBT = E 。 2 R エネルギー E = 32 k T k N = （ボルツマン定数）、 B 右辺は平均エネルギー E 。 分子の運動 分子の速度 マクスウェル -ボルツマン分布 1 － F(v2) = 定数 e kBT E 一般に、 エネルギーの関数 電子などの存在確率にも 応用される関数です。 粒子数 1 倍 e 0 kBT E 電子物性第1スライド9-5 3kBT 。 m しかし、それぞれは自由な速度。 実は、速さの二乗の関数 F(v2) でv2となる確率を表す。 x、y、zの対称性から、 F(v2) = F(vx2 +vy2 +v2z ) = 定数×F(v2x ) F(v2y ) F(v2z ) と足した 2 －Bv 2 ものが掛けたものとなる。 実は、 F(v ) = Ae となる。 2 個々の分子の速度を考えよう。 二乗平均は、 v = ① 分子の速度分布は指数関数になる。 分子の速度 3k T 2 個々の分子の速度を考えよう。 二乗平均は、 v = B 。 m しかし、それぞれは自由な速度。実は、速さの二乗の関数 F(v2) でv2となる確率を表す。 x、y、zの対称性から、 F(v2) = F(vx2 +vy2 +vz2 ) = 定数×F(v2x ) F(v2y ) F(v2z )と足した 2 ものが掛けたものとなる。 実は、 F(v2) = Ae －Bv となる。 パウリの排他律 電子は特徴的な粒子で、 1つの状態（エネルギー）をとる 電子は1つのみ（1個または０個）。 ⇒パウリの排他律 絶対零度（最も安定）では、最低からフェルミレベル までのエネルギーをとる。 高温では、フェルミレベルより上のエネルギーもとりうる。 電子物性第1スライド9-6 マクスウェル－ボルツマン分布 マクスウェル-ボルツマン分布 1 1 2 m － F(v2) = 定数 e kBT 2Emv 2πkBT は、運動エネルギーの関数。 一般に、 電子などの存在確率にも これをエネルギーEとして、 応用される関数です。 ① この指数は一般にマクスウェル-ボルツマン分布。 粒子数 1 倍 e 0 kBT EE エネルギーの組み合わせ マクスウェル－ボルツマン分布 マクスウェル -ボルツマン分布 1 － F(v2) = 定数 e kBT E 一般に、 エネルギーの関数 電子などの存在確率にも 応用される関数です。 パウリの排他律に加え、 電子は等価などの組み合わせ 粒子数 も同じ確率でとると思われます。 電子3個の例では、 電子の座席、0、1、2、3、4、5、、、、eVがあったとして、 1 倍 e 0 絶対零度0、1、2eVの３つ。 kBT パウリの排他律 E 少し高温では、0、1、3eV。 もう少し高温では、0、1、4eVも0、2、3eVも同確率 電子物性第1スライド9-7 電子は特徴的な粒子で、 1つの状態（エネルギー）をとる 電子は1つのみ（1個または０個）。 ⇒パウリの排他律 絶対零度（最も安定）では、最低からあるエネルギー フェルミレベル までのエネルギーをとる。 高温では、フェルミレベルより上のエネルギーもとりうる。 ① 同じ状態の電子は１個のみである。 パウリの排他律 電子は特徴的な粒子で、 1つの状態（エネルギー）をとる 電子は1つのみ（1個または０個）。 ⇒パウリの排他律 絶対零度（最も安定）では、最低からフェルミレベル までのエネルギーをとる。 高温では、フェルミレベルより上のエネルギーもとりうる。 フェルミ-ディラック統計 多数電子を統計的に扱うには、 1 1 f(E) = E－EF k BT 1+e なる、関数を用いる。 f(E) f(E) e k B T = 26 m eV 0 EF 電子のエネルギーE 縦軸は、そのエネルギーの状態を占める割合。 エネルギーの組み合わせ 電子物性第1スライド9-8 パウリの排他律に加え、 電子は等価などの組み合わせ も同じ確率でとると思われます。 電子3個の例では、 電子の座席、0、1、2、3、4、5、、、、eVがあったとして、 絶対零度0、1、2eVの３つ。 少し高温では、0、1、3eV。 もう少し高温では、0、1、4eVも0、2、3eVも同確率。 ① いろいろなエネルギーの組み合わせで考える。 エネルギーの組み合わせ パウリの排他律に加え、 電子は等価などの組み合わせ も同じ確率でとると思われます。 電子3個の例では、 電子の座席、0、1、2、3、4、5、、、、eVがあったとして、 絶対零度0、1、2eVの３つ。 少し高温では、0、1、3eV。 もう少し高温では、0、1、4eVも0、2、3eVも同確率 まとめ 温度Tは、粒子の持っている運動エネルギーに対応する。 気体分子のエネルギーはマクスウェル-ボルツマン分布 にしたがい、エネルギーの指数関数である。 電子のエネルギーはパウリの排他律により、低温でも、 フェルミレベルまでのエネルギーをとり、フェルミ-ディラック 統計にて扱う必要がある。 電子物性第1スライド9-9 フェルミ-ディラック統計 f(E) 多数電子を統計的に扱うには、 f(E) 1 1 f(E) = E－EF kBT e k B T = 26 m eV 1+e 0 なる、関数を用いる。 EEFF 電子のエネルギーE 縦軸は、そのエネルギーの状態を占める割合。 ① フェルミ-ディラックの分布関数を示す。 フェルミ-ディラック統計 多数電子を統計的に扱うには、 1 1 f(E) = E－EF k BT 1+e なる、関数を用いる。 f(E) f(E) e k B T = 26 m eV スライドを終了します。 0 EF 電子のエネルギーE 縦軸は、そのエネルギーの状態を占める割合。 まとめ 電子物性第1スライド9-10 温度Tは、粒子の持っている運動エネルギーに対応する。 気体分子のエネルギーはマクスウェル-ボルツマン分布 にしたがい、エネルギーの指数関数である。 電子のエネルギーはパウリの排他律により、低温でも、 フェルミレベルまでのエネルギーをとり、フェルミ-ディラック 統計にて扱う必要がある。 ① 気体とは異なる電子の統計を理解ください。
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